西北工业大学高数(上)期中考试试题及答案

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西北工业大学考试试题（卷）
2005-2006学年第一学期期中
开课学院 理学院 课程 高等数学(上) 学时 90 考试日期 2005/11/17 考试时间 2 小时 考试形式（闭）（A ）卷 一、填空题(每小题4分, 共32分)答案写在答题纸上, 写在题后无效 1.设1
lim ()3x g x →=, 1
lim ()3x h x →=, 且()()()g x f x h x ≤≤, 则21
lim[34()]x x f x →+=
.
2.1
lim (39)x
x x
x →+∞
+=
.
3.已知0sin lim
(cos )5x x x
x b e a
→-=-, 则a =
,b =.
4.设(2)cos n y x x -=, 则2
()n x y π
==
. 5.若
2d 11
()d f x x x
=, 则()f x '=.
6.设函数()y y x =由方程ln ln y x x y =确定, 则22(,)
d e e y
=
.
7.设函数1
()(1)x f x x
=+, 则(1)f '=
.
8. 设周期函数()f x 在(,)-∞+∞内可导, 周期为4, 又0
(1)(1)
lim
12x f f x x
→--=-, 则曲
线()y f x =在点(5,(5))f 处的切线斜率为.
成绩
2. 命题教师和审题教师姓名应在试卷存档时填写。

共7页第1页
(5,7)(6,
, 3
x=, x
x=, 5
, 3
x=, x
x=, 5
则以上结论正确的是( )
①、②;
高等数学05-06学年第一学期期中考试试卷评分标准
一、填空题(每小题4分, 共32分) 1. 15
; 2. 9; 3. 1, 4-; 4. 2-; 5.
12x
-; 6.
d x
; 7.
2ln 21-; 8.
2
-.
二、选择题(每小题4分, 共32分)
1. ( B ) ;
2. ( D ) ;
3. ( C ) ;
4. ( B ) ;
5. ( D ) ;
6. ( B ) ;
7. ( B ) ;
8. ( C ).
三、计算(6分⨯2=12分)
1. 求极限 011
lim()1sin x x x e x
-→+--;
解 011
lim()1sin x x x e x
-→+--
0sin (1)(1)lim sin (1)
x x x x x e x e --→+--=-.............................1分 20sin (1)1lim x x x x e x -→+-+=..............................2分 0cos (1)sin lim 2x x x x x e x -→++-=...........................4分 0sin (1)cos cos lim 2
x x x x x x e -→-++++=....................5分
3
2
=
................................................6分 2. 设 21,cos .x t y t ⎧=+⎨=⎩ 求22d d y
x .
解
2d (cos )sin d (1)2y t t x t t
'-=='+...................................2分 2
2
2sin (
)d 2d (1)t
y
t x t -'
='
+.........................................4分 3
sin cos 4t t t
t -=
.....................................6分
四、(8分) 设2,0,
()sin ,0.
x e b x f x ax x ⎧+≤=⎨>⎩
(1) ,a b 为何值时, ()f x 在0x =处可导?
(2) 若另有()F x 在0x =处可导, 讨论[()]F f x 在0x =处的可导性.
解 (1) (0)1f b =+, 20
(00)lim()1x x f e b b -→-=+=+, 0
(00)lim sin 0x f ax +
→+==, ()f x 在0x =处可导, 则必连续, 故
10,b += 即1b =-...................................2分
又 220002(0)lim lim 201x x x x e b e f x ---→→+-'===-, 0sin 0
(0)lim 0
x ax f a x ++
→-'==-, 要使()f x 在0x =处可导,必有
2a =.......................................3分
即当2a =,1b =-时, ()f x 在0x =处可导, 且(0)2f '=; (2) 0
(())((0))
((0))lim
x F f x F f F f x →-'=-...................................4分
(())((0))()(0)
lim
()(0)0
x F f x F f f x f f x f x →--=⋅--........................7分
00()(0)()(0)
lim
lim (0)(0)2(0)00
y x F y F f x f F f F y x →→--'''=⋅=⋅=--........8分
故[()]F f x 在0x =处可导.
五、(8分) 在圆弧224x y +=(0,0)x y >>上找一点, 使该点的切线与圆弧及两坐标 轴所围成的图形的面积最小,并求最小面积. 解 设切点坐标为00(,)x y 00(0,0)x y >>, 切线方程为 0
000
()x y y x x y -=--...........................2分 令0x =, 有04y y =
, 令0y =, 有0
4
x x =,.............................3分 目标函数为
8S xy ππ=-=-.............................5分
由23
222
16(2)()0(4)
x S x x x --'=
=-,
得唯一驻点x =分
由于驻点唯一, 依实际意义,
当00x y ==时, 最小面积4S π=-...........8分 六、(8分) 设()f x 在闭区间[0,1]上连续, 在开区间(0,1)内可导, (0)(1)0f f ==,
122()1lim 11()
2
x f x x →
-=-, 证明: (1) 存在1
(,1)2
η∈, 使得()f ηη=;
(2) 对任意的R λ∈, 必存在(0,)ξη∈, 使得()[()]1f f ξλξξ'--=; (3) ()f x 在[0,1]上的最大值大于1.
证明 (1)作 ()()g x f x x =-, ...............................1分
(1)(1)1010g f =-=-<, 又122
()1
lim
11()2
x f x x →
-=-, 故12
lim (()1)0x f x →
-=, 1()12f =, 故 1111
()()102222
g f =-=->.............................................2分 由于()g x 在1[,1]2上连续, 且1()(1)02g g ⋅<, 由零点定理, 在1
(,1)2
内至少存在一
点η, 使()0g η=, 即
可编辑
精品文档 ()f ηη=............................3分
(2) 作 ()[()]x F x e f x x λ-=-,...........................4分 由于()F x 在[0,]η上连续, 在(0,)η内可导, 由拉格朗日中值定理, 在(0,)η内至少存在一点ξ, 使得
()(0)()0
F F F ηξη-'=-, .........................5分 即 ()[()]1f f ξλξξ'--=........................6分
(3) 由极限的局部保号性, 102δ∃>>, 1(,)2x U δ∀∈, 2()101()2
f x x ->-, 故 ()1f x >,.........................7分
又 ()f x 在闭区间[0,1]上连续, 一定存在最大值M , 故1M >..............8分。