西北工业大学试题高等数学期末考试题

合集下载

西北工业大学高等数学期末测试题

诚信
保证
班
级
：
学
号
：
姓
名
：
装
订
线
编号：
西北工业大学考试试题（卷）
2009－2010学年第一学期
开课学院：理学院课程：高等数学学时：96
考试日期：2010年1月20日考试时间：2小时考试形式( )( )卷
本人知晓我校考场规则和违纪处分条例的有关规定，保证遵守考场规则，诚实做人。本人签名：
题号
一
二
三
四
注：1.命题纸上一般不留答题位置，试题请用小四、宋体打印且不出框。
2.命题教师和审题教师姓名应在试卷存档时填写。共6页第1页
西北工业大学命题专用纸
二、计算题（每小题6分，共30分）
1、设，求，．
2、已知在处连续，求值．
3、求不定积分．
共6页第2页
西北工业大学命题专用纸
4、求经过点且垂直于平面与的平面方程．
五
六
七
总分
得分
一、填空题（每小题3分，共30分）
1、 ________________．
2、设的一个原函数是，则 ____________________．
3、平面曲线在区间_________________是向上凹的．
4、函数的极小值点是___________________．
5、设函数，则 _______________________．
6、函数的反函数是 __________________．
7、已知当时，是比高阶的无穷小量，则 __________．
8、设函数在处可导，且，则 __________．
9、设可导，，则 ___________________．

2015-2016高等数学(上)期末试题A卷解答与评分标准

2x 3 x 1 x 1
2
x 1 x 1 2! 2 2! 1 2 因为 f x 2 ， f x 2 2 3 x 1 x 1 x 1 x 13 1 2 n 所以 f n x 1 n ! n 2 , 3 , n 1 n 1 x 1 x 1 10 因此 f 0 10!
1 x 2 x 1 arctan x x ln 1 x 2 C 2
（4 分）（6 分）

2、
x2
1 x
3 2 2
dx
（1 分）（2 分）
解设 x tan x x2 tan2 t sin 2 t 2 dx sec tdt dt 3 cost sec3 t 2 2 1 x
共6页西北工业大学命题专用纸
第3页
四、计算题（每小题 6 分，共 18 分） 1、 2 x 1 arctan x dx 解原式 x 2 x arctanx

x2 x 1 x2
dx
（3 分）
1 x xx 1 arctanx 1 dx 2 1 x2 1 x

由条件知 lima cos x b a b 0
x 0
（2 分）
所以 lim
x 0
a cos x b a sin x a sin x a lim lim 1 x2 3 2 x 0 x 0 2x 2 x 2 ln 1 x 2 1 x
（7 分）
所以，向量 c 是向量 a 和向量 b 的角平分向量。

（8 分）

2024届陕西省西安市西北工业大学高一数学第二学期期末经典试题含解析

2024届陕西省西安市西北工业大学高一数学第二学期期末经典试题考生须知： 1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．ABC ∆中，下列结论：①若A B >，则sin sin A B >，②sin()sin A B C +=，③cos()cos +=A B C ，④若ABC ∆是锐角三角形，则sin cos A B >，其中正确的个数是（） A ．1B ．2C ．3D ．42．如图，正方形ABCD 中，M 是BC 的中点，若AC AM BD λμ=+，则λμ+=（）A ．43B ．53C ．158D ．23．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为（） A ．8B ．9C ．10D ．74．[]x 表示不超过x 的最大整数，设函数2()ln(1)h x x x =++，则函数()[()][()]f x h x h x =+-的值域为（）A ．{0}B ．{2,0}-C ．{1,0,1}-D ．{1,0}-5．已知等差数列中，，.若公差为某一自然数,则n 的所有可能取值为( ) A ．3,23,69B ．4,24,70C ．4,23,70D ．3,24,706．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，已知M ，N 分别为棱AB ，1AB 的中点，A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°7．设复数12z i =+（是虚数单位），则在复平面内，复数2z 对应的点的坐标为（） A ．()3,4-B ．()5,4C ．()3,2-D ．()3,48．若直线l 过两点(1,2)A ，(3,6)B ，则l 的斜率为（） A ．12B ．12-C ．2D ．2-9．设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c ，若2,3sin 5sin b c a A B +==,则角C =（）A ．3πB ．23π C ．34πD ．56π10．已知259a =°，sin15cos15b =+°°，2231cos31c =°°，则实数a 、b 、c 的大小关系是（）A ．a c b <<a c b <<B ．a b c <<C ．a c b ≥≥D ．a b c ≥≥二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

高等数学总复习12010.12西北工业大学.pdf

总复习(一)
一、主要内容二、典型例题
作业集重点题
练习册(上册)
(10 ) p .22 , 10
(1) p.3, 3
(11 ) p .23 , 2
(2) p.7, 5
(12 ) p .26 , 8 ( 3 ),
(3) p.8, 4
(13 ) p .27 , 10
( 4 ) p .10 , 7 , 8
(12 ) p .13 , 10 (13 ) p .17 , 1(10 ), 2 ,3 (14 ) p .18 , 1, 2 ,3 ( 2 ) (15 ) p .19 , 4 , 5 (1 ), 6 (16 ) p .20 , 7 − 9 (17 ) p .21 , 10 − 12 (18 ) p .22 , 4 (19 ) p .23 , 5 , 6 ( 20 ) p .24 , 8
( 26 ) p .44 , 4 , 6
( 39 ) p .64 ,5
( 27 ) p .45 , 1(1)、( 2 ) ( 40 ) p .65 , 10
( 28 ) p .48 , 5
( 41 ) p .66 , 11
( 29 ) p .51 , 3(1), ( 3 ) ( 42 ) p .71 , 1 ( 30 ) p .52 , 4 ( 3 ), ( 4 )
x→0−
x→0− x − arcsin x
(0) 0
= lim
ax 3
x→0− x − arcsin x
= lim 3ax2 x→0− 1 − 1 1− x2
=
lim
x→0−
1⋅ 2
6ax − 2x (1 − x2 )32
= −6a
f (0+ ) = lim f ( x) = x→0+

西北工业大学高数期末试题10-11二学期B卷及答案

共6页第1页班级：学号：姓名：班级：学号：姓名：高等数学2009--2010第二学期期终考试试题答案及评分标准A卷一、1、-8，2、，3、，4、8π，5、，6、。

二、1, 2、，3、，4、，5、3，6、[]2121+-，，缺闭区间扣一分。

三、1、解：设切点…………………2分由已知条件得：，得到.………..4分切平面方程为即……………..6分2、解：……………..3分……………..6分3、解：………………4分………………6分四、1、解：g f fy xx u v∂∂∂=+∂∂∂，g f fx yy u v∂∂∂=-∂∂∂，…………….2分vfvfxvufxyufyx∂∂+∂∂+∂∂∂+∂∂=∂∂2222222222g,vfvfyvufxyufxy∂∂-∂∂+∂∂∂-∂∂=∂∂2222222222g, ………………..5分222222g gx yx y∂∂+=+∂∂………………6分2．解：设dydppyp=''=',y，………………………2分得到舍去）(,0y==+ppdydp，解得ycp1=，100(,)dy f x y dx⎰83π12eπ+1415-{}00000(,,),,2,1P x y z n x y=-224000sind d drππθϕϕ⎰⎰143π0021221x y-==-2230x y z+--=2200002,1, 3.2xx y z y===+=2(2)2(1)(3)0x y z-+---=231131()12y yyydy e dxy y e dy e∂=-=-⎰⎰⎰8232008222336dz d drz dzπθππ==⎰⎰⎰2y1=-由初始条件yy 21,21c 1='=， ………………………4分 22c x y +=, 由初12=c ,其特解为1,12+=+=x y x y 或。

……………………..6分 3.、解：由xQy p ∂∂=∂∂，得x e x f x f x f =-'-'')()()（，………………2分 x x x e y e c e c Y 21,221-=+=*-,由初始条件61,3221-==c c , x x x e e e x f 216132)(2--=- ……….4分(1,1)(0,0)()2()()x f x f x e ydx f x dy ''⎡⎤+++⎣⎦⎰ =⎰-+=-+--101212216134216134e e e dy e e e ）. ……………….6分五、解：1151lim lim (1)55n n n n n na n a n ++→∞→∞⋅==+⋅, ∴收敛半径为5R =…………………..2分当5x =-时, 15n n∞=∑发散; 当5x =时,11(1)5n n n -∞=-⋅∑收敛 ∴收敛区间为(5,5]-…………………………………………………4分设和函数1111111100110(1)()(1)55 [(1)][(1)()]5551 ln(1), (5,5]5515n n n n nn n n n xx n n n n n n x x S x x x n n t x t x dt dt n x x dt x x t -∞∞+-==∞∞---==-==-⋅⋅'=-=-⋅==+∈-+∑∑∑∑⎰⎰⎰………..…7分 …………………….8分六、解：设旋转曲面S 的方程为 12222=++z y x ，--------------------1分给定的方向 )0,21,21(0-=l方向导数函数)(2c o s c o s c o s y x zf y f x f l f -=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂γβα --------2分设)12()(2222-+++-=z y x y x L λ， ---------------3分令 ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=++==∂∂=+-=∂∂=+=∂∂1202022042222z y x z z Ly y L x x Lλλλ ------------------4分解之得 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=02242z y x λλ 23±=λ ------------------6分23=λ，得S 上的点为)0,36,66(-，此时3-=∂∂l f 23-=λ，得S 上的点为)0,36,66(-，此时3=∂∂lf所以，所求的S 上的点为)0,36,66(- ------------------7分七、解：……………………3分000()()(x)lim()(1)()lim lim x x x x x f x x f x f x f x e f x e x x∆→∆∆→∆→+∆-'=∆-∆=+∆∆(x)()(0),(),(0)0,0..xx x f f x f e y ax c e f c y axe ''=+=+=∴== 111100(x)(1)(1)(1)!!x x x x n n n n f axe aexe ae x e aee x x ae ae n n ---+∞∞=====-+--=+∑∑………………………6分………………………7分(2009)(1)2010ae f =n=100(1)(1)=ae (1)!!(1)(1),.!n nn nn x x ae n n n x ae x R n ∞∞=∞=--+-+-=∈∑∑∑。

西北工业大学计算方法试题

x ( k +1)
=
x(k)
−
ω

A(
x
(
k
+1
)
+ 2
x(k)
)
−
b
ω >0 , k = 0,1,2,⋯
对任意初始向量 x (0) ， x (k+1) 是否收敛到方程组 Ax = b 的解？为什么？
西北工业大学考试试题（卷）-计算方法二
1 填空 1）. 近似数 x* = 0.0142 关于真值 x = 0.0139 有__为有效数字。
0
试求满足插值条件的四次多项式 p(x).
6 设有如下的常微分方程初值问题

dy dx
=
x ,1 < y
x ≤ 1.4
y(1) = 1
1）写出每步用欧拉法预估，用梯形法进行一次校正的计算格式。 2）取步长 0.2 用上述格式求解。
∫ 7 设有积分 I = 0.6 e x2 dx 0
1）取 7 个等距节点（包括端点），列出被积函数在这些点出的值（保留到小数点后 4 位） 2）用复化 simpson 公式求该积分的近似值。
（4）取 3 ≈ 1.732 ，迭代过程 yn+1 = yn + 0.1 3 是否稳定？______（是或否）；
∫ （5）求积公式 3 f ( x)dx ≈ 2 f (2) 有______次代数精度。 1
2．取初值 x0 = 1.6 ，用牛顿迭代法求 3.1 的近似值 xn+1 ，要求先论证收敛性，当
xn+1 − xn ≤ 10−5 时停止迭代。
3．用最小二乘法确定 y = a 1 + bx 2 中的常数 a 和 b ，使该函数曲线拟合 x

陕西省西安市西工大附高2022-2023学年高三上学期期末考试理科数学试题及参考答案

陕西省西安市西工大附高2022-2023学年高三上学期期末考试理科数学及参考答案一、选择题；本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数52iz i=-，则共轭复数z 在复平面对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．设函数()f x 满足()()f x f x -=，且()()1212,0,,x x x x ∀∈+∞≠有()()()1212[]0x x f x f x -->，则（）A ．()()()231f f f -<-<B ．()()()321f f f -<-<C ．()()()123f f f -<-<D ．()()()132f f f -<<-3．设集合{}{}20,21A x x x B x x =->=>，则A B ＝A ．1(0,2B ．1(,1)2C ．(0,)+∞D ．(1,)+∞4．“3x >”是“不等式220x x ->”的A ．充分不必要条件B ．充分必要条件C ．必要不充分条件D ．非充分必要条件5．若递增等比数列{an }的前n 项和为S n ，a 2=2，S 3=7，则公比q 等于A ．2B ．12C ．2或12D ．无法确定6．设函数()sin 2cos 233f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小正周期为T ，则()f x 在()0,T 上的零点之和为（）A ．1312πB ．76πC ．1112πD ．56π7．一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是A ．2-B ．3-C ．4-D ．5-8．作用在同一物体上的两个力1260N,60N F F ==，当它们的夹角为120︒时，则这两个力的合力大小为（）N .A ．30B ．60C ．90D ．1209．设() f x 2x 3=+，()()g x f x 2=-，则()g x 等于A ． 2x 1+B ． 2x 1-C ． 2x 3-D ． 2x 7+10．从乒乓球运动员男5名、女6名中组织一场混合双打比赛，不同的组合方法种数为（）A ．2256C C B ．2256C A C ．22225262C A C AD ．2256A A 11．已知1F ，2F 是椭圆E ：22221(0)x ya b a b +=>>的左、右焦点，点M 在椭圆E 上，1MF 与x轴垂直，211sin 2MF F ∠=，则椭圆E 的离心率为A B ．3C ．3D ．212．已知数列{}n a 满足24a =，()()1111n n n n n a n a na +--=--（1n >且n *∈N ），数列{}n a 的前n 项和为Sn ，则（）A ．21202080S a =+B ．21202040S a =+C ．21202080S a =+D ．21202040S a =+二、填空题：本题5小题，共20分。

西安工业大学高数期末考试题及答案试题

高等数学（Ⅱ）期末参考答案一、填空题（每小题3分，共36分） 1.=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→∞→xy x xy 11lim ==⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞→∞→∞→∞→⋅∞→∞→01lim111lim 11lim e xy xy yxyy x yxy y x y x 1 .2.函数),(y x z z =由方程0sin=+xy e xz 确定，则=-=-=∂∂xzzy xex y xF F yz cos 1xzex x y2cos -.3.设函数222ln zy x u ++=，则它在点)1,1,1(0-M 处的方向导数的最大值为33.4.设函数y xy ax x y x f 22),(22+++=在点)1,1(-处取得极值，则常数=a 5-.5.空间曲线x zx y-==1,222在点)22,1,21(处的切线方程为212211121--=-=-z y x .6.改变积分次序：==⎰⎰-dy y x f dx I x x 22020),(dx y x f dy yy⎰⎰-+--2211111),( .7.设平面曲线L 为下半圆周21x y --=，则=⋅=⋅=+⎰⎰π2221211)(LLds ds y x π .8.设∑为曲面22y x z +=在10≤≤z 的部分，则⎰⎰∑=xdS 0 .9.设,0,10,)(⎩⎨⎧<≤<≤-=-ππx x e x f x 则其以π2为周期的傅里叶级数在π=x 处收敛于)1(21πe + .10.设321,,y y y 是微分方程)()()(x f y x q y x p y =+'+''的三个不同的解，且≠--3221y y y y 常数，则微分方程的通解为 1322211)()(y y y C y y C +-+- .11.函数x x f -=21)(展开为x 的幂级数的形式为)2,2(2101-∈∑∞=+x x nn n .12.微分方程xxe y xy =-'1的通解为 xxe Cx + .二、计算下列各题（每小题6分，共18分） 1.设),(xyex y f z =，)(x y ϕ=，其中ϕ,f 均为一阶可微函数，求dxdz .解：)(221y x y e f xyx y f dxdz xy'+⋅'+-'⋅'=))()(()()(221x x x e f xx x x f xyϕϕϕϕ'+⋅'+-'⋅'=2.求曲面)(21422y x z +-=与平面2=z 所围立体的体积.解：所围立体在xoy 面的投影域4:22≤+y x D ，所围立体的体积d x d y y x d x d y d x d y y x V DDD⎰⎰⎰⎰⎰⎰+-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+-=)(2122)](214[2222πππθππ448212222202=-=-⨯=⎰⎰r d r r d3.在曲面6632222=++z y x 上第一卦限部分求一点，使该点的切平面与已知平面1=++z y x 平行.解：设曲面在第一卦限的切点的坐标为),,(z y x M ，令=),,(z y x F 6632222-++z y x ，则切平面的法向量)6,4,2(),,(z y x F F F n M z y x ==, 已知平面1=++z y x 的法向量)1,1,1(1=n依题意1//n n，即令t z y x ===161412代入曲面方程中解的2,3,6===z y x ，即切点坐标为)2,3,6(M . 三、计算下列各题（每小题6分，共18分） 1.设Ω是由锥面22yx z +=与半球面221yx z --=围成的空间区域，∑是Ω的整个边界的外侧，求曲面积分⎰⎰∑++zdxdy ydzdx xdydz .解：已知x z y x P =),,(，y z y x Q =),,(，z z y x R =),,(，由高斯公式有dv zR yQ xP zdxdy ydzdx xdydz ⎰⎰⎰⎰⎰Ω∑∂∂+∂∂+∂∂=++)(dr r d d dv ϕϕθππsin 3312204⎰⎰⎰⎰⎰⎰==Ωππ)22(31)221(23-=⨯-⨯⨯=2.写出级数 ++++43227252321的通项，判别该级数的敛散性.若级数收敛时，试求其和.解：该数项级数的通项为nn n u 212-=；级数为正项级数，由于21121221limlim1=-+⋅=∞→+∞→n n u u n nn n ，由比值审敛法知该级数收敛.令)1,1()()(22)12()(211111-∈-=-=-=∑∑∑∞=∞=-∞=x x s x xs xxn x xn x s n nn n nn ，则xx xdt ntdt t s n xn nn x-===∑⎰∑⎰∞=∞=-1)(1111，于是2011)1(1)()(x dt t s dx d x s x -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰，又xx xx s n n-==∑∞=1)(12，所以)1,1()1(1)1(2)(222-∈-+=---=x x xx xx x x x s ，于是3)1(21)12()21(21221=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=-==∞=∑x nn x x x n s .3.求微分方程x e y y y 223=+'-''的通解.解：微分方程对应的齐次线性微分方程的特征方程0232=+-r r 的特征根为2,121==r r ，x e x f 2)(=的1=λ为特征方程的单根，则原方程的特解为xAxey =*，代入原方程中得2-=A ,齐次线性微分方程的通解为x x e C e C Y 221+=,所以原方程的通解为=+=*y Y y x x x xe e C e C 2221-+.四、计算下列各题（每小题6分，共18分） 1.求函数22)(4),(y x y x y x f ---=的极值.解：由于x y x f x 24),(-=，y y x f y 24),(--=，令,0),(0),(⎩⎨⎧==y x f y x f y x 得驻点,22⎩⎨⎧-==y x 又 2),(-==y x f A xx ，0),(==y x f B xy ，2),(-==y x f C yy ，及4)()2,2(2-=--AC B ，则点)2,2(-位极大值点，极大值为8)2(2)]2(2[4)2,2(22=-----=-f .2.求幂级数∑∞=-12)1(n nnn x 的收敛半径及收敛域.解：令 1-=x t ，则nn nn nn t n n x ∑∑∞=∞==-11212)1(，由于212)1(2limlim11=+=+∞→+∞→n n n nn n n n a a ，则收敛半径2=R .又当2-=t 时，级数∑∞=-1)1(n nn收敛，当2=t 时，级数∑∞=11n n发散，所以)2,2[-∈t ，即级数的收敛域为)3,1[-.3.设),()sin(yx x xy z ϕ+=，其中),(v u ϕ具有二阶偏导数，求yx z ∂∂∂2.解：),(1),()c o s (21yx x yyx x xy y xz ϕϕ'+'+=∂∂，)(),(1),(1)(),()sin()cos(222222122yx yx x yyx x yyx yx x xy xy xy yx z -⋅''+'--⋅''+-=∂∂∂ϕϕϕ五、（本题5分）求函数2),(22+-=y x y x f 在椭圆域}14|),{(22≤+=yx y x D 上的最大值和最小值.解：由于x y x f x 2),(=，y y x f y 2),(-=，令,0),(0),(⎩⎨⎧==y x f y x f y x 在D 内求得驻点)0,0(. 在D 的边界上，设)14(2),,(2222-+++-=yx y x y x F λλ，得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+==+-==+=)3(014),,()2(0212),,()1(022),,(22y x y x F y y y x F x x y x F yx λλλλλλ 当0≠x ，由（1）得1-=λ，代入（2）得0=y ，在代入（3）得⎩⎨⎧=±=01y x ；同理当0≠y 得⎩⎨⎧±==20y x ；由于2)0,0(=f ， 3)0,1(=±f ， 2)2,0(-=±f ，所以最大值为3，最小值为2-.六、（本题5分）设在上半平面}0|),{(>=y y x D 内，函数),(y x f 具有连续偏导数，且对任意的0>t 都有),(),(2y x f t ty tx f -=，证明对D 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L ，都有0),(),(=-⎰dy y x xf dx y x yf L.解：由格林公式，对D 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L ，⎰⎰⎰----±=-1)],(),(),(),([),(),(D y x Ldxdyy x yf y x f y x xf y x f dyy x xf dx y x yf .dxdy y x yf y x xf y x f y D x )],(),(),(2[1---±=⎰⎰ （*）由于函数),(y x f 具有连续偏导数，且对任意的0>t 都有),(),(2y x f t ty tx f -=，即),(),(2ty tx f y x f t =上式两端对t 求导有),(),(),(221ty tx f y ty tx f x y x tf '+'= 特取1=t 得),(),(),(2y x yf y x xf y x f y x += 由（*）式既有0),(),(=-⎰dy y x xf dx y x yf L。

全国985重点大学-西北工业大学-高等数学第二学期期终考试试卷答案及评分标准

高等数学2009--2010第二学期期终考试试题答案及评分标准A卷一、1、-8，2、，3、，4、8π，5、，6、。

二、1, 2、，3、，4、，5、3，6、[]2121+-，，缺闭区间扣一分。

三、1、解：设切点…………………2分由已知条件得：，得到.………..4分切平面方程为即……………..6分2、解：……………..3分……………..6分3、解：………………4分………………6分四、1、解：g f fy xx u v∂∂∂=+∂∂∂，g f fx yy u v∂∂∂=-∂∂∂，…………….2分vfvfxvufxyufyx∂∂+∂∂+∂∂∂+∂∂=∂∂2222222222g,vfvfyvufxyufxy∂∂-∂∂+∂∂∂-∂∂=∂∂2222222222g, ………………..5分222222g gx yx y∂∂+=+∂∂………………6分2．解：设dydppyp=''=',y，………………………2分得到舍去）(,0y==+ppdydp，解得ycp1=，由初始条件yy21,21c1='=，………………………4分100(,)dy f x y dx⎰83π12eπ+1415-{}00000(,,),,2,1P x y z n x y=-224000sind d drππθϕϕ⎰⎰143π0021221x y-==-2230x y z+--=2200002,1, 3.2xx y z y===+=2(2)2(1)(3)0x y z-+---=231131()12yyyydy e dxy y e dy e∂=-=-⎰⎰⎰8232008222336dz d drz dzπθππ==⎰⎰⎰2y1=-22c x y +=, 由初12=c , 其特解为1,12+=+=x y x y 或。

……………………..6分3.、解：由xQ y p ∂∂=∂∂，得x e x f x f x f =-'-'')()()（，………………2分 x x x e y e c e c Y 21,221-=+=*-, 由初始条件61,3221-==c c , x x x e e e x f 216132)(2--=- ……….4分 (1,1)(0,0)()2()()x f x f x e ydx f x dy ''⎡⎤+++⎣⎦⎰ =⎰-+=-+--101212216134216134e e e dy e e e ）. ……………….6分五、解：1151lim lim (1)55n n n n n na n a n ++→∞→∞⋅==+⋅, ∴收敛半径为5R =…………………..2分当5x =-时, 15n n ∞=∑发散; 当5x =时,11(1)5n n n -∞=-⋅∑收敛 ∴收敛区间为(5,5]-…………………………………………………4分设和函数1111111100110(1)()(1)55 [(1)][(1)()]5551 ln(1), (5,5]5515n n n n n n n n n x x n n n n n n x x S x x x n n t x t x dt dt n x x dt x x t -∞∞+-==∞∞---==-==-⋅⋅'=-=-⋅==+∈-+∑∑∑∑⎰⎰⎰………..…7分 …………………….8分六、解：设旋转曲面S 的方程为 12222=++z y x ，--------------------1分给定的方向 )0,21,21(0-=l方向导数函数 )(2c o s c o s c o s y x zf y f x f l f -=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂γβα --------2分设)12()(2222-+++-=z y x y x L λ， ---------------3分令 ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=++==∂∂=+-=∂∂=+=∂∂1202022042222z y x z zL y y L x x L λλλ ------------------4分解之得 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=02242z y x λλ 23±=λ ------------------6分 23=λ，得S 上的点为)0,36,66(-，此时3-=∂∂l f 23-=λ，得S 上的点为)0,36,66(-，此时3=∂∂lf 所以，所求的S 上的点为)0,36,66(- ------------------7分七、解：……………………3分………………………6分………………………7分(2009)(1)2010ae f =000()()(x)lim ()(1)()lim lim x x x x x f x x f x f x f x e f x e x x ∆→∆∆→∆→+∆-'=∆-∆=+∆∆(x)()(0),(),(0)0,0..x x x f f x f e y ax c e f c y axe ''=+=+=∴== 111100(x)(1)(1)(1)!!x x x x n n n n f axe aexe ae x e aee x x ae ae n n ---+∞∞=====-+--=+∑∑n=100(1)(1)=ae (1)!!(1)(1),.!n nn nn x x ae n n n x ae x R n ∞∞=∞=--+-+-=∈∑∑∑。

2020西北工业大学高等数学试题

1复习试题1. 填空题(1)方程32210x x +++=在实数范围内实根的个数为1;(2) 平面曲线ln(1)y x x =+在区间(1,)−+∞是凹的. 解 (1)令32()21,f x x x =+++ 则有2(1)20,(0)10,()320,f f f x x ′−=<=>=++>由零点定理及函数的单调性可知, 方程()0f x =在区间(,+)−∞∞内有唯一实根(1,0),ξ∈− 即原方程实根的个数为1.(2) 函数ln(1)y x x =+的定义域为(1,+).−∞ 22ln(1),.1(1)x xy x y x x +′′′=++=++ 易知当(1,+)x ∈−∞时, 0,y ′′> 因此曲线ln(1)y x x =+在整个定义域(1,+)−∞上是凹的.2. 请在下列题中选择四个结论中正确的一个:(1) 设函数()f x 在[0,1]上满足()0,f x ′′> 且(0)0,f ′= 则(1),(0),f f ′′ (1)(0)f f −或(0)(1)f f −的大小顺序是( B ).(A)(1)(0)(1)(0);f f f f ′′>>− (B)(1)(1)(0)(0);f f f f ′′>−> (C)(1)(0)(1)(0);f f f f ′′−>> (D)(1)(0)(1)(0).f f f f ′′>−>(2) 函数()f x 在点0x x =处取得极大值, 则( D ) .0(A)()0;f x ′= 0(B)()0;f x ′′< 0(C)()0f x ′=且0()0;f x ′′< 0(D)()0f x ′=或不存在.(3) 设函数()f x 具有三阶连续导数, 且()f x 满足等式2()[()],f x f x x ′′′+= 又(0)0,f ′= 则( C ).(A)(0)f 是()f x 的极大值; (B)(0)f 是()f x 的极小值; (C)点(0,(0))f 是曲线()y f x =的拐点;(D)(0)f 不是()f x 的极值, 点(0,(0))f 也不是曲线()y f x =的拐点. 解 (1) 对函数()f x 在[0,1]应用拉氏中值定理, 可得(1)(0)(),(0,1).f f f ξξ′−=∈因为()0,f x ′′> 故()f x ′在[0,1]上单调增加, 所以当[0,1]x ∈时, (1)()(1)(0)(0),f f f f f ξ′′′>=−> 即应选B.2(2) 根据函数取得极值的必要条件可知, 应选D. (3) 已知等式两端关于x 求导一次, 可得()2()() 1.f x f x f x ′′′′′′+=在已知等式及上式中令x=0, 可得(0)0,(0)1,f f ′′′′′== 即00()(0)()(0)limlim 10,0x x f x f f x f x x→→′′′′′′−′′′===>−由极限的保号性知, ()f x ′′在0x =两侧邻近处异号, 所以(0,(0))f 是曲线()y f x =的拐点. 又根据泰勒公式, 有22()()()(0)(0)(0),2!2!f f f x f f x x f x ξξ′′′′′=++=+ 其中ξ介于x 与0之间. 由极值的定义知, (0)f 不是()f x 的极值, 故应选C.3. 设()f x 在[0,1]上连续, 在(0,1)内可导, 且1(0)(1)0,()1,2f f f === 试证至少存在一点(0,1),ξ∈ 使() 1.f ξ′=解令()(),F x f x x =− 易知()F x 在[0,1]上连续, 在(0,1)内可导, 且(0)(0)00,F f =−= 1111()()0,2222F f =−=> (1)(1)110.F f =−=−<由零点定理知, 在1(,1)2内至少存在一点,η 使得()0.F η= 对()F x 在[0,]η上用一次罗尔中值定理, 可知至少存在一点(0,),ξη∈ 使()()10,F f ξξ′′=−=即() 1.f ξ′=4. 设()f x 在[,]a b 上连续, 在(,)a b 内可导, 证明存在(,),a b ξ∈ 使得11[()()]()().n n n n b f b a f a n f f b aξξξξ−′−=+− 解令()(),n F x x f x = 依题可知()F x 在[,]a b 上连续, 在(,)a b 内可导, 由拉氏中值定理, 可知至少存在一点(,),a b ξ∈ 使1()()()()(),()n n F b F a F n f f b a ξξξξξ−−′′==+−故命题成立.5. 设0,a b << 函数()f x 在[,]a b 上连续, 在(,)a b 内可导, 试利用柯西中值定理证明: 存在一点(,),a b ξ∈ 使得()()()ln .bf b f a f aξξ′−=解令()ln ,F x x = 依题可知(),()f x F x 在[,]a b 上连续, 在(,)a b 内可导, 且当(,)x a b ∈时, 1()0,F x x′=> 由柯西中值定理, 可知至少存在一点(,),a b ξ∈ 使3()()()()(),1()()()f b f a f f f F b F a F ξξξξξξ′′−′===′−故命题成立.6. 求下列极限:(1) 11lim();1ln x x x x→−− (2) 11lim ()(0,0);x x x x a b a b →+∞−>> (3) 21lim (sin cos );x x x x→∞+ (4) 1ln(1lim;arccot x x x →+∞+ (5) 11112lim ,nxx x xn x a a a n →∞⎛⎞++⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠其中12,,,0.n a a a > 解 (1) 001111ln 11ln 1lim()lim = lim11ln (1)ln ln x x x x x x x x x x x x x x x→→→−++−−=−−−+ 0011ln ln 11lim=lim =.ln 1ln 112x x x x x x x x x →→+=+−++(2) 1111011220211ln ()ln ()lim()limlim11xx xx x x x x x a a b b a b x x x a b xx →+∞→+∞→+∞−−−−−==−11lim(ln ln )ln .xxx aa ab b b→+∞=−=(3) 21ln(sincos )210lim ln(sincos lim (10x x x x x x x x→∞→∞++=∵ 22221121cos ()sin ()2cos sinlimlim 2,21121(sin cos )()sin cosx x x x x x x x x x x x x →∞→∞−−−−===+−+ 221lim (sincos =e .x x x x→∞∴+4(4) 2020211()11ln(1)11limlim lim 1.1arccot (1)1x x x x x x x x x xx →+∞→+∞→+∞−+++===+−+ (5) 1111111212ln()ln 0lim ln(lim(10xxx x xx n nx x a a a a a a nnx n nx→∞→∞++++−= ∵ 111112221111221(ln ln ln )()lim1()()xxxn n x xxx na a a a a a x n a a a x →∞+++−=++−1212ln ln ln ln(),nn a a a na a a n+++==1111212lim .nxx x xn n x a a a a a a n →∞⎛⎞++⎜⎟∴=⎜⎟⎜⎟⎝⎠7. 在区间(,)−∞+∞内方程1142cos 0x x x +−=有几个实根?解令1142()cos ,f x x x x =+− 则()f x 在(,)−∞+∞上连续, 且为偶函数, 只需考虑它在[0,)+∞上的零点情况.当0x >时, 314211()sin .42f x x x x −−′=++显然(0)10,f =−<(1)2cos10,f =−> 且当(0,1)x ∈时, ()0,f x ′> 因此函数()f x 在(0,1)内有且仅有一个实根. 当1x ≥时, 11421,x x +> 而cos 1,x ≤ 因此当1x ≥时, ()0,f x > 即()f x 在[1,)+∞上无实根. 综上所述, ()f x 在[0,)+∞上有且仅有一个实根. 因此原方程在(,)−∞+∞上有且仅有两个实根.8. 试讨论方程e (0)x x a a −=>有几个实根. 解令()e ,x f x x a −=− 则有()e (1).x f x x −′=−5令()0,f x ′= 可得唯一驻点为1,x = 且当(,1)x ∈−∞时, ()0,f x ′> 当(1,)x ∈+∞时, ()0,f x ′< 因此1(1)e f a −=−为函数的极大值.又lim (),lim (),x x f x f x a →−∞→+∞=−∞=−所以1(1)e f a −=−也是函数的最大值(即点1(1,e )a −−为曲线()f x 的最高点), 且曲线有水平渐近线.y a =− 因此当1(1)e 0,f a −=−< 即1e a −>时, 方程e (0)x x a a −=>无实根;当1(1)e 0,f a −=−= 即1e a −=时, 方程e (0)x x a a −=>有且仅有一个实根; 当1(1)e 0,f a −=−> 即10e a −<<时, 方程e (0)x x a a −=>有两个实根.9. 试问a 为何值时, 函数1()sin sin 33f x a x x =+在π3x =处取得极值? 它是极大值还是极小值? 并求此值.解若函数1()sin sin 33f x a x x =+在π3x =处取得极值, 则应有π3π()(cos cos3)0,3x f a x x =′=+= 因此 2.a = 又()2sin 3sin 3,f x x x ′′=−−π()0,3f ′′=< 故π(3f 是极大值,10. 单调函数的导数是否必为单调函数? 研究下面的例子: ()sin .f x x x =+解单调函数的导数未必为单调函数, 如函数()sin ,f x x x =+ 由于()1cos 0,f x x ′=+≥ 因此函数()f x 在整个定义域上是单调增加的. 但其导函数()f x ′是周期函数, 显然不是单调函数.11. 问,a b 为何值时, 点(1,3)为曲线32y ax bx =+的拐点? 解若点(1,3)为曲线32y ax bx =+的拐点, 则应有321111()3,(62)0,x x x x y ax bx y ax b ====⎧=+=⎪⎨′′=+=⎪⎩ 即3,620,a b a b +=⎧⎨+=⎩ 从而可得39,.22a b =−= 12. 求抛物线2,y =ax bx c ++ 使它和sin y x =在点π(,1)2处有共同的切线和相6等的曲率.解依题, 要使抛物线过点π(,1),2 则应有2π2()1,ax bx c ++= 要使抛物线和曲线sin y x =在点π(,1)2处有共同的切线和相等的曲率, 则应有ππ22332222ππ22(2)cos ,2sin ,[1(2)](1cos )x x x x ax b x a x ax b x ====⎧+=⎪⎪⎪⎪−⎨=⎪⎪+++⎪⎪⎩从而可得方程组2ππ1,42π0,21,a b c a b a ⎧++=⎪⎪⎪+=⎨⎪=⎪⎪⎩ 解得21ππ,,1.228a b c =±==±∓ 此时抛物线的方程为221ππ1228y x x =−++或221ππ1.228y x x =−++−13. 试证明下列不等式:(1) 当1x <时, 1e ;1x x≤− (2) 当1x >时,ln(1).ln 1x xx x+>+ 解 (1) 作辅助函数()e (1)1,x f x x =−− 考察1x <时函数的性态.令()e 0,x f x x ′=−= 可得唯一驻点为0,x = 且当(,0)x ∈−∞时, ()0,f x ′> 当(0,1)x ∈时, ()0,f x ′< 因此(0)0f =为函数在(,1)−∞上的极大值, 也是最大值. 故当1x <时, ()(0)0,f x f <= 即e (1)1,x x −< 因此1e .1x x≤− (2) 作辅助函数()ln ,g x x x = 考察1x >时函数的性态. 易知当1x >时, ()ln 10,g x x ′=+> 所以()g x 在(1,)+∞上是单调增加的, 故当1x >时, (1)(),g x g x +> 即(1)ln(1)ln ,x x x x ++> 从而有 ln(1).ln 1x xx x+>+ 14. 设()f x 在[,)a +∞上二阶可导, 且()0,()0,f a f a ′>< 又当x a >时()0,f x ′′< 证明方程()0f x =在(,)a +∞内必有且仅有一个实根.7解因为当x a >时, ()0,f x ′′< 所以()f x ′在(,)a +∞上单调减少, 故当x a >时, ()()0,f x f a ′′<< 从而()f x 在(,)a +∞上单调减少.注意到()0,f a > 根据零点定理, 只需说明存在一点, 使得该点处的函数值为负即可. 由图 3.11可以看出, 曲线()f x 在点 (,())a f a 处的切线与x 轴交点的横坐标b 处, 应有()0.f b <下面证明这一结论.曲线在点(,())a f a 处的切线方程为()()().y f a f a x a ′−=−上式中令0,y = 可得().()f a b a f a =−′显然.b a >将函数()f x 在x a =处展成一阶泰勒公式, 有2()()()()()(),2!f f x f a f a x a x a ξ′′′=+−+− 其中ξ介于x 与a 之间. 在上式中令,x b = 则依题有22()()()()()()()()()()()()2!()2!f f a f f b f a f a b a b a f a f a b a f a ξξ′′′′′′=+−+−=+−+−′2()()0.2!f b a ξ′′=−< 于是我们有()0,()0,f a f b >< 根据零点定理及函数的单调性可知, 方程()0f x =在(,)a +∞内必有且仅有一个实根.15. 设函数()f x 在[,]a b 上连续, 在(,)a b 内可导, 且()()1,f a f b == 试证明存在,(,),a b ξη∈ 使得e [()()] 1.f f ηξηη−′+=解令()e (),x F x f x = 依题可知()F x 在[,]a b 上连续, 在(,)a b 内可导, 由拉氏中值定理, 可知至少存在一点(,),a b η∈ 使()()(),()F b F a F b a ξ−′=−即 e ()e ()e e ==e [()()].b a b a f b f a f f b a b aηηη−−′+−−再对函数()e x g x =在[,]a b 上应用一次拉氏中值定理, 可知至少存在一点(,),a b ξ∈ 使图3.118e e =e .b a b aξ−−以上两式相除, 便得e [()()] 1.f f ηξηη−′+=。

(整理)西北工业大学考试试题(卷)-空间解析几何

注：1.命题纸上一般不留答题位置，试题请用小四、宋体打印且不出框。
2.命题教师和审题教师姓名应在试卷存档时填写。共页第页
西北工业大学命题专用纸
四、（10分）设一平面过直线，且与曲面：相切于点，试求的值。
五、（10分）求二次曲面上平行于向量的直母线方程（先判断它存在）。
六、（10分）求以直线为中心轴，并且过点的圆柱面的一般方程。
（二）安全评价的基本原则
4）按执行性质分。环境标准按执行性质分为强制性标准和推荐性标准。环境质量标准和污染物排放标准以及法律、法规规定必须执行的其他标准属于强制性标准，强制性标准必须执行。强制性标准以外的环境标准属于推荐性标准。
（一）建设项目环境影响评价的分类管理
2.量化环境影响后果
第五章环境影响评价与安全预评价
2.已知向量，，则以此两向量为边的三角形的面积为
3.已知为三阶方阵，且，则
4.已知二次曲面是一个锥面，则该锥面的顶点坐标为
5.已知三阶实对称矩阵的特征根分别为-1，1，2，并且矩阵，
则行列式 =。
二、（10分）已知，且，求矩阵。
三、（10分）若直线过点，且与直线垂直相交，求直线的标准方程，以及直线与所决定的平面的一般方程。
九、（15分）由椭球面的中心（即原点），沿某一方向到曲面上的一点的距离是，设定方向的方向余弦分别为，，，求证
二、环境影响评价的要求和内容
教务处印制共页第页
诚信保证
本人知晓我校考场规则和违纪处分条例的有关规定，保证遵守考场规则，诚实做人。本人签字：
编号：
西北工业大学考试试题（卷）
20－20学年第学期
开课学院课程学时
考试日期考试时间小时考试形式（）（）卷

西安工业大学高数期末考试题和答案试题

高等数学（Ⅱ）期末参考答案一、填空题（每小题3分，共36分）1.=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→∞→x y x xy 11lim ==⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞→∞→∞→∞→⋅∞→∞→01lim111lim 11lim e xy xy yxyy x yxy y x y x 1 .2.函数),(y x z z =由方程0sin =+x y e xz 确定，则=-=-=∂∂xz z y xe x y x F F y z cos 1xz ex x y 2cos - . 3.设函数222lnz y x u ++=，则它在点)1,1,1(0-M 处的方向导数的最大值为33. 4.设函数y xy ax x y x f 22),(22+++=在点)1,1(-处取得极值，则常数=a 5-.5.空间曲线x z x y -==1,222在点)22,1,21(处的切线方程为 212211121--=-=-z y x .6.改变积分次序：==⎰⎰-dy y x f dx I x x 2202),(dx y x f dy y y ⎰⎰-+--2211111),( .7.设平面曲线L 为下半圆周21x y --=，则=⋅=⋅=+⎰⎰π2221211)(LLds ds y x π . 8.设∑为曲面22y x z +=在10≤≤z 的部分，则⎰⎰∑=xdS 0 .9.设,0,10,)(⎩⎨⎧<≤<≤-=-ππx x e x f x 则其以π2为周期的傅里叶级数在π=x 处收敛于 )1(21πe + . 10.设321,,y y y 是微分方程)()()(x f y x q y x p y =+'+''的三个不同的解，且≠--3221y y y y 常数，则微分方程的通解为 1322211)()(y y y C y y C +-+- .11.函数x x f -=21)(展开为x 的幂级数的形式为)2,2(2101-∈∑∞=+x xn n n .12.微分方程x xe y xy =-'1的通解为 x xe Cx + . 二、计算下列各题（每小题6分，共18分）1.设),(xye xy f z =，)(x y ϕ=，其中ϕ,f 均为一阶可微函数，求dxdz . 解：)(221y x y e f xy x y f dx dz xy'+⋅'+-'⋅'= ))()(()()(221x x x e f xx x x f xyϕϕϕϕ'+⋅'+-'⋅'= 2.求曲面)(21422y x z +-=与平面2=z 所围立体的体积.解：所围立体在xoy 面的投影域4:22≤+y x D ，所围立体的体积 dxdy y x dxdy dxdy y x V D DD ⎰⎰⎰⎰⎰⎰+-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+-=)(2122)](214[2222 πππθππ4482122202202=-=-⨯=⎰⎰rdr r d3.在曲面6632222=++z y x 上第一卦限部分求一点，使该点的切平面与已知平面1=++z y x 平行.解：设曲面在第一卦限的切点的坐标为),,(z y x M ，令=),,(z y x F 6632222-++z y x ，则切平面的法向量)6,4,2(),,(z y x F F F n M z y x ==, 已知平面1=++z y x 的法向量)1,1,1(1=n依题意1//n n，即令t z y x ===161412 代入曲面方程中解的2,3,6===z y x ，即切点坐标为)2,3,6(M . 三、计算下列各题（每小题6分，共18分） 1.设Ω是由锥面22y x z +=与半球面221y x z --=围成的空间区域，∑是Ω的整个边界的外侧，求曲面积分⎰⎰∑++zdxdy ydzdx xdydz .解：已知x z y x P =),,(，y z y x Q =),,(，z z y x R =),,(，由高斯公式有dv zR y Q x P zdxdy ydzdx xdydz ⎰⎰⎰⎰⎰Ω∑∂∂+∂∂+∂∂=++)(dr r d d dv ϕϕθππsin 33122040⎰⎰⎰⎰⎰⎰==Ωππ)22(31)221(23-=⨯-⨯⨯= 2.写出级数++++43227252321的通项，判别该级数的敛散性.若级数收敛时，试求其和. 解：该数项级数的通项为nn n u 212-=；级数为正项级数，由于 21121221lim lim1=-+⋅=∞→+∞→n n u u n nn n ，由比值审敛法知该级数收敛.令)1,1()()(22)12()(211111-∈-=-=-=∑∑∑∞=∞=-∞=x x s x xs x xn x x n x s n n n n nn ，则xxx dt ntdt t s n xn n n x-===∑⎰∑⎰∞=∞=-1)(1111，于是2011)1(1)()(x dt t s dx d x s x -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰，又xxx x s n n -==∑∞=1)(12，所以)1,1()1(1)1(2)(222-∈-+=---=x x x x x x x x x s ，于是3)1(21)12()21(21221=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=-==∞=∑x n n x x x n s .3.求微分方程xe y y y 223=+'-''的通解.解：微分方程对应的齐次线性微分方程的特征方程0232=+-r r 的特征根为2,121==r r ，x e x f 2)(=的1=λ为特征方程的单根，则原方程的特解为x Axe y =*，代入原方程中得2-=A ,齐次线性微分方程的通解为xxe C e C Y 221+=,所以原方程的通解为=+=*y Y y x xxxe e C e C 2221-+.四、计算下列各题（每小题6分，共18分） 1.求函数22)(4),(y x y x y x f ---=的极值.解：由于x y x f x 24),(-=，y y x f y 24),(--=，令,0),(0),(⎩⎨⎧==y x f y x f yx 得驻点,22⎩⎨⎧-==y x又 2),(-==y x f A xx ，0),(==y x f B xy ，2),(-==y x f C yy ，及4)()2,2(2-=--AC B ，则点)2,2(-位极大值点，极大值为8)2(2)]2(2[4)2,2(22=-----=-f .2.求幂级数∑∞=-12)1(n nnn x 的收敛半径及收敛域. 解：令 1-=x t ，则 nn nn n n t n n x ∑∑∞=∞==-11212)1(，由于 212)1(2lim lim 11=+=+∞→+∞→n n n nn n n n a a ，则收敛半径2=R .又当2-=t 时，级数∑∞=-1)1(n n n 收敛，当2=t 时，级数∑∞=11n n发散，所以)2,2[-∈t ，即级数的收敛域为)3,1[-.3.设),()sin(yxx xy z ϕ+=，其中),(v u ϕ具有二阶偏导数，求y x z ∂∂∂2.解：),(1),()cos(21yxx y y x x xy y x z ϕϕ'+'+=∂∂，)(),(1),(1)(),()sin()cos(222222122yxy x x y y x x y y x y x x xy xy xy y x z -⋅''+'--⋅''+-=∂∂∂ϕϕϕ五、（本题5分）求函数2),(22+-=y x y x f 在椭圆域}14|),{(22≤+=y x y x D 上的最大值和最小值.解：由于x y x f x 2),(=，y y x f y 2),(-=，令,0),(0),(⎩⎨⎧==y x f y x f yx 在D 内求得驻点)0,0(.在D 的边界上，设)14(2),,(2222-+++-=y x y x y x F λλ，得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+==+-==+=)3(014),,()2(0212),,()1(022),,(22y x y x F y y y x F x x y x F yx λλλλλλ 当0≠x ，由（1）得1-=λ，代入（2）得0=y ，在代入（3）得⎩⎨⎧=±=01y x ；同理当0≠y 得⎩⎨⎧±==20y x ；由于2)0,0(=f ， 3)0,1(=±f ， 2)2,0(-=±f ，所以最大值为3，最小值为2-.六、（本题5分）设在上半平面}0|),{(>=y y x D 内，函数),(y x f 具有连续偏导数，且对任意的0>t 都有),(),(2y x f tty tx f -=，证明对D 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L ，都有0),(),(=-⎰dy y x xf dx y x yf L.解：由格林公式，对D 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L ，⎰⎰⎰----±=-1)],(),(),(),([),(),(D y xLdxdyy x yfy x f y x xf y x f dyy x xf dx y x yf .dxdy y x yf y x xf y x f y D x )],(),(),(2[1---±=⎰⎰ （*）由于函数),(y x f 具有连续偏导数，且对任意的0>t 都有),(),(2y x f t ty tx f -=，即),(),(2ty tx f y x f t =上式两端对t 求导有),(),(),(221ty tx f y ty tx f x y x tf '+'= 特取1=t 得),(),(),(2y x yf y x xf y x f y x += 由（*）式既有0),(),(=-⎰dy y x xf dx y x yf L。

【经典期末卷】大学高数(下)期末测试题及答案

第 1 页（共 10 页）班级（学生填写）：姓名：学号：命题：审题：审批： ----------------------------------------------- 密 ---------------------------- 封 --------------------------- 线 ------------------------------------------------------- （答题不能超出密封线）第 2 页（共10 页）第 3 页（共 10 页）班级（学生填写）：姓名学号： ----------------------------------------------- 密 ---------------------------- 封 --------------------------- 线 ------------------------------------------------------- （答题不能超出密封线）第 4 页（共 10 页）三. 计算题（一）（每小题6分，共36分）1.计算：22xy De d σ+⎰⎰，其中D 是由圆周224x y +=所围成的闭区域。

2.计算三重积分xdxdydz Ω⎰⎰⎰，其中Ω为三个坐标面及平面21x y z ++=所围成的闭区域。

3.计算xyzdxdydz Ω⎰⎰⎰，其中Ω是由曲面2221x y z ++=，0,0,0x y z ≥≥≥所围成.第 5 页（共 10 页）班级（学生填写）：姓名学号： ----------------------------------------------- 密 ---------------------------- 封 --------------------------- 线 ------------------------------------------------------- （答题不能超出密封线）4.求2d d Dxx y y⎰⎰，其中D 为1xy =，y x =及2x =所围成的区域。

陕西省西安市西北工业大学2025届数学高三上期末复习检测试题含解析

陕西省西安市西北工业大学2025届数学高三上期末复习检测试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若向量(1,5),(2,1)a b ==-，则(2)a a b ⋅+=（）A ．30B ．31C ．32D ．332．设集合{|0}A x x =>，{}2|log (31)2B x x =-<，则（）．A ．50,3AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭ B ．10,3A B ⎛⎤= ⎥⎝⎦C ．1,3A B ⎛⎫⋃=+∞ ⎪⎝⎭ D ．(0,)A B =+∞3．已知集合{}2|230A x x x =--<，集合{|10}B x x =-≥，则()A B ⋂=R（）. A ．(,1)[3,)-∞+∞ B ．(,1][3,)-∞+∞ C ．(,1)(3,)-∞+∞D ．(1,3) 4．已知抛物线2()20C x py p ：＝＞的焦点为1(0)F ，，若抛物线C 上的点A 关于直线22l y x +：＝对称的点B 恰好在射线()113y x ≤＝上，则直线AF 被C 截得的弦长为（） A ．919 B ．1009 C ．1189 D ．12795．如图，四边形ABCD 为正方形，延长CD 至E ，使得DE CD =，点P 在线段CD 上运动.设AP x AB y AE =+，则x y +的取值范围是（）A ．[]1,2B ．[]1,3C ．[]2,3D ．[]2,46．已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，且()()2224m f m f f n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭⋅=，当01x <<时，()0f x <.若()42f =，则函数()f x 在[]1,16上的最大值为（）A ．4B ．6C ．3D ．87．若平面向量,,a b c ，满足||2,||4,4,||3a b a b c a b ==⋅=-+=，则||c b -的最大值为（） A ．523+ B ．523- C ．2133+ D ．2133-8．做抛掷一枚骰子的试验，当出现1点或2点时，就说这次试验成功，假设骰子是质地均匀的.则在3次这样的试验中成功次数X 的期望为（）A ．B ．C ．1D ．2 9．已知函数，其中04?,?04b c ≤≤≤≤，记函数满足条件：(2)12{(2)4f f ≤-≤为事件A ，则事件A 发生的概率为A ．14B ．58C ．38D ．12 10．若2332a b a b +=+，则下列关系式正确的个数是（） ①0b a << ②a b = ③01a b <<< ④1b a <<A ．1B ．2C ．3D ．411．若将函数()2sin 16f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象上各点横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（）A ．函数()g x 在0 6π⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增 B ．函数()g x 的周期是2π C ．函数()g x 的图象关于点 012π⎛⎫- ⎪⎝⎭，对称 D ．函数()g x 在0 6π⎛⎫ ⎪⎝⎭，上最大值是1 12．已知函数1()2x f x e x -=+-的零点为m ，若存在实数n 使230x ax a --+=且||1m n -≤，则实数a 的取值范围是（）A ．[2,4]B ．72,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．7,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[2,3]二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2024届陕西省西安市西北工业大学附属中学数学高三上期末复习检测试题含解析

2024届陕西省西安市西北工业大学附属中学数学高三上期末复习检测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知在平面直角坐标系xOy 中，圆1C ：()()2262x m y m -+--=与圆2C ：()()22121x y ++-=交于A ，B 两点，若OA OB =，则实数m 的值为（） A ．1B ．2C ．-1D ．-22．函数()y f x =()x R ∈在(]1∞-，上单调递减，且(1)f x +是偶函数，若(22)(2)f x f -> ，则x 的取值范围是（） A ．（2，+∞） B ．（﹣∞，1）∪（2，+∞） C ．（1，2）D ．（﹣∞，1）3．已知0.212a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，120.2b -=，13log 2c =，则( )A ．a b c >>B ．b a c >>C ．b c a >>D ．a c b >>4．已知随机变量X 的分布列是X12 3P1213a则()2E X a +=（） A ．53B ．73C ．72D ．2365．刘徽(约公元225年-295年)，魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一他在割圆术中提出的，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作，割圆术的核心思想是将一个圆的内接正n 边形等分成n 个等腰三角形(如图所示)，当n 变得很大时，这n 个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想，得到sin 2的近似值为（）A ．π90B ．π180C ．π270D ．π3606．直三棱柱111ABC A B C -中，12CA CC CB ==，AC BC ⊥，则直线1BC 与1AB 所成的角的余弦值为（） A ．55B ．53C ．255D ．357．已知函数3ln ()3ln x a x f x a x x=-+-在区间()1,+∞上恰有四个不同的零点，则实数a 的取值范围是（） A ．(,3)(3,)e +∞ B ．[)0,eC ．()2,e +∞D ．(,){3}e -∞8．数列{a n }是等差数列，a 1＝1，公差d ∈[1，2]，且a 4+λa 10+a 16＝15，则实数λ的最大值为（） A ．72B ．5319C ．2319-D ．12-9．很多关于整数规律的猜想都通俗易懂，吸引了大量的数学家和数学爱好者，有些猜想已经被数学家证明，如“费马大定理”，但大多猜想还未被证明，如“哥德巴赫猜想”、“角谷猜想”.“角谷猜想”的内容是：对于每一个正整数，如果它是奇数，则将它乘以3再加1；如果它是偶数，则将它除以2；如此循环，最终都能够得到1.下图为研究“角谷猜想”的一个程序框图.若输入n 的值为10，则输出i 的值为（）A ．5B ．6C ．7D ．810．已知{}n a 为等比数列，583a a +=-，4918a a =-，则211a a +=（） A ．9B ．－9C ．212D ．214-11．已知数列{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列，{}n b 是以1为首项，2为公比的等比数列，设n n b c a =，12n n T c c c =+++()*n ∈N ，则当2020n T <时，n 的最大值是（）A ．8B ．9C ．10D ．1112．已知函数31()sin ln 1x f x x x x +⎛⎫=++⎪-⎝⎭，若(21)(0)f a f ->，则a 的取值范围为（） A ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭B ．()0,1C ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

西北工业大学咸阳启迪中学2025届高一数学第一学期期末综合测试试题含解析

A. 2 6 25
C.
24
25
B.
12 25
D.
6
10．下列命题为真命题的是（）
A.若 a b 0 ，则 ac2 bc2
B.若 a b 0，则 1 1 ab
C.若 a b ，则 a b
D.若 a b ，则 a2 b2
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。
375
π 12
2π
rad
故选：B
7、B
【解析】先求出 sin 3，cos 4 ，再对四个选项一一验证即可.
5
5
【详解】因为 (0, ),sin cos 1 ，又 sin2 cos2 1， 5
解得： sin 3，cos 4 .
5
5
故 A 错误；
对于
B： sin
cos
3 5
13、2
【解析】
AD DC AB BC 2 取 BD 的中点 E ，连接 AE ， CE ， EC AE 2 2
2 则 AE BD ， CE BD 则 AEC 为二面角 A BD C 的平面角 AEC 90 AC AE2 EC2 2 点睛：取 BD 的中点 E ，连接 AE ， CE ，根据正方形可知 AE BD ， CE BD ，则 AEC 为二面角 A BD C 的平面角，在三角形 AEC 中求出 AC 的长．本题主要是在折叠问题中考查了两点间的距离．折叠问题要注意分清在折
【详解】∵函数 f x
3 sin2x cos2x 1
2
2
3 2
sin2x
1
cos2x 2
1 2
sin
2x
6
，
∴g（x）
sin

西北工业大学《高等数学A1》2019-2020学年第一学期期末试卷A卷

西北工业大学试卷(A 卷) 课程高等数学A(1)2019~2020学年第1学期一．填空题（每小题3分，共15分）1.21lim 1sin xx x x x →∞⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2. 设()f x 在点0x =处的导数为(0)2f '=-，则0()(0)lim2t f t f t→-=3. 反常积分()3ln edx x x +∞=⎰4. 曲线3223y x =在区间[0,8]上的弧长为5. 设()f x 是连续函数，且1()4()f x x f t dt =+⎰，则()f x =二．选择题（每小题3分，共15分） 1．若()2sin ln 1()sin ln 2x f x dx x C x =+⎰则()f x = （）（A ）x ln （B ）()ln sin x （C ）()cos ln x （D ）()sin ln x 2. 曲线422=++y xy x 在点(2,-2)处的切线的方程为 ( )(A)04=--y x ; (B)0=+y x ; (C)04=+-y x ; (D)0=-y x 。

3．曲线2)2(14--=x x y （）(A) 只有水平渐近线 (B) 只有垂直渐近线(C) 没有渐近线 (D) 有水平渐近线也有垂直渐近线4. 设,0>a 则lim1nnn a a →∞=+（）（A ）0 （B ）1 （C ）∞ （D ）由a 的取值确定 5. 设f (x )为偶函数，g (x )为奇函数，则下列函数中肯定为奇函数的是（） (A) f [g (x )] (B) g [g (x )] (C) f [f (x )] (D) g [f (x )]题号一二三四五六总分得分三、计算（每小题6分，共30分） 1．求极限20sin limsin xx t dtx x→-⎰2．求极限()()()20525212lim 21n n n n →∞--+3. 设y e=，试求微分.dy4. 已知函数()y f x 由参数方程21arctan x e t y t t ⎧=+⎨=-⎩所确定，试求二阶导数221t d ydx =。

高等数学作业册自测题（西工大）参考附标准答案

高等数学作业册自测题（西工大）参考附标准答案高等数学（Ⅱ）期末自测题参考答案（选自西北工业大学2005级高数考题）一、填空题（每小题3分，共36分）1.=???? ??+∞→∞→x y x xy 11lim ==+=+∞→∞→∞→∞→?∞→∞→01lim111lim 11lim e xy xy yxyy x yxy y x y x 1 .2.函数),(y x z z =由方程0sin =+x y e xz 确定，则=-=-=??xz z y xe x y x F F y z cos 1xz ex x y 2cos - . 3.设函数222lnz y x u ++=，则它在点)1,1,1(0-M 处的方向导数的最大值为33. 4.设函数y xy ax x y x f 22),(22+++=在点)1,1(-处取得极值，则常数=a 5-.5.空间曲线x z x y -==1,222在点)22,1,21(处的切线方程为212211121--=-=-z y x .6.改变积分次序：==-dy y x f dx I x x 2202),(dx y x f dy y y ?-+--2211111),( .7.设平面曲线L 为下半圆周21x y --=，则=?= =+??π2221211)(LLds ds y x π . 8.设∑为曲面22y x z +=在10≤≤z 的部分，则??∑=xdS 0 .9.设,0,10,)(?<≤<≤-=-ππx x e x f x 则其以π2为周期的傅里叶级数在π=x 处收敛于)1(21πe + . 10.设321,,y y y 是微分方程)()()(x f y x q y x p y =+'+''的三个不同的解，且≠--3221y y y y 常数，则微分方程的通解为 1322211)()(y y y C y y C +-+- .11.函数x x f -=21)(展开为x 的幂级数的形式为)2,2(2101-∈∑∞=+x xn n n .12.微分方程x xe y xy =-'1的通解为 x xe Cx + . 二、计算下列各题（每小题6分，共18分）1.设),(xye xy f z =，)(x y ?=，其中?,f 均为一阶可微函数，求dxdz . 解：)(221y x y e f x y x y f dx dz xy'+?'+-'?'= ))()(()()(221x x x e f xx x x f xy'+?'+-'?'= 2.求曲面)(21422y x z +-=与平面2=z 所围立体的体积.解：所围立体在xoy 面的投影域4:22≤+y x D ，所围立体的体积dxdy y x dxdy dxdy y x V D DD +-=???-+-=)(2122)](214[2222πππθππ4482122202202=-=-?=??rdr r d3.在曲面6632222=++z y x 上第一卦限部分求一点，使该点的切平面与已知平面1=++z y x 平行.解：设曲面在第一卦限的切点的坐标为),,(z y x M ，令=),,(z y x F 6632222-++z y x ，则切平面的法向量)6,4,2(),,(z y x F F F n M z y x ==,已知平面1=++z y x 的法向量)1,1,1(1=n依题意1//n n，即令t z y x ===161412 代入曲面方程中解的2,3,6===z y x ，即切点坐标为)2,3,6(M . 三、计算下列各题（每小题6分，共18分） 1.设Ω是由锥面22y x z +=与半球面221y x z --=围成的空间区域，∑是Ω的整个边界的外侧，求曲面积分∑++zdxdy ydzdx xdydz .解：已知x z y x P =),,(，y z y x Q =),,(，z z y x R =),,(，由高斯公式有dv zR y Q x P zdxdy ydzdx xdydz Ω∑+??+??=++)(dr r d d dv ??θππsin 33122040==Ωππ)22(31)221(23-=?-= 2.写出级数++++43227252321的通项，判别该级数的敛散性.若级数收敛时，试求其和. 解：该数项级数的通项为nn n u 212-=；级数为正项级数，由于 21121221lim lim1=-+?=∞→+∞→n n u u n nn n ，由比值审敛法知该级数收敛.令)1,1()()(22)12()(211111-∈-=-=-=∑∑∑∞=∞=-∞=x x s x xs x xn x x n x s n n n n nn ，则xxx dt ntdt t s n xn n n x-===∑?∑?∞=∞=-1)(1111，于是2011)1(1)()(x dt t s dx d x s x -= =?，又xxx x s n n -==∑∞=1)(12，所以)1,1()1(1)1(2)(222-∈-+=---=x x x x x x x x x s ，于是3)1(21)12()21(21221=-+=-==∞=∑x n n x x x n s .3.求微分方程xe y y y 223=+'-''的通解.解：微分方程对应的齐次线性微分方程的特征方程0232=+-r r 的特征根为2,121==r r ，x e x f 2)(=的1=λ为特征方程的单根，则原方程的特解为x Axe y =*，代入原方程中得2-=A ,齐次线性微分方程的通解为xxe C e C Y 221+=,所以原方程的通解为=+=*y Y y x x x xe e C e C 2221-+.四、计算下列各题（每小题6分，共18分） 1.求函数22)(4),(y x y x y x f ---=的极值.解：由于x y x f x 24),(-=，y y x f y 24),(--=，令,0),(0),(??==y x f y x f yx 得驻点,22-==y x又 2),(-==y x f A xx ，0),(==y x f B xy ，2),(-==y x f C yy ，及4)()2,2(2-=--AC B ，则点)2,2(-位极大值点，极大值为8)2(2)]2(2[4)2,2(22=-----=-f .2.求幂级数∑∞=-12)1(n nnn x 的收敛半径及收敛域. 解：令 1-=x t ，则 nn nn n n t n n x ∑∑∞=∞==-11212)1(，由于212)1(2lim lim 11=+=+∞→+∞→n n n nn n n n a a ，则收敛半径2=R .又当2-=t 时，级数∑∞=-1)1(n n n 收敛，当2=t 时，级数∑∞=11n n发散，所以)2,2[-∈t ，即级数的收敛域为)3,1[-.3.设),()sin(yxx xy z ?+=，其中),(v u ?具有二阶偏导数，求y x z 2. 解：),(1),()cos(21yxx y y x x xy y x z ??'+'+=??，)(),(1),(1)(),()sin()cos(222222122yxy x x y y x x y y x y x x xy xy xy y x z -?''+'--?''+-=五、（本题5分）求函数2),(22+-=y x y x f 在椭圆域}14|),{(22≤+=y x y x D 上的最大值和最小值.解：由于x y x f x 2),(=，y y x f y 2),(-=，令,0),(0),(==y x f y x f yx 在D 内求得驻点)0,0(.在D 的边界上，设)14(2),,(2222-+++-=y x y x y x F λλ，得=-+==+-==+=)3(014),,()2(0212),,()1(022),,(22y x y x F y y y x F x x y x F yx λλλλλλ 当0≠x ，由（1）得1-=λ，代入（2）得0=y ，在代入（3）得??=±=01y x ；同理当0≠y 得?±==20y x ；由于2)0,0(=f ，3)0,1(=±f ， 2)2,0(-=±f ，所以最大值为3，最小值为2-.六、（本题5分）设在上半平面}0|),{(>=y y x D 内，函数),(y x f 具有连续偏导数，且对任意的0>t 都有),(),(2y x f tty tx f -=，证明对D 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L ，都有0),(),(=-?dy y x xf dx y x yf L.解：由格林公式，对D 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L ，----±=-1)],(),(),(),([),(),(D y xLdxdyy x yfy x f y x xf y x f dyy x xf dx y x yf .dxdy y x yf y x xf y x f y D x )],(),(),(2[1---±=?? （*）由于函数),(y x f 具有连续偏导数，且对任意的0>t 都有),(),(2y x f tty tx f -=，则该式两端对t 求导有),(2),(),(321y x f t ty tx f y ty tx f x --='+'特取1=t 得0),(2),(),(=++y x f y x yf y x xf y x由（*）式既有0),(),(=-?dy y x xf dx y x yf L。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

8．______________________
9. ______________________ 二、选择题(每小题 4 分, 共 40 分) 题号答案 1 2 3 4
10._______________________
5
6
7
8
9
10
教务处印制
共6页
第 4页
西北工业大学命题专用纸
三、 (10 分) 计算曲面积分
′′ ′′ ′ (D) 2 x 2 f12 + xyf 22 + f 2
1 x2
g′
y x3
g ′′ .
∫∫
D
R 2 x 2 y 2 d x d y, 其中 D 是由圆周 x 2 + y 2 = R y 所围成的闭区域，则
有 I =（
(A) 0;
）
(B)
1 3 ； R （3 π 4） 9
(C)
1．______________________
2．______________________
3．______________________
4．______________________
5．______________________
6．______________________
7．______________________
1
3
2 x 1
e y d y = ____________;
2
8. 设 L 为取顺时针方向的圆周 x 2 + y 2 = 2 在第一象限中的部分，则曲线积分
∫ x d y 2 y d x = ________;
L
共6页第 1页
西北工业大学命题专用纸
9. 设
是由 z = x 2 + y 2 , z = 1, z = 4 所围成的区域，则
(C) 点 ( 2 , 2 ) 是 f ( x, y ) 的驻点，且为极大值点; (D) 点 ( 0 , 0 ) 是 f ( x, y ) 的驻点，但不是极值点.
教务处印制
共 6页
第 2页
西北工业大学命题专用纸
4. 设函数 u = xy 2 z , 则它在点 (1,1,1) 处的方向导数的最大值为(
)
2. 设函数f ( x, y )在点(0,0)的某邻域内有定义，且 f x (0,0) = 2, f y (0,0) = 1, 则 (
(A) (B)
d f ( x, y )
f l
( 0, 0 ) =
2dx + dy ;
= 2 cos α + cos β , 其中 cos α, cos β为l 的方向余弦;
诚信保证
本人知晓我校考场规则和违纪处分条例的有关规定，保证遵守考场规则，诚实做人。本人签字：编号：
西北工业大学考试试题（西北工业大学考试试题（卷）
2006-2007 学年第二学期期中
开课学院考试日期理学院课程高等数学(下) 2007 年 5 月 16 日考试时间 2 小时
成绩
学时 90 考试形式（闭） A ）卷（
(D)
教务处印制
共 6页
第 3页
西北工业大学命题专用纸
10. 曲面 z = x 2 + y 2 被柱面 z 2 = 2 x 割下的有限部分的面积为 (
(A) 2 π ; (B) 4 π ; (C) 2 2 π ; (D)
2π.
)
答题纸
考生班级题号得分一学二号三姓四名总分
一、填空题(每小题 4 分, 共 40 分)
3. 设 z =
1
(1,1,1) =
________________;
y f (x2 y 2 )
，其中 f 具有连续导数，则
z = ______________ ; x
4. 抛物面 z = x 2 + y 2 在点_______________处的切平面平行于平面 2 x 2 y + z = 0 ;
2z =( xy
)
1 x
2
′′ ′′ (A) 2 x 2 f12 + xyf 22
g′
y x
3
g ′′ ;
′′ ′′ (B) 2 x 2 f12 + xyf 22
y x3
g ′′ ;
(C) 7. 设 I =
′′ ′′ 2 x 2 f12 + xyf 22
1 x
2
g′ x
y x
3
g ′′ ; xy
(A) 5. 3; (B) 4; (C) 1; (D) 6.
)
设 z = z ( x, y )由方程 y + z = xf ( y 2 z 2 )确定，f可微，则x (A) x ; (B) y;
z z +z =( x y
)
(C) z; (D) 1. y 6. 设 z = f ( x 2 , xy ) + g ( )，其中f具有二阶连续偏导数，g具有二阶连续导数，则 x
( 0, 0 )
z = f ( x, y ) (C) 曲线在点(0,0, f (0,0))的切向量为 (0, 2, 1); x = 0
(D)
f ( x, y )在点(0,0)沿x轴负方向的方向导数为 2.
)
3. 设 f ( x, y ) = x 3 4 x 2 + 2 xy y 2 , 则下面结论正确的是 ( (A) 点 ( 0 , 0 ) 是 f ( x, y ) 的极大值点; (B) 点 ( 2 , 2 ) 是 f ( x, y ) 的极小值点;
3 3 3 Σ
答案写在答题纸上, 写在题后无效. 二、选择题 (每小题 4 分, 共 40 分) 答案写在答题纸上, 写在题后无效. 每小题 x2 y , x2 + y2 ≠ 0 2 2 1. 二元函数 z = x + y ) 在点(0, 0)处 ( 0, 2 2 x +y =0
(A) 不连续； (C) 连续且偏导数存在，但不可微； (B) 连续，但偏导数不存在； (D) 可微.
I = ∫∫ 2 x 3 d y d z + 2 y 3 d z d x + 3( z z = 1 y 2 其中 Σ是由曲线绕 z 轴旋转一周而成的旋转曲面( z ≥ 0)的上侧. x=0
教务处印制
共 6页
第 5页
四、(10 分)
设
: x 2 + y 2 + z 2 ≤ 4, 证明
5. 曲线 y 2 = 2mx, z 2 = m x在点(1, 2, 1) 处的切线方程为 ___________________; 6. 设函数 f ( x, y ) = 2 x 2 + ax + xy 2 + 2 y 在点(1,-1)取得极值,则常数 a =__________;
7.
∫ ∫
dx
1 3 ； R （3 π 4） 9
（ D）
π 3 R . 3
8. 设 Σ : x 2 + y 2 + z 2 = a 2 ( z ≥ 0) ， Σ1 为 Σ 在第一卦限中的部分，则有（ (A)
）
∫∫ y d S = 4∫∫ y d S ;
Σ Σ1
(B)
∫∫ y d S = 4∫∫ x d S
Σ Σ1 Σ Σ1
∫∫∫ f ( x, y, z )dxdydz 在柱面坐
标系中的三次积分表达式为______________________________________________; 10. 设 Σ 为球面 x 2 + y 2 + z 2 = R 2 的内侧, 则
∫∫ x dydz + y dzdx + z dxdy = __________.
;
(C)
∫∫ z d S = 4∫∫ y d S ;
Σ Σ1
(D)
∫∫ xyz d S = 4∫∫ xyz d S .
9. 设 L为闭曲线 y = 1 x 2 (1 ≤ x ≤ 1) 取逆时针方向，则
∫
L
2 xdx + ydy =( 2x2 + y2
4 ln 2 .
)
(A) 0;
(B) 2 π;
(C) - 2 π;
答案写在答题纸上, 写在题后无效. 一、填空题(每小题 3 分, 共 30 分) 答案写在答题纸上, 写在题后无效. 填空题每小题 xy = _______ ; 1. lim 2 x →0 x + y2 y →0 x z 2. 设 f ( x, y, z ) = , 则 d f ( x, y, z ) y
32 3 2 π≤ 3
∫∫∫
3
xy z 2 + 6 d v ≤
64 π. 3
教务处印制
共 6页
第 6页