微分几何第二章曲面论第二节曲面的第一基本形式复习课

t1 2
等距
A(t0 )
u, v ) (C ) r P(
B ( t1 ) ( S ) : r r (u, v )
r [u(t ), v(t )]
s AB
t0 t1
du dv du dv E 2F G dt dt dt dt dt
2.曲面上曲线的弧长
du dv du dv s E 2F G dt t0 dt dt dt dt 3.曲面上两方向的夹角
t1
2
2
cos
Eduu F (duv dvu) Gdvv Edu2 2Fdudv Gdv 2 Eu 2 2Fuv Gv 2
作业
P81：
1, 3, 4, 5, 9, 10
2.6 保角变换
定义 曲面( S )与( S )之间的一个变换， 则称这个变换 如果使曲面上对应曲线 的交角相等， 为保角变换 (或保形变换或共形变换 ). 定理 两个曲面之间的变换是 保角变换 它们第一基本形式成比 例. 2 “ ” 若第一基本形式成比例 ， 证： 则 (u, v ) 0, I I .
又 x OP cosv 2 R tanu cosv y OP sinv 2 R tanu sinv
z
u
平面的参数表示为： . P ( x, y, z ) x 2 R tanu cosv y O y 2 R tan u sin v , 易计算出： . P ( x, y,0) v . P ( x , y,0) z0 x 球面的第一基本形式为 ： I ds2 4R2 (du2 sin2 u cos2 udv2 ), 平面的第一基本形式为 ： 2 4R 2 2 2 2 2 I ds ( du sin u cos udv ), 4 cos u 1 的一个保角变换. I I . 球极投影是球面到平面 4 cos u
cos

E duu F (duv dvu) G dvv E du 2 2F dudv G dv 2 E u 2 2F uv G v 2 Eduu F (duv dvu) Gdvv
Edu2 2Fdudv Gdv 2 Eu 2 2Fuv Gv 2 cos
是正交网 EC 2FB GA 0 2 2 命题2 曲线族A(u, v )du B(u, v )dv 0 ( A B 0) 正交轨线族的微分方程 是 ( BE AF )u ( BF AG )v 0.
5.曲面域的面积
EG F 2 dudv
注
由此定理可知，曲面的 内蕴量和内蕴性质 在等距变换下不变 , 也称为等距不变量 .
例： 求正螺面 ( S ) : r {u cosv , u sinv , av} G : u, v t t 与悬链面( S ) : r {a cosh cos , a cosh si n , t } a a G : t ,0 2 之间的一个等距变换 . 解： 正螺面( S )的第一基本形式为： 2 2 2 2 I du (u a )dv .
推论 (1) 曲面在一点的两个 (切)方向互相垂直 Eduu F (duv dvu) Gdvv 0. (2) 经过同一点的两条坐标 曲线的交角 由下式确定： F cos EG (3) 曲面( S )的(曲纹)坐标网是正交网 F 0. 4.正交曲线网与正交轨线 命题1 曲面上的曲线网 A(u, v )du2 2B(u, v )dudv C(u, v )dv2 0 ( B2 AC 0) （*）
P ( d ) (C 1 ) ( S ) : r r (u, v )
(C 2 )
( ) (C 2 ) P (d ) (C1 )
( S ) : r r (u, v )
E duu F (duv dvu) G dvv 0 Eduu F (duv dvu) Gdvv 0 ( E u Fv )du ( Fu G v )dv 0 即 ( Eu Fv )du ( Fu Gv )dv 0 E du Fdv Fdu G dv 0 u, v不全为零， Edu Fdv Fdu Gdv ( EF EF )du2 ( EG EG )dudv ( FG FG )dv 2 0 由du, dv的任意性得： EF EF 0, EG EG 0, FG FG 0. E F G 2 2 即 I I. ( u, v ) 0, E F G
对于悬链面 ( S ), t t rt {si n h cos , si n h si n ,1} a a t t r { a cosh si n , a cosh cos ,0} a a
2 2 t 2 t E rt si n h 1 cosh , F rt r 0, a a 2 2 2 t G r a cosh , a 悬链面( S )的第一基本形式为： I du2 (u2 a 2 )dv2 . 2 t 2 2 2 t I cosh dt a cosh d 2 a a t 2 2 2 2 t d (a cosh ) (a a sinh )d 2 a a t u a cosh u t 令 a () 0 v 2 0 2 v 则有I du2 (u2 a 2 )dv2， 即I I . 故(*) 式给出了 ( S )与 ( S )之间的一个等距变换 .
2 2
2
du dv du dv E 2F G dt s A B t (a, b). t0 dt dt dt dt Edu2 2Fdudv Gdv 2 E du2 2Fdudv G dv 2 对任意的du : dv恒成立. E E , F F , G G , 即I I .
第二章
曲面论
§2 曲面的第一基本形式
主要内容
1.第一基本形式； 2.曲面上曲线的弧长； 3.曲面上两方向的交角； 4.正交曲线网和正交轨线； 5.曲面域的面积； 6.等距变换和保角变换.
复习
1.曲面的第一基本形式
式. I Edu2 2Fdudv Gdv 2 称为曲面的第一基本形 2 2 量. E ru , F ru rv , G rv 称为曲面的第一类基本
推论: 曲面间的等距变换必为 保角变换. ). (证明略) (1)两曲面间一定存在保角 变换(小范围内 注 (2) 保角变换保持对应图形 的某种近似、相似性 . 证明球极投影是球面到 平面的一个保角变换 . 例： z 证: 易见： x OP cosv y OP sinv u z PP OP sinu . P ( x, y, z ) 而OP OP cosu 2 R sin u cos u y O . P ( x, y,0) 球面的参数表示为： v . P ( x , y,0) x x 2 R sinu cos u cosv y 2 R sinu cos u sinv (0 u ,0 v 2 ) z 2 R sin2 u 2
A( t 0 )
. B( t 1 ) ( S ) : r r (u, v )
2
0
( S ) : r r (u, v )
2
s AB
t1
t0 t1
du dv du dv E 2F G dt dt dt dt dt
2 2
即E 2 E , F 2 F , G 2G , 设(C1 )与(C1 )及(C2 )与(C2 )是任意两对对应曲线，
对应交角分别为与 ,

(C 2 ) (C 1 ) ( S ) : r r (u, v )

(C 2 ) (C1 )
( S ) : r r (u, v )
du dv du dv s A B E 2F G dt t0 dt dt dt dt I I , E E , F F ,G G , s AB s A B , 故两曲面之间的变换是 等距变换.
“ ”
d) P(u, v ) ( (C ) r r [u(t ), v(t )] A( t 0 ) B( t1 ) ( S ) : r r (u, v )
D
6.等距变换 定义 曲面( S )与( S )之间的一个变换， 如果它保持曲面上任意 一条曲线的长度不变， 则称这个变换为等距变 换 (或保长变换). 这两个曲面称为等距等 价的曲面 .
定理 两个曲面之间的变换是 等距变换
经过适当选择参数, 它们有相同的第一基本 形式. “ ” 证： (C ) r r [u(t ), v(t )] . B ( t1 ) (C ) r r [u(t ), v(t )] A(t )