猪的最佳销售时机

数学建模论文肥猪的最佳销售时机

作者:詹伟龙叶玲玲郑浩彬

摘要

猪的商业性饲养和销售的主要目的是获得最大利润，建立其最大利润方程得到猪的最佳销售时机具有十分重要的意义。

猪的利润由销售额和饲养成本决定，而这两者均受诸多因素影响，为简化模型，以每头猪所获得的利润为研究对象，销售额在排除市场的影响后只由猪销售时的体重决定，而猪的体重随时间的变化可以用logistic模型来模拟，这样就解决了猪的销售额。

另一方面，猪的饲养成本由猪仔的购价和饲料决定，而每头猪每天消耗的饲料随猪的三个生长阶段（小猪，中猪，大猪）而变化，由此建立分段函数来解决猪的饲养成本。所以，最大利润为销售额与饲养成本之差，通过以每头猪所获得的利润为目标函数来解决销售的最佳时机。

为减少繁琐的计算及画图问题，我们在模型求解过程中使用了Matlab软件。

关键词：肥猪最佳销售时机；饲料消耗；Logistic模型；利润；生长曲线；体重；生长量

一、问题重述和分析

一般从事猪的饲养和销售总希望获得利润，因此饲养某种猪是否获利，怎样

获得最大利润，是饲养者必须考虑的问题。如果把饲养技术水平，猪的性质等因

素看成不变的，且不考虑市场的需求变化，那么影响获利大小的一个主要因素是

如何选择猪的售出时机，即何时把猪卖出获利最大。也许有人认为，猪养的越大，

售出后获利愈大，其实不然，因为随着猪的生长，单位时间消耗的饲养费用也就

愈多，但同时其体重的增长速度却不断下降，所以饲养时间过长是不合算的。 考

虑某个品种猪的最佳销售时机的数学模型。

要求猪的最佳销售时机，目标是寻求最大利润的取得，由此实际上需要找出

收入和支出分别是什么，受什么影响。为了简化问题，我们只考虑一头猪的利润，

并且做了一系列的理想化的假设，比如生猪价格固定等，所以收入与猪的体重成

正比，而成本则由固定成本（如猪仔价格，防疫费用）和变化成本（主要是饲料

的消耗）组成，最终问题转化成建立猪的生长模型和饲料消耗模型。通过查阅大

量相关资料，我们选择了用Logistic 模型来模拟猪的生长情况，而对于后者，

我们对实际原始数据进行了分析，建立了较理想的模型。而对于最优化的出售时

机，可以考虑最大总利润的时间。

二、模型假设

1. 不考虑猪的品种和猪的公母的区别

2. 在养猪期间，猪正常生长，不考虑猪生病或其他因素造成的成本

3. 猪是从猪仔饲养时的各生理条件一致

4. 每只猪的销售价格是紧仅由它的重量决定

5. 成本主要由饲料和猪仔价格决定

6. 生猪的价格固定，且其销售不受市场供求关系影响

7. 体重的绝对增重规律：一般体重的增长是慢—快—慢的趋势。

三、符号说明

●

C ：饲养成本； ●

S ：销售价格； ●

P ：利润值； ● dN/dt ：表明为猪生长速度；

● )(t N ：是猪的日龄称重；

● t ：为时间,用来表示猪的生长日龄,记刚买进仔猪的时间00 t ;

● r ：为瞬间相对生长速度(近似),若自出生开始分析,则为出生时的相对生长

速度,若自受精开始分析,则为受精卵的相对生长速度；

● 0N ：是猪的个体初始体重；

● m N ：是猪成熟体重。

四、模型建立求解

⑴销售利润模型

由利润=销售价格-成本

得

=（1.1）

P-

S

C

其销售价格与猪的质量有关，设猪在t天时的质量是N（t），销售价格为一公斤a元，销售价格是关于质量的一次函数，即

S=（1.2）

)(t

aN

猪的饲养成本为仔猪的价格和饲料的成本之和，由于猪在成长阶段的每个时期，每天所吃的饲料的数量f并不相同，而是随着猪的体重有所变化，所以f是质量N的函数，即)

f,对于猪的采食量（即猪消耗的饲料），我们从网上查到

(N

录），发现效果比较理想，由此把该拟合的线性关系作为体重和饲料消耗量的关系。数据拟合图线如下：

每天饲料消耗量随体重变化图

图一

由图形曲线可以设猪的日采食量)

N的关系为

(t

f与猪的重量)

(N

)

(（1.3）

f+

=)(

N

pN

t

q

根据附录1的Matlab程序可以得到

p0.0307

=

q0.2965

=

故

(+

=t

)

f（1.4）

N

N

2965

.0

)(

.0

0307

饲料的总数量是)

f关于变量N的积分，即

(N

(

=（1.5）

⎰

Y)

dN

N

f

联立（1.4）与（1.5），又根据实际资料显示，当猪的重量达到100kg时，需要食用的饲料为260kg，所以有

=t

+

(+

N

t

Y（1.6）N

)(

.0

)

77

.

2965

.0

01535

)(

85

设饲料的价格为每公斤b 元,仔猪的价格为0C ，所以

0)(C dN N f b C +=⎰ （1.7）

综上所述可知

0)()(C dN N f b t aN P --=⎰ （1.8）

联立式子（1.4）和（1.7）

⎪⎩

⎪⎨⎧--=+=⎰0)()(2965.0)(0307.0)(C dN N f b t aN P t N N f 得

085.77)2965.0)(01535.0)(()(C t N t bN t aN P -++-= （1.9）

⑵猪的生长模型

实际中猪的生长变化规律是很复杂的，一般的，猪的体重会随着时间t 的增

加而增加。由于动物生长到一定程度后（即猪成熟之后），体重的增长速率下降

知道不再增加而慢慢老化。假设当时间m t t →时，猪的体重达到最大N （t ）

m N →，为了简化模型，可以把猪的生长速率设为

))(1(),(m

N t N r N t v -= （2.1） 当式子中的m t t →时，)(t N m N →，，从而),(N t v →0。

于是猪的生长模型可以用Logistic 模型来表示，其微分方程表示为:

⎪⎩

⎪⎨⎧=-==0)0())(1)(()(),(N N N t N t rN t N N t v dt

dN m （2.2） 方程（2.2）可用分离变量法求解得到

)()10

(1)1(00)(0t t r e N N N rt e N N rt e N N t N m m m m ---+=-+= （2.3） 由（2.2）式子可以得出

))(21)()(1)((02

2m m N t N N t N t N r dt N d --= （2.4） 当022=dt

N d 时，说明此时猪的增长速率最大，是“体重的增长是慢—快—慢