第7章：静电场后半部解析

外
q
0
E外S外
4r 2E外
故有：E外
q
4 0r 2
即球外电场大小与球心距的平
方反比，相当于球体电荷集中
于球心时产生的电场。
R
E外
q
E内
E外
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•第二次作业 p.32 应用高斯定理求对称场强 7-12,7-13,7-15,7-16,7-18
e
S
E dS
球面
q
4 0r 2 dS
q
4 0 R2
dS
球面
q
4 0 R2
4R 2
q
0
q•
这个结果表明，穿越所有同心球 面的电通量相等，即从点电荷q
出发的电场线连续地延伸到无限
远处，既不中断，也不增生。 6/70
q•
S’
q•
S’’
若闭曲面S’不是球形，但仍将 点电荷q包含在内，由电场线 的不中断性可知，其上的总 通量与球面的总通量相同。
的方向；
2. 空间点电场线的密度，等于该点电场强度的大小：
E dN dS
。dS┴为垂直于该点电场方向的面元，
dN为穿越dS┴的电场线根数。
3. 电场线从正电荷出发，终止于负电荷。几种典型
的静电场的电场线分布如教材p.12图7-10所示。
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• 定义：穿越任意曲面S的电场线的根数，称为静电场通过 该面的通量e. 由于电场一般不是均匀的，通量的微分定 义（小局域定义）为：
S
E dS
1
0
q内
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• 高斯定理不是独立的物理定律，而是基于库仑定 律的数学演绎结果。提出高斯定理的意义在于， 它可帮助我们极大地简化关于静电场的计算。
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• 现就一个点电荷产生的静电场推出高斯定理：
以点电荷q为中心作一半径为R的
球面。按电通量定义，穿越球面
R
的总电通量应为：
q•
r
E内=0
S”
E外故有
q
4 0
r
2
r R
E外
可见，均匀带电球面外的电场，相当于全部电荷集中在
球心时产生的场。当r从外面R时，得到带电球面外侧
的电场
E球面外侧
q
4 0 R2
红色矢量线族为所求电场分布
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• 例题2 求均匀带电实心球体的电场分布
球体电荷体密度为 q,R已知。
q
4R3
3
解. 先求球内的电场E内。 取 同 心 球 面 r<R （ 红 色 ）
• e de E dS
•
S
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• 见教材p.14图7-15. 在曲面为封闭面的情况下，
规定从内到外的通量为正，从外到内的通量为负。
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7.3.3 高斯定理
• 静电场的高斯定理：在真空静电场中，通过任意
封闭曲面的总电通量，与该曲面包围的电荷的代
数和成正比，比例系数为1/0 :
e
de=EdS┴=dN=EdScosθ=E·dS
dS=dSen
θ dS
dS┴的投影。θ是面元dS的外法向与电 场强度矢量方向的夹角（教材p.13图7-12）.
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• 曲面S上的总通量便为：
e de E dS
S
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• 通过封闭曲面S的电通量可表示为：
q 4R 2
，q,R
S
R
S’
E内
q E外
内
q内
0
E内S内
4 r 2 E内
因q内=0,故有E内=0. （r<R） 13/70
另 选 同 心 球 面 r>R （ 绿 色 球 面
S”）为高斯面。由对称性知，
绿色球面上处处E外 等值，且 方向垂直高斯面。于是高斯定
理给出
外
q
0
E外S外
4r 2 E外
R
• 电荷连续分布时，上式右边的求和用积 分取代。
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高斯面上各点的电场强度E是由曲 面内外所有电荷共同产生的，与这些电 荷的分布有关；但高斯定理告诉我们： 曲面上的总电通量只与曲面内的电荷代 数和有关，与内外电荷分布均无关。这 表明静电场是有源场，正电荷是正源， 负电荷是负源。
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• 高斯定理可形象地比喻如下：设想 一个稳定流动的水体，其中有泉眼 ，也有漏水口。水体中任意封闭曲 面上的总水流出量只与曲面内的泉 眼和漏水口总量有关，与曲面内外 泉眼与漏水口的分布无关。
为高斯面。其内包围的电
荷量为
R
E内 q
Q
4r 3
3
q
4R 3
4r 3
3
q
r3 R3
3
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由对称性和高斯定理得：
内
Q
0
E内S内
4r 2E内
R
E内
q
Q
r
故有： E内 4 0r 2 q 4 0R3
即球内电场大小与球心距成正比。
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再求球外的电场E外。取 同心球面r>R（黄色）为 高斯面。其内包围的电荷 量为q. 由对称性和高斯定理得：
若 闭 曲 面 S’’ 不 是 球 形 ， 且 不 包含点电荷q，由电场线的不 中断性可知，进出其上的通 量相抵，总通量为零。于是 高斯定理适用于任意封闭面。
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• 由叠加原理知，当封闭曲面内存在多个 分立点电荷时，曲面上的总电通量为 （教材p.15）:
q
e E dS
S
0
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7.3 静电场的高斯定理
•高斯定理是由库仑定律推出的重 要结果。它不仅揭示了静电场的 本质，证明了静电场是有源场， 而且为简化对称条件下静电场的 计算作出了重大贡献。这是本章 重点内容之一。
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•7.3.1~7.3.2 电场线和电通量
• 电场线是在静电场空间内作的曲线族，满足条件： 1. 曲线上任意点的切线方向，就是该点电场强度
得。于是由高斯定理，有ES=q/ε0,从而求得电场分布：
E q / 0S
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• 例题1. 求均匀带电球面S的电场分布
图示为空心球面，电荷面密度为常值 已知。
解. 题给条件对球面中心具有对称 性。先计算球内电场E内 。选同心 球面r<R（红色球面S’）为高斯面。 由对称性知，红色球面上处处E内 等值，且方向垂直高斯面呈辐射 状。于是高斯定理给出
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7.3.4 利用高斯定理求静电场的分布
• 考虑电荷分布具有中心对称，或柱面对称，或反射对称
的情形。在这种情况下，存在一些特殊形状的高斯面
（用以计算总通量的封闭曲面），其上电场强度的方向
与曲面正交，数值处处相同；且高斯面的面积极易求得；
从而总通量
e E dS ES
S
• 另一方面，高斯面包围的电荷代数和q，可由题给条件求
• 更深刻的分析表明，高斯定理不仅适用于静 电场，在存在运动电荷的空间内也成立。可 见，高斯定理与库仑定律不完全等价。只是 在静电场情况下它们等价。而在解决某些实 际问题方面，高斯定理远优于库仑定律，它 将复杂的积分运算简化为简单的代数运算。
• 用高斯定理求解电荷对称分布时的电场分布 问题，计算十分简单。本课程要求同学们对 这一类问题的求解方法熟练掌握。