控制系统的稳定性

本章内容
一、介绍系统稳定性的基本概念，判断系统稳定性的 基本出发点
明 确
二、系统稳定的充分必要条件
三、代数判据（Routh、Hurwitz判据） 四、Nyquist判据的基本原理和方法，Bode判据
重点 掌握
五、相对稳定性的概念
六、掌握相位裕量和幅值裕量的概念及计算方法
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5-1. 系统稳定性的基础概念
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若 x0 (t ) C 或等幅振荡 临界稳定状态。 但由于参数变化等原因，等幅振荡不能维持
不稳定。
(t )
L
L[ (t )] 1
n Cn Ci S Sn i 1 S Si
C1 C2 X 0 ( s) S S1 S S2
L1 n x0 (t ) Ci e Sit
S n 2 S n 1S n )
i j k i 1, j 2, k 3

n
Si S j S k
S n ) ( 1) n Si
i 1
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n
由上式可知，要使全部特征根 S1S2
必须满足如下2个条件：
Sn 均具有负实部，
(1) 特征方程的各项系数ai(i=0,…,n)不等于0.

n
Si S j ) S
n
n ２

(1)
n
S
i 1
n
i
an 1 ( S1 S 2 an an 2 S1S 2 S1S3 an
S n ) Si
i 1
S n 1S n
i j i 1, j 2

n
Si S j
an 3 ( S1S 2 S3 S1S 2 S 4 an a0 (1) n ( S1S 2 an
若有部分闭环极点位于虚轴上，而其余极点全在[s]平面左半 部时，便会出现前边所述的临界稳定性状态，系统处于等幅振 荡状态，从设计角度不可取（很容易转化为不稳定系统）。
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三、判别稳定性的方法
1. 直接计算或间接得知系统特征方程式的根（直接求解）
直观，对高阶系统是困难的
2. 通过系数和特征根的关系（劳斯判据） 为此，不必解出根来，而能决定系统稳定性的准则就具有 工程实际意义。
Ｓ B1 B2
1
n 3
2 Ｓ D1 D2
Ｓ E1
0 Ｓ F1
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系数Ai、Bi的计算，一进行直到其余Ai、Bi …等于0为止。
an 1an 2 an an 3 A1an 3 A ２an 1 A1 B1 an 1 A1 an 1an 4 an an 5 A1an 5 an 1 A3 A B2 ２ an 1 A1 an 1an 6 an an 7 A1an 7 an 1 A4 A B3 ３ an 1 A1
稳定的定义： 若一个系统受到扰动，偏离了原来的平衡状态，而当扰 动取消后，经过充分长的时间，这个系统又能够以一定的精 度逐渐恢复到原来的状态，则称系统是稳定的，否则不稳定。
b
b M
c a
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摆
控制系统在实际运行过程中，总会受到外部和内部
的扰动，如火炮射击时，施加给随动系统的冲击负载；
雷达天线跟踪时，突然遇到阵风。如果系统不稳定，就
会在任何微小的扰动作用下偏离原来的平衡状态，并随
时间的推移而发散。 因此，如何分析系统的稳定性，并提出保证系统稳 定的措施，是自动控制的基本任务。
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注意事项： 1.线性系统不稳定现象发生与否，取决于系统内部条件， 而与输入无关。 2.稳定性也与外加扰动无关。
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二、稳定条件
一般反馈系统的传函为：
(2)特征方程的各项系数ai(i=0,…,n)符号都相同，一般ai>0 2.充要条件：Routh阵列中第一列所有项均为正，且值不为0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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Routh阵列表
Ｓ an an -2 Ｓ an 1 an -3
n2 Ｓ A1 A2 n 1 n
an -4 an -6 an -5 an -7 A3 A4 B3 B4
i 1
x0 (t ) 0 ，只有当特征根全部为负实部 可知，要满足 lim t
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系统稳定的充要条件：稳定系统的特征方程根必须全部具 有负实部，反之，若特征根中有一个以上具有正实部时，则系 统必不稳定。
X 0 (s) 或系统传函 的极点全部位于[s]复平面的左半部。 X i (s)
n i 1
n
(
i j i 1, j 2

n
Si S j ) S
n ２

(1)
S
i 1
n
i
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sn
n
an 1 n 1 s an
n i 1

n 1
a a1 s 0 an an
i j i 1, j 2
S ( Si ) S
(
G(s) GB ( s) 1 G( s) H ( s)
X i ( s)

E (s)
G ( s)
X 0 ( s)
H (s)
设分母=0，可得出系统的特征方程：
1 G( s ) H ( s ) 0
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(一) 稳定条件： 系统的稳定性决定于特征方程。只要指出特征方程的根 落在[s]复平面的左半部分，系统即是稳定的。 (二) 分析线性稳定的条件： 设线性系统在初始条件为0时，输入一个理想单位脉冲 函数 (t ) ，这时系统的输出是单位脉冲响应，这相当于系统 在扰动信号作用下，输出信号偏离原平衡点的情形。 若线性系统的单位脉冲响应函数 x0 (t ) 随时间的推移趋 于0，即：lim x0 (t ) 0 ，则系统稳定；若 lim x0 (t ) ，则系 t t 统不稳定。
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一、劳斯判据
1、必要条件：设系统的特征方程为：
an s an1s
n
n1

a1s a0 0
(S Sn ) 0
n
an1 n1 s s an
n
a0 a1 s ( S S1 )(S S2 ) an an
n 1
S ( Si ) S
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5-2. Routh（劳斯）稳定判据 【Hurwitz（赫尔维兹）】
线性定常系统稳定
只有求出全部极点
全部特征根均具有负实部。
判稳
但阶次往往较高（实际工程中），不使用计算机直接求根较 困难（n>4），这样就提出了各种不解特征方程的根，只讨 论特征根的分布，从而判断系统稳定性的方法。
[1884，Routh提出的Routh判据；1895，Hurwitz提出Hurwitz 判据]