《基本不等式》6高中数学同课异构讲课教学课件
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
个矩形的长宽各为多少时，所用篱笆最短？最短的篱笆
是多少？
解：设矩形菜园的长为xm,宽为ym,
y
则xy 100,篱笆的长为2(x y)m
由 x y xy可得：x y 2 100
x
2
2(x y) 40
等号当且仅当x y时成立，
此时x y 10
因此这个矩形的长、宽都为10m时，
所用篱笆最短，最短篱笆是40m.
例1:（2）
已知 x 0 ，y 0 ，且 x 2 y 4 ，求 xy 的最
大值以及取得最大值时 x 和 y 的值。
应用基本不等式求最值的条件：
一正
二定三相等Fra biblioteka与b为正实数
积定和最小 和定积最大
若等号成立， a与b必须 能够相等
例2．（1）用篱笆围一个面积为100 m2的矩形菜园，问这
已知x＞1,求 x＋ 1 的最小值以及取得最小值时x的值。 x 1
解：∵x＞1 ∴x－1＞0
构造积为定值
1
1
∴x＋ x 1 ＝（x－1）＋ (x 1) ＋1
≥2
(x 1) 1 (x 1)
＋1＝3
1
当且仅当x－1＝ x 1 时取“＝”号.于是x＝2或者x＝0（舍去）
答：最小值是3，取得最小值时x的值为2
探究二
D
G
F
A
a
H
E
a2 b2
b
B
C a2 +b2 > 2ab
S四个三角形 2ab S大正方形 a2 b2
特别地，当a=b时又有怎样的结论？
D
a2 +b2 =2ab
A
a GHFE
C
b
B
一般地，对于任意实数 a, b ，我们有
a2 b2 2ab
当且仅当 a b 时等号成立
思考：如何证明？
B、6 3
C、4 6
D、18 3
课堂总结
• 知识要点：
基本不等式的条件:
一正、二定、三相等
结构特征: 和、积
• 思想方法技巧：
（1）数形结合思想 （2）转化化归思想
a
.理解基本不等式的关系: b 2 ab (a 0,b 0) ab
a
2
b
2
（a
0,
b
0）
小组评价
习题3.4：1，2，3，4
2
几何意义：圆的半径不小于圆内半弦长
我们可以得出什么样的结论呢？
ab a b (a 0,b 0) 2
（当且仅当a=b时，等号成立）
几何平均数 算术平均数
基本不等式
22..代代数数意证义明：: 几何平均数小于等于算术平均数
33..几几何何意证义明：: 半弦长小于等于半径
从数列角度看:两个正数的等比中项小于等于它们的 等差中项
这个矩形的长、宽都为9m时，
菜园面积最大，最大面积是81m2.
1、当x>0时，x 1 的最小值为 2 ，此时x= 1 。 x
2、已知 2x 3 y 2( x 0, y 0)
1
则x y 的最大值是 6
。
3、若实数 x, y ，且 x y 5，则 3 x 3 y的最小
值是（ D ）
A、10
④ 中的等号成立. 又一次得到了基本不等式
探究四
在右图中，AB是圆的直径，
点C是AB上的一点，
设 AC = a , BC = b 。
过点C作垂直于AB的弦DE，
连接AD、BD。
E
Rt三角形ACD与Rt三角形DCB相似
a CD CD b
CD2 ab CD ab
a b ab (当且仅当a b时，取" "号)
证明：
a2 b2 2ab (a b)2 0 a2 b2 2ab
当且仅当 a b时，(a b)2 0 此时
a2 b2 2ab
探究三
1.思考:如果当 a 0,b用 0 去替a ,换b
a2 b2 中2的a b ,能得a到, b什么结论?
ab a b (a 0,b 0) 2
导学案笔记本 双色笔 课本 激情
3.4基本不等式: ab a b 2
这是2002年在北京召开的第24届国际数 学家大会会标．会标根据中国古代数学家赵爽 的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个 风车，代表中国人民热情好客。
情景设置
探究一
思考：这会标中含有 怎样的几何图形？
思考：你能否在这个图 案中找出一些相等关系 或不等关系？
（2）用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个 矩形的长宽各为多少时，菜园面积最大？最大面积是 多少？
解：设矩形菜园的长为xm,宽为ym, 则2(x y) 36 x y 18, 矩形菜园的面积为S=xym2 xy x y = 18 =9 22
y
x
xy 81
当且仅当x y时等号成立，
重要不等式：a2 b2 2ab(a、b R）
当且仅当a=b时，等号成立.
基本不等式： ab a b (a 0,b 0) 2
当且仅当a =b时，等号成立.
注意：
（1）不同点：两个不等式的适用范围不同。
（2）相同点：当且仅当a=b时，等号成立。
例题讲解 通过加减项的方法配凑
例1:（1） 成基本不等式的形式.
（当且仅当a=b时，等号成立）
基本不等式
能否用不等式的性质进行证明？
证明:当 a 0,b 0时, a b ab . 分
2
析
证明:要证 a b ab ①
法
2
只要证 a b ( 2 ab ) ②
要证②，只要证 a b (2 ab) 0 ③
要证③，只要证（
a－
2
b) 0
④
显然: ④是成立的,当且仅当 a b时
是多少？
解：设矩形菜园的长为xm,宽为ym,
y
则xy 100,篱笆的长为2(x y)m
由 x y xy可得：x y 2 100
x
2
2(x y) 40
等号当且仅当x y时成立，
此时x y 10
因此这个矩形的长、宽都为10m时，
所用篱笆最短，最短篱笆是40m.
例1:（2）
已知 x 0 ，y 0 ，且 x 2 y 4 ，求 xy 的最
大值以及取得最大值时 x 和 y 的值。
应用基本不等式求最值的条件：
一正
二定三相等Fra biblioteka与b为正实数
积定和最小 和定积最大
若等号成立， a与b必须 能够相等
例2．（1）用篱笆围一个面积为100 m2的矩形菜园，问这
已知x＞1,求 x＋ 1 的最小值以及取得最小值时x的值。 x 1
解：∵x＞1 ∴x－1＞0
构造积为定值
1
1
∴x＋ x 1 ＝（x－1）＋ (x 1) ＋1
≥2
(x 1) 1 (x 1)
＋1＝3
1
当且仅当x－1＝ x 1 时取“＝”号.于是x＝2或者x＝0（舍去）
答：最小值是3，取得最小值时x的值为2
探究二
D
G
F
A
a
H
E
a2 b2
b
B
C a2 +b2 > 2ab
S四个三角形 2ab S大正方形 a2 b2
特别地，当a=b时又有怎样的结论？
D
a2 +b2 =2ab
A
a GHFE
C
b
B
一般地，对于任意实数 a, b ，我们有
a2 b2 2ab
当且仅当 a b 时等号成立
思考：如何证明？
B、6 3
C、4 6
D、18 3
课堂总结
• 知识要点：
基本不等式的条件:
一正、二定、三相等
结构特征: 和、积
• 思想方法技巧：
（1）数形结合思想 （2）转化化归思想
a
.理解基本不等式的关系: b 2 ab (a 0,b 0) ab
a
2
b
2
（a
0,
b
0）
小组评价
习题3.4：1，2，3，4
2
几何意义：圆的半径不小于圆内半弦长
我们可以得出什么样的结论呢？
ab a b (a 0,b 0) 2
（当且仅当a=b时，等号成立）
几何平均数 算术平均数
基本不等式
22..代代数数意证义明：: 几何平均数小于等于算术平均数
33..几几何何意证义明：: 半弦长小于等于半径
从数列角度看:两个正数的等比中项小于等于它们的 等差中项
这个矩形的长、宽都为9m时，
菜园面积最大，最大面积是81m2.
1、当x>0时，x 1 的最小值为 2 ，此时x= 1 。 x
2、已知 2x 3 y 2( x 0, y 0)
1
则x y 的最大值是 6
。
3、若实数 x, y ，且 x y 5，则 3 x 3 y的最小
值是（ D ）
A、10
④ 中的等号成立. 又一次得到了基本不等式
探究四
在右图中，AB是圆的直径，
点C是AB上的一点，
设 AC = a , BC = b 。
过点C作垂直于AB的弦DE，
连接AD、BD。
E
Rt三角形ACD与Rt三角形DCB相似
a CD CD b
CD2 ab CD ab
a b ab (当且仅当a b时，取" "号)
证明：
a2 b2 2ab (a b)2 0 a2 b2 2ab
当且仅当 a b时，(a b)2 0 此时
a2 b2 2ab
探究三
1.思考:如果当 a 0,b用 0 去替a ,换b
a2 b2 中2的a b ,能得a到, b什么结论?
ab a b (a 0,b 0) 2
导学案笔记本 双色笔 课本 激情
3.4基本不等式: ab a b 2
这是2002年在北京召开的第24届国际数 学家大会会标．会标根据中国古代数学家赵爽 的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个 风车，代表中国人民热情好客。
情景设置
探究一
思考：这会标中含有 怎样的几何图形？
思考：你能否在这个图 案中找出一些相等关系 或不等关系？
（2）用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个 矩形的长宽各为多少时，菜园面积最大？最大面积是 多少？
解：设矩形菜园的长为xm,宽为ym, 则2(x y) 36 x y 18, 矩形菜园的面积为S=xym2 xy x y = 18 =9 22
y
x
xy 81
当且仅当x y时等号成立，
重要不等式：a2 b2 2ab(a、b R）
当且仅当a=b时，等号成立.
基本不等式： ab a b (a 0,b 0) 2
当且仅当a =b时，等号成立.
注意：
（1）不同点：两个不等式的适用范围不同。
（2）相同点：当且仅当a=b时，等号成立。
例题讲解 通过加减项的方法配凑
例1:（1） 成基本不等式的形式.
（当且仅当a=b时，等号成立）
基本不等式
能否用不等式的性质进行证明？
证明:当 a 0,b 0时, a b ab . 分
2
析
证明:要证 a b ab ①
法
2
只要证 a b ( 2 ab ) ②
要证②，只要证 a b (2 ab) 0 ③
要证③，只要证（
a－
2
b) 0
④
显然: ④是成立的,当且仅当 a b时