高中数学配套同课异构3.2.1 立体几何中的向量方法 课件2(人教A版选修2-1)

x 0 0 0 则x=0，不妨取y 1，得z 2 1 1， x y 2 z 0 所以n=(0， - 2)
所以D1 F //n
巩固性训练1
1.设
a, b 分别是直线l1,l2的方向向量,根据下
平行 垂直
列条件,判断l1,l2的位置关系.
单位法向量。
（x，y，z） (4,5,3) 0,
1 2 x 2 y z 0 x 即 , 取z 1，得 2 4 x 5 y 3z 0 y 1
1 2 2 求平面ABC的单位法向量为 ( ， ，） 3 3 3
1 n ( , 1,1), 2
线线平行 l1 // l2 e1 // e2 e1 e2 ； 线面平行 l1 // 1 e1 n1 e1 n1 0 ； 面面平行 1 // 2 n1 // n2 n1 n2 . 设直线l的方向向量为e (a1 , b1 , c1 ), 平面的 注意：这里的线线平行包括线线重合，线面平行 法向量为n (a2 , b2 , c2 ),则 包括线在面内，面面平行包括面面重合. l // e n 0 a1a2 b1b2 c1c2 0;
3 | n | 2
问题：如何求平面的法向量？
(1)设出平面的法向量为n ( x, y, z )
(2)找出（求出）平面内的两个不共线的 向量的坐标a (a1 , b1 , c1 ), b (a2 , b2 , c2 )平面的法向
(3)根据法向量的定义建立关于x , y , z的 n a 0 a1 x b1 y c1 z 0 方程组 n b 0 a2 x b2 y c2 z 0
1 DA (1, 0, 0)， (1,1, ) DE 2 设平面ADE的一个法向量 为n=(x，y，z ) 则由n DA 0， DE 0得 n
D1
z
C1 B1 E
A1 D A
x
F B
C y
1 又因为D1 F (0, , 1) 2 所以 D1 F 平面ADE
因为方向向量与法向量可以确定直线和 平面的位置，所以我们应该可以利用直线的 方向向量与平面的法向量表示空间直线、平 面间的平行、垂直、夹角等位置关系.
那么如何用直线的方向向量表示空间 两直线平行、垂直的位置关系以及它们之 间的夹角呢？如何用平面的法向量表示空 间两平面平行、垂直的位置关系以及它们 二面角的大小呢？
l1
e1 e2
l2
l1 l2 e1 e2 e1 e2 0
l
e1
n1

Biblioteka Baidu l1 1 e1 // n1 e1 n1
n2
2
n1
1
1 2 n1 n2 n1 n1 0
第三章 空间向量与立体几何
3.2 立体几何中的向量方法（一）
前面,我们把
平面向量
推广到
空间向量
向量 渐渐成为重要工具
立体几何问题
(研究的基本对象是点、直线、平面 以及由它们组成的空间图形)
从今天开始,我们将进一步来体会向量这一工 具在立体几何中的应用.
为了用向量来研究空间的线面位置关系，首先我 们要用向量来表示直线和平面的“方向”。那么 如何用向量来刻画直线和平面的“方向”呢？
线线垂直 l1 l2 e1 e2 e1 e2 0 ；
线面垂直 l1 1 e1 // n1 e1 n1 ；
面面垂直 1 2 n1 n2 n1 n2 0. 若e (a1 , b1 , c1 ), n (a2 , b2 , c2 ),则 l e // n e n a1 a2 , b1 b2 , c1 c2 .
a1 b1 c1 当a2 , b2 , c2 0时,e // n a2 b2 c2
例5.在正方体 ABCD A1 B1C1 D1 中，E、F分别是BB1,，
CD中点，求证：D1F 平面ADE 以 证明：设正方体棱长为1， DA，DC ,DD1为单位正交 基底，建立如图所示坐标系D-xyz，则可得：
解：由题意可得 PM ( x x0 , y y0 , z z0 )， e PM 0
即( A, B, C ) ( x x0 , y y0 , z z0 ) 0
化简得：A( x x0 ) B( y y0 ) C ( z z0 ) 0
量不惟一， 合理取值即 可。
(4)解方程组，取其中的一个解，即得法向量。
例3. 在空间直角坐标系内，设平面 经过
点 P( x0 , y 0 , z 0 ) ，平面 的法向量为 e ( A, B, C )，
M ( x, y, z) 为平面 内任意一点，求 x, y, z
满足的关系式。
设直线 l1 , l 2 的方向向量分别为 e1 , e2 ，平面 1 , 2 的法向量分别为 n1 , n2 ，则
三、平行关系：
四、垂直关系： 设直线 l1 , l 2 的方向向量分别为 e1 , e2 ，平面 1 , 2 的法向量分别为 n1 , n2 ，则
证明：设正方体棱长为 1， 以 DA, DC , DD1 为单位正交基底，建立如 图所示空间坐标系 D xyz ，则 A(1,0,0), C(0,1,0),D1(0,0,1),B1(1,1,1) DB1 (1,1,1) ， AC ( 1,1, 0) ， AD1 ( 1, 0,1) DB1 AC 0 ， 所以 DB1 AC ,同理 DB1 AD1 又因为 AD1 AC A 所以 DB1 平面 ACD ,从而 DB1 是 平面 ACD1 的一个法向量.
一、直线的方向向量
空间中任意一条直线 l 的位置可以由 l 上一 个定点 A 以及一个定方向确定.
l
e
直线l上的向量 e
以及与 e 共线
e
A
的向量叫做直线l的方向向量。 B
二、平面的法向量
由于垂直于同一平面的直线是互相平行的, 所以，可以 用垂直于平面的直线的方向向量来刻画平面的“方向”。 平面的法向量：如果表示向量 n的有向线段所在直线垂 直于平面 ，则称这个向量垂直于平面 ,记作 n ⊥ ， 如果 n⊥ ，那 么 向 量 n 叫做平面 的法向量.
例2：已知 AB (2, 2,1), AC (4,5,3), 求平面ABC的
由两个三元一次方程 组成的方程组的解是 解：设平面的法向量为n x，y，z）， （ 不惟一的，为方便起 见，取z=1较合理。 则n AB， AC n 其实平面的法向量不 是惟一的。 x，y，z） (2, 2,1) 0， （
l
给定一点A和一个向量 n,那么过点A, 以向量 n 为法向量的平面是完全确定的.
n

A
几点注意： 1.法向量一定是非零向量; 2.一个平面的所有法向量都互相平行; 3.向量 n是平面的法向量，向量 m 是 与平面平行或在平面内，则有
n m 0
例 1:在正方体 ABCD A1 B1C1 D1 中，求 证： DB1 是平面 ACD1 的法向量
(1)a (2,1,2), b (6,3,6) (2)a (1,2,2), b (2,3,2) (3)a (0,0,1), b (0,0,3)
平行
巩固性训练2
2.设
u, v
分别是平面α,β的法向量,根据
下列条件,判断α,β的位置关系.
(1)u (2,2,5), v (6,4,4) (2)u (1,2,2), v ( 2,4,4) (3)u ( 2,3,5), v (3,1,4)
垂直 平行
相交
l1
l2
e1
e2
l1 // l2 e1 // e2 e1 e2
e1
n1
l1

l1 // 1 e1 n1 e1 n1 0
n1
1
2
n2
1 // 2 n1 // n2 n1 n2