人教版高中数学必修4《平面向量》课件

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人教版数学必修四平面向量的实际背景及基本概念配套PPT课件

二.形成概念
向量的几何表示：有向线段；
B
D
A
ห้องสมุดไป่ตู้
C
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二.形成概念
探究A1：观B察下列向量，向量的模：向量的大小
你能发现什么？
C
D
E
F
01
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单位长度
5X5方格纸
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规定：零向量与任意向量共线
C
F E
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单位长度
5X5方格纸
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二.形成概念
探究4：试从向量大小和方向的角度同时考虑分析下列向量
A BC
D
EF
相等向量：大小相等且方向相同的向量
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HG
单位长度
5X5方格纸
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三.概念辨析
1.请回答下列问题：（1）不相等的向量一定不平行吗？（2）与零向量相等的向量必定是什么向量？（3）两个非零向量相等的条件是什么？（4）共线向量一定在同一条直线上吗？
平面向量的实际背景及基本概念
一.感受认知
一.感受认知
一.感受认知
三孝口
大东门
万达城
一.感受认知
s
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高中数学必修四课件：第二章平面向量

专题突破
第二章章末归纳总结
数学 ·人教A版 · 必修4
专题一有关向量的共线问题已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)．若ka＋2b与2a－4b
平行，求实数k的值． [分析] 本题考查两向量的共线问题，要求学生熟练掌握
两向量共线的条件．
第二章章末归纳总结
数学 ·人教A版 · 必修4
[解析] ∵ka＋2b＝k(1,2)＋2(－3,2)＝(k－6,2k＋4)， 2a－4b＝2(1,2)－4(－3,2)＝(14，－4)， ka＋2b与2a－4b平行， ∴(k－6)(－4)－(2k＋4)×14＝0. 解得k＝－1.
→ OP
与
→ OQ
垂
直，求x的值．
第二章章末归纳总结
数学 ·人教A版 · 必修4
[解析]
∵
→ OP
＝(2cosx＋1,2cos2x＋2)，
→ OQ
＝(cosx，－
1)，
∴由两向量垂直的条件得cosx(2cosx＋1)－1×(2cos2x＋2)
＝0，
即2cos2x＋cosx－2(2cos2x－1)－2＝0.
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[解析] 解法1：∵||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|， ∴1≤|a－b|≤7. 即：|a－b|的范围是[1,7]．解法2：∵|a－b|2＝a2＋b2－2a·b ＝a2＋b2－2|a||b|cosθ ＝25－24cosθ， θ为两向量a、b的夹角，∴θ∈[0，π]， ∴|a－b|2∈[1,49]．∴|a－b|∈[1,7]．
[点拨] 本题易犯的三点错误： (1)求a＝2e1＋e2或b＝－3e1＋2e2的模时，错认为|a|＝ 22＋12 或|b|＝－32＋22 ，这是因为e1与e2不是互相垂直的单位向量，所以(2,1)或(－3,2)不是a或b的坐标，要将其转化成模的平方． (2)求点乘e1·e2时极易漏掉cosθ，应为e1·e2＝|e1||e2|cosθ(θ为e1与e2的夹角)．

高中数学第二章平面向量 2.3.1 平面向量基本定理课件新人教A版必修4

1.若向量 a，b 不共线，则 c＝2a－b，d＝3a－2b，试判断 c，d 能否作为基底．解：设存在实数 λ，使 c＝λd，则 2a－b＝λ(3a－2b)，即(2－3λ)a＋(2λ－1)b＝0，由于向量 a，b 不共线，所以 2－3λ＝2λ－1＝0，这样的 λ 是不存在的，从而 c，d 不共线，c，d 能作为基底．
探究点二用基底表示平面向量
如图所示，在▱ABCD 中，点 E，F
分别为 BC，DC 边上的中点，DE 与 BF 交于点 G，若A→B＝a，A→D＝b，试用 a，b 表示向量D→E，B→F.
[解] D→E＝D→A＋A→B＋B→E ＝－A→D＋A→B＋12B→C
＝－A→D＋A→B＋12A→D＝a－12b．
4．若 a，b 不共线，且 la＋mb＝0(l，m∈R)，则 l＝________， m＝________．答案：0 0 5.若A→D是△ABC 的中线，已知A→B＝a，A→C＝b，若 a，b 为基底，则A→D＝________．答案：12(a＋b)
探究点一对基底的理解
设 O 是平行四边形 ABCD 两对角线的交点，给出下列向
解：D→E＝D→C＋C→E＝2F→C＋C→E＝－2C→F＋C→E＝－2b＋a．
B→F＝B→C＋C→F＝2E→C＋C→F
＝－2C→E＋C→F＝－2a＋b．
用基底表示向量的两种方法 (1基底表示为止． (2)通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解.
对基底的理解 (1)两个向量能否作为一组基底，关键是看这两个向量是否共线．若共线，则不能作基底，反之，则可作基底． (2)一个平面的基底若确定，那么平面上任意一个向量都可以由这组基底唯一线性表示出来，设向量 a 与 b 是平面内两个不共线的向量，若 x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则xy11＝＝yx22.，

人教A版数学必修4PPT课件平面向量4

数λ1,λ2 ,使
a 1e1 2 e2
说明：① e1 ，e2 是两个不共线的向量； ② a 是平面内的任意向量； ③ λ1，λ2为实数，且唯一确定.
人教 A 版数学必修4 PPT课件平面向量4
人教 A 版数学必修4 PPT课件平面向量4
我们把不共线的向量 e1 ，e2 叫做这一平面内所有向量的一组基底.
一对实数
1, 2，使
a
1 e1
2
e
.
2
不共线的向量 e1,e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
言论的花，开得愈大；行为的果子，结得愈小. ——冰心
2．在等边三角形 ABC 中，A→B与B→C的夹角等于( C )
A．60°
B．90°
C．120°
D．150°
3.已知 e1 和 e2 是表示平面内所有向量的一组基底，那么下面四组向量中不能作为一组基底的是 ( C)
A．e1 和 e1＋e2 B．e1－2e2 和 e2－2e1 C．e1－2e2 和 4e2－2e1 D．e1＋e2 和 e1－e2 【解析】分析四个选项知，在 C 中，4e2－2e1＝－2(e1－2 e2)．∴e1－2 e 2 与 4 e 2－2 e 1 共线，应选 C.
种表示是否唯一？请说明理由.
1.理解平面向量的基底的意义与作用. （重点） 2.能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达．（难点） 3.初步利用定理解决问题（如相交线交成线段比的问题等）.
人教 A 版数学必修4 PPT课件平面向量共线的向量 e1,e2 与该
平面内的任一向量 a 之间的关系.
a
e1
e2
人教 A 版数学必修4 PPT课件平面向量4

人教版高中数学必修4(A版) 平面向量基本定理 PPT课件

2.3.1 平面向量基本定理
问题提出
1. 向量加法与减法有哪几种几何运算法则？ 2.怎样理解向量的数乘运算λa？
（1）|λ a|=|λ ||a|；（2）λ >0时，λa与a方向相同；
λ<0时，λa与a方向相反；
λ=0时，λa=0.
3.平面向量共线定理是什么？
非零向量a与向量b共线存在唯一实数λ ，使b＝λa. 4.如图，光滑斜面上一个木块受到的重力为G，下滑力为F1，木块对斜面的压力为F2，这三个力的方向分别如何？三者有何相互关系？
理论迁移
例1 如图，已知向量e1、e2，求作向量－2.5e1＋3e2.
C e1 e2 3e2 A －2.5e 1 O B
例2 如图，在平行四边形ABCD中， AB =a， AD =b，E、M分别是AD、DC的中点，点F在BC上，且BC=3BF，以a，b为基底分别表示向量 AM 和 EF .
若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ 2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
思考8：上述定理称为平面向量基本定理，不共线向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 那么同一平面内可以作基底的向量有多少组？不同基底对应向量a的表示式是否相同？
a
e2 a
a=λ1e1+0e2
a =0 e1 + λ 2 e2
思考7：根据上述分析，平面内任一向量a都可以由这个平面内两个不共线的向量e1，e2表示出来，从而可形成一个定理.你能完整地描述这个定理的内容吗？
若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ 2，使a＝λ1e1＋λ2e2.

人教A版高中数学必修四课件：第二章2.3.1平面向量基本定理 (共16张PPT)

x
e2
O
a 3e1 2e2
3 a x 4y 2
yn
A
a 3m 2n
当a 0时, 有且只有1 2 0时可使 0 1 e1 2 e2 , (e1 , e2不共线).
若1与2中只有一个为零 , 情况会是怎样?
若2 0, 则a 1 e1 ,即a与e1共线, 若1 0, 则a 2 e2 ,即a与e2共线,
本题在解决过程中用到了两向量共线的等价条件这一定理，并用基向量表示有关向量,用待定系数法列方程，通过消元解方程组。这些知识和考虑问题的方法都必须切实掌握好。
课堂总结 1.平面向量基本定理可以联系物理学中的力的分解模型来理解，它说明在
同一平面内任一向量都可以表示为不共
线向量的线性组合，该定理是平面向量
D
A
N M B
C
例2.用向量的方法证明: 1 平行四边形OACB中, BD BC , OD与BA 3 1 相交于E , 求证 : BE BA. 4 D B C E
O
A
例3.证明: 向量OA, OB, OC的终点A, B, C共线的等价条件是存在实数、且 1，使得 OC OA OB.

问题 3 : 设 e1 , e2 是同一平面内两个不共线的向量, a是这一平面内的任一向量, 我们来通过作图研究a与e1 , e2 之间的关系?
平面向量基本定理: 如果e1 , e2 是同一平面内两个不共线的向量, 那么对于平面内的任一向量a , 有且只有一对实数
1 , 2 , 使得a 1 e1 2 e2 .
坐标表示的基础，其本质是一个向量在
其他两个向量上的分解。
2. 在实际问题中的指导意义在于

2.1平面向量的基本概念-人教A版高中数学必修四课件(共28张PPT)

解：(1)与
uuur AB
共线的向量有
uuur BA
，uDuCur
uuur
，CE
，CuuDur
，uEuCur
，uDuEur
和
uuur ED
.
(2)与
uuur AB
相等的向量有
uuur DC
和
uuur CE
.
4.如图，半圆的直径 AB＝6，C 是半圆上的一点，D，E 分别是 AB，BC 上的点，且 AD＝1，BE＝4，DE＝3.
在物理学里，我们将既有大小,又有方向的量称为矢量(vector)，将只有大小,没有方向的量称为标量。
一、定义：在数学中，
我们将这种既有大小，又有方向的量叫做向量 (vector)
只有大小的量，例如，年龄、身高、长度、面积、体积等，称为数量。
数量与向量的区别：
数量只有大小，能比较大小；向量有方向和大小，不能比较大小。
是(
)D
A．O→C
B．O→D
C．O→B
D．C→O
[解析] O→A与C→O方向相同且长度相等，则O→A＝C→O.
3.如图，四边形 ABCD 与 ABEC 都是平行四边形，
在以 A，B，C，D，E 为起点或终点的向量中．
uuur (1)写出与向量 AB 共线的向量；
uuur (2)写出与向量 AB 相等的向量．
考点一：向量的有关概念
【例 1】给出下列命题：
①若 a≠b，则 a 一定不与 b 共线；
②若
uuur AB
＝
uuur DC
，则
A 、B、C、D
四点是平行四边形
的四个顶点；
③在平行四边形

高中数学必修四人教版第二章：平面向量4ppt课件

一.基本概念
2.零向量及其特殊性
(1)0方向任意(2)0 // a(3)0 0(4) 0 0
(5)0 a a 0 a
(6)0 0
(7)0 a 0
3.单位向量
a 与非零向量a共线的单位向量a0
|a|
一.基本概念
区分向量平行、共线与几何平行、共线
4.平行向量
运算律
| b | cos 叫做向量b在a方向上的投影
ab |a|
可正可负可为零
二.基本运算（坐标途径）
若a ( x1, y1), b ( x2 , y2 ), 则
1)a b (x1 x2 , y1 y 2 )
2)a b (x1 x2 , y1 y 2 )
利用向量分解的“唯一性”来构建实系数方程组
五.应用举例
向量加减法则
例1.如图平行四边形OADB的对角线OD、AB相交于点C,线段BC上有一点M满足BC=3BM,线段CD上有一点N满足CD=3CN,
设OA a, OB b, 试用a, b表示MN
五.应用举例
向量的长度与夹角问题

例2.
已知两单位向量a与b的夹角为120 ，若 c 2a b, d 3b a, 试求c与d的夹角的余弦值.
练习1、、若a (4,2),求与a垂直的单位向量. 变、若a (4,2),求与a平行的单位向量.
谢谢观看！
今日作业 1.系统复习平面向量一章的基础知识 2.完成《非常学案》中平面向量一章的习题周二单元检测
| a b |2 | a b |2 2(| a |2 | b |2 )
二.基本运算（向量途径）
3.实数与向量的积

高一数学人教A版必修4课件：2.3.1 平面向量基本定理

→→ 以OA，OB为邻边作平行四边形 OACB，则
→
→
OC＝a＋b，BA＝a－b.
∵|a|＝|b|，∴平行四边形OACB为菱形.
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27
∴O→C与O→A的夹角∠AOC＝60°， B→A与O→A的夹角即为B→A与B→C的夹角∠ABC＝30°.
∴a＋b与a的夹角为60°，a－b与a的夹角为30°. 反思与感悟求两个向量的夹角，关键是利用平移的方法使两个向量的起点重合，根据向量夹角的概念确定夹角，再依据平面图形的知识求解向量的夹角.过程简记为“一作二证三算”.
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16
思考 3 如图，△ABC 中，A→C与A→B的夹角与C→A与 A→B的夹角是否相同？答不相同，它们互补.A→C与A→B的夹角为∠CAB，而C→A与A→B的夹
角为 π－∠CAB.
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17
例1 已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，a＝3e1－2e2， b＝－2e1＋e2，c＝7e1－4e2，试用向量a和b表示c. 解 ∵a，b不共线，
B.45°
C.60°
D.120°
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31
1234
2.设e1、e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e1与e1 ＋e2；②e1－2e2与e2－2e1；③e1－2e2与4e2－2e1； ④e1＋e2与e1－e2.其中能作为平面内所有向量的一组基底的序号是__①__②__④___.(写出所有满足条件的序号) 解析对于③4e2－2e1＝－2e1＋4e2 ＝－2(e1－2e2)，∴e1－2e2与4e2－2e1共线，不能作为基底.
第二章平面向量

人教A版数学必修四第二章2.3《平面向量的坐标表示与运算》(共20张PPT)

解：设c→=x→a+→yb，即（4，2）=x(1,1)+y(-1,1) =(x,x)+(-y,y)
X-y=4
解得
X+y=2
X=3
y=-1
=(x-y，x+y) c→=3→a-→b,故选B
随堂演练：
1、下列说法正确的有（ B ）个（1）向量的坐标即此向量终点的坐标。（2）位置不同的向量其坐标可能相同。（3）一个向量的坐标等于它的始点坐标减去它的终点坐标。（4）相等的向量坐标一定相同。 A2、：已1 知M→NB=（：-21，2）C：，3则-3M→ND等：于4 （ C ） A3、、已（知-3a→，=3（）1B，、3）（，-6→，b=3（）-C2、，（1）3，，-则6）→b-Da→、等（于-（4，C-1）） A、（-3，2）B、（3，-2）C、（-3，-2）D、（-2，-3） 4、已知A→B=（5，7），λAB→=（10，14）则实数λ=___2_
探索研究
设得问出：向已量知a r向b r量,a ra r b r(，x1， λa→y的1)坐，标b r 表(示x2，吗？y2)，你能
r rrr rr 解： a b ( x 1 i r y 1 j ) r( x 2 i y 2 j )
(x1 x2)i(y1y2)j
即 a b (x 1 x 2 ,y 1 y 2 ) 同理可得
a b (x 1 x 2 ,y 1 y 2)
结论：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.
（2）实数与向量的积的坐标表示
r
已知 R ，向量 a (x ， y )，那么
a r _ _ ( _ x _ r i _ _ _ y _ u j r _ ) _ _ _ _ x _ r i _ _ _ _ y _ r _ j

人教A版数学必修4 课件平面向量 1

人教 A 版数学必修4 课件平面向量 1 （精品课件）
思考6：实数的加法运算满足结合律，即对任意a，
b，c∈R，都有（a＋b）＋c=a＋（b＋c）.那么向
量的加法也满足结合律吗？如何检验？
提示:
abc
（a＋ b）＋c
a＋b
O
= ( O A + A B )+ B C = O B + B C = O C；
何？(2)若向量 a 与 b 反向，则向量 a＋b 的方向如何？
提示:
（ 1） a＋ b与 a和 b同向;（2）a＋b 的方向与长度大的向
量同向.
人教 A 版数学必修4 课件平面向量 1 （精品课件）
人教 A 版数学必修4 课件平面向量 1 （精品课件）
思考4：观察下列各图，| a＋b | 与| a |＋| b | 的大小关系如何？试猜想，| a＋b | 与| a |－| b | 的大小关系如何？
DC
人教 A 版数学必修4 课件平面向量 1 （精品课件）
A
B
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【解析】（1）如图所示, AD表示船速, 表AB示水速，以AD，AB为邻边作平行四边形ABCD，则 A表C 示船实际航行的速度.
（ 2）在 R t△ A B C 中， A B2,B C5. 所以 A C A B2B C22252295.4. 因为tan CAB 5 , 2 由计算器得CAB 68 .
提示:
a
B
C
b a＋bOb源自aA人教 A 版数学必修4 课件平面向量 1 （精品课件）

人教版高中数学必修四《平面向量基本定理》课件

B M A O
观察：上述三个向量等式中的向量的系数，你能得出什么结论？这个结论对于直线AB上的任意一点P都适用吗？
T
例 2已知A、B是直线l上确定两点，O为直线外一点,
求证：对于直线l上任意一点P，存在实数t，使 OP 关于基底｛OA, OB｝的分解式为 OP (1 t )OA tOB ① 并且，满足①式的点P一定在l上
B
M O B H M O A
OM =
OA, OB}的分解式 2.如右图，点H为线段MB的中点，求 OH 关于基底｛
1 1 OA + OB 2 2
A
OH =
1 3 OA + OB 4 4
ห้องสมุดไป่ตู้
3.如右图，点T在直线l上且MA=AT,求 OT 关于基底｛ OA, OB }的分解式
3 1 OT = OA - OB 2 2
平面向量基本定理
（1）向量的线性运算有哪些？向量的加法法
复习:
则有哪些？
（2）平行向量基本定理向量 a 与非零向量 b 共线
存在唯一一个实数 λ ，使得 a =λ b.
引入:
探究一：任意给定一个向量 a ,是否可以用 “一个”已知的非零向量来表示呢？ b 探究二：平面内任意给定一个向量 a ，是否能够用“两个”平行向量 e1 , e2 来表示？

② a1e1 +a2 e2 叫做向量

a
关于基底
{ e } 的分解式。 1 , e2
定理深化
判断正误：（1）平面内任意两个向量都可以作为基底（ × ）（2）平面内的一组基底可以表示出这个平面内的所有向量，包括零向量（√ ）（3）一个平面内只有一对不共线的向量可以作为基底（ ×）（4）零向量不可以作为基底中的向量（ √ ）

人教A版数学必修4 课件平面向量 9

2.5 平面向量应用举例
2.5.1 平面几何中的向量方法 2.5.2 向量在物理中的应用举例
由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景,平面几何图形的许多性质,如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此，可用向量方法解决平面几何中的一些问题，下面我们通过几个具体实例，说明向量方法在平面几何中的运用.
思考1:若两只手臂的拉力为 F1，F2，物体的重力为 G, 那么 F1，F2，G 三个力之间具有什么关系？
提示: F1＋F2＋G 0.
人教A版数学必修4 课件平面向量 9
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思考2:假设两只手臂的拉力大小相等，夹角为θ，
那么| F1|，| G |，θ之间的关系如何？ F
【变式练习】
在△ABC 中，若(C→A＋→ CB)·(C→A－→ CB)＝0，则△ABC
为( C )
A．正三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．形状无法确定
【解析】 ∵(C→A＋→CB)·(C→A－→CB)＝0，
∴C→A2－→CB2＝0，→CA2＝C→B2，∴CA＝CB，△ABC 为等腰
三角形．
人教A版数学必修4 课件平面向量 9
则 BC 边的中线 AD 的长是( B )
A．2 5
5 B.2 5
C．3 5
7 D.2 5
人教A版数学必修4 课件平面向量 9
人教A版数学必修4 课件平面向量 9 人教A版数学必修4 课件平面向量 9
B
人教A版数学必修4 课件平面向量 9
4.已知点 A(1,0)，直线 l：y＝2x－6，点 R 是直线 l 上的一点，若R→A＝2A→P，求点 P 的轨迹方程．【解题关键】代入法求轨迹方程设出P（x，y）和R（x0，y0）的坐标，用 P的坐标表示R点的坐标，之后代入已知直线方程化简即得。

人教高中数学必修4PPT课件：平面向量的实际背景及基本概念

（× ）
√ （5）物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量（）（6）直角坐标平面图上的x轴,y轴都是向量（√ ）
人教高中数学必修4PPT课件：平面向量的实际背景及基本概念
2.判断下面命题的对错
（1）若a = b，b = c，则a = c。（ √）（2）若|a|=0，则a = 0 （×）（3）若|a|=|b|，则a = b （×）
人教高中数学必修4PPT课件：平面向量的实际背景及基本概念
说明： 1、向量的几何表示：用有向线段表示。人教高中数学必修4PPT课件：平面向量的实际背景及基本概念
向量AB的大小，也就是向量AB的长度（或称模），记
作 |AB |。
向量不能比较大小，模可以比较大小。
2、向量的字母符号表示：（1）a , b , c , . . . （2）用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，例如，AB，CD。注意字母的顺序
量
长度（模）符概号念表示 : AB , a
零向量
单位向量
关系相平等行向（量共线）向量用向量表示点的位置：位置向量
CB、DO、FE
人教高中数学必修4PPT课件：平面向量的实际背景及基本概念
人教高中数学必修4PPT课件：平面向量的实际背景及基本概念
在平面图形中寻求共线向量、相等向量的方法： (1)在平面图形中找共线向量时，应逐个列举，做到不重不漏，可先找在同一条直线上的共线向量，然后再找平行直线上的共线向量，要注意一条线段有一正一反两个共线向量，而方向相同、长度不等的有向线段又可以表示不同的共线向量．对于相等向量，一定是共线向量，因此在找相等向量时，可以从共线向量中筛选，找出长度相等、方向相同的共线向量即可．

高一数学人教A版必修四课件第二章平面向量2.4.1ppt版本

∴2a·b＝b2，
代入①得 a2＝b2，
∴|a|＝|b|，∴cos θ＝|aa|·|bb|＝12|bb|22＝12.
∵θ∈[0，π]，∴θ＝π3.
答案：
π (1)3
练案·学业达标
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再见
|a－b|2＝(a－b)2＝(a－b)(a－b)＝|a|2＋|b|2－2a·b＝|a|2＋|b|2－2|a||b|cos 60°＝ 25，∴|a－b|＝5.
|2a＋b|2＝(2a＋b)(2a＋b)＝4|a|2＋|b|2＋4a·b＝4|a|2＋|b|2＋4|a||b|cos 60°＝175. ∴|2a＋b|＝5 7.
∴e1·e2＝|e1|·|e2|cos θ＝cos θ＝12.
又 0°≤θ≤180°，∴θ＝60°.
∵b·(e1－e2)＝0，
∴b 与 e1，e2 的夹角均为 30°，
∴b·e1＝|b||e1|cos
30°＝1，从而|b|＝cos130°＝2
3
3 .
(2)∵a，b 的夹角为 45°，|a|＝1，
∴a·b＝|a|×|b|cos 45°＝ 22|b|，
1．已知单位向量 a，b，夹角为 60°，则 a·b＝( )
1
3
A.2
B. 2
C．1
D．－12
解析：由向量的数量积公式 a·b＝|a||b|cos θ＝1×1×12＝12.
答案： A
2．对于向量 a，b，c 和实数 λ，下列命题中真命题是( ) A．若 a·b＝0，则 a＝0 或 b＝0 B．若 λa＝0，则 λ＝0 或 a＝0 C．若 a2＝b2，则 a＝b 或 a＝－b D．若 a·b＝a·c，则 b＝c
Hale Waihona Puke 与向量的模有关的问题多维探究型

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①向量 AB与 CD 是共线向量，则A、B、C、D四点必在一
直线上； ②单位向量都相等； ③任一向量与它的相反向量不相等；
④四边形ABCD是平行四边形当且仅当 AB＝DC ;
⑤若一个向量的模为零，则其方向是不确定的； ⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同．
［练习2］下列命题正确的是( )
A．a与b共线，b与c共线，则a与c也共线
B
A
O
C
F
D
E
教学过程的设计
4.学习，小结阶段
通过学习小结进行课堂教学反馈，组织和指导学生归纳知识，技能，方法的一般规律，为后续学习打好基础。
板书设计
一.向量的概念
［练习1］评析
二.向量的几个表示
［练习2］评析例题评析
三.相等向量与共线向量
自我教学评价
• 这节课安排了知识引入、知识探索、知识应用、总结和作业等几个教学环节。既讲授了新知识, 又训练了学生的解题技能;
平面向量
平面向量
一.教材分析二.教学目标的确定三.教学方法的选择四.教学过程的设计
教材分析
1.地位和作用
平面向量的基本概念是在学生了解了物理学中的有关力，位移等矢量的概念的基础上进一步对向量的深入学习。为学习向量的知识体系奠定了知识和方法基础。
2.教学ห้องสมุดไป่ตู้构的调整
将教学中认知过程的教学内容适当集中，以突出本节课的主题；例题，习题部分主要由学生依照概念自行分析，独立完成。
• 围绕类比、数形结合、等价转化的数学思想方法这一主题来展开教学环节； • 着重培养学生掌握数学的基本思想和提高学生的能力是设计这堂课的出发点；
• 教学中采用多媒体的手段，使学生的多种感官获得外部刺激，有利于完善认知结构，让学生感受到数学变化的美； • 在学生个性情感中融入了创新的意识与胆量。
• 时间大致安排：创设情境引入课题约5分钟，知识探索约12分钟，知识应用、题组练习约20分钟，小结作业3分钟。当然，依据上课的具体情况可进行适当的调整。
2.教学手段
•多媒体投影仪、计算机辅助教学
教学过程的设计
1.知识引入阶段
•创设情境 •观察归纳 •讨论研究
引入概念形成概念深化概念
①向量的要素是什么? 提出问题：②向量之间能否比较大小?
③向量与数量的区别是什么?
教学过程的设计
2.知识探索阶段
•总结反思 •即时训练
提高认识巩固新知
［练习1］判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由．
3.重点、难点、关键
重点：向量、相等向量的概念，向量的几何表示
难点：向量的概念
关键：多用复杂的几何图形中相等的有向线段让学生辨认，加深理解
教学目标的确定
1.基础知识目标：
理解向量、零向量、单位向量、共线向量、平行向量、相等向量的概念，会用字母表示向量，能读写已知图中的向量，会根据图形判定向量是否平行、共线、相等。
2.能力训练目标：
培养学生观察、归纳、类比、联想等发现规律的一般方法，培养学生观察问题、分析问题、解决问题的能力。
3.情感目标：让学生在民主、和谐的共同活动中感受学习乐趣。
教学方法的选择
1.教学方法---启发探究式的教学方法
•由教材的特点确立类比思维为教学的主线 •由学生的特点确立自主探索式的学习方法
B．任意两个相等的非零向量的始点与终点
是一平行四边形的四顶点
C．向量a与b不共线，则a与b都是非零向量
D．有相同起点的两个非零向量不平行
教学过程的设计
3.知识应用阶段
例如图所示，设O是正六边形ABCDEF的中心，
分别写出图中与向量OA，OB，OC相等的向量。
（同时思考：向量 OA与FE相等么？向量 OB与AF相等么？）