几种证明全等三角形添加辅助线的方法

教学过程

构造全等三角形几种方法

在几何解题中，常常需要添加辅助线构造全等三角形，以沟通题设与结论之间的联系。现分类加以说明。

一、延长中线构造全等三角形

例1. 如图1，AD是△ABC的中线，求证：AB＋AC＞2AD。

证明：延长AD至E，使AD＝DE，连接CE。如图2。

∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD。

又∵∠1＝∠2，AD＝DE，

∴△ABD≌△ECD（SAS）。AB＝CE。

∵在△ACE中，CE＋AC＞AE，

∴AB＋AC＞2AD。

二、沿角平分线翻折构造全等三角形

例2. 如图3，在△ABC中，∠1＝∠2，∠ABC＝2∠C。求证：AB＋BD＝AC。

证明：将△ABD沿AD翻折，点B落在AC上的E点处，即：在AC上截取AE＝AB，连接ED。如图4。

∵∠1＝∠2，AD＝AD，AB＝AE，

∴△ABD≌△AED（SAS）。

∴BD＝ED，∠ABC＝∠AED＝2∠C。

而∠AED＝∠C＋∠EDC，

∴∠C＝∠EDC。所以EC＝ED＝BD。

∵AC＝AE＋EC，∴AB＋BD＝AC。

三、作平行线构造全等三角形

例3. 如图5，△ABC中，AB＝AC。E是AB上异于A、B的任意一点，延长AC到D，使CD＝BE，连接DE交BC于F。求证：EF＝FD。

证明：过E作EM∥AC交BC于M，如图6。

则∠EMB＝∠ACB，∠MEF＝∠CDF。

∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB。

∴∠B＝∠EMB。故EM＝BE。

∵BE＝CD，∴EM＝CD。

又∵∠EFM＝∠DFC，∠MEF＝∠CDF，

∴△EFM≌△DFC（AAS）。EF＝FD。

四、作垂线构造全等三角形

例4. 如图7，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC。M是AC边的中点。AD ⊥BM交BC于D，交BM于E。求证：∠AMB＝∠DMC。

证明：作CF⊥AC交AD的延长线于F。如图8。

∵∠BAC＝90°，AD⊥BM，

∴∠FAC＝∠ABM＝90°－∠BAE。

∵AB＝AC，∠BAM＝∠ACF＝90°，

∴△ABM≌△CAF（ASA）。

∴∠F＝∠AMB，AM＝CF。

∵AM＝CM，∴CF＝CM。

∵∠MCD＝∠FCD＝45°，CD＝CD，

∴△MCD≌△FCD（SAS）。所以∠F＝∠DMC。

∴∠AMB＝∠F＝∠DMC。

五、沿高线翻折构造全等三角形

例5. 如图9，在△ABC中，AD⊥BC于D，∠BAD＞∠CAD。求证：AB＞AC。

证明：把△ADC沿高AD翻折，点C落在线段DB上的E点处，即：在DB

上截取DE ＝DC ，连接AE 。如图10。

∴△ADC ≌△ADE （SAS ）。AC ＝AE ，∠C ＝∠AED 。

∵∠AED ＞∠B ，∴∠C ＞∠B 。从而AB ＞AC 。

六、绕点旋转构造全等三角形

例6. 如图11，正方形ABCD 中，∠1＝∠2，Q 在DC 上，P 在BC 上。求证：PA ＝PB ＋DQ 。

证明：将△ADQ 绕点A 按顺时针方向旋转90°，使AD 与AB 重合，得到△ABM ，即：延长CB 到M ，使BM ＝DQ ，连接AM 。如图12。

∴△ABM ≌△ADQ （SAS ）。

∴∠4＝∠2＝∠1，∠M ＝∠AQD 。

∵AB ∥CD ，∴∠AQD ＝∠BAQ ＝∠1＋∠3＝∠4＋∠3＝∠MAP 。

∴∠M ＝∠MAP 。

∴PA ＝PM ＝PB ＋BM ＝PB ＋DQ （因BM ＝DQ ）。

【课堂练习】

1、如图，已知AD=AE,AB=AC.求证：BF=FC

2、如图，在△ ABC 中，AB=AC ，延长AB 到D ，使BD=AB ，取AB 的中点E ，连接CD 和CE.F 为CD 中点 求证：CD=2CE

3、如图，△ABC 中，∠C ＝2∠B ，∠1＝∠2。求证：AB ＝AC ＋CD ．

4、 已知：AB=CD ，∠A=∠D ，求证：∠B=∠C

5、 已知：如图，CD ⊥AB 于点D ，BE ⊥AC 于点E ，BE 、CD 交于点O ，且AO 平分∠BAC ．求证：OB ＝OC ．

6、如图，已知C 为线段AB 上的一点，?ACM 和?CBN 都是等边三角形，AN 和CM 相交于F 点，BM 和CN 交于E 点。求证：?CEF 是等边三角形。

7、如图所示，已知AE ⊥AB ，AF ⊥AC ，AE=AB ，AF=AC 。求证：（1）EC=BF ；（2）EC ⊥BF A B C

D

A

E F

8、如图10，四边形ABCD 、DEFG 都是正方形，连接AE 、CG,AE 与CG 相交于点M ，CG 与AD 相交于点N ．

求证： CG AE ；

9、如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D 是斜边上AB 上任一点，AE ⊥CD 于E ，BF ⊥CD 交CD 的延长线于F ，CH ⊥AB 于H 点，交AE 于G ．

求证：BD ＝CG ．

10、已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BC=DC ，CF 平分∠BCD ，DF ∥AB ，BF 的延长线交DC 于点E 。求证：（1）△BFC ≌△DFC ；（2）AD=DE

11、 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2

12、 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE

13、如图，△ABC 中，E 、F 分别在AB 、AC 上，DE ⊥DF ，D 是中点，试比较BE+CF 与EF 的大小.

补充：

常见辅助线的作法有以下几种：

1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等

变换中的“对折”．

2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用

的思维模式是全等变换中的“旋转”．

3) 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三

角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．

4) 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的

“平移”或“翻转折叠”

5) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作A

B C D E

F 2

1