人教版八年级上册数学专题+全等三角形中辅助线的添加
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全等三角形中辅助线的添加
一.教学内容:全等三角形的常见辅助线的添加方法、基本图形的性质的掌握及熟练应用。
二.知识要点:
1、添加辅助线的方法和语言表述
(1)作线段:连接……;
(2)作平行线:过点……作……∥……;
(3)作垂线(作高):过点……作……⊥……,垂足为……;
(4)作中线:取……中点……,连接……;
(5)延长并截取线段:延长……使……等于……;
(6)截取等长线段:在……上截取……,使……等于……;
(7)作角平分线:作……平分……;作角……等于已知角……;
(8)作一个角等于已知角:作角……等于……。
2、全等三角形中的基本图形的构造与运用
常用的辅助线的添加方法:
(1)倍长中线(或类中线)法:若遇到三角形的中线或类中线(与中点有关的线段),通常考虑倍长中线或类中线,构造全等三角形。
(2)截长补短法:若遇到证明线段的和差倍分关系时,通常考虑截长补短法,构造全等三角形。①截长:在较长线段中截取一段等于另两条中的一条,然后证明剩下部分等于另一条;②补短:将一条较短线段延长,延长部分等于另一条较短线段,然后证明新线段等于较长线段;或延长一条较短线段等于较长线段,然后证明延长部分等于另一条较短线段。
(3)一线三等角问题(“K”字图、弦图、三垂图):两个全等的直角三角形的斜边恰好是一个等腰直角三角形的直角边。
(4)角平分线、中垂线法:以角平分线、中垂线为对称轴利用”轴对称性“构造全等三角形。
(5)角含半角、等腰三角形的(绕顶点、绕斜边中点)旋转重合法:用旋转构造三角形全等。
(6)构造特殊三角形:主要是30°、60°、90°、等腰直角三角形(用平移、对称和弦图也可以构造)和等边三角形的特殊三角形来构造全等三角形。
三、基本模型:
(1)△ABC中AD是BC边中线
方式1:延长AD到E,使DE=AD,方式2:间接倍长,作CF⊥AD于F,方式3:延长MD到N,连接BE 作BE⊥AD的延长线于E,连接BE 使DN=MD,连接CD
(2)
由△ABE≌△BCD导出由△ABE≌△BCD导出由△ABE≌△BCD导出BC=BE+ED=AB+CD ED=AE-CD EC=AB-CD
(3)角分线,分两边,对称全等要记全
角分线+垂线,等腰三角形必呈现(三线合一)
(4)
①旋转:
方法:延长其中一个补角的线段
(延长CD到E,使ED=BM ,连AE或延长CB到F,使FB=DN ,连AF )
结论:①MN=BM+DN
②
AB C
CMN
2
=
∆
③AM、AN分别平分∠BMN和∠DNM
②翻折:
思路:分别将△ABM和△ADN以AM和AN 为对称轴翻折,
但一定要证明M、P、N三点共线.(∠B+∠D=0
180且AB=AD)
(5)手拉手模型
①△ABE和△ACF均为等边三角形
结论:(1)△ABF≌△AEC;(2)∠B0E=∠BAE=60°(“八字型”模型证明);(3)OA平分∠EOF 拓展:
条件:△ABC和△CDE均为等边三角形
结论:(1)、AD=BE(2)、∠ACB=∠AOB(3)、△PCQ为等边三角形
(4)、PQ∥AE(5)、AP=BQ(6)、CO平分∠AOE(7)、OA=OB+OC
(8)、OE=OC+OD((7),(8)需构造等边三角形证明)
②△ABD和△ACE均为等腰直角三角形
结论:(1)、BE=CD (2)BE⊥CD ③ABEF和ACHD均为正方形
结论:(1)、BD⊥CF(2)、BD=CF
n
οο
360180-
变形一:ABEF 和ACHD 均为正方形,AS ⊥BC 交FD 于T , 求证:①T 为FD 的中点. ②
.
ADF ABC S S ∆∆=
方法一: 方法二: 方法三:
变形二:ABEF 和ACHD 均为正方形,M 为FD
的中点,求证:AN ⊥BC
④当以AB 、AC 为边构造正多边形时,总有:∠1=∠2= P
F
E
D
I
H
G B
A
2
1
P G F
E D
K
J
I
H
A
B
E
D
F
C
B
A
D C
B
A
E
D C B
A
四、典型例题:
考点一:倍长中线(或类中线)法:
核心母题已知,如图△ABC中,AB=5,AC=3,则中线AD的取值范围是_________.
练习:
1、如图,△ABC中,E、F分别在AB、AC上,DE⊥DF,D是中点,试比较BE+CF与EF的大小.
2、如图,△ABC中,BD=DC=AC,E是DC的中点,求证:AD平分∠BAE.
3、如图,CE、CB分别是△ABC与△ADC的中线,且∠ACB=∠ABC,求证:CD=2CE。
4、已知:如图,在正方形ABCD中,E是BC的中点,点F在CD上,∠FAE=∠BAE.求证:AF=BC+FC.
5、如图,D 是AB 的中点,∠ACB=90°,求证:2CD=AB.
6、已知在△ABC 中,AB=AC ,D 在AB 上,E 在AC 的延长线上,DE 交BC 于F ,且DF=EF ,求证:BD=CE 。
7、已知在△ABC 中,AD 是BC 边上的中线,E 是AD 上一点,且BE=AC ,延长BE 交AC 于F ,求证:AF=EF 。
8、已知:如图,在ABC ∆中,AC AB ≠,D 、E 在BC 上,且DE=EC ,过D 作BA DF //交AE 于点F ,DF=AC. 求证:AE 平分BAC ∠。 F
C A
D F
E
C
第 1 题图
A
B
F
D
E
C