空间点线面及其位置关系的向量表示
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• （3）空间中的任意一个平面，它的向量表 示形式有几种？分别是什么？
• （4）直线的方向向量和平面的法向量是唯 一的吗？
一、点、直线、平面的位置的向量表示 问题1、如何确定一个点在空间的位置？
点
●P
空间中任意一点P的
●
位置可用向量 OP
O
表示
基点
问题 2、在空间中给一个定点 A 和一个定方向（向 量），能确定一条直线在空间的位置吗？
n b 0
⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量.
二、线线、线面、面面间的位置关系与向
量运算的关系
设直线l，m的方向向量分别为a ，b ，
平面 ， 的法向量分别为 u，v
探究1：平行关系
线线平行 l // m
a //
b
a
b
点击
线面平行
l // a u a u 0 点击
面面平行
五、作业
1.课本P104练习 2.用向量的方法证明 “平面与平面平行的判定定理”。 3.已知点A(3, 0, 0), B(0, 4, 0),C(0, 0,5), 求平面ABC的一个单位法向量。
lm
a
b
l
//
m
a//
b
a
b
a
l u
l
//
a
u
a
u
0
u
v
//
u //
v
u
v
的一个方向向量为（ A ）
A.（1,2,3） B.（1,3,2）
C. (2,1,3)
D. (3,2,1)
问题 3、给一个定点和两个定方向（向量），能确 定一个平面在空间的位置吗？
a
O b
●P
OP xa yb
( x、y R)
点O和 a、b 不仅可以确定平面
的位置，还可以具体表示出 内的任
意一点P。
类似于直线的方向向量，还可以用平面的
法向量表示空间中平面的位置
l
法向量：直线l垂直于
平面α，取直线的方向向
a
量a那么向量a叫做平面α的
法向量
A
α
问题4：法向量如何确定平面的位置？
给定一点A和一个向量a,那么，过点A,以向 量a为法向量的平面是完全确定的。
问题：如何求平面的法向量？
uuur
uuur
x
y
1 1
r
n (1,1,1)
方法小结
问题:如何求平面的法向量? r
⑴设平面的法向量为 n ( x, y, z)
⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量的
r
r
坐标 a (a1,b1,c1),b (a2,b2,c2 )
⑶根据法向量的定义建立关于 x, y, z 的方程
rr
组
n r
a r
0
线
l
Pபைடு நூலகம்
对于直线 lu上uur的任uu一ur 点P ,
存在实数 t 使得 AP t AB
a
uuur uuur r O是空间任意一点OP OA ta ，
B 此方程称为直r 线的向量参数方程.这样
点A和向量 a 不仅可以确定直线 l的位
A
置，还可以具体写出l上的任意一点.
练习:若A(-1,0,1),B(1,4,7)在直线上，则直线
//
u //
v
u
v
点击
设直线l，m的方向向量分别为a ，b ， 平面 ， 的法向量分别为 u，v
探究2：垂直关系
线线垂直 线面垂直
l l
m
aba
a // u a
bu0点点击击
面面垂直
u
v uv
0
点击
三、简单应用
例1：根据下列条件，判断相应的线、面位置关系： (1)直线l1，l2的方向向量分别为 a （2，-1，-2）,b （6，-3，-6）；
l
a
bm
l
m
a
b
a
b
0
l
a
u
l a// u a u
v u
u
v
u
v
0
平面向量
推广到 空间向量
向量 渐渐成为重要工具
立体几何问题
给我一个支点，我可以撬动地球
--------阿基米德
3.2.1空间点、线、面及其位置 关系的向量表示
请阅读课本第102页--第103页的内容，思考下面的问题
• （1）在空间内，一个点及一条直线的位置 又如何用向量确定？
• （2）在空间内，一个平面的位置该如何用 向量确定？
例1：已知AB (1,0,1), AC (1,1,0),
求平面ABC的法向量r 。
解：设平面的法向量为n （x，y，z）， r uuur r uuur
则n AB，n AC
（ （ xx， ，yy， ，zz） ）gg((11,,10,,01))
0， 0,
即
x x
z y
0 0
,
取z
1，得
（2）直线l的方向向量、平面的法向量分别是
a (3，2,1),u (1,2,-1)；
（3）平面与的法向量分别为
u (2, 2,5), v (6, 4, 4).
四、课堂小结
1、点、直线、平面的位置的向量表示 2、线线、线面、面面间的位置关系的 向量表示
清代学者袁枚说：“学如弓弩 ，才如箭簇 ， 识以领之 ，方能中鹄 。”
• （4）直线的方向向量和平面的法向量是唯 一的吗？
一、点、直线、平面的位置的向量表示 问题1、如何确定一个点在空间的位置？
点
●P
空间中任意一点P的
●
位置可用向量 OP
O
表示
基点
问题 2、在空间中给一个定点 A 和一个定方向（向 量），能确定一条直线在空间的位置吗？
n b 0
⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量.
二、线线、线面、面面间的位置关系与向
量运算的关系
设直线l，m的方向向量分别为a ，b ，
平面 ， 的法向量分别为 u，v
探究1：平行关系
线线平行 l // m
a //
b
a
b
点击
线面平行
l // a u a u 0 点击
面面平行
五、作业
1.课本P104练习 2.用向量的方法证明 “平面与平面平行的判定定理”。 3.已知点A(3, 0, 0), B(0, 4, 0),C(0, 0,5), 求平面ABC的一个单位法向量。
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a
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l
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的一个方向向量为（ A ）
A.（1,2,3） B.（1,3,2）
C. (2,1,3)
D. (3,2,1)
问题 3、给一个定点和两个定方向（向量），能确 定一个平面在空间的位置吗？
a
O b
●P
OP xa yb
( x、y R)
点O和 a、b 不仅可以确定平面
的位置，还可以具体表示出 内的任
意一点P。
类似于直线的方向向量，还可以用平面的
法向量表示空间中平面的位置
l
法向量：直线l垂直于
平面α，取直线的方向向
a
量a那么向量a叫做平面α的
法向量
A
α
问题4：法向量如何确定平面的位置？
给定一点A和一个向量a,那么，过点A,以向 量a为法向量的平面是完全确定的。
问题：如何求平面的法向量？
uuur
uuur
x
y
1 1
r
n (1,1,1)
方法小结
问题:如何求平面的法向量? r
⑴设平面的法向量为 n ( x, y, z)
⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量的
r
r
坐标 a (a1,b1,c1),b (a2,b2,c2 )
⑶根据法向量的定义建立关于 x, y, z 的方程
rr
组
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0
线
l
Pபைடு நூலகம்
对于直线 lu上uur的任uu一ur 点P ,
存在实数 t 使得 AP t AB
a
uuur uuur r O是空间任意一点OP OA ta ，
B 此方程称为直r 线的向量参数方程.这样
点A和向量 a 不仅可以确定直线 l的位
A
置，还可以具体写出l上的任意一点.
练习:若A(-1,0,1),B(1,4,7)在直线上，则直线
//
u //
v
u
v
点击
设直线l，m的方向向量分别为a ，b ， 平面 ， 的法向量分别为 u，v
探究2：垂直关系
线线垂直 线面垂直
l l
m
aba
a // u a
bu0点点击击
面面垂直
u
v uv
0
点击
三、简单应用
例1：根据下列条件，判断相应的线、面位置关系： (1)直线l1，l2的方向向量分别为 a （2，-1，-2）,b （6，-3，-6）；
l
a
bm
l
m
a
b
a
b
0
l
a
u
l a// u a u
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u
v
u
v
0
平面向量
推广到 空间向量
向量 渐渐成为重要工具
立体几何问题
给我一个支点，我可以撬动地球
--------阿基米德
3.2.1空间点、线、面及其位置 关系的向量表示
请阅读课本第102页--第103页的内容，思考下面的问题
• （1）在空间内，一个点及一条直线的位置 又如何用向量确定？
• （2）在空间内，一个平面的位置该如何用 向量确定？
例1：已知AB (1,0,1), AC (1,1,0),
求平面ABC的法向量r 。
解：设平面的法向量为n （x，y，z）， r uuur r uuur
则n AB，n AC
（ （ xx， ，yy， ，zz） ）gg((11,,10,,01))
0， 0,
即
x x
z y
0 0
,
取z
1，得
（2）直线l的方向向量、平面的法向量分别是
a (3，2,1),u (1,2,-1)；
（3）平面与的法向量分别为
u (2, 2,5), v (6, 4, 4).
四、课堂小结
1、点、直线、平面的位置的向量表示 2、线线、线面、面面间的位置关系的 向量表示
清代学者袁枚说：“学如弓弩 ，才如箭簇 ， 识以领之 ，方能中鹄 。”