可靠性分析_第三讲_系统的可靠性_东南大学

B D
一般采用两种方法计算系统的可靠度： 1、布尔真值表法（穷举法） 2、卡诺图法（概率图法）
第三讲 系统的可靠性
1、布尔真值表法 该方法是把模型看成一个开关网络，每一单元只有两种状态：工作状态 和失效状态。根据可靠性框图，列出各单元的两种状态的全部组合的表 格，判定系统的工作状态，把全部能工作的概率相加，就是系统能正常 工作的概率，即系统的可靠度。 当元件数为n,则有2n个状态。“0”表示单元失效，“1”表示单元工 作。 “F”代表系统失效，“S”代表系统工作。 （见表） 根据概率论，整个系统能正常工作的概率为各单元工作和失效概率的乘 积。 因此，系统处于正常工作状态的事件为：
但是，单元数不能太多，否则太繁琐。
第三讲 系统的可靠性
2、卡诺图法 将布而真值表各行转移到方格中，每个方格代表系统的一种状态，系统处于S状 态则标以“”，将标以“”的各相邻方格按行列分组，并用虚线隔开，即得到 卡诺图。 系统处于工作状态的概率：
A B CD A BCD A CD ABC D AB C D ABCD ABC D AB AB C D A B CD A B D
i 1
（3-7）
第三讲 系统的可靠性
所以，并联系统的可靠度为：
Rs (t ) 1 Fs (t ) 1 [1 Ri (t )]
i 1
n
（3-8）
由于[1-Ri(t)]是小于1的数值，所以并联系统的可靠度总大于系 统中任一单元的可靠度。 下表中列出了R=0.60,0.70,0.90, n=2,3,4时Rs的计算值。 下图表示了并联系统可靠度Rs的曲线图，由图中可以看出，随 着并联元件的增加，可靠度的增量逐渐减少，因此，通常采用 n3。
n n
Rs (t ) C (e ) [1 e ]
所以：
i k i n t i
t n i
i Cn e it (1 e t ) n i i k
（3-14）
i MTTFs Rs (t )dt [ Cn e it (1 e t ) n i ]dt 0 0
Rx P( x, n) Cnx p x q n x Cnx R x (1 R) n x
n中取k，即大于k时均是可靠的，
i Rs (k , n) Cn [ R(t )]i [1 R(t )]n i i k n
（3-13）
第三讲 系统的可靠性
若各单元的寿命均服从指数分布，即R(t)=e- t, 为各单元的失效率， 则系统可靠度Rs(t)为：
s

i 1
n
i
（3-3）
串联系统的平均寿命定义为：
MTTFs
1
s
1 / i
i 1
n
（3-4）
第三讲 系统的可靠性
如各单元的失效率均相等，则有： s=n (3-5) MTTFs=1/n (3-6) 串联系统的可靠度好象链条的可靠度，只要链条中任一链环断裂，链条就 坏，所以，链条的寿命是由强度最差，寿命做短的链环来决定，所以，串联 系统又叫链条模型。 [例题] 如果一个串联系统由10个失效率 均等于10-5/h的单元组成，且已知各单 元的寿命均服从指数分布，试求该系统的失效率，平均寿命MTTFs及工作 到104h时的可靠度Rs(104h). 解：将n=10, =10-5/h代入式（3-5）可得： =1010-5/h=10-4/h MTTFs=1/ s=1/(10-4/h)=104h 将 s，t=104h代入式（3-2）可得 Rs(104h)=e-10-4 104=e-1=0.368
将i= =10-5/h及t=104h代入式（3-9）可得： Rs(104h)=1-(1-e-10-5 104)3=0.99914
第三讲 系统的可靠性
2、混联系统的可靠性 由串联部分子系统和并联部分子系统组合而成。 又分为串并联系统和并串联系统。 其可靠度采用等效系统进行计算。 如一并串联系统：
单元B 单元A 单元C 单元A 等效单元 EBC
可靠度为：
Rs (t ) RA (t ) RE (t ) RA (t ) [1 RB (t )][1 RC (t )]} （3-11） 1
第三讲 系统的可靠性
3、表决系统的可靠性 如果组成系统的n个单元中，只要有k个（1kn)单元不失效，系统 就不会失效，这样的系统称为k/n系统，即表决系统。 设表决系统中每个单元的可靠度为R(t),根据二项分布，在n中取k的 概率为：


n
(3-15)
用归纳法可证明：
i k
C
i n


0
e it (1 e t ) n i dt
1 i
第三讲 系统的可靠性
这样：
MTTFs
i k
n
1 1 1 1 1 ( ) i k k 1 n
（3-16）
[例题]设某n个取k系统的n=3、k=2,若各单元的失效率均为10-5/h，且已知 各单元的寿命均服从指数分布，试求该系统的平均寿命MTTFs及工作到 104h时的可靠度Rs(104h). 解： 由式（3-16）得系统的平均寿命 MTTFs=1/2 +1/3 =5/6 1/ =5/6 1/10-5=0.833 105h 将n=3,k=2 代入式3-14 得
第三讲 系统的可靠性
第三讲 系统的可靠性
当系统功能是保证液体通过时，阀门A、B都要开启才行，此时可靠性框图为图 3—1b，是串联形式。但当系统功能是使液体截流时，则只需要A或B中有一个能 关闭，其可靠性框图变成图3—1c的并联形式。可见，按不同的功能进行设计时会 有不同形式的可靠性框图。 通常系统有串联系统、冗余系统和复杂系统，在冗余系统中又有并联系统、 混联系统、表决系统和旁联系统。 二、 串联系统的可靠性 组成系统的所有单元中，只要有任何一个单元失效就会导致整个系统失效，这 个系统就称为串联系统。其可靠性框图为。
2 Rs (t ) e 3t C3 e 2t (1 e t ) 3e 2t 2e 3t
第三讲 系统的可靠性
将t=104h 代入上式，可得： R(104h)=3e-2 10-5 104-2e-3 10-5 104=0.9746 4、旁联系统的可靠性 旁联系统也叫待机系统，系统由n个单元组成，其中只有一个单元在工作， 其余n-1个作备用。当工作单元失效时，通过失效检测装置及转换装置， 另一单元立即开始工作，单元逐个顶替工作，直到全部单元失效为止。 可靠性框图为：
工作单元 1 2 待机单元 n Se
Sw
检测装置
装换装置
第三讲 系统的可靠性
如系统中失效检测和装换装置可靠度为1，各单元元件在储存期内不影响其寿 命，当各单元失效率相同时，系统的可靠度为：
如果旁联系统分别由1和2两个单元组成，其失效检测和转换装置的可靠性为 Rsw,则该旁联系统的可靠度为：
( t ) k Rs (t ) e t k! k 0
第三讲 系统的可靠性
第三讲 系统的可靠性
当单元的失效寿命为指数分布时,并假设每个单元的失效率都相同, 则并联系统的可靠度为：
Rs (t ) 1 (1 e t ) n
（3-9）
式中 为单元的失效率 ， n为单元数。 并联系统的平均寿命为：
MTTF

0
1 1 1 1 n 1 Rs (t )dt 2 n i 1 i
第三讲 系统的可靠性
系统由单元（子系统、部件、元器件）组成，系统与单元之 间的关系可以分为两类：一类为物理关系，如设备的电路原理图 或结构方框图；另一类为功能关系，表示每个单元完成功能与否 对系统好坏的影响。系统的可靠性不仅取决于子系统（元器件） 的可靠度，还与它们的相互组合方式有关。
一、系统可靠性逻辑模型的建立 常用的系统可靠性分析方法是：根据系统的组成原理和功能绘出可靠 性逻辑图，建立系统可靠性数学模型，把系统的可靠性特征量(例如可靠 度，MTTF等)表示为各子系统可靠性特征量的函数，然后通过已知的子 系统可靠性特征量计算出系统可靠性特征量。 系统的原理框图是绘制可靠性框图依据之一，原理框图表示的是系 统各组成部分间的物理关系。可靠性框图则表示了系统为完成规定功能 的各单元之间的逻辑关系，所以也叫逻辑图。逻辑图反映了子系统之间 的功能关系，为计算系统的可靠度提供数学模型。 例如，由管路和两阀 门A、B所组成的液压系统，其原理框图如图3—1a所示。
因此： S AB A B D A CD 系统可靠度为： Rs=RARB+RAFBRD+FARCRD=0.8700
__ __ __ __ __ __ __ __
__
__
__
第三讲 系统的可靠性
1
2
n
设各单元的失效互相独立，则由n个单元组成的串联系统的可靠度可根据概率乘 法定理按下式计算：
第三讲 系统的可靠性
Rs (t ) R1 (t ) R2 (t ) Rn (t ) Ri (t )
i 1 n
（ 3-1）
式中 Rs(t)——系统的可靠度 Ri(t)——单元i的可靠度 串联系统的可靠度Rs与串联单元的数量n及其可靠度Ri有关。由于o≤Ri≤1，所 以，Rs(t)随单元数的增加而降低。串联系统的可靠度总是小于系统中任一单元的 可靠度。因此，在串联系统中不应有任何特别薄弱的环节，应尽可能由等可靠度 的单元组成，并尽可能简化设计，减少分系统或元件数量，以提高整个系统的可 靠度。 当系统为n个等可靠度单元所组成时，则：
S AB CD A BCD A B C D A B CD AB CD AB C D ABC D ABCD
____
__
__ ___
__
____
__
___
第三讲 系统的可靠性
=（1-0.9)(1-0.8)0.7 0.6+……+0.9 0.8 0.7 0.6=0.8700
第三讲 系统的可靠性
三、冗余系统的可靠性 1、并联系统的可靠性 如果组成系统的所有单元都失效，整个系统才会失效，该系统为并联系统。这 种系统只要有一个单元不失效，整个系统就不会失效。逻辑图为：
1
2
n 由n个单元组成的并联系统的不可靠度，可根据概率乘法定律按下式计算：
n
Fs (1 R1 (t ))(1 R2 (t )) (1 Rn (t )) (1 Ri (t ))
Rs (t ) Rin (t )
第三讲 系统的可靠性
第三讲 系统的可靠性
若各单元的寿命均服从指数分布，即Ri(t)=e-it,式中i为第i个单元的失效率，则：
Rs (t ) e
i 1
n
i t
exp[ i t ] e st
i 1
n
（3-2）
式中s为串联系统的失效率：
（3-10）
很多股钢丝编成的钢丝绳就是并联系统。 并联系统又叫绳索模型。
第三讲 系统的可靠性
[例题]如果一个并联系统由3个失效率均等于10-5/h的单元
组成，且已知各单元的寿命均服从指数分布，试求该 系统的平均寿命MTTFs及工作到104h时的可靠度 Rs(104h). 解：由（3-10）可得
MTTFs=1/ （1+1/2+1/3）=1/10-511/6=1.833 105h
n 1
（3-17）
Hale Waihona Puke Baidu
Rs (t ) e t Rsw
2 1
1
(e 1t e 2t )
（3-18）
并联系统和表决系统都是工作冗余，也叫热储备，而旁联系统为非工作冗余， 也叫冷储备。
第三讲 系统的可靠性
四、复杂系统的可靠性 既非串联又非并联的系统为复杂系统。见下图：
A C