初二数学四边形专题

四边形

【平行四边形】

平行四边形的概念

定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

表示：平行四边形用符号“□”来表示．

如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，那么四边形

ABCD是平行四边形．平行四边形ABCD记作“□ABCD”，读作“平

行四边形ABCD”．

注意：平行四边形中对边是指无公共点的边，对角是指不相邻的角，邻边是指有公共端点的边，邻角是指有一条公共边的两个角．而三角形对边是指一个角的对边，对角是指一条边的对角．

平行四边形的性质

（1）平行四边形的对边相等且平行

（2）平行四边形的对角相等、邻角互补

（3）平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心

（4）平行四边形的对角线互相平分

例1．如图，在平行四边形ABCD中，AE=CF，

求证：AF=CE

例2.已知：如图，□ABCD的对角线AC、BD相交

于点O，EF过点O与AB、CD分别相交于点E、F

求证：OE＝OF，AE=CF，BE=DF

【引申】若例2中的条件都不变，将EF转动到图b的位置，那么例1的结论是否成立？若将EF向两方延长与平行四边形的两对边的延长线分别相交（图c和图d），例2的结论是否成立，说明你的理由．

平行四边形的判定

【探究】小明的父亲手中有一些木条，他想通过适当的测量、割剪，钉制一个平行四边形框架，你能帮他想出一些办法来吗？

平行四边形判定方法：

（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形

（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形

（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形

（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形

例1.已知：如图□ABCD的对角线AC、BD交于点O，E、F是AC上的两点，并且AE=CF．求证：四边形BFDE是平行四边形．

例2. 已知：如图，A′B′∥BA，B′C′∥CB， C′A′∥AC 求证：(1) ∠ABC＝∠B′，∠CAB＝∠A′，∠BCA＝∠C′

(2) △ABC 的顶点分别是△B′C′A′各边的中点

例3. 已知：如图，□ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，求证：BE=DF

例4. 已知：如图，□ABCD 中，E 、F 分别是AC 上两点，且BE ⊥AC 于E ，DF ⊥AC 于F 求证：四边形BEDF 是平行四边形

【三角形中位线】 三角形的中位线：

连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线 三角形中位线定理：

三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边地一半

A

B

C

D E

【练习】

1．如图1，在平行四边形ABCD 中，下列各式不一定正确的是 （ ）

(A) (B) (C) (D)

图1 图2

2．如图2，在□ABCD 中，EF//AB ，GH//AD ，EF 与GH 交于点O ，则该图中的平行四边形的个数共有 （ ）

(A)7 个 (B)8个 (C)9个 (D)11个

3．下列给出的条件中，能判定四边形ABCD 是平行四边形的是 （ ）

(A)AB∥CD ，AD=BC (B)AB=AD ，CB=CD (C)AB=CD ，AD=BC (D)∠B=∠C，∠A=∠D

4．如图4,在□ABCD 中, ∠B=110°,延长AD 至F,延长CD 至E,连接EF,则∠E+∠F 的值为 ( )

(A)110°

(B)30°

(C)50°

(D)70°

5．如图5，□ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，将△AOD 平移至△BEC 的位置，则图中与OA 相等的其它线段有 （ ）

(A)1条 (B)2条 (C) 3条 (D) 4条

6．如图6，点D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 边的中点，

则图中的平行四边形一共有（ ）. (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个

︒=∠+∠18021︒=∠+∠18032︒=∠+∠18043︒=∠+∠1804

2图4 图5

图6

7．在平行四边形ABCD 中，若∠A -∠B=70°，则∠A=_______，∠B=_______， ∠C=_______，∠D=_________．

8．在□ABCD 中，AC⊥BD，相交于O ，AC=6，BD=8，则AB=________，BC= _________． 9．如图10，已知□ABCD 中，AB=4，BC=6，BC 边上的高AE=2，则DC 边上的高AF 的长是________．

10．用40cm 长的长绳围成一个平行四边形，使长边与短边的比是3：2，则长边是____cm,短边是_____cm.

11.如图13,□ABCD 中,DB=DC,∠C=70°,AE⊥BD 于E,则∠DAC=_____度.

12. 如图14，E 、F 是□ABCD 对角线BD 上的两点，请你添加一个适当的条件： ，使四边形AECF 是平行四边形．

13. 如图15,在平行四边形ABCD 中，∠A=58°，BC=1.5cm ，则∠B= ，AD= ． 14. 如图16, D,E,F 分别在△ABC 的三边BC,AC,AB 上,且D E∥AB, DF∥AC, EF∥BC,则图中共有_______________个平行四边形,分别是_________ _ _____________________．

15. 如图17，四边形ABCD 是平行四边形，对角线AC 、BD 相交于点O ，边AB 可以看成由___________平移得来的，△ABC 可以看成由__________绕点O 旋转___________得来．

图13 图14

图10