重庆市2014—2015学年高一数学必修四三角函数导学案加课后作业

§1.1.1 任意角导学案

【学习要求】

1．理解正角、负角、零角与象限角的概念．

2．掌握终边相同角的表示方法．

【学法指导】

1．解答与任意角有关的问题的关键在于抓住角的四个“要素”：顶点、始边、终边和旋转方向．

2．确定任意角的大小要抓住旋转方向和旋转量．

3．学习象限角时，注意角在直角坐标系中的放法，在这个统一前提下，才能对终边落在坐标轴上的角、象限角进行定义.

【知识要点】

1．角的概念

（1）角的概念：角可以看成平面内绕着从一个位置到另一个位置所成的图形．

（2

2．象限角

角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．

3．终边相同的角

所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与的和.

【问题探究】

探究点一角的概念的推广

我们在初中已经学习过角的概念，角可以看作从同一点出发的两条射线组成的平面图形．这种定义限制了角的范围，也不能表示具有相反意义的旋转量．因此，从“旋转”的角度，对角作重新定义如下：一条射线OA绕着端点O旋转到OB的位置所形成的图形叫作角，射线OA叫角的始边，OB叫角的终边，O叫角的顶点．

问题1正角、负角、零角是怎样规定的？问题2根据角的定义，图中角α＝120°；β＝；－α＝；－β＝；γ＝.

问题3经过10小时，分别写出时针和分针各自旋转所形成的角．

问题4如果你的手表快了1.25小时，只需将分针旋转多少度就可以将它校准？

探究点二终边相同的角

今后我们常在直角坐标系内讨论角．为了讨论问题的方便，我们使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合．角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．按照上述方法，在平面直角坐标系中，角的终边绕原点旋转360°后回到原来的位置．终边相同的角相差360°的整数倍．因此，所有与角α终边相同的角(连同角α在内)的集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．

根据终边相同的角的概念，回答下列问题：

问题1已知集合S＝{θ|θ＝k·360°＋60°，k∈Z}，则－240°S,300°S，－1 020°S.(用符号：∈或∉填空)．问题2集合S＝{α|α＝k·360°－30°，k∈Z}表示与角终边相同的角，其中最小的正角是.

问题3已知集合S＝{α

|α＝45°＋k·180°，k∈Z}，则角α的终边落在上

探究点三象限角与终边落在坐标轴上的角

问题1

问题2

问题3写出终边落在x轴上的角的集合S.

问题4写出终边落在y轴上的角的集合T.

【典型例题】

例1在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．

（1）－150°；（2）650°；（3）－950°15′.

跟踪训练1判断下列角的终边落在第几象限内：

（1）1 400°；（2）－2 010°.

例2写出终边落在直线y＝x上的角的集合S，并把S中适合不等式－360°≤β<720°的元素β写出来．

跟踪训练2求终边在直线y＝－x上的角的集合S.

例3 已知α是第二象限角，试确定2α，α

2的终边所在的位置

跟踪训练3 已知α为第三象限角，则α

2

所在的象限是 ( )

A ．第一或第二象限

B ．第二或第三象限

C ．第一或第三象限

D ．第二或第四象限

【当堂检测】

1．－361°的终边落在 ( )

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限 2．下列各角中与330°角终边相同的角是 ( )

A ．510°

B ．150°

C ．－150°

D ．－390° 3．经过10分钟，分针转了________度． 4．写出终边落在坐标轴上的角的集合S .

【课堂小结】

1．对角的理解，初中阶段是以“静止”的眼光看，高中阶段应用“运动”的观点下定义，理解这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转幅度”决定角的“绝对值大小”． 2．关于终边相同角的认识

一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和． 注意：（1）α为任意角． （2）k ·360°与α之间是“＋”号，k ·360°－α可理解为k ·360°＋(－α)．

（3）相等的角终边一定相同；终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍．

（4）k ∈Z 这一条件不能少.

【拓展提高】

【课后作业】

一、基础过关

1． 设A ＝{θ|θ为锐角}，B ＝{θ|θ为小于90°的角}，C ＝{θ|θ为第一象限的角}，D ＝{θ|θ为小于90°的正角}，

则下列等式中成立的是

( )

A ．A ＝B

B ．B ＝

C C ．A ＝C

D ．A ＝D 2． 与405°角终边相同的角是

( )

A ．k ·360°－45°，k ∈Z

B ．k ·180°－45°，k ∈Z

C ．k ·360°＋45°，k ∈Z

D ．k ·180°＋45°，k ∈Z 3． 若α＝45°＋k ·180° (k ∈Z )，则α的终边在

( )

A ．第一或第三象限

B ．第二或第三象限

C ．第二或第四象限

D ．第三或第四象限

4． 若α是第四象限角，则180°－α是 ( )

A ．第一象限角

B ．第二象限角

C ．第三象限角

D ．第四象限角 5． 在－390°，－885°，1 351°，2 012°这四个角中，其中第四象限角的个数为

( )

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

6． 下列说法中，正确的是________．(填序号)

①终边落在第一象限的角为锐角；②锐角是第一象限的角； ③第二象限的角为钝角； ④小于90°的角一定为锐角；

⑤角α与－α的终边关于x 轴对称．

7． 在－180°～360°范围内，与2 000°角终边相同的角为______________． 8． 在与角－2 013°终边相同的角中，求满足下列条件的角．

（1）最小的正角； （2）最大的负角； （3）－720°～720°内的角．

二、能力提升 9． 集合M ＝⎩

⎨⎧

⎭⎬⎫x |x ＝

k ·180°2±45°，k ∈Z ，P ＝⎩⎨⎧⎭

⎬⎫

x |x ＝k ·180°4±90°，k ∈Z ，则M 、P 之间的关系为( ) A ．M ＝P B ．M P C ．P

M

D ．M ∩P ＝∅

10．角α，β的终边关于y 轴对称，若α＝30°，则β＝__________________. 11．已知角x 的终边落在图示阴影部分区域，写出角x 组成的集合．

12．已知角β的终边在直线3x －y ＝0上．

（1）写出角β的集合S ；

（2）写出S 中适合不等式－360°<β<720°的元素．

三、探究与拓展

13．已知α是第一象限角，则角α

3

的终边不可能落在

( )

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限