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平面直角坐标系找规律题型解析
1、如图，正方形ABCD 的顶点分别为A(1,1) B(1，-1) C(-1，-1) D(-1，1)，y 轴上有一点P(0，2)。作点P 关于点A 的对称点p1，作p1关于点B 的对称点p2，作点p2关于点C 的对称点p3，作p3关于点D 的对称点p4，作点p4关于点A 的对称点p5，作p5关于点B 的对称点p6┅，按如此操作下去，则点p2011的坐标是多少？
解法1：对称点P1、P2、P3、P4每4个点，图形为一个循环周期。
设每个周期均由点P1，P2，P3，P4组成。
第1周期点的坐标为：P1(2,0)，P2(0,-2)，P3(-2,0)，P4(0,2)
第2周期点的坐标为：P1(2,0)，P2(0,-2)，P3(-2,0)，P4(0,2)
第3周期点的坐标为：P1(2,0)，P2(0,-2)，P3(-2,0)，P4(0,2)
第n 周期点的坐标为：P1(2,0)，P2(0,-2)，P3(-2,0)，P4(0,2)
2011÷4=502…3，所以点P2011的坐标与P3坐标相同，为（－2，0）
解法2：根据题意，P1（2，0） P2（0，－2） P3（－2，0） P4（0，2）。
根据p1-pn 每四个一循环的规律，可以得出：
P4n （0，2），P4n+1（2，0），P4n+2（0，－2），P4n+3（－2，0）。
2011÷4=502…3，所以点P2011的坐标与P3坐标相同，为（－2，0）
总结：此题是循环问题，关键是找出每几个一循环，及循环的起始点。此题是每四个点一循环，起始点是p 点。
2、在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点O 出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位．其行走路线如下图所示．
（1）填写下列各点的坐标：A4（ ， ），A8（ ， ），A10（ ， ），A12（ ）；
（2）写出点A4n 的坐标（n 是正整数）；
（3）按此移动规律，若点Am 在x 轴上，请用含n 的代数式表示m （n 是正整数）
（4）指出蚂蚁从点A2011到点A2012的移动方向．
（5）指出蚂蚁从点A100到点A101的移动方向．（6）指出A106，A201的的坐标及方向。
解法：（1）由图可知，A4，A12，A8都在x 轴上，
∵小蚂蚁每次移动1个单位， ∴OA4=2，OA8=4，OA12=6，
∴A4（2，0），A8（4，0），A12（6，0）；同理可得出：A10（5，1）
（2）根据（1）OA4n=4n÷2=2n，∴点A4n 的坐标（2n ，0）；
（3）∵只有下标为4的倍数或比4n 小1的数在x 轴上，
∴点Am 在x 轴上，用含n 的代数式表示为：m=4n 或m=4n-1；
（4）∵2011÷4=502…3，
O 1 A 1 A 2 A 3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A 10 A 11 A 12 x
y
∴从点A2011到点A2012的移动方向与从点A3到A4的方向一致，为向右．
（5）点A100中的n正好是4的倍数，所以点A100和A101的坐标分别是A100（50，0）和A101（50，1），所以蚂蚁从点A100到A101的移动方向是从下向上。
（6）方法1：点A1、A2、A3、A4每4个点，图形为一个循环周期。
设每个周期均由点A1，A2，A3，A4组成。
第1周期点的坐标为：A1(0,1)， A2(1,1)， A3(1,0)， A4(2,0)
第2周期点的坐标为：A1(2,1)， A2(3,1)， A3(3,0)， A4(4,0)
第3周期点的坐标为：A1(4,1)， A2(5,1)， A3(5,0)， A4(6,0)
第n周期点的坐标为：A1(2n-2,1)，A2(2n-1,1)，A3(2n-1,0)，A4(2n,0)
106÷4=26…2，所以点A106坐标与第27周期点A2坐标相同,(2×27-1,1)，即(53,1)方向朝下。
201÷4=50…1，所以点A201坐标与第51周期点A1坐标相同,(2×51-2,1)，即(100,1)方向朝右。
方法2：由图示可知，在x轴上的点A的下标为奇数时，箭头朝下，下标为偶数时，箭头朝上。106=104+2，即点A104再移动两个单位后到达点A106，A104的坐标为（52，0）且移动的方向朝上，所以A106的坐标为（53，1），方向朝下。
同理：201=200+1，即点A200再移动一个单位后到达点A201，A200的坐标为（100，0）且移动的方向朝上，所以A201的坐标为（100，1），方向朝右。
3、一只跳蚤在第一象限及x轴、y轴上跳动，在第一秒钟，它从原点跳动到(0，1)，然后接着按图中箭头所示方向跳动[即(0，0)→(0，1) →(1，1) →（1，0）→…]，且每秒跳动一个单位，那么第35秒时跳蚤所在位置的坐标是多少？第42、49、2011秒所在点的坐标及方向？
解法1：到达（1，1）点需要2秒
到达（2，2）点需要2+4秒
到达（3，3）点需要2+4+6秒
到达（n，n）点需要2+4+6+...+2n秒＝n(n+1)秒
当横坐标为奇数时，箭头朝下，再指向右，当横坐标为偶数时，箭头朝上，再指向左。
35=5×6+5，所以第5*6=30秒在（5，5）处，此后要指向下方，再过5秒正好到（5,0）即第35秒在（5，0）处，方向向右。
42=6×7，所以第6×7=42秒在（6，6）处，方向向左
49=6×7+7，所以第6×7=42秒在（6，6）处，再向左移动6秒，向上移动一秒到（0，7）即第49秒在（0，7）处，方向向右
解法2：根据图形可以找到如下规律，当n为奇数是n2秒处在（0，n）处，且方向指向右；当n为偶数时n2秒处在（n，0）处，且方向指向上。
35=62-1，即点（6，0）倒退一秒到达所得点的坐标为（5，0），即第35秒处的坐标为（5，0）方向向右。用同样的方法可以得到第42、49、2011处的坐标及方向。
4、如图，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与x轴或y轴平行．从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次用A1，A2，A3，A4，…表示，顶点A55的坐标是（）
解法1：观察图象，每四个点一圈进行循环，根据点的脚标与坐标寻找规律。
观察图象，点A1、A2、A3、A4每4个点，图形为一个循环周期。
设每个周期均由点A1，A2，A3，A4组成。
第1周期点的坐标为：A1(-1,-1)， A2(-1,1)， A3(1,1)， A4(1,-1)
第2周期点的坐标为：A1(-2,-2)， A2(-2,2)， A3(2,2)， A4(2,-2)
第3周期点的坐标为：A1(-3,-3)， A2(-3,3)， A3(3,3)， A4(3,-3)
第n周期点的坐标为：A1(-n,-n)， A2(-n,n)， A3(n,n)， A4(n,-n)
∵55÷4=13…3，∴A55坐标与第14周期点A3坐标相同,(14,14)，在同一象限
解法2：∵55=4×13+3，∴A55与A3在同一象限，即都在第一象限，
根据题中图形中的规律可得：
3=4×1-1，A3的坐标为（1，1），7=4×2-1，A7的坐标为（2，2），
11=4×3-1，A11的坐标为（3，3）；55=4×14-1，A55（14，14）
5、在平面直角坐标系中，对于平面内任一点（m，n），规定以下两种变换：
（1）f（m，n）=（m，﹣n），如f（2，1）=（2，﹣1）；
（2）g（m，n）=（﹣m，﹣n），如g（2，1）=（﹣2，﹣1）．
按照以上变换有：f[g（3，4）]=f(﹣3,﹣4)=（﹣3，4），那么g[f（﹣3，2）]等于（）解：∵f（﹣3，2）=（﹣3，﹣2），∴g[f（﹣3，2）]=g（﹣3，﹣2）=（3，2），
6、在平面直角坐标系中，对于平面内任一点（a，b），若规定以下三种变换：
1、f（a，b）=（﹣a，b）．如：f（1，3）=（﹣1，3）；
2、g（a，b）=（b，a）．如：g（1，3）=（3，1）；
3、h（a，b）=（﹣a，﹣b）．如：h（1，3）=（﹣1，﹣3）．
按照以上变换有：f(g(2,﹣3))=f(-3，2）=(3,2)，那么f(h(5,-3))等于（）（5，3）
7、一质点P从距原点1个单位的M点处向原点方向跳动，第一次跳动到OM的中点M3处，第二次从M3跳到OM3的中点M2处，第三次从点M2跳到OM2的中点M1处，如此不断跳动下去，则第n次跳动后，该质点到原点O的距离为（）
解：由于OM=1，所有第一次跳动到OM的中点M3处时，OM3=OM=，同理第二次从M3
点跳动到M2处，即在离原点的2处，同理跳动n次后，即跳到了离原点的处
8、如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（1，1），（1，2），（2，2）…根据这个规律，第2012个点的横坐标为（）45 ．
解：根据图形，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于x轴上横坐标的平方，例如：右下角的点的横坐标为1，共有1个，1=12，
右下角的点的横坐标为2时，共有4个，4=22，
右下角的点的横坐标为3时，共有9个，9=32，
右下角的点的横坐标为4时，共有16个，16=42，
右下角的点的横坐标为n时，共有n2个，
∵452=2025，45是奇数，∴第2025个点是（45，0），第2012个点是（45，13），
9、（2007?遂宁）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0）…根据这个规律探究可得，第88个点的坐标为（）．
解：由图形可知：点的横坐标是偶数时，箭头朝上，点的横坐标是奇数时，箭头朝下。
坐标系中的点有规律的按列排列，第1列有1个点，第2列有2个点，第3列有3个点…第n列有n个点。
∵1+2+3+4+…+12=78，∴第78个点在第12列上，箭头常上。
∵88=78+10，∴从第78个点开始再经过10个点，就是第88个点的坐标在第13列上，
坐标为（13，13-10），即第88个点的坐标是（13，3）
10、如图，已知Al（1，0），A2（1，1），A3（﹣1，1），A4（﹣1，﹣1），A5（2，﹣1），…．则点A2007的坐标为（）．
解法1：观察图象，点A1、A2、A3、A4每4个点，图形为一个循环周期。
设每个周期均由点A1，A2，A3，A4组成。
第1周期点的坐标为：A1(1,0)， A2(1,1)， A3(-1,1)， A4(-1,-1)
第2周期点的坐标为：A1(2,-1)， A2(2,2)， A3(-2,2)， A4(-2,-2)
第3周期点的坐标为：A1(3,-2)， A2(3,3)， A3(-3,3)， A4(-3,-3)
第n周期点的坐标为：A1(n,-(n-1))， A2(n,n)， A3(-n,n)， A4(-n,-n)
因为2007÷4=501…3，所以A2007的坐标与第502周期的点A3的坐标相同，即(-502,502) 解法2：由图形以可知各个点（除A1点和第四象限内的点外）都位于象限的角平分线上，位于第一象限点的坐标依次为A2（1，1） A6（2，2） A10（3，3）…A4n﹣2（n，n）。
因为第一象限角平分线的点对应的字母的下标是2，6，10，14，即4n﹣2（n是自然数，n是点的横坐标的绝对值）；
同理第二象限内点的下标是4n﹣1（n是自然数，n是点的横坐标的绝对值）；
第三象限是4n（n是自然数，n是点的横坐标的绝对值）；
第四象限是1+4n（n是自然数，n是点的横坐标的绝对值）；
因为2007÷4=501…3，所以A2007位于第二象限。2007=4n﹣1则n=502，
故点A2007在第二象限的角平分线上，即坐标为（﹣502，502）．
11、如图，一个机器人从O点出发，向正东方向走3米到达A1点，再向正北方向走6米
到达A2点，再向正西方向走9米到达A3点，再向正南方向走12米到达A4点，再向正东方
向走15米到达A5点、按如此规律走下去，当机器人走到A6，A108点D的坐标各是多少。
解法1：观察图象，点A1、A2、A3、A4每4个点，图形为一个循环周期。
设每个周期均由点A1，A2，A3，A4组成。
第1周期点的坐标为：A1(3,0)， A2(3,6)， A3(-6,6)， A4(-6,-6) 第2周期点的坐标为：A1(9,-6)， A2(9,12)， A3(-12,12)， A4(-12,-12) 第3周期点的坐标为：A1(15,-12)， A2(15,18)， A3(-18,18)， A4(-18,-18) 第n周期点的坐标为：A1(6n-3,-(6n-6))，A2(6n-3,6n)， A3(-6n,6n)， A4(-6n,-6n) 因为6÷4=1…2，所以A6的坐标，与第2周期的点A2的坐标相同，即(9,12)
因为108÷4=27，所以A108的坐标与第27周期的点A4的坐标相同，(-6×27, -6×27) 解法2：根据题意可知，A1A2=3,A2A3=6,A3A4=8,A4A5=15,当机器人走到A6点时，A5A6=18米，点A6的坐标是（9，12）；
12、（2013?兰州）如图，在直角坐标系中，已知点A（﹣3，0）、B（0，4），对△OAB 连续作旋转变换，依次得到△1、△2、△3、△4…，则△2013的直角顶点的坐标为（）．
解：∵点A（﹣3，0）、B（0，4），∴AB==5，
由图可知，每三个三角形为一个循环组依次循环，一个循环组前进的长度为：4+5+3=12，∵2013÷3=671，∴△2013的直角顶点是第671个循环组的最后一个三角形的直角顶点，∵671×12=8052，∴△2013的直角顶点的坐标为（8052，0）．
12．（2013?聊城）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），…那么点A4n+1（n为自然数）的坐标为（）
解：由图可知，n=1时，4×1+1=5，点A5（2，1），
n=2时，4×2+1=9，点A9（4，1），
n=3时，4×3+1=13，点A13（6，1），所以，点A4n+1（2n，1）．
13．（2013?湛江）如图，所有正三角形的一边平行于x轴，一顶点在y轴上．从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次用A1、A2、A3、A4…表示，其中A1A2与x轴、底边A1A2与A4A5、A4A5与A7A8、…均相距一个单位，求点A3和 A92的坐标分别是多少，．
解法1：观察图象，点A1、A2、A3、每3个点，图形为一个循环周期。
根据计算A3的坐标是（0，﹣1）
设每个周期均由点A1，A2，A3，组成。
第1周期点的坐标为：A1(-1,-1)， A2(1,-1)， A3(0, ﹣1)
第2周期点的坐标为：A1(-2,-2)， A2(2,-2)， A3(0, )
第3周期点的坐标为：A1(-3,-3)， A2(3,-3)， A3(0, +1)
第n周期点的坐标为：A1(-n,-n)， A2(n,-n)， A3(0, +n-2)，
因为3÷3=1，所以A3的坐标与第1周期的点A3的坐标相同，即(0, ﹣1)
因为92÷3=30…2，所以A92的坐标与第31周期的点A2的坐标相同，即(31, -31) 解法2：∵△A1A2A3的边长为2，∴△A1A2A3的高线为2×=，
∵A1A2与x轴相距1个单位，∴A3O=﹣1，∴A3的坐标是（0，﹣1）；
∵92÷3=30…2，∴A92是第31个等边三角形的初中第四象限的顶点，
第31个等边三角形边长为2×31=62，
∴点A92的横坐标为×62=31，∵边A1A2与A4A5、A4A5与A7A8、…均相距一个单位，∴点A92的纵坐标为﹣31，∴点A92的坐标为（31，﹣31）．
14、如图是某同学在课外设计的一款软件，蓝精灵从O点第一跳落到A1（1，0），第二跳落到A2（1，2），第三跳落到A3（4，2），第四跳落到A4（4，6），第五跳落到A5 ___ ．到达A2n后，要向____方向跳____个单位落到A2n+1．
解：∵蓝精灵从O点第一跳落到A1（1，0），第二跳落到A2（1，2），第三跳落到
A3（4，2），第四跳落到A4（4，6），
∴蓝精灵先向右跳动，再向上跳动，每次跳动距离为次数+1，即可得出：
第五跳落到A5（9，6），到达A2n后，要向右方向跳（2n+1）个单位落到A2n+1．
17．（2012?莱芜）将正方形ABCD的各边按如图所示延长，从射线AB开始，分别在各射线上标记点A1、A2、A3、…，按此规律，点A2012在那条射线上．
点名称射线名称
AB A1 A3 A10 A12 A17 A19 A26 A28 …
CD A2 A4 A9 A11 A18 A20 A25 A27 …
BC A5 A7 A14 A16 A21 A23 A30 A32 …
DA A6 A8 A13 A15 A22 A24 A29 A31 …
根据表格中点的排列规律，可以得到点的坐标是每16个点排列的位置一循环，
因为2012=16×125+12，所以点A2012所在的射线和点 A12所在的直线一样．
因为点A2012所在的射线是射线AB，所以点A2012在射线AB上，故答案为：AB．
18、（2011?钦州）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），…，按这样的运动规律，经过第2011次运动后，动点P的坐标是_________ ．
解法1：观察图象，每4个点，图形为一个循环周期。
设每个周期均由点P1，P2，P3，P4组成。
第1周期点的坐标为：P1(1,1)， P2(2,0)， P3(3, 2)， P4(4,0)
第2周期点的坐标为：P1(5,1)， P2(6,0)， P3(7, 2)， P4(8,0)
第3周期点的坐标为：P1(9,1)， P2(10,0)， P3(11, 2)， P4(12,0)
第n周期点的坐标为：P1(4n-3,1)， P2(4n-2,0)， P3(4n-1, 2)，P4(4n,0)
因为2011÷4=502…3，所以P2011的坐标与第503周期的点P3的坐标相同(503×4-1, 2)，即（2011，2）
解法2、根据动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动
到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），
∴第4次运动到点（4，0），第5次接着运动到点（5，1），…，
∴横坐标为运动次数，经过第2011次运动后，动点P的横坐标为2011，纵坐标为1，0，
2，0，每4次一轮，
∴经过第2011次运动后，动点P的纵坐标为：2011÷4=502余3，故纵坐标为四个数中
第三个，即为2，∴经过第2011次运动后，动点P的坐标是：（2011，2）
19、将正整数按如图所示的规律排列下去．若用有序实数对（n，m）表示第n排，从左到右第m个数，如（4，3）表示实数9，则（7，2）表示的实数是_________ ．
解：第1排的第一个数为1，
第2排的第一个数为2，即2=1+1
第3排的第一个数为4，即4=1+1+2
第4排的第一个数为7，即7=1+1+2+3
第n排的第一个数为1+1+2+3+…+n-1=1+n（n-1）/2
将7带入上式得1+n（n-1）/2=1+7×3=22，所以第七排的第二个数是23，即（7，2）
表示的实数是23.
20、（2011?锦州）如图，在平面直角坐标系上有点A（1，0），点A第一次跳动至点A1
（﹣1，1），第四次向右跳动5个单位至点A4（3，2），…，依此规律跳动下去，点A第100
次跳动至点A100的坐标是（）。点A第103次跳动至点A103的坐标是（）
解法1：观察图象，点A1、A2每2个点，图形为一个循环周期。
设每个周期均由点A1，A2组成。
第1周期点的坐标为：A1(-1,1)， A2(2,1)
第2周期点的坐标为：A1(-2,2)， A2(3,2)
第3周期点的坐标为：A1(-3,3)， A2(4,3)
第n周期点的坐标为：A1(-n,n)， A2(n+1,n)，
因为103÷2=51…1，所以P2011的坐标与第52周期的点A1的坐标相同，即（-52，52）
解法2：（1）观察发现，第偶数次跳动至点的坐标，横坐标是次数的一半加上1，纵坐
标是次数的一半，即第n次跳至点的坐标为
1, 22 n n ?
?
+
?
??．第2次跳动至点的坐标是A2（2，1），第4次跳动至点的坐标是A4（3，2），
第6次跳动至点的坐标是A6（4，3），
第8次跳动至点的坐标是A8（5，4），
第n次跳动至点的坐标是An
1,
22
n n
??
+
?
??，∴第100次跳动至点的坐标是（51，50）．（2）观察发现，第奇数次跳动至点的坐标，横坐标是次数加上1的一半，纵坐标是横坐标的相反数，即第n次跳动至点A n的坐标为
11
,
22
n n
++
??
-
?
??
第1次跳动至点的坐标是A1（-1，1），第3次跳动至点的坐标是A3（-2，2），
第5次跳动至点的坐标是A5（-3，3），第7次跳动至点的坐标是A7（-4，4），
…
第n次跳动至点的坐标是
11
,
22
n n
++
??
-
?
??，
∴第103次跳动至点的坐标是（-52，52）．
21、（2008?泰安）如图，将边长为1的正三角形OAP沿x轴正方向连续翻转2008次，点P依次落在点P1，P2，P3…P2008的位置，则点P2008, P2007的横坐标分别为为( )（）
解法1：观察图象，点P1、P2、P3每3个点，图形为一个循环周期。
设每个周期均由点P1、P2、P3组成。
第1周期点的坐标为：P1(1,0)， P2(1,0), P3(2.5,y)
第2周期点的坐标为：P1(4,0)， P2(4,0), P3(5.5,y)
第3周期点的坐标为：P1(7,0)， P2(7,0), P3(8.5,y)
第n周期点的坐标为：P1(3n-2,0)， P2(3n-2,0)， P3(3n-1+0.5,y)
因为2008÷3=669…1，所以P208的坐标与第670周期的点P1的坐标相同，
(3×670-2，0)，即（2008，0）所以横坐标为2008
因为2007÷3=669，所以P2007的坐标与第669周期的点P3的坐标相同，
(3×669-1+0.5，y)，即（2006.5，y）所以横坐标为2006.5
解法2：观察图形结合翻转的方法可以得出
P1、P2的横坐标是1，P3的横坐标是2.5，
P4、P5的横坐标是4，P6的横坐标是5.5
…依此类推下去，能被3整除的数的坐标是概数减去0.5即为该点的横坐标。
P2005、P2006的横坐标是2005，P2007的横坐标是2006.5，
P2008、P2009的横坐标就是2008．故答案为2008．
2007÷3=667，能被3整除，所以P2007的横坐标为2006.5
其实，关键是确定P2008对应的是P4这样的偶数点还是对应的P8这样的偶数点，可以先观察P3、P6、P9的可以发现3个一循环。由2008÷3=669…1即在第669个循环后面，所以应该是类似P4这样的偶数点，它们的特点是点P4对应的横坐标是4，所以点P2008对应的横坐标是2008
22、（2006?绍兴）如图，将边长为1的正方形OAPB沿z轴正方向连续翻转2006次，点P依次落在点P1，P2，P3，P4，…，P2006的位置，则P2006的横坐标x2006是多少？P2012的横坐标又是多少
解法1：观察图象，点P1、P2、P3、P4每4个点，图形为一个循环周期。
设每个周期均由点P1、P2、P3、P4组成。
第1周期点的坐标为：P1(1,1)， P2(2,0), P3(2,0), P4(3,1)
第2周期点的坐标为：P1(5,1)， P2(6,0), P3(6,0), P4(7,1)
第3周期点的坐标为：P1(9,1)， P2(10,0), P3(10,0), P4(11,1)
第n周期点的坐标为：P1(4n-3,0)，P2(4n-2,0)， P3(4n-2,0), P4(4n-1,1)
因为2006÷4=501…2，所以P2006的坐标与第502周期的点P2的坐标相同，
(4×502-2，0)，即（2006，0）所以横坐标为2006.
因为2012÷4=503，所以P2012的坐标与第503周期的点P4的坐标相同，
(4×503-1，1)，即（2011，1）所以横坐标为2011
解法2：从P到P4要翻转4次，横坐标刚好加4，
∵2006÷4=501…2，
∴501×4﹣1=2003，（之所以减1，是因为p点的起始点的横坐标为-1）
由上式可知，P2006的位置是正方形完成了501次翻转后，还要再翻两次，即完成类似从P到P2的过程，横坐标加3，即2003+3=2006
则P2006的横坐标x2006=2006．故答案为：2006
∵2012÷4=503，即正方形刚好完成了503次翻转
因为每4个一循环，可以判断P2012在503次循环后与P4的一致，坐标应该是2012-1=2011∴P2012的横坐标x2012=2011．
23、(2012山东德州中考,16,4,)如图，在一单位为
1的方格纸上，△123A A A ，△345A A A ，△567A A A ，……，
都是斜边在x 轴上、斜边长分别为2，4，6，……的等腰直角三角形．若△123A A A 的顶点坐标分别为1A (2，0)，2A (1，-1)，3A (0，0)，则依图中所示规律，2012A 的坐标为（ ）
解法1：观察图象，点A1、A2、A3、A4每4个点，
图形为一个循环周期。
设每个周期均由点A1、A2、A3、A4组成。
第1周期点的坐标为：A1(2,0)， A2(1,-1), A3(0,0), A4(2,2)
第2周期点的坐标为：A1(4,0)， A2(1,-3), A3(-2,0), A4(2,4)
第3周期点的坐标为：A1(6,0)， A2(1,-5), A3(-4,0), A4(2,6)
第n 周期点的坐标为：A1(2n,0)， A2(1,-(2n-1)), A3(-(2n-2),0), A4(2,2n)
因为2012÷4=503,所以P2012的坐标与第503周期的点P4的坐标相同，(2,2x503)
即（2，1006）
解法2：画出图像可找到规律，下标为4n(n 为非负整数)的A 点横坐标为2，纵坐标为2n,则2012A 的坐标为（2，1006）．
24、如图，在平面直角坐标系上有个点P （1，0），点P 第1次向上跳动1个单位至点P1（1，1），紧接着第2次向左跳动2个单位至点P2（﹣1，1），第3次向上跳动1个单位，第4次向右跳动3个单位，第5次又向上跳动1个单位，第6次向左跳动4个单位，…，依此规律跳动下去，点P 第100次跳动至点P99，P100，P2009的坐标分别是多少．
解法1：观察图象，点P1、P2、P3、P4每4个点，图形为一个循环周期。
设每个周期均由点P1、P2、P3、P4组成。
第1周期点的坐标为：P1(1,1)， P2(-1,1), P3(-1,2), P4(2,2)
第2周期点的坐标为：P1(2,3)， P2(-2,3), P3(-2,4), P4(3,4)
第3周期点的坐标为：P1(3,5)， P2(-3,5), P3(-3,6), P4(4,6)
第n 周期点的坐标为：P1(n,2n-1)，P2(-n,2n-1)， P3(-n,2n), P4(n+1,2n)
因为99÷4=24…3，所以P99坐标与第25周期点P3的坐标相同(-25,2×25)即(-25，50) A 8
A 7A 6A 4A 2
A 1A 5A 3
x y O
100÷4=25，所以P100的坐标与第25周期的点P4的坐标相同(25+1,2×25)即（26，50）2009÷4=502…1，所以P2009坐标与第503周期点P1的坐标相同(503,2×503-1)即(503，1005)
解法2：经过观察可得：以奇数开头的相邻两个坐标的纵坐标是相同的，所以第100次跳动后，纵坐标为100÷2=50；
其中4的倍数的跳动都在y轴的右侧，那么第100次跳动得到的横坐标也在y轴右侧．P1横坐标为1，P4横坐标为2，P8横坐标为3，依次类推可得到：Pn的横坐标为n÷4+1．故点P100的横坐标为：100÷4+1=26，纵坐标为：100÷2=50，点P第100次跳动至点P100的坐标是（26，50）．
25．在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别是A(-2,5），B(﹣3,﹣1)，C(1,﹣1)，在第一象限内找一点D，使四边形ABCD是平行四边形，那么点D的坐标是多少。
解：由平行四边形的性质，可知D点的纵坐标一定是5；
又由C点相对于B点横坐标移动了1﹣（﹣3）=4，故可得点D横坐标为﹣2+4=2，
即顶点C的坐标（2，5）．
26．（2005?济宁）如图，在直角坐标系中，第一次将△OAB变换成△OA1B1，第二次将△OA1B1变换成△OA2B2，第三次将△OA2B2变换成△OA3B3…
已知：A（1，3），A1（2，3），A2（4，3），A3（8，3）；B（2，0），B1（4，0），B2（8，0），B3（16，0）．观察每次变换前后的三角形有何变化，按照变换规律，第五次变换后得到的三角形A5，B5的坐标分别是多少．
解：A、A1、A2…An都在平行于X轴的直线上，纵坐标都相等，所以A5的纵坐标是3；这些点的横坐标有一定的规律：An=2n．因而点A5的横坐标是25=32；
B、B1、B2…Bn都在x轴上，B5的纵坐标是0；
这些点的横坐标也有一定的规律：Bn=2n+1，因而点B5的横坐标是B5=25+1=64．
∴点A5的坐标是（32，3），点B5的坐标是（64，0）．
27、（2013?湖州一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知点A（0，3），点B是x轴正半轴上的整点，记△AOB内部（不包括边界）的整点个数为m．当点B的横坐标为3n（n为正整数）时，m= （用含n的代数式表示）．
根据题意，分别找出n=1、2、3、4时的整点的个数，不难发现n增加1，整点的个数增加3，然后写出横坐标为3n时的表达式即可．
解：如图，n=1，即点B的横坐标为3时，整点个数为1，
n=2，即点B的横坐标为6时，整点个数为4，
n=3，即点B的横坐标为9时，整点个数为7，
n=4，即点B的横坐标为12时，整点个数为10，
所以，点B的坐标为3n时，整点个数为3n-2．
28、（2013?抚顺）如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别是（-1，-1）、（0，2）、（2，0），点P在y轴上，且坐标为（0，-2）．点P关于点A的对称点为P1，点P1关于点B的对称点为P2，点P2关于点C的对称点为P3，点P3关于点A的对称点为P4，点P4关于点B的对称点为P5，点P5关于点C的对称点为P6，点P6关于点A的对称点为P7…，按此规律进行下去，则点P2013的坐标是
分析：根据对称依次作出对称点，便不难发现，点P6与点P重合，也就是每6次对称为一个循环组循环，用2013除以6，根据商和余数的情况确定点P2013的位置，然后写出坐标即可．
解：如图所示，点P6与点P重合，∵2013÷6=335…3，
∴点P2013是第336循环组的第3个点，与点P3重合，∴点P2013的坐标为（2，-4）．
29、如图，在平面直角坐标系中，A（1，1），B（-1，1），C（-1，-2），D（1，-2）．把一条长为2013个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按A-B-C-D-A-…的规律紧绕在四边形ABCD的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是
解：∵A（1，1），B（-1，1），C（-1，-2），D（1，-2），
∴AB=1-（-1）=2，BC=1-（-2）=3，CD=1-（-1）=2，DA=1-（-2）=3，
∴绕四边形ABCD一周的细线长度为2+3+2+3=10，
2013÷10=201…3，
∴细线另一端在绕四边形第202圈的第3个单位长度的位置，
14．（2013?东营）如图，已知直线l：y=x，过点A（0，1）作y轴的垂线交直线l
于点B，过点B作直线l的垂线交y轴于点A1；过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1，过点B1作直线l的垂线交y轴于点A2；…按此作法继续下去，则点A2013的坐标为（0，42013）或（0，24026）（注：以上两答案任选一个都对）．
分析：根据所给直线解析式可得l与x轴的夹角，进而根据所给条件依次得到点A1，A2的坐标，通过相应规律得到A2013坐标即可．
解答：解：∵直线l的解析式为；y=x，∴l与x轴的夹角为30°，
∵AB∥x轴，∴∠ABO=30°，
∵OA=1，∴AB=，
∵A1B⊥l，∴∠ABA1=60°，
∴AA1=3，∴A1O（0，4），
同理可得A2（0，16），
…
∴A2013纵坐标为：42013，
∴A2013（0，42013）．
故答案为：（0，42013）．
点评：本题考查的是一次函数综合题，先根据所给一次函数判断出一次函数与x轴夹角是解决本题的突破点；根据含30°的直角三角形的特点依次得到A、A1、A2、A3…的点的坐标是解决本题的关键．16．（2012?威海）如图，在平面直角坐标系中，线段OA1=1，OA1与x轴的夹角为30°，线段A1A2=1，
A2A1⊥OA1，垂足为A1；线段A2A3=1，A3A2⊥A1A2，垂足为A2；线段A3A4=1，A4A3⊥A2A3，垂足为A3；…
按此规律，点A2012的坐标为（503﹣503，503+503）．
分析：过点A1作A1B⊥x轴，作A1C∥x轴A2C∥y轴，相交于点C，然后求出点A1的坐标，以及A1C、A2C的长度，并出A2、A3、A4、A5、A6的坐标，然后总结出点的坐标的变化规律，
再把2012代入规律进行计算即可得解．
解答：解：如图，过点A1作A1B⊥x轴，作A1C∥x轴A2C∥y轴，相交于点C，
∵OA1=1，OA1与x轴的夹角为30°，
∴OB=OA1?cos30°=1×=，
A1B=OA1?sin30°=1×=，
∴点A1的坐标为（，），
∵A2A1⊥OA1，OA1与x轴的夹角为30°，
∴∠OA1C=30°，∠A2A1C=90°﹣30°=60°，
∴∠A1A2C=90°﹣60°=30°，
同理可求：A2C=OB=，A1C=A1B=，
所以，点A2的坐标为（﹣，+），
点A3的坐标为（﹣+，++），即（﹣，+1），
点A4的坐标为（﹣﹣，+1+），即（﹣1，+1），
点A5的坐标为（﹣1+，+1+），即（﹣1，+），
点A6的坐标为（﹣1﹣，++），即（﹣，+），
…，
当n为奇数时，点An的坐标为（﹣，+），
当n为偶数时，点An的坐标为（﹣，+），
所以，当n=2012时，﹣=503﹣503，+=503+503，
点A2012的坐标为（503﹣503，503+503）．
故答案为：（503﹣503，503+503）．
标原点，且一组对边与x轴平行，它们的顶点依次用A1、A2、A3、A4、A5、A6、A7、A8、A9、A10、A11、A12…表示，那么顶点A62的坐标是（﹣11，﹣11）．
分析：
=10余2，顶点A62所在的正六边形的边长为（10+1）×2=22，顶点A62在第三象限，继而即可得出答案．
解答：
解：∵=10余2，
∴顶点A62所在的正六边形的边长为（10+1）×2=22，
且顶点A62在第三象限，
其横坐标为﹣=﹣11，纵坐标为﹣=﹣11，
故顶点A62的坐标是（﹣11，﹣11）．
故答案为：（﹣11，﹣11）．
22．（2009?德州）正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如图所示的方式放置．点A1，A2，A3，…
和点C1，C2，C3，…分别在直线y=kx+b（k＞0）和x轴上，已知点B1（1，1），B2（3，2），则Bn的坐
标是（2n﹣1，2n﹣1）．
分析：先求出直线解析式，再寻找规律求解．
解答：解：把A1（0，1），A2（1，2）代入y=kx+b可得y=x+1．可知An的纵坐标总比横坐标多1．由图易知图中所有的三角形的等腰直角三角形，所以B1（1，1），B2（1+2，2），B3（1+2+4，4），
Bn纵坐标为2n﹣1．
观察图可知Bn的横坐标为An+1的横坐标，纵坐标为An的纵坐标．
∴Bn+1纵坐标为2n，则An+1的纵坐标为2n，An+1的横坐标为2n﹣1，则Bn的横坐标为2n﹣1．
则Bn的坐标是（2n﹣1，2n﹣1）．
24．（2008?内江）如图，当四边形PABN的周长最小时，a= ．
分析：因为AB，PN的长度都是固定的，所以求出PA+NB的长度就行了．问题就是PA+NB什么时候最短．把B点向左平移2个单位到B′点；作B′关于x轴的对称点B″，连接AB″，交x轴于P，从而确
定N点位置，此时PA+NB最短．
设直线AB″的解析式为y=kx+b，待定系数法求直线解析式．即可求得a的值．
解答：解：将N点向左平移2单位与P重合，点B向左平移2单位到B′（2，﹣1），
作B′关于x轴的对称点B″，根据作法知点B″（2，1），
设直线AB″的解析式为y=kx+b，
则，解得k=4，b=﹣7．
∴y=4x﹣7．当y=0时，x=，即P（，0），a=．
故答案填：．
天津市近五年高考数学真题分类汇总
天津市近五年高考数学试题分类汇总 [2011 ?天津卷]i是虚数单位，复数1 3i 1 i = C. 1 2i A. 2 i B. 2 i 【答案】A. 1 3i 【解析】'3i(1 3i)(1 i) 42i2 i. 1 i(1 i)(1 i)2 【2010】(1) i是虚数单位，复数 1 3i( 1 2i (A)1 + i(B)5+ 5i (C)-5-5i(D)-1 —i 5i 【2009,1】i是虚数单位，5=( ) 2 i (A) 1+2i(B) -1-2i(C) 1-2i 选择题1:—复数 【考点定位】本小题考查复数的运算，基础 题。) D. 1 2i (D) -1+2i 解析：旦5^ 2 i 5 1 2i，故选择D o 【2008 】 1. ?3 i是虚数单位i i 1() i是虚数单位，i1 (A) 1 (B) 1(C) i(D) i A 【2007】 2i3 1.i是虚数单位，——() 1 i A.1i B.1 i C.1 【答 案】 C 【分 析】2i32i3(1 i)2i(1 i)i 1，故选C 1i (1 i)(1 i)2 D. 1 i 2 (1)i 3 1,i 4 i,i1 复数运算技巧： 4n i 1,i 4n 1 4n 2 i,i 4n 3 hi n n 1n 2n 3 ■ i■ i■ i■ i0 复数概念、复数运算、共轭复数、复数几何意义。 (2)(1 i)2 2i
i i A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 .1 i i,r _ i ⑷设 -1+凋 3 2 1, — 2 3 , 0 2 , 选择题 2: 充要条件与命题 [2011 ? 天津卷］设x,y R,则 2 2 “x 2 且 y 2 ”是“ x y 4 的 充分而不必要条件 A . B .必要而不充分条件 C . 充分必要条件 D .即不充分也不必要条件 【答案 】A 【解 析 】当x 2且y 2时， 「疋有x y 4 ；反过来当 【2010】(3)命题“若f(x)是奇函数，则f(-x)是奇函数”的否命题是 (A) 若f(x)是偶函数，则f(-x)是偶函数 (B) 若f(x)不是奇函数，则f(-x)不是奇函数 (C) 若f(-x)是奇函数，贝U f(x)是奇函数 (D) 若f(-x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数 B 【2009】(3)命题“存在x 0 R , 2x0 0”的否定是 (A )不存在 x 0 R, 2x0 >0 (B )存在 X 。R, 2x0 0 (C )对任意的x R, 2x 0 (D )对任意的x R, 2x >0 【考点定位】本小考查四种命题的改写，基础题。 解析：由题否定即“不存在 x 0 R ，使2x0 0”，故选择D o 【2007 】3." —"是"ta n 2cos — "的 3 2 x 2 y 2 4，不一定有x 2且y 2，例如x 4, y 0也可以，故选A 【2008】(4)设 a,b 是两条直线, 是两个平面，则a b 的一个充分条件是 C (A) a , b 〃 ， (C) a ,b , // (B) a ,b , // (D) a ,b 〃 ,
杠杆各种题型
集训专题（九）A:杠杆(知识体系精编) 1、定义：在力的作用下绕着固定点转动的硬棒叫杠杆。 说明：①杠杆可直可曲，形状任意。 ②有些情况下，可将杠杆实际转一下，来帮助确定支点。如：鱼杆、铁锹。 2、五要素——组成杠杆示意图。 ①支点：杠杆绕着转动的点。用字母O 表示。 ②动力：使杠杆转动的力。用字母F1表示。 ③阻力：阻碍杠杆转动的力。用字母F2表示。 说明动力、阻力都是杠杆的受力，所以作用点在杠杆上。 动力、阻力的方向不一定相反，但它们使杠杆的转动的方向相反 ④动力臂：从支点到动力作用线的距离。用字母l1表示。 ⑤阻力臂：从支点到阻力作用线的距离。用字母l2表示。 画力臂方法：点、线、垂、括、写 ⑴找支点O；⑵画力的作用线（必要时延长或反向延长，虚线）；⑶画力臂（虚线，过支点垂直力的作用线作垂线）；⑷标力臂（大括号）。（5）写明l1或l2 3、研究杠杆的平衡条件： ①杠杆平衡是指：杠杆静止或匀速转动。 ②实验前：应调节杠杆两端的螺母，使杠杆在水平位置平衡。这样做的目的是：便于 直接读出力臂的值 ③结论：杠杆的平衡条件（或杠杆原理）是： 动力×动力臂＝阻力×阻力臂。写成公式F1l1=F2l2也可写成：F1 / F2=l2 / l1 解题指导：分析解决有关杠杆平衡条件问题，必须要画出杠杆示意图；弄清受力与方向和力臂大小；然后根据具体的情况具体分析，确定如何使用平衡条件解决有关问题。（如：杠杆转动时施加的动力如何变化，沿什么方向施力最小等。） 解决杠杆平衡时动力最小问题：此类问题中阻力×阻力臂为一定值，要使动力最小，必须使动力臂最大，要使动力臂最大需要做到①在杠杆上找一点，使这点到支点的距离最 远；②动力方向应该是过该点且和该连线垂直的方向。 说明：应根据实际来选择杠杆，当需要较大的力才能解决问题时，应选择省力杠杆，当为了使用方便，省距离时，应选费力杠杆。“省力杠杆费距离，费力杠杆省距离”
杠杆考题归类点拨
杠杆考题归类点拨 杨庄初中王华林在近几年的中考中，杠杆也是主要的考查内容之一。考试形式主要有选择题、填空题、作图题、计算题和实验探究题等多种题型。考查的知识点包括杠杆的五要素（支点、动力、动力臂、阻力、阻力臂）、杠杆是省力的还是费力的、杠杆平衡条件实验及应用等。在这里，针对有关杠杆的考点，进行归类分析如下： 题型一：会确认并画出杠杆的力臂 点拨： 例1 如图1甲所示的钢丝钳，其中A为剪钢丝处，B为手的用力点，O为转动轴（支点），图乙为单侧钳柄及相连部分示意图，请在图乙中画出剪钢丝时的动力F1、阻力F2、动力臂L1、阻力臂L2 。 点拨：画力臂时必须注意力臂是“支点到力的作用线的距离”，而不是“支点到力的作用点的距离”。力的作用线是通过力的作用点并沿力的方向所画的直线。 答案：如图丙所示。 例2 如图2所示杠杆中，动力臂用L表示，图中所画力臂正确的是（）
点拨：动力臂是“支点到动力的作用线的距离”，画动力臂时应从支点向动力的作用线作垂线。四个图中只有D是正确的。 答案：D 题型二：判断是省力杠杆还是费力杠杆 例3 下列工具中，属于省力杠杆的是( ) A．夹邮票用的镊子 B．理发师修剪头发用的剪刀 C．剪铁丝用的钢丝钳 D．钓鱼用的鱼竿 点拨：根据杠杆平衡条件，我们把杠杆分为三类：省力杠杆、费力杠杆和等臂杠杆。如果动力臂比阻力臂长，就是省力杠杆；如果动力臂比阻力臂短，就是费力杠杆；如果动力臂和阻力臂相等，就是等臂杠杆。上面例子的实质都是考查的杠杆的分类。A、B、D三种杠杆均是阻力臂大于动力臂，所以它们都是费力杠杆。 答案：C 例4 人体的运动系统相当复杂，但最基本的运动形式是，骨骼在肌肉提供的动力作用下绕关节转动。如图3所示是手端起茶杯的情景，其前臂骨骼相当于杠杆，肱二头肌收缩提供动力。由图3可以
杠杆和滑轮分类习题精选(精编文档).doc
【最新整理，下载后即可编辑】 滑轮分类习题精选 专题一：滑轮----竖直方向上提升问题 1、如下左图所示，物体A 重20N ，滑轮重1N ，绳重不计，弹簧秤示数为25N ，则物体B 的重为_________N 。地面对物体A 的支持力______N. 2、如下右图所示，已知物重为G ，则各图中的拉力F 各为多少？（滑轮组及摩擦不计） 3、用定滑轮匀速提升重物，所用拉力的方向如下左图所示，不计摩擦，比较拉力F1、F2、F3的大小（ ） A 、F 1＞F 2＞F 3 B 、F 1=F 2=F 3 C 、F 1＜F 2＜F 3 D 、F 2＞F 3＞F 1 4、如上中图所示，人对绳的自由端拉力F 都相等，且物体处于静止状态，不计滑轮重和摩擦，比较四个物体重力，最大的是 （ ） A 、G 1 B 、G 2 C 、G 3 D 、G 4
专题二:滑轮-----水平方向上拉动物体 1、在下左图中，物体A 的重力为G ，拉力F 的作用下，物体沿水平桌面做匀速直线运动，已知物体受到的摩擦力为f,则人对绳的拉力F 的大小等于 （ ） A 、0.5G B.2G C. 0.5f D.2f 2、如上右图所示，若拉力F ＝900牛顿，物体A 重1500牛顿，不计滑轮重和绳与滑轮间摩擦。当绳子自由端移动3米，则沿水平方向匀速拉动物体A 前进时，物体A 与地面间摩擦力是______ 3、如下左图所示，在水平面桌面上放一个摩擦力为40N ，匀速拉动物体时，水平拉力F 应为 。 4、如上中图所示的装置中，已知重物G1=500N 虑摩擦和其他阻力情况下，使重物G1于 。 5、如上右图所示，当F=100N 时，A. 100N B. 200N C. 50N D. 150N 6、如图所示的三个滑轮分别拉同一物体沿同一水平地面做匀速直线运动，所用的拉力分别为1 F 、2 F 、3 F ，那么，下列关系式中正确的是（ ）
中考复习：二次函数题型分类总结
【二次函数的定义】 （考点：二次函数的二次项系数不为0，且二次函数的表达式必须为整式） 1、下列函数中，是二次函数的是 . ①y=x2－4x+1；②y=2x2；③y=2x2+4x；④y=－3x； ⑤y=－2x－1；⑥y=mx2+nx+p；⑦y =(4,x) ；⑧y=－5x。 2、在一定条件下，若物体运动的路程s（米）与时间t（秒）的关系式为s=5t2+2t，则t＝4 秒时，该物体所经过的路程为。 3、若函数y=(m2+2m－7)x2+4x+5是关于x的二次函数，则m的取值范围为。 4、若函数y=(m－2)x m －2+5x+1是关于x的二次函数，则m的值为。 6、已知函数y=(m－1)x m2 +1+5x－3是二次函数，求m的值。 【二次函数的对称轴、顶点、最值】 （技法：如果解析式为顶点式y=a(x－h)2+k，则最值为k； 如果解析式为一般式y=ax2+bx+c，则最值为4ac-b2 4a 1．抛物线y=2x2+4x+m2－m经过坐标原点，则m的值为。 2．抛物y=x2+bx+c线的顶点坐标为（1，3），则b＝，c＝ . 3．抛物线y＝x2＋3x的顶点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4．若抛物线y＝ax2－6x经过点(2，0)，则抛物线顶点到坐标原点的距离为( ) B. 5．若直线y＝ax＋b不经过二、四象限，则抛物线y＝ax2＋bx＋c( ) A.开口向上，对称轴是y轴 B.开口向下，对称轴是y轴 C.开口向下，对称轴平行于y轴 D.开口向上，对称轴平行于y轴 6．已知抛物线y＝x2＋(m－1)x－1 4 的顶点的横坐标是2，则m的值是_ . 7．抛物线y=x2+2x－3的对称轴是。 8．若二次函数y=3x2+mx－3的对称轴是直线x＝1，则m＝。 9．当n＝______，m＝______时，函数y＝(m＋n)x n＋(m－n)x的图象是抛物线，且其顶点在原点，此抛物线的开口________. 10．已知二次函数y=x2－2ax+2a+3，当a= 时，该函数y的最小值为0.
杠杆各种分类题型
杠杆各种分类题型 题型一：作图 1、请画出下列实物中杠杆的五要素（有的可能已画出）并判断杠杆的类型 L1 O F2 C A B 2、最大动力臂，最小动力问题 A 1.物体M 在杠杆AOBC 作用下如上图位置静止，试在 C 点作出使杠杆在如图位置平衡时的最小力（O 为支点）。 2.一同学要将一轮子推上石阶，请在图中作出该同学将轮子推上石阶所用的最小力 F 的杠杆示意图． 3.画出使轻质杠杆保持平衡的最小的力 F 的示意图（要求保留徽图痕迹） 4.如图所示是一侧带有书柜的办公桌，现在要用一个最小的力将其一端稍抬离地面。请画出这个力的方向和这个力 的力臂，并用“ O ”标明这个“杠杆”的支点。 5、画出使杠杆平衡的最小的力的示意图。 题型二：计算
铝 1. 如图 14 所示是锅炉的保险阀门．当阀门受到的蒸汽压力超过其安全值时，阀 门就会自动打开．如果 OB =2m ，OA =0.5m ，阀门的底面积 S =1cm2 ，锅炉内 图 14 气体的安全压强值 P =6 ×105 帕，则 B 处所挂的物体 G 重为多少 N ． 2. 如图所示是一种起重机的简图，用它把质量为 4t ，底面积为 2m2 的货物 G 匀速 提起。（取 g ＝ 10N/kg ）问： （ 1）当货物静止于水平地面时，它对地面的压强是多少？ （ 2）吊起货物时，为使起重机不翻倒，其右边至少要配一个质量为多大的物体？ 已知： OA ＝ 10m ， OB ＝ 5m 。（起重机本身重力不计） 3. 光滑的长木板 AB 长为 1.6m ，可绕固定点 O 转动， 离 O 点 0.4m 的 B 端挂一重物 G ，板 的另一端 A 用一根与板成 90 角的细绳 AC 拉住，处于平衡状态， 这时此绳拉力为 1.96N ， 如图所示，现在转轴 O 放一质量为 240g 的圆球，并使球以 20cm/s 的速度由 O 点沿长木板向 A 端匀速滚动，问小球由 O 点经过多长时间，系在 A 端的细绳拉力刚好减为 0 ？ 4. 如图所示，杠杆 AB 是一根粗细均匀的木杆，其质量为 116g , C 是用细绳挂在木杆上 O 点的铜铝合金球，其中含 铝 54g ， 现 杠 杆 恰 好 在 水 平 位 置 平 衡 ， 量 得 AO 1 AB ， AO 8 1 AB ， 求 合 金 球 C 的 密 度 （ 已 知 4 8.9g/cm 3 , 2.7g/cm 3 ） 5. 如图， 用测力计将长杆一端 A 微微抬离地面， 测力计示数是 F 1 ；同理， 用测力计将长杆的另一端 B 微微抬离地面， 测力计示数是 F 2 ．则长杆的重力是（测力计保持竖直向上） （ ） A ． F 1 F 2 2 F B. F 1 F 2 C ． 1 F 2 D ． F 1 F 2 题型三：力 F 大小的变化判断： 1. 如图 1 所示的轻质杠杆 OA 上悬挂着一重物 G ，O 为支点，在 A 端用力使杠杆平衡。下列叙述正确的是（ ） A ．此杠杆一定是省力杠杆 B ．沿竖直向上方向用力最小 C ．此杠杆可能是省力杠杆，也可能是费力杠杆 D ．沿杠杆 OA 方向用力也可以使杠杆平衡 铜
杠杆练习题带答案
第十二章简单机械 第1节杠杆 第1课时杠杆及其平衡条件 1．认识杠杆的形状： (1)不一定所有的杠杆都像“杠”或“棒”，有的杠杆像“板”或“片”． (2)杠杆可以是直的，也可以是弯的． (3)杠杆的支点可以在杠杆的一端，也可以在杠杆上其他位置． 2．杠杆支点与动力方向和阻力方向之间的关系：若支点在杠杆中间，两力方向基本相同；若支点在杠杆的一 端，两力方向应该相反． 3．动力和阻力都是杠杆受到的力，前者促使杠杆转动，后者阻碍杠杆转动，它们的作用效果总是相反的． 4．运用公式F1l1＝F2l2进行计算时，力的单位应该用牛顿，而力臂的单位可以是米、分米、厘米，但动 力臂和阻力臂的单位一定要统一．注意这时力与力臂的乘积不是计算功，单位也不是焦耳． 1．力臂是点到线(“支点”到“力的作用线”)的距离，而不是点到点(“支点”到“力的作用点”)的距离． 2．杠杆的平衡条件是力与力臂的乘积相等，既不是力相等，也不是力臂相等．运用杠杆平衡条件分析问题时， 当力与力臂的乘积相等时，则杠杆处于平衡状态，否则杠杆不平衡． 1课前预习 知识点1 杠杆及其五要素 1．________________________________硬棒叫杠杆． 2．杠杆绕着转动的固定点叫做________，使杠杆转动的力叫________，阻碍杠杆转动的力叫________，支点到动力作用线的距离叫 ________，支点到阻力作用线的距离叫________． 知识点2 杠杆的平衡条件 3．当杠杆处于______状态或__________状态时，我们就说杠杆平衡了． 4．杠杆平衡条件是：动力×________＝阻力×________，即F1×______＝F2×________． 02 当堂训练 1．关于杠杆，下列说法正确的是( ) A．杠杆必须是一根直棒B．杠杆一定有支点 C．当力的作用线通过支点时，力臂最大D．动力臂就是支点到动力作用点的距离 2．(潍坊中考)如图所示，活塞式抽水机手柄可以看作是绕O点转动的杠杆，它在动力F1和阻力F2的作用下，处于平衡状态，则 ( ) A．F1·OC＝F2·OAB．F1·OD＝F2·OB C．F1·OE＝F2·OAD．F1·OE＝F2·OB
经典杠杆练习题+答案
杠杆练习题 1．如图所示，用老虎钳拧图钉时： （1）动力的作用点在点，方向向； （2）阻力的作用点在点，方向向。 2．关于杠杆，下列说法正确的是（） A．杠杆是一根直的硬棒Ｂ．支点到动力作用点的连线就是动力臂 Ｃ．力臂是支点到力作用线的距离Ｄ．力臂是力作用点到支点的距离 3．在图1中画出力F1、F2对支点O的力臂，并分别用字 母L1、L2表示。 4．如图所示，杠杆处于平衡状态，力Ｆ的力臂是（） A．ＯＡ Ｂ．ＯＣ Ｃ．ＯＤ Ｄ．ＯＦ 5．在下两图中画出动力臂Ｌ１和阻力臂Ｌ２． 6．左下图是一种常见的活塞式抽水机示意图，在图中画出手柄所受动力F1的力臂及阻力．7.杠杆AB处于平衡状态，请作出力臂L对应的力的示意图． 8．如下图所示的杠杆，请画出杠杆的动力臂和阻力臂．
9．在右图中画出斜面上“不倒翁”受重力的示意图，并画出重力相对于Ｏ点的力臂l 1．(黑点表示“不倒翁”的重心) 10．如图甲所示的钢丝钳，A为剪钢丝处，B为手的用力点，0为转动轴，图乙为单侧钳柄及相连部分示意图。请在图乙中画出剪钢丝时的动力F1、阻力F2、动力臂l1、阻力臂l2。11．如图，一个绕O点转动的杠杆，已知阻力F2的方向，以及动力F1的力臂，在图中补全F2的力臂以及动力F1。 12．如图，作出右上图的杠杆受到动力和动力臂。 杠杆练习题
1．如图所示，用老虎钳拧图钉时： （1）动力的作用点在B 点，方向向下； （2）阻力的作用点在A 点，方向向 下 。 2．关于杠杆，下列说法正确的是（ ） A ．杠杆是一根直的硬棒 Ｂ．支点到动力作用点的连线就是动力臂 Ｃ．力臂是支点到力作用线的距离 Ｄ．力臂是力作用点到支点的距离 3．在图1中画出力F 1、F 2对支点O 的力臂，并分别用字 母L 1、L 2表示。 4．如图所示，杠杆处于平衡状态，力Ｆ的力臂是（B ） A ．ＯＡ Ｂ．ＯＣ Ｃ．ＯＤ Ｄ．ＯＦ 5．在下两图中画出动力臂Ｌ１和阻力臂Ｌ２． 6．左下图是一种常见的活塞式抽水机示意图，在图中画出手柄所受动力F1的力臂及阻力． 7.杠杆AB 处于平衡状态，请作出力臂L 对应的力的示意图． 8．如下图所示的杠杆，请画出杠杆的动力臂和阻力臂． L 2 L 1 L 1 L 2 L 2 L 1 L 1 L 2 F 2 F 2 L 2 L 1 F L 2 L 1 L 1 L 2 L 1 L 2
三角函数题型分类总结
专题 三角函数题型分类总结 三角函数公式一览表 ............................................................................................................... 错误！未定义书签。 一 求值问题 ........................................................................................................................................................... - 1 - 练习 ................................................................................................................................................................. - 1 - 二 最值问题 ........................................................................................................................................................... - 2 - 练习 ................................................................................................................................................................. - 3 - 三 单调性问题 ....................................................................................................................................................... - 3 - 练习 ................................................................................................................................................................. - 3 - 四.周期性问题 ........................................................................................................................................................ - 4 - 练习 ................................................................................................................................................................. - 4 - 五 对称性问题 ....................................................................................................................................................... - 5 - 练习 ................................................................................................................................................................. - 5 - 六.图象变换问题 .................................................................................................................................................... - 6 - 练习 ................................................................................................................................................................. - 7 - 七．识图问题 ......................................................................................................................................................... - 7 - 练习 ................................................................................................................................................................. - 9 - 一 求值问题 类型1 知一求二 即已知正余弦、正切中的一个，求另外两个 方法：根据三角函数的定义，注意角所在的范围（象限），确定符号； 例 4 s i n 5 θ=，θ是第二象限角，求cos ,tan θθ 类型2 给值求值 例1 已知2tan =θ，求（1） θ θθθsin cos sin cos -+；（2）θθθθ2 2cos 2cos .sin sin +-的值. 练习 1、sin 330?= tan 690° = o 585sin = 2、（1）α是第四象限角，12 cos 13 α=，则sin α= （2）若4 sin ,tan 05 θθ=- >，则cos θ= . （3）已知△ABC 中，12 cot 5 A =-，则cos A = . (4) α是第三象限角，2 1)sin(=-πα，则αcos = )25cos(απ += 3、(1) 已知5 sin ,5 α= 则44sin cos αα-= .
三年高考(2017-2019)理科数学高考真题分类汇总：函数的综合及其应用
函数的综合及其应用 一、选择题 1．（2017天津）已知函数23,1, ()2 , 1.x x x f x x x x ?-+? =?+>? ? ≤设a ∈R ，若关于x 的不等式()||2x f x a +≥在R 上恒成立，则a 的取值范围是 A ．47[,2]16 - B ．4739 [,]1616- C ．[- D ．39 []16 - A 【解析】解法一 根据题意，作出()f x 的大致图象，如图所示 当1x ≤时，若要()| |2x f x a +≥恒成立，结合图象，只需2 3()2 x x x a -+-+≥，即2302x x a -++≥，故对于方程2302x x a -++=，21 ()4(3)02a ?=--+≤，解得 4716a -≥；当1x >时，若要()||2x f x a +≥恒成立，结合图象，只需22 x x a x ++≥， 即22x a x +≥，又222x x +≥，当且仅当2 2x x =，即2x =时等号成立，所以2a ≤，综上，a 的取值范围是47 [,2]16 - ．选A ． 解法二 由题意()f x 的最小值为114，此时12 x =．不等式()||2x f x a +≥在R 上恒成立 等价于11 | |24 x a +≤在R 上恒成立． 当a =-1 2 x = ，11|| |28x -=>，不符合，排除C 、D ； 当3916a = 时，令12x =，394311 ||||216168 x +=>，不符合，排除B ．选A ． 二、填空题 x
1．（2017山东）若函数e ()x f x (e=2．71828L ，是自然对数的底数)在()f x 的定义域上单 调递增，则称函数()f x 具有M 性质，下列函数中具有M 性质的是 ． ①()2 x f x -= ②2 ()f x x = ③()3 x f x -= ④()cos f x x = ①④【解析】①()2()2 x x x x e e f x e -=?=在R 上单调递增，故()2x f x -=具有M 性质； ②()3()3 x x x x e e f x e -=?=在R 上单调递减，故()3x f x -=不具有M 性质； ③3 ()x x e f x e x =?，令3 ()x g x e x =?，则3 2 2()3(2)x x x g x e x e x x e x '=?+?=+， ∴当2x >-时，()0g x '>，当2x <-时，()0g x '<， ∴3()x x e f x e x =?在(),2-∞-上单调递减，在()2,-+∞上单调递增， 故()3 f x x =不具有M 性质； ④2 ()(2)x x e f x e x =+，令()() 22x g x e x =+， 则22 ()(2)2[(1)1]0x x x g x e x e x e x '=++?=++>， ∴2()(2)x x e f x e x =+在R 上单调递增，故2()2f x x =+具有M 性质． 2．（2017江苏）设()f x 是定义在R 且周期为1的函数，在区间[0,1)上，2,(),x x D f x x x D ?∈=? ??其中集合1 {|,}n D x x n n -==∈*N ，则方程()lg 0f x x -=的解的个数是 ． 8【解析】由于，则需考虑的情况， 在此范围内，且时，设，且互质， 若，则由，可设，且,m n 互质， 因此，则，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾， 因此， ()[0,1)f x ∈110x ≤ Lesson 1 杠杆 一、知识点梳理 1、杠杆定义：在力的作用下绕着固定点转动的硬棒叫杠杆。 说明：①杠杆可直可曲，形状任意。 ②有些情况下，可将杠杆实际转一下，来帮助确定支点。如：鱼杆、铁锹。 ①支点：杠杆绕着转动的点。用字母O 表示。 ②动力：使杠杆转动的力。用字母 F1表示。 ③阻力：阻碍杠杆转动的力。用字母 F2表示。 说明：动力、阻力都是杠杆的受力，所以作用点在杠杆上。 动力、阻力的方向不一定相反，但它们使杠杆的转动的方向相反 支点一定在杠杆上面 ④动力臂：从支点到动力作用线的距离。用字母l1表示。 ⑤阻力臂：从支点到阻力作用线的距离。用字母l2表示。 画力臂方法：一找支点、二画线、三连距离、四标签 ⑴找支点O；⑵画力的作用线（虚线）；⑶画力臂（虚线，过支点垂直力的作用线作 垂线）；⑷标力臂（大括号）。（用两端带相反方向箭头的实线也可以用来表示力臂） 3、研究杠杆的平衡条件： 杠杆平衡是指：杠杆静止或匀速转动。 实验前：应调节杠杆两端的螺母，使杠杆在水平位置平衡。这样做的目的是：可以方便的从 杠杆上量出力臂，也可以消除杠杆自重对实验的影响 ⑴结论：杠杆的平衡条件（或杠杆原理）是： 动力×动力臂＝阻力×阻力臂。写成公式F1l1=F2l2也可写成：F1 / F2=l2 / l1 ⑵解题指导：分析解决有关杠杆平衡条件问题，必须要画出杠杆示意图；弄清受力与方向和 力臂大小；然后根据具体的情况具体分析，确定如何使用平衡条件解决有关问题。（如：杠 杆转动时施加的动力如何变化，沿什么方向施力最小等。） ⑶解决杠杆平衡时动力最小问题：此类问题中阻力×阻力臂为一定值，要使动力最小，必须 使动力臂最大，要使动力臂最大需要做到①在杠杆上找一点，使这点到支点的距离最远；② 三角函数高考题型分类总结 一．求值 1.若4sin ,tan 05 θθ=->，则cos θ=. 2.α是第三象限角，2 1)sin(= -πα，则αcos =)25cos(απ+= 3.若角α的终边经过点(12)P -，，则αcos = tan 2α= 4.下列各式中，值为 2 3 的是 ( ) （A ）2sin15cos15?? （B ）?-?15sin 15cos 22（C ）115sin 22-?（D ）?+?15cos 15sin 22 5.若02,sin απαα≤≤> ，则α的取值范围是： ( ) （Ａ）,32ππ?? ???（Ｂ）,3ππ?? ???（Ｃ）4,33ππ?? ???（Ｄ）3,32 ππ ?? ??? 二.最值 1.函数()sin cos f x x x =最小值是。 2.若函数()(1)cos f x x x =+，02 x π ≤< ，则()f x 的最大值为 3.函数()cos 22sin f x x x =+的最小值为最大值为。 4．已知函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间,34ππ?? - ???? 上的最小值是2-，则ω的最小值等于 5.设02x π?? ∈ ??? ，，则函数22sin 1sin 2x y x +=的最小值为． 6．将函数x x y cos 3sin -=的图像向右平移了n 个单位，所得图像关于y 轴对称，则n 的最小正值是 A ． 6π7 B ．3π C ．6π D ．2 π 7.若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ，两点，则MN 的最大值为（ ） A ．1 B C D ．2 8.函数2 ()sin cos f x x x x =+在区间,42ππ?? ? ??? 上的最大值是 ( ) A.1 32 杠杆的旋转问题常见题型 杠杆的旋转问题常见题型（直接利用杠杆平衡条件） 利用杠杆平衡条件的一般步骤： 1、找支点 2、找两个力的作用点、作用方向及大小 *注：对于复杂的图形，可能要利用受力分析才能找到两个力的大小，这时可根据物体所处的平衡状态（匀速直线运动和静止状态）必定受到平衡力的原则，将物体受到的两个力或者三个力标出其作用方向，再利用平衡力的等式可求得力的大小 3、找对应的两个力臂 FL=FL4、列出平衡等式2211并代入两个力和力臂相关的已知量（第2、3步已找到的） 5、通过计算求得未知量，或通过等式变形分析未知量的变化 一、选择题 1、某人将一根木棒的一端抬起，另一端搁 在地上；在抬起的过程中（棒竖直时除外），所用的力始终竖直向上，则用力的大小： 、逐渐 B、保持不变；A 增大；、先减 D C、逐渐减小；小后增大。放在水平桌面上，尺子伸、密度均匀的直尺AB2端B出桌面的部分OB是全尺长的三分之一，当端刚刚开始翘起，如的重物时，直尺的挂5NA- 2 - 图，则此直尺受到的重力是： A．2.5N B．5N C．10N D．无法确定 3、O为杠杆的支点，在杠杆的右端B点挂 为圆心的弧形导轨，绳A一重物．MN是以可以在E的一端系在杠杆的A点，另一端端从导轨E弧形导轨上自由滑动．当绳的点滑动的过程中，杠杆始MN点向另一端的一端AE对杠杆拉力的变化情况是：终水平，绳．先变大，后变小 A ．先变小，后 变大 B ．一直变小C ．一直变大D （杠杆顺时G、如图的杠杆提升重物4 到达水平位置之前，OB针方向转动）的方向始终保持与F的过程中，若力 FOA垂直，则力的大小将：逐渐变大A. ; B. 逐渐减小; 先变小后变D. 先变大后变小C. ; . 大 - 3 - 将木F5、象图那样，用始终垂直于与木头的力 函数综合题分类复习 题型一：关于函数的单调区间（若单调区间有多个用“和”字连接或用“逗号”隔开），极值，最值；不等式恒成立；此类问题提倡按以下三个步骤进行解决： 第一步：令 0)('=x f 得到两个根；第二步：列表如下；第三步：由表可知； 不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，常见处理方法有四种： 第一种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----题型特征（已知谁的范围就把谁作为主元）；第二种：分离变量求最值（请同学们参考例5）；第三种：关于二次函数的不等式恒成立；第四种：构造函数求最值----题型特征 )()(x g x f >恒成立 0)()()(>-=?x g x f x h 恒成立；参考例4； 例1.已知函数32 1()23 f x x bx x a =-++，2x =是)(x f 的一个极值点． （Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若当[1, 3]x ∈时，2 2()3 f x a ->恒成立，求a 的取值范围． 例2.已知函数b ax ax x x f +++=2 3)(的图象过点)2,0(P . （1）若函数)(x f 在1-=x 处的切线斜率为6，求函数)(x f y =的解析式；（2）若3>a ，求函数)(x f y =的单调区间。 例3.设2 2(),1 x f x x = +()52(0)g x ax a a =+->。 （1）求()f x 在[0,1]x ∈上的值域； （2）若对于任意1[0,1]x ∈，总存在0[0,1]x ∈,使得01()()g x f x =成立,求a 的取值范围。 例4.已知函数 32()f x x ax =+图象上一点(1,)P b 的切线斜率为3-， 32 6()(1)3(0)2 t g x x x t x t -=+-++> （Ⅰ）求,a b 的值； （Ⅱ）当[1,4]x ∈-时，求()f x 的值域； （Ⅲ）当[1,4]x ∈时，不等式()()f x g x ≤恒成立，求实数t 的取值范围。 例5.已知定义在R 上的函数 32()2f x ax ax b =-+） （0>a 在区间[]2,1-上的最大值是5，最小值是－11. （Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）若]1,1[-∈t 时，0(≤+'tx x f ）恒成立，求实数x 的取值范围. 例6.已知函数 2233)(m nx mx x x f +++=，在1-=x 时有极值0，则=+n m 例7.已知函数23)(a x x f =图象上斜率为3的两条切线间的距离为 510 2，函数33)()(2 2 +-=a bx x f x g ． （1） 若函数)(x g 在1=x 处有极值，求)(x g 的解析式； （2） 若函数)(x g 在区间]1,1[-上为增函数，且)(42 x g mb b ≥+-在区间]1,1[-上都成立，求实数m 的取值范围． 答案： 1、解：（Ⅰ） '2()22f x x bx =-+. ∵2x =是)(x f 的一个极值点， ∴2x =是方程2 220x bx -+=的一个根，解得32 b =. 令'()0f x >，则2 320x x -+>，解得1x <或2x >. ∴函数()y f x =的单调递增区间为(, 1)-∞，(2, +)∞. （Ⅱ）∵当(1,2)x ∈时 '()0f x <，(2,3)x ∈时'()0f x >， ∴ ()f x 在（1，2）上单调递减，()f x 在（2，3）上单调递增. ∴(2)f 是()f x 在区间[1，3]上的最小值，且 2 (2)3 f a = +. 若当[1, 3]x ∈时，要使 22()3f x a -> 恒成立，只需22(2)3f a >+， 即2 2233 a a +>+，解得 01a <<. 2、解：（Ⅰ）a ax x x f ++='23)(2 ． 由题意知? ??=+-=-'==623)1(2)0(a a f b f ，得 ???=-=23b a ． ∴ 233)(23+--=x x x x f ． （Ⅱ）023)(2=++='a ax x x f ． ∵ 3>a ，∴ 01242>-=?a a ． 2011-15成考数学真题题型分类汇总（文） 一、 集合与简易逻辑 (2011) 已知集合A={1,2,3,4}, B={x|—1 A C B F2 L1 O A 杠杆各种分类题型 题型一：作图 1、请画出下列实物中杠杆的五要素（有的可能已画出）并判断杠杆的类型 2、最大动力臂，最小动力问题 1．物体M在杠杆AOBC作用下如上图位置静止，试在C点作出使杠杆在如图位置平衡时的最小力（O为支点）。2．一同学要将一轮子推上石阶，请在图中作出该同学将轮子推上石阶所用的最小力F的杠杆示意图． 3．画出使轻质杠杆保持平衡的最小的力F的示意图（要求保留徽图痕迹） 4.如图所示是一侧带有书柜的办公桌，现在要用一个最小的力将其一端稍抬离地面。请画出这个力的方向和这个力的力臂，并用“O”标明这个“杠杆”的支点。 5、画出使杠杆平衡的最小的力的示意图。 题型二：计算 1．如图 14所示是锅炉的保险阀门．当阀门受到的蒸汽压力超过其安全值时，阀 门就会自动打开．如果OB =2m ，OA =0.5m ，阀门的底面积S =1cm2，锅炉 内气体的安全压强值P =6×105帕，则B 处所挂的物体G 重为多少N ． 2．如图所示是一种起重机的简图，用它把质量为4t ，底面积为2m2的货物G 匀速提起。（取g ＝10N/kg ）问： （1）当货物静止于水平地面时，它对地面的压强是多少？ （2）吊起货物时，为使起重机不翻倒，其右边至少要配一个质量为多大的物体？ 已知：OA ＝10m ，OB ＝5m 。（起重机本身重力不计） 3.光滑的长木板AB 长为1.6m ，可绕固定点O 转动，离O 点0.4m 的B 端挂一重物G ，板的另一端A 用一根与板成90?角的细绳AC 拉住，处于平衡状态，这时此绳拉力为1.96N ， 如图所示，现在转轴O 放一质量为240g 的圆球，并使球以20cm/s 的速度由O 点沿长木板向A 端匀速滚动，问小球由O 点经过多长时间，系在A 端的细绳拉力刚好减为0？ 4.如图所示，杠杆AB 是一根粗细均匀的木杆，其质量为116,g C 是用细绳挂在木杆上O '点的铜铝合金球，其中含 铝54g ，现杠杆恰好在水平位置平衡，量得18AO AB '=，1 4 AO AB =，求合金球C 的密度（已知 338.9g/cm , 2.7g/cm ρρ==铜铝） 5.如图，用测力计将长杆一端A 微微抬离地面，测力计示数是1F ；同理，用测力计将长杆的另一端B 微微抬离地面，测力计示数是2F ．则长杆的重力是（测力计保持竖直向上）（ ） A ．12 2F F + B ．12F F + C ．12F F D ．12F F ? 题型三：力F 大小的变化判断： 1．如图1所示的轻质杠杆OA 上悬挂着一重物G ，O 为支点，在A 端用力使杠杆平衡。下列叙述正确的是（ ） A ．此杠杆一定是省力杠杆 B ．沿竖直向上方向用力最小 C ．此杠杆可能是省力杠杆，也可能是费力杠杆 D ．沿杠杆OA 方向用力也可以使杠杆平衡 图14杠杆知识点-重难点-最新题目-杠杆教案
三角函数知识点及题型归纳
杠杆的旋转问题常见题型
2020高考数学函数与导数综合题型分类总结
关于历年成人高考数学真题分类汇总文
杠杆各种分类题型汇总情况