习题答案第二章

第二章 开放式光腔与高斯光束
习题
1．试利用往返矩阵证明共焦腔为稳定腔，即任意傍轴光线在其中可以往返无限多次，而且两次往返即自行闭合。

证：设光线在球面镜腔内的往返情况如下图所示：
其往返矩阵为：
由于是共焦腔，有
12R R L ==
往返矩阵变为
若光线在腔内往返两次，有
可以看出，光线在腔内往返两次的变换矩阵为单位阵，所以光线两次往返即自行闭合。

于是光线在腔内往返任意多次均不会溢出腔外，所以共焦腔为稳定腔。

2．试求平凹、双凹、凹凸共轴球面镜腔的稳定性条件。

解：共轴球面腔的稳定性条件为0<g 1•g 2<1,其中g 1=1-1R L ,g 2=1-2
R L
（a 对平凹腔：R 2=∞,则g 2
=1,
1222
12
1112101
01122110101212(1) 222222[(1)][(1)(1)]A B L L T C D R R L L L R R L L L L R R R R R R ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫-- ⎪
⎪= ⎪-+----- ⎪⎝⎭1001T -⎛⎫
= ⎪
-⎝⎭
2
1001T ⎛⎫= ⎪
⎝⎭
0<1-
1
R L
<1，即0<L<R 1 (b)对双凹腔：0<g 1•g 2<1, 0<⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-
21R L 1R L 1<1 L
R >1，
L R >2或L R <1L R <2且
L
R R >+21
(c)对凹凸腔：R 1=1R ,R 2=-2R ,
0<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-21R L 1R L 1<1，L R >1且L
R R <-||21
3．激光器的谐振腔由一面曲率半径为1m 的凸面镜和曲率半径为2m 的凹面镜组成，工作物质长0.5m ，其折射率为1.52，求腔长L 在什么范围内是稳定腔。

解：设两腔镜1M 和2M 的曲率半径分别为1R 和2R ，121m,2m R R =-= 工作物质长0.5m l =，折射率 1.52η= 根据稳定条件判据： 其中
由(1)解出 2m 1m L '>> 由(2)得 所以得到：
2.17m 1.17m L >>
4．图2.1所示三镜环形腔，已知l ，试画出其等效透镜序列图，并求球面镜的曲率半径R 在什么范围内该腔是稳定腔。

图示环形腔为非共轴球面镜腔。

在这种情况下，对于在由光轴组成的平面内传输的子午光线，式(2.2.7)中的(cos )/2f R θ=，对于在与此垂直的平面内传输的弧矢光线，/(2cos )f R θ=，θ为光轴与球面镜法线的夹角。

011 1 (1)
21L L ''⎛
⎫⎛⎫<-+< ⎪⎪⎝
⎭⎝⎭() (2)
l
L L l η
'=-+
1
0.5(1)0.171.52
L L L ''=+⨯-
=+
图2.1
解：
22222101
011211110101442132221A B l l C D f f
l l l l f f f l l f l f ⎛⎫⎛⎫
⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪
⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎛⎫-+- ⎪
⎪= ⎪-- ⎪⎝⎭
()221312l l A D f f
+=-+ 稳定条件 223111l l
f f
-<-+<
左边有 22320210l l
f f l l f f -+>⎛⎫⎛⎫--> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
所以有
21l l
f f
><或 对子午线： 对弧矢线： 有：
或 所以
同时还要满足子午线与弧失线
cos 2R
f θ=子午2cos R f θ
=
弧失
223cos L R θ
<
<21
cos L
R θ
<R R <<
>或
5．有一方形孔径的共焦腔氦氖激光器，L =30cm ，20.12cm d a ==，λ=632.8nm ，镜的反射率为121,0.96r r ==，其他的损耗以每程0.003估计。

此激光器能否作单模运转？如果想在共焦镜面附近加一个方形小孔阑来选择00TEM 模，小孔的边长应为多大？试根据图2.5.5作一个大略的估计。

氦氖增益由公式计算。

解：设01TEM 模为第一高阶模，并且假定00TEM 和01TEM 模的小信号增益系数相同，用0
g 表示。

要实现单模运转，必须同时满足下面两个关系式
根据已知条件求出腔的菲涅耳数
由图2.5.5可查得00TEM 和01TEM 模的单程衍射损耗为
氦氖增益由公式
计算。

代入已知条件有0
e 1.075g l
=。

将0
e g l 、00δ、01δ、1r 和2r 的值代入I 、II 式，两式的
左端均近似等于1.05，由此可见式II 的条件不能满足，因此该激光器不能作单模运转。

为了获得基模振荡，在共焦镜面附近加一个方形小孔阑来增加衍射损耗。

若满足II 式的条件，则要求
010.047δ>
根据图2.5.5可以查出对应于01δ的腔菲涅耳数
'0.90N <
4
e 1310g l l
d
-=+
⨯0
0001e 0.003) 1 I e 0.003) 1 II
g g δδ-->--<22
7
0.06 1.930632.810
a N L λ-===⨯⨯8.37006
011010δδ--≈≈0
4
e 1310g l L d
-=+
⨯923
R R <<>或
由菲涅耳数的定义可以算出相应的小孔阑的边长
220.83mm
a==
因此，只要选择小孔阑的边长略小于0.83mm即可实现
00
TEM模单模振荡。

6．试求出方形镜共焦腔面上
30
TEM模的节线位置，这些节线是等距分布的吗？
解：在厄米高斯近似下，共焦腔面上的
30
TEM模的场分布可以写成
令X=，则I式可以写成
()
22
(/)
30303
(,)H e
x y
L
v x y C Xλπ
+
-
=
式中()
3
H X为厄米多项式，其值为
()3
3
H8-12X
X X
=
由于厄米多项式的零点就是场的节点位置，于是令()
3
H0
X=，得
123
0;
X X X
===
考虑到
0s
ω=
所以，
30
TEM模在腔面上有三条节线，其x坐标位置分别在0
和
0s
/2处，节线之间
0s
/2；而沿y方向没有节线分布。

8．今有一球面腔，
1
1.5m
R=，
2
1m
R=-，80cm
L=。

试证明该腔为稳定腔；求出它的等价共焦腔的参数；在图上画出等价共焦腔的具体位置。

解：该球面腔的g参数为
由此，
12
0.85
g g=，满足谐振腔的稳定性条件
12
01
g g
<<，因此，该腔为稳定腔。

两反射镜距离等效共焦腔中心O点的距离和等价共焦腔的焦距分别为
22
(/)
30303
(,)H e I
x y
L
v x y Cλπ
+
-
⎫
=⎪⎪
⎭
120s30s
0;;
x x x
===
1
1
10.47
L
g
R
=-=
2
2
1 1.8
L
g
R
=-
=
2
1
12
1
2
12
()
1.31m
()()
()
0.51m
()()
0.50m
L R L
z
L R L R
L R L
z
L R L R
f
-
==-
-+-
--
==-
-+-
==
根据计算得到的数据，在下图中画出了等价共焦腔的具体位置。

14．某高斯光束腰斑大小为0ω=1.14mm ，=10.6μm λ。

求与束腰相距30cm 、10m 、1000m 远处的光斑半径ω及波前曲率半径R 。

解：入射高斯光束的共焦参数
根据 求得：
15．若已知某高斯光束之0ω=0.3mm ，=632.8nm λ。

求束腰处的q 参数值，与束腰相距30cm 处的q 参数值，以及在与束腰相距无限远处的q 值。

解：入射高斯光束的共焦参数
等价共焦腔
200.385m
f πωλ
==2
(z)=()f R z z z
ωω=+
2
044.7cm
f πωλ
==
根据0()q z z q z if =+=+，可得 束腰处的q 参数为：(0)44.7cm q i =
与束腰相距30cm 处的q 参数为：(30)(3044.7)cm q i =+ 与束腰相距无穷远处的q 参数为：e m R (),I ()44.7cm q q →∞=
16．某高斯光束0ω=1.2mm ，=10.6μm λ。

今用F =2cm 的锗透镜来聚焦，当束腰与透镜的距离为10m 、1m 、10cm 、0时，求焦斑的大小和位置，并分析所得的结果。

解：入射高斯光束的共焦参数
又已知2
2.010m F -=⨯，根据 得
从上面的结果可以看出，由于f 远大于F ，所以此时透镜一定具有一定的聚焦作用，并且不论入射光束的束腰在何处，出射光束的束腰都在透镜的焦平面上。

17．2CO 激光器输出光=10.6μm λ，0ω=3mm ，用一F =2cm 的凸透镜距角，求欲得到
'0μm ω=20及μm 2.5时透镜应放在什么位置。

解：入射高斯光束的共焦参数
已知
2
2.010m F -=⨯，根据 得
020μm ω'=时， 1.39m
l =，即将透镜放在距束腰1.39m 处；
200.427m
f πωλ
==2
22
0()()l F F l F l F f ω-'=+
-+'=
2
0 2.67m
f πωλ
==0ω'=
l F =
0 2.5μm ω'=时，23.87m l =，即将透镜放在距束腰23.87m 处。

18．如图2.2光学系统，入射光=10.6μm λ，求"
0ω及3l 。

图2.2
解：先求经过一个透镜的作用之后的束腰半径及位置 由于11l F =，所以
11l F '==2cm
所以对第二个透镜，有
213cm l l l '=-=
已知20.05m F =，根据
得
014.06μm ω''=，38.12cm l =
cm
2=ωcm
F 2=cm
F 52=00
22.49μm
F λωπω'==240 1.49910m
f πωλ
-'==
⨯2223222
20()()l F F l F l F f ω-=+
-+'''=
19．某高斯光束0ω=1.2mm ，=10.6μm λ。

今用一望远镜将其准直。

主镜用镀金反射镜R =1m ，口径为20cm ；副镜为一锗透镜，1F =2.5cm ，口径为1.5cm ；高斯束腰与透镜相距l =1m ，如图2.3所示。

求该望远系统对高斯光束的准直倍率。

图2.3
解：入射高斯光束的共焦参数为
由于1F 远远的小于l ，所以高斯光束经过锗透镜后将聚焦于前焦面上，得到光斑的束腰半径为
这样可以得到在主镜上面的光斑半径为
即光斑尺寸并没有超过主镜的尺寸，不需要考虑主镜孔径的衍射效应。

这个时候该望远系统对高斯光束的准直倍率为
20．激光器的谐振腔有两个相同的凹面镜组成，它出射波长为λ的基模高斯光束，今给定功率计，卷尺以及半径为a 的小孔光阑，试叙述测量该高斯光束共焦参数f 的实验原理及步骤。

2
00.427m
f πωλ
=
=00
0.028mm
ωω'==0()6cm 10cm R R λ
ωπω'≈
=<
'
101.9
M ==
2
01
2ln(
)P a A P P πλ
=
-解： 一、实验原理
通过放在离光腰的距离为z 的小孔(半径为a )的基模光功率为
(I)
式中，0P 为总的光功率，()P z 为通过小孔的光功率。

记1()P P z =，则有
(II)
注意到对基模高斯光束有
在(II)式的两端同时乘以/πλ，则有
令
(III)
则
解此关于f 的二次方程，得
因为a 、0P 、1P 、z 都可以通过实验测得，所以由(III)及(IV)式就可以求得基模高斯光束的共焦参数f 。

二、实验步骤
2
22()
0()(1e
)a z P z P ω-
=-2
2
001
2()ln()a z P P P ω=
-222
0(),z z f f f πωπωλλ=+=22001
2ln()
z P a f P P f πλ+=-2
z f A
f
+=2A f =
1．如上图所示，在高斯光束的轴线上某一点B处放入于光轴垂直的光阑(其孔半径为a)，用卷尺测量出B到光腰O(此题中即为谐振腔的中心)的距离z；
P；
2．用激光功率计测出通过小孔光阑的光功率
1
P；
3．移走光阑，量出高斯光束的总功率
4．将所得到的数据代入(III)及(IV)式即可求出f(根据实际情况决定(IV)式根号前正负号的取舍)。