工程数学作业答案

工程数学作业（第二次）(满分

100分)

（一）单项选择题(每小题2分，共16分)

⒈用消元法得x x x x x x 12323324102+-=+=-=⎧⎨⎪⎩

⎪的解x x x 123⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥为（C ）． A. [,,]102-' B. [,,]--'722 C. [,,]--'1122 D. [,,]---'1122

⒉线性方程组x x x x x x x 12313232326334

++=-=-+=⎧⎨⎪

⎩

⎪（B ）．

A. 有无穷多解

B. 有唯一解

C. 无解

D. 只有零解

⒊向量组100010001121304⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤

⎦

⎥⎥⎥,,,,的秩为（ A ）． A. 3 B. 2 C. 4 D. 5

⒋设向量组为αααα12341100001110101111=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤

⎦

⎥

⎥⎥⎥,,,，则（B ）是极大无关组．

A. αα12,

B. ααα123,,

C. ααα124,,

D. α1

⒌A 与A 分别代表一个线性方程组的系数矩阵和增广矩阵，若这个方程组无解，则（D ）．A

A. 秩()A =秩()A

B. 秩()A <秩()A

C. 秩()A >秩()A

D. 秩()A =秩()A -1 ⒍若某个线性方程组相应的齐次线性方程组只有零解，则该线性方程组（A ）． A. 可能无解 B. 有唯一解 C. 有无穷多解 D. 无解 ⒎以下结论正确的是（D ）．

A. 方程个数小于未知量个数的线性方程组一定有解

B. 方程个数等于未知量个数的线性方程组一定有唯一解

C. 方程个数大于未知量个数的线性方程组一定有无穷多解

D. 齐次线性方程组一定有解

⒏若向量组ααα12,,,Λs 线性相关，则向量组内（A ）可被该向量组内其余向量线性表出．

A. 至少有一个向量

B. 没有一个向量

C. 至多有一个向量

D. 任何一个向量

9．设A ，Ｂ为n 阶矩阵，λ既是Ａ又是Ｂ的特征值，x 既是Ａ又是Ｂ的属于λ的特征向量，则结论（D ）成立．

Ａ．λ是AB 的特征值 Ｂ．λ是A+B 的特征值

Ｃ．λ是A －B 的特征值 Ｄ．x 是A+B 的属于λ的特征向量

10．设Ａ，Ｂ，Ｐ为n 阶矩阵，若等式（Ｃ ）成立，则称Ａ和Ｂ相似． Ａ．BA AB = Ｂ．AB AB =')( Ｃ．B PAP =-1 Ｄ．B P PA =' （二）填空题(每小题2分，共16分)

⒈当λ= １ 时，齐次线性方程组x x x x 12120

+=+=⎧⎨

⎩λ有非零解．

⒉向量组[][]αα12000111==,,,,,线性 相关 ．

⒊向量组[][][][]123120100000,,,,,,,,,,,的秩是 ３ ．

⒋设齐次线性方程组ααα1122330x x x ++=的系数行列式ααα1230=，则这个方程组有 无穷多 解，且系数列向量ααα123,,是线性 相关 的． ⒌向量组[][][]ααα123100100===,,,,,的极大线性无关组是21,αα．

⒍向量组ααα12,,,Λs 的秩与矩阵[]ααα12,,,Λs 的秩 相同 ．

⒎设线性方程组AX =0中有5个未知量，且秩()A =3，则其基础解系中线性无关的解向量有 ２ 个．

⒏设线性方程组AX b =有解，X 0是它的一个特解，且AX =0的基础解系为X X 12,，则AX b =的通解为22110X k X k X ++．

9．若λ是Ａ的特征值，则λ是方程0=-A I λ的根． 10．若矩阵Ａ满足A A '=-1 ，则称Ａ为正交矩阵． （三）解答题(第1小题9分，其余每小题11分)

1．用消元法解线性方程组x x x x x x x x x x x x x x x x 12341

234

12341234

326

38502412432

---=-++=-+-+=--+--=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

解：

⎥

⎥⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎢

⎢⎣⎡-----−−→−⎥⎥

⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢

⎢⎣⎡---------−−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----------=+-+++++-261210009039270018871048231901843

1

0018501887106123

1231411214120518361231413

21

2413

12

15323r r r r r r r r r r r r A ⎥

⎥

⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎢

⎢⎣⎡----−−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢

⎢⎣⎡----−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----−−→−+-+-+---+331100041100461501012442001136500411001887104823190113650012330018871048231901432

31

33

43

4571931213r r r r r r r r r r ⎥

⎥⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎢

⎢⎣⎡--−−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----−−→−++-+-310

01

0100100102000

1310004110046150101244200134241

44

1542111r r r r r r r ∴方程组解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==-==3

1124321x x x x ２．设有线性方程组λλλλλ11111112

⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎤

⎦

⎥⎥

⎥x y z λ为何值时，方程组有唯一解?或有无穷多解? 解：

⎥⎥

⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+-+---−−→−⎥⎥

⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡------−−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−→−⎥⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎢⎣⎡=++-+-↔22

322222)1)(1()1)(2(00)1(11011111011011111111111111113

231213

1λλλλλλλλλ

λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλr r r r r r r r A ］