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2020-2021学年北师大版高中数学必修二《解析几何初步》单元同步训练1及解析
最新（新课标）北师大版高中数学必修二解析几何初步习题课(四)【课时目标】 1．巩固圆的方程的两种形式，并熟练应用圆的方程解决有关问题．2．熟练掌握直线与圆、圆与圆的位置关系的判定及应用．1．圆的方程⎩⎨⎧①圆的标准方程： ，其中 为圆心，r 为半径.②圆的一般方程：其中( >0).2．直线与圆的位置关系的判定(d 表示圆心到直线的距离，r 表示圆半径)⎩⎨⎧相交⇔d<r ；相离⇔ ；相切⇔.3．圆与圆的位置关系(d 表示两圆圆心距，R 、r 表示两圆半径且R ≥r)⎩⎪⎨⎪⎧外离⇔d>R ＋r ；外切⇔d ＝R ＋r ；相交⇔R －r<d<R ＋r ；内切⇔d ＝R －r ；内含⇔d<R －r.一、选择题1．圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0的圆心坐标和半径分别是( ) A ．(1，－2)，5 B ．(1，－2)， 5 C ．(－1,2)，5 D ．(－1,2)， 52．以线段AB ：x ＋y －2＝0(0≤x ≤2)为直径的圆的方程为( ) A ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2B ．(x －1)2＋(y －1)2＝2 C ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝8 D ．(x －1)2＋(y －1)2＝83．直线x －3y ＝0绕原点按逆时针方向旋转30°所得直线与圆x 2＋y 2－4x ＋1＝0的位置关系是( )A ．相交且过圆心B ．相交但不过圆心C ．相切D ．相离4．若圆x 2＋y 2－2ax ＋3by ＝0的圆心位于第三象限，则直线x ＋ay ＋b ＝0一定不经过( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．直线l 与直线3x ＋4y －15＝0垂直，与圆x 2＋y 2－18x ＋45＝0相切，则直线l 的方程是( )A ．4x －3y －6＝0B ．4x －3y －66＝0C ．4x －3y －6＝0或4x －3y －66＝0D ．4x －3y －15＝06．方程4－x 2＝k(x －2)＋3有两个不等实根，则k 的取值范围为( )A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤512，34B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞C ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，512D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫512，34二、填空题7．过点M(0,4)，且被圆(x－1)2＋y2＝4截得的线段长为23的直线方程为______________．8．一束光线从点A(－1,1)出发经x轴反射到圆(x－2)2＋(y－3)2＝1上的最短路程为________．9．集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝4}，B＝{(x，y)|(x－3)2＋(y－4)2＝r2}，其中r>0，若A∩B中有且仅有一个元素，则r的值是________．三、解答题10．有一圆C与直线l：4x－3y＋6＝0相切于点A(3,6)，且经过点B(5,2)，求此圆的标准方程．11．已知圆C：x2＋y2－2x－4y－20＝0及直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y＝7m＋4(m∈R)．(1)证明：不论m取什么实数，直线l与圆C总相交；(2)求直线l被圆C截得的弦长的最小值及此时的直线方程．能力提升12．已知曲线C：(x－1)2＋y2＝1，点A(－1,0)及点B(2，a)，从点A观察点B，要使视线不被曲线C拦住，则a的取值范围是( )A．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B．(－∞，－3)∪(3，＋∞)C．(3，＋∞)D．(－∞，－33)∪(33，＋∞)13．已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA、PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A、B是切点，C是圆心，求四边形PACB面积的最小值．习题课(四) 答案知识梳理1．①(x－a)2＋(y－b)2＝r2(a，b)②x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 D2＋E2－4F2．d>r d＝r作业设计1．D2．B [线段AB两端点为(0,2)、(2,0)，∴圆心为(1,1)，半径r＝2，∴选B．]3．C [直线旋转后为y＝3x，圆心(2,0)到该直线距离d＝r．∴选C．]4．D [圆的标准方程为(x －a)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋32b 2＝a 2＋94b 2．圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，－32b ．∴a<0，b>0．∴y ＝－1a x －ba不过第四象限．]5．C [设直线方程为4x －3y ＋m ＝0，由直线与圆相切得m ＝－6或－66．] 6．A [在同一平面直角坐标系中分别画出y ＝4－x 2(就是x 2＋y 2＝4，y ≥0)和y ＝k(x －2)＋3的图象．如图所示，问题就转化为两条曲线有两个交点的问题，需k PA <k ≤k PB ，k PB ＝3－02－(－2)＝34，对于k(x －2)－y ＋3＝0，因为直线与圆相切，所以d ＝r ，即|－2k ＋3|k 2＋1＝2， 解得k PA ＝512．所以k 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤512，34．]7．x ＝0或15x ＋8y －32＝0解析 设直线方程为x ＝0或kx －y ＋4＝0．当直线方程为x ＝0时，弦长为23符合题意；当直线方程为kx －y ＋4＝0时，d ＝|k －0＋4|k 2＋1＝22－(3)2＝1，解得k ＝－158，因此直线方程为15x ＋8y －32＝0．8．4解析 点A 关于x 轴的对称点A ′(－1，－1)，转化为求A ′(－1，－1)到圆上的点的距离的最小值问题，其最小值为(2＋1)2＋(3＋1)2－1＝4．9．3或7解析 这是以集合为载体考查两圆位置关系． ∵A ∩B 中有且仅有一个元素，∴两圆x 2＋y 2＝4与(x －3)2＋(y －4)2＝r 2相切， O(0,0)，C(3,4)，|OC|＝5，r 1＝2，r 2＝r ， 故2＋r ＝5，或r －2＝5，∴r ＝3或7．10．解 设所求圆的圆心为O ，则OA ⊥l ，又设直线OA 与圆的另一交点为P ．所以直线OA 的斜率为－34．故直线OA 的方程为y －6＝－34(x －3)，即3x ＋4y －33＝0．又因为k AB ＝2－65－3＝－2，从而由平面几何知识可知k PB ＝12，则直线PB 的方程为x －2y －1＝0．解方程组⎩⎨⎧ 3x ＋4y －33＝0，x －2y －1＝0，得⎩⎨⎧x ＝7，y ＝3.即点P 的坐标为(7,3)．因为圆心为AP 的中点⎝ ⎛⎭⎪⎫5，92，半径为OA ＝52，故所求圆的标准方程为(x －5)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －922＝254．11．(1)证明 把直线l 的方程改写成 (x ＋y －4)＋m(2x ＋y －7)＝0，由方程组⎩⎨⎧ x ＋y －4＝02x ＋y －7＝0，解得⎩⎨⎧x ＝3y ＝1，所以直线l 总过定点(3,1)．圆C 的方程可写成(x －1)2＋(y －2)2＝25，所以圆C 的圆心为(1,2)，半径为5．定点(3,1)到圆心(1,2)的距离为(3－1)2＋(1－2)2＝5<5，即点(3,1)在圆内．所以过点(3,1)的直线总与圆相交，即不论m 取什么实数，直线l 与圆C 总相交．(2)解 设直线与圆交于A 、B 两点．当直线l 过定点M(3,1)且垂直于过点M 的圆C 的半径时，l 被截得的弦长|AB|最短．因为|AB|＝2|BC|2－|CM|2＝225－[(3－1)2＋(1－2)2]＝220＝45，此时k AB ＝－1k CM＝2，所以直线AB 的方程为y －1＝2(x －3)，即2x －y －5＝0．故直线l 被圆C 截得的弦长最小值为45，此时直线l 的方程为2x －y －5＝0． 12．B [视线即切线，切线与直线x＝2交点以下部分和以上部分即为视线看得见的部分，圆的切线方程为y＝±33(x＋1)．当x＝2时，y＝±3，所以a∈(－∞，－3)∪(3，＋∞)，故选B．]13．解方法一从运动的观点看问题，当动点P沿直线3x＋4y＋8＝0向左上方或向右下&知识就是力量&方无穷远处运动时，直角三角形PAC 的面积S Rt △PAC ＝12|PA|·|AC|＝12|PA|越来越大，从而S 四边形PACB 也越来越大；当点P 从左上、右下两个方向向中间运动时，S 四边形PACB 变小，显然，当点P 到达一个最特殊的位置，即CP 垂直直线时，S四边形PACB 应有唯一的最小值，此时|PC|＝|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3， 从而|PA|＝|PC|2－|AC|2＝22．∴(S 四边形PACB )min ＝2×12×|PA|×|AC| ＝22． 方法二 利用等价转化的思想，设点P 坐标为(x ，y)，则|PC|＝(x －1)2＋(y －1)2， 由勾股定理及|AC|＝1，得|PA|＝|PC|2－|AC|2＝(x －1)2＋(y －1)2－1，从而S 四边形PACB ＝2S △PAC＝2·12|PA|·|AC| ＝|PA|＝(x －1)2＋(y －1)2－1，从而欲求S 四边形PACB 的最小值，只需求|PA|的最小值，只需求|PC|2＝(x －1)2＋(y －1)2的最小值，即定点C(1,1)与直线上动点P(x ，y)距离的平方的最小值，它也就是点C(1,1)到直线3x ＋4y ＋8＝0的距离的平方，这个最小值d 2＝(|3×1＋4×1＋8|32＋42)2＝9， ∴(S 四边形PACB )min ＝9－1＝22．。
新教材北师大版高中数学必修第二册第二章平面向量及其应用 学案(知识点考点汇总及配套习题)
第二章平面向量及其应用1从位移、速度、力到向量........................................................................................ - 1 - 2从位移的合成到向量的加减法................................................................................ - 8 - 3从速度的倍数到向量的数乘.................................................................................. - 23 - 4平面向量基本定理及坐标表示.............................................................................. - 35 - 5从力的做功到向量的数量积.................................................................................. - 52 - 6平面向量的应用...................................................................................................... - 67 -1从位移、速度、力到向量学习任务核心素养1．理解向量的有关概念及向量的几何表示．(重点) 2．掌握共线向量、相等向量的概念．(难点)3．正确区分向量平行与直线平行．(易混点)通过向量的有关概念的学习，培养数学抽象素养．(1)起重机吊装物体时，物体既受到竖直向下的重力作用，同时又受到竖直向上的起重机拉力的作用．(2)民航每天都有从北京飞往上海、广州、重庆、哈尔滨等地的航班．民航客机飞行一次，位移变化一次，由于飞行的距离和方向各不相同，因此，它们是不同的位移．阅读教材，结合上述情境回答下列问题：问题1：上述情境涉及哪些物理量？其特点是什么？ 问题2：在物理中，位移与路程是同一个概念吗？为什么？ 问题3：平行向量一定是相等向量吗？ 知识点1 向量的概念数学中，我们把既有大小又有方向的量统称为向量，而把那些只有大小没有方向的量称为数量(如年龄、身高、体积等).两个数量可以比较大小，那么两个向量能比较大小吗？ [提示] 数量之间可以比较大小，而两个向量不能比较大小． 知识点2 向量的表示方法(1)具有方向和长度的线段，叫作有向线段．以A 为起点，B 为终点的有向线段，记作AB →，线段AB 的长度也叫作有向线段AB →的长度，记作⎪⎪⎪⎪AB →.(2)向量可以用有向线段来表示．有向线段的长度表示向量的大小，即长度(也称模)，记作|a |.箭头所指的方向表示向量的方向．知识点3 零向量与单位向量(1)长度为0的向量称为零向量，记作0或0→； (2)模等于1个单位长度的向量，叫作单位向量．1.把平行于某一条直线的所有向量归结到共同的起点，则终点构成的图形是________；若这些向量是单位向量，则终点构成的图形是________．[答案] 一条直线 两个点 知识点4 向量的基本关系(1)相等向量：长度相等且方向相同的向量，叫作相等向量，记作a ＝b . (2)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫共线向量；a 平行于b ，记作a ∥b ；规定零向量与任一向量共线．(3)相反向量：长度相等且方向相反的向量，叫作相反向量，a 的相反向量记作－a ；规定零向量的相反向量是零向量．2.下列说法错误的是( ) A ．若a ＝0，则||a ＝0 B ．零向量是没有方向的C ．零向量与任意向量平行D ．零向量与任意向量垂直B [零向量的长度为0，方向是任意的，它与任何向量都平行、垂直，所以B 是错误的．]知识点5 向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a 和b ，在平面内选一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a 与b 的夹角；(2)夹角的大小与向量共线、垂直的关系：θ＝0°⇔a 与b 同向；θ＝180°⇔a 与b 反向；θ＝90°⇔a ⊥b ，规定：零向量与任一向量垂直．3.等边△ABC 中，AB→与AC →的夹角是________，AB →与BC →的夹角是________．[答案] 60° 120°类型1 向量的有关概念【例1】 判断下列命题是否正确，并说明理由． (1)a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ；(2)若AB→＝DC →，则A 、B 、C 、D 四点是平行四边形的四个顶点； (3)在平行四边形ABCD 中，一定有AB →＝DC →；(4)若向量a 与任一向量b 平行，则a ＝0.[解] (1)当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，故|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件，故(1)不正确．(2)AB→＝DC →，A 、B 、C 、D 四点可能在同一条直线上，故(2)不正确． (3)在平行四边形ABCD 中，|AB →|＝|DC →|，AB →与DC →平行且方向相同，故AB →＝DC →，(3)正确．(4)零向量的方向是任意的，与任一向量平行，(4)正确．1.向量共线即表示共线向量的有向线段在同一条直线上或平行．2.熟知向量的基本概念，弄清基本概念之间的区别与联系是解决向量概念辨析题的基础．[跟进训练]1．已知O 是△ABC 的外心，则AO →，BO →，CO →是( ) A ．相等向量 B ．平行向量 C ．模相等的向量 D ．起点相同的向量C [⎪⎪⎪⎪AO →＝⎪⎪⎪⎪BO →＝⎪⎪⎪⎪CO →＝r .] 类型2 向量的表示【例2】 (教材北师版P 75例1改编)一辆消防车从A 地去B 地执行任务，先从A 地向北偏东30°方向行驶2千米到D 地，然后从D 地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C 地，从C 地又向南偏西30°方向行驶了2千米才到达B 地．(1)在如图所示的坐标系中画出AD →，DC →，CB →，AB →； (2)求B 地相对于A 地的位置向量．[解] (1)向量AD →，DC →，CB →，AB →，如图所示． (2)由题意知AD →＝BC →， ∴AD 与BC 平行且相等， ∴四边形ABCD 为平行四边形， ∴AB →＝DC →，∴B 地相对于A 地的位置向量为“北偏东60°，6千米”．准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点．用有向线段来表示向量是向量的几何表示，必须确定起点、长度和终点，三者缺一不可．[跟进训练]2．在如图的方格纸中，画出下列向量．(每个小正方形的边长为1).(1)|OA →|＝4，点A 在点O 正北方向；(2)|OB →|＝22，点B 在点O 东偏南45°方向；(3)画一个以C 为起点的向量c ，使|c |＝2，并说出c 的终点的轨迹是什么？ [解] (1)(2)(3)的图象如图所示．(3)c 的终点轨迹是以C 为圆心，半径为2的圆． 类型3 共线向量与夹角【例3】 (教材北师版P 76例2改编)如图，设O 是正六边形ABCDEF 的中心，(1)分别写出图中所示与OA →，OB →，OC →相等的向量； (2)分别求出AB →与OB →，AB →与FE →的夹角的大小．[解] (1)OA →＝CB →＝DO →；OB →＝DC →＝EO →；OC →＝AB →＝ED →＝FO →. (2)AB →与OB →的夹角的大小为60°，AB →与FE →的夹角的大小为60°.1．例3中与OA →模相等的向量有多少？ [解] 由图知与OA →的模相等的向量有23个． 2．例3中向量OA →的相反向量有哪些？[解] 与向量OA →长度相等方向相反的向量有OD →，BC →，FE →，AO →. 3．例3中与向量OA →共线的向量有哪些？[解] 与向量OA →共线的向量有EF →，BC →，OD →，FE →，CB →，DO →，AO →，DA →，AD →. 4．求出例3中AB →与OA →的夹角的大小 [解] AB →与OA →的夹角的大小为120°.判断一组向量是否相等，关键是看这组向量是否方向相同，长度相等，与起点和终点的位置无关．对于共线向量，则只要判断它们是否同向或反向即可．[跟进训练]3.如图所示，以1×2方格纸中的格点(各线段的交点)为起点和终点的向量中． (1)写出与AF →、AE →相等的向量； (2)写出与AD →模相等的向量； (3)求AE →与CD →夹角的度数． [解] (1)AF →＝BE →＝CD →，AE →＝BD →. (2)DA →，CF →，FC →.(3)因为CD →＝AF →，所以AE →与CD →夹角为∠EAF ＝45°.当堂达标1．下列结论正确的个数是( )①温度含零上和零下温度，所以温度是向量； ②向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量； ③若|a |＞|b |，则a ＞b .A ．0B ．1C ．2D ．3B [①温度没有方向，所以不是向量，故①错；③向量不可以比较大小，故③错；②若a ，b 中有一个为零向量，则a 与b 必共线，故a 与b 不共线，则应均为非零向量，故②对．]2．(多选题)下列说法错误的是( ) A ．若|a |＝|b |，则a ＝±bB ．零向量的长度是0C ．长度相等的向量称为相等向量D ．共线向量是在同一条直线上的向量ACD [对A ，当|a |＝|b |时，由于a ，b 方向不一定相同，a ＝±b 未必成立，所以A 错误；对B ，零向量的长度是0，正确；对C ，长度相等的向量方向不一定相同，故C 错误；对D ，共线向量不一定在同一条直线上，故D 错误．故选ACD.]3．在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，且|AD →|＝|AB →|，则这个四边形是( ) A ．正方形 B ．矩形 C ．等腰梯形 D ．菱形 D [由AB →＝DC →可知AB ∥DC ，且|AB →|＝|DC →|， 所以四边形ABCD 为平行四边形． 又|AD →|＝|AB →|，所以平行四边形ABCD 为菱形．故选D.]4．设O 是正方形ABCD 的中心，则OA →，BO →，AC →，BD →中，模相等的向量是________．[答案] OA →与BO →，AC →与BD →5.如图所示的菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，∠DAB ＝60°，则DA →与CA →的夹角为________；DA →与BC →的夹角为________．30° 180° [由图知，DA →与CA →的夹角与∠DAO 是对顶角，又因∠DAB ＝60°，根据菱形的几何性质，知∠DAO ＝30°，故DA →与CA →的夹角为30°，DA →与BC →为相反向量，故DA →与BC →的夹角为180°.]回顾本节内容，自我完成以下问题：1.向量与有向线段有怎样的联系与区别？[提示]用有向线段来表示向量，显示了图形的直观性，应该注意的是有向线段还是向量的表示，并不是说向量就是有向线段．有向线段的起点、终点是确定的，而向量仅由大小和方向确定，与起点位置无关．2.向量的“平行”与平面几何中的“平行”含义是否相同？[提示]共线向量也就是平行向量，其要求是几个非零向量的方向相同或相反，当然向量所在的直线可以平行，也可以重合，其中“平行”的含义不同于平面几何中“平行”的含义．2从位移的合成到向量的加减法2．1向量的加法学习任务核心素养1．掌握向量加法的定义，会用向量加法的三角形法则和向量加法的平行四边形法则作两个向量的和向量．(重点) 2．掌握向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算．(难点)1．通过向量加法的概念及向量加法法则的学习，培养数学抽象素养．2．通过向量加法法则的应用，培养数学运算素养．有两条拖轮牵引一艘轮船，它们的牵引力F1，F2的大小分别是|F1|＝3 000 N，|F2|＝2 000 N，牵引绳之间的夹角为θ＝60°(如图)，如果只用一条牵引力为F3的拖轮来牵引，也能产生跟原来相同的效果．阅读教材，结合上述情境回答下列问题： 问题1：上述体现了向量的什么运算？ 问题2：向量加法运算常用什么法则？ 问题3：向量的加法运算结果还是向量吗？ 知识点 向量求和法则及运算律 类别 图示几何意义向量求和的法则三角形法则已知不共线向量a ，b ，在平面内任取一点A ，作AB →＝a ，BC →＝b ，再作向量AC →，则向量AC →叫作a 与b 的和，记作a ＋b ，即a ＋b ＝AB →＋BC →＝AC →平行四边形法则已知不共线向量a ，b ，作AB →＝a ，AD →＝b ，再作平行AD →的BC →＝b ，连接DC ，则四边形ABCD 为平行四边形，向量AC →叫作向量a 与b 的和，表示为AC →＝a ＋b向量加法的运算律 交换律 a ＋b ＝b ＋a结合律(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )1.根据图中的平行四边形ABCD ，验证向量加法是否满足交换律．(注：AB →＝a ，AD →＝b )[提示] ∵AC →＝AB →＋BC →，∴AC →＝a ＋b . ∵AC →＝AD →＋DC →，∴AC →＝b ＋a .∴a ＋b ＝b ＋a .2.根据图中的四边形ABCD ，验证向量加法是否满足结合律．(注：AB →＝a ，BC →＝b ，CD →＝c )[提示] ∵AD →＝AC →＋CD →＝(AB →＋BC →)＋CD →，∴AD →＝(a ＋b )＋c ， 又∵AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋(BC →＋CD →)， ∴AD →＝a ＋(b ＋c )， ∴(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c ).思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)0＋a ＝a ＋0＝a ；( ) (2)AB →＋BC →＝AC →；( ) (3)AB →＋BA →＝0；( )(4)在平行四边形ABCD 中，BA →＋BC →＝BD →；( ) (5)|AB →|＋|BC →|＝|AC →|.( )[答案] (1)√ (2)√ (3)√ (4)√ (5)×类型1 向量加法法则的应用【例1】 (教材北师版P 81例1改编)(1)如图①，用向量加法的三角形法则作出a ＋b ；(2)如图②，用向量加法的平行四边形法则作出a ＋b .[解] (1)在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，再作向量OB →，则OB →＝a ＋b .(2)在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，再作平行OB →的AC →＝b ，连接BC ，则四边形OACB 为平行四边形，OC →＝a ＋b .用三角形法则求和向量，关键是抓住“首尾相连”，和向量是第一个向量的起点指向第二个向量的终点，平行四边形法则注意“共起点”．且两种方法中，第一个向量的起点可任意选取，可在某一个向量上，也可在其它位置．两向量共线时，三角形法则仍适用，平行四边形法则不适用．[跟进训练]1．已知向量a ，b ，c ，如图，求作a ＋b ＋c .[解] 在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，BC →＝c ，如图，则由向量加法的三角形法则，得OB →＝a ＋b ，OC →＝a ＋b ＋c .类型2 向量加法及其运算律 【例2】 化简下列各式： (1)BC →＋AB →； (2)DB →＋CD →＋BC →；(3)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A →.所给各式均为向量和的形式，因此可利用三角形法则和向量加法的运算律求解．[解] (1)BC →＋AB →＝AB →＋BC →＝AC →.(2)DB →＋CD →＋BC →＝(DB →＋BC →)＋CD →＝DC →＋CD →＝0或DB →＋CD →＋BC →＝(DB →＋CD →)＋BC →＝(CD →＋DB →)＋BC →＝CB →＋BC →＝0.(3)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A →＝AB →＋BC →＋CD →＋DF →＋F A →＝AC →＋CD →＋DF →＋F A →＝AD →＋DF →＋F A →＝AF →＋F A →＝0.向量运算中化简的两种方法(1)代数法：借助向量加法的交换律和结合律，将向量转化为“首尾相接”，向量的和即为第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量．(2)几何法：通过作图，根据“三角形法则”或“平行四边形法则”化简．[跟进训练]2.如图，在平行四边形ABCD 中(1)AB →＋AD →＝________； (2)AC →＋CD →＋DO →＝________； (3)AB →＋AD →＋CD →＝________； (4)AC →＋BA →＋DA →＝________．(1)AC → (2)AO → (3)AD → (4)0 [(1)由平行四边形法则知，AB →＋AD →＝AC →.(2)AC →＋CD →＋DO →＝AD →＋DO →＝AO →. (3)AB →＋AD →＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →.(4)∵BA →＝CD →，∴AC →＋BA →＋DA →＝AC →＋CD →＋DA →＝AD →＋DA →＝0.] 类型3 向量加法的实际应用【例3】 (教材北师版P 81例2改编)在静水中船的速度为20 m/min ，水流的速度为10 m/min ，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向．速度是向量，因此需要作出船的速度与水流速度的示意图，把实际问题转化为三角形中求角度问题．[解] 作出图形，如图．船速v 船与岸的方向成α角，由图可知v 水＋v 船＝v 实际，结合已知条件，四边形ABCD 为平行四边形， 在Rt △ACD 中，|CD →|＝|AB →|＝v 水＝10 m/min ， |AD →|＝|v 船|＝20 m/min ， ∴cos α＝|CD →||AD →|＝1020＝12，∴α＝60°，从而船与水流方向成120°的角． 故船行进的方向是与水流的方向成120°的角的方向．1．若例3条件不变，则经过3小时，该船的实际航程是多少？ [解] 由题意可知|AC →|＝32|AD →|＝32×20＝103(m/min)＝335(km/h)， 则经过3小时，该船的实际航程是3×335＝935(km).2．若例3的条件不变，改为若船沿垂直于水流的方向航行，求船实际行进的方向的正切值(相当于河岸的夹角).[解] 如图所示，|AD →|＝|BC →|＝|v 船|＝20 m/min ， |AB →|＝|v 水|＝10 m/min ，则tan ∠BAC ＝2，即为所求．应用向量解决平面几何问题的基本步骤(1)表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题．(2)运算：应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，将有关向量进行运算，解答向量问题．(3)还原：根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念回答原问题．[跟进训练]3．作用在同一物体上的两个力F 1＝60 N ，F 2＝60 N ，当它们的夹角为120°时，这两个力的合力大小为( )A ．30 NB ．60 NC ．90 ND ．120 N [答案] B当堂达标1．已知四边形ABCD 是菱形，则下列等式中成立的是( ) A ．AB →＋BC →＝CA →B ．AB →＋AC →＝BC → C ．AC →＋BA →＝AD →D ．AC →＋AD →＝DC →C [由加法的平行四边形法则可知AB →＋AD →＝AC →，即(－BA →)＋AD →＝AC →，所以AC →＋BA →＝AD →.]2．(多选题)如图，D 、E 、F 分别是△ABC 的边AB 、BC 、CA 的中点，则下列等式中正确的是( )A ．FD →＋DA →＋DE →＝0B ．AD →＋BE →＋CF →＝0C ．FD →＋DE →＋AD →＝AB →D ．AD →＋EC →＋FD →＝BD →ABC [FD →＋DA →＋DE →＝F A →＋DE →＝0， AD →＋BE →＋CF →＝AD →＋DF →＋F A →＝0， FD →＋DE →＋AD →＝FE →＋AD →＝AD →＋DB →＝AB →， AD →＋EC →＋FD →＝AD →＋0＝AD →＝DB →≠BD →.故选ABC.]3．已知在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3，则AB →＋BC →＋AC →的模等于________. 213 [|AB →＋BC →＋AC →|＝|2AC →|＝2|AC →|＝213.] 4.根据图填空，其中a ＝DC →，b ＝CO →，c ＝OB →，d ＝BA →.(1)a ＋b ＋c ＝________； (2)b ＋d ＋c ＝________．(1)DB → (2)CA → [(1)a ＋b ＋c ＝DC →＋CO →＋OB →＝DB →. (2)b ＋d ＋c ＝CO →＋BA →＋OB →＝CA →.]5．若a 表示“向东走8 km ”，b 表示“向北走8 km ”，则： (1)|a ＋b |＝________；(2)向量a ＋b 的方向是________.(1)82 (2)北偏东45°(或东北方向) [(1)如图所示，作OA →＝a ，AB →＝b ，则a ＋b ＝OA →＋AB →＝OB →，所以|a ＋b |＝|OB →|＝82＋82＝8 2. (2)因为∠AOB ＝45°， 所以a ＋b 的方向是东北方向．]回顾本节内容，自我完成以下问题：1.如何灵活选择三角形法则或平行四边形法则求向量的和？[提示](1)三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是统一的，当两个向量首尾相连时常选用三角形法则，当两个向量共起点时，常选用平行四边形法则．(2)向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合去进行．2.利用三角形法则求向量的加法时应注意什么问题？[提示]在使用向量加法的三角形法则时要特别注意“首尾相接”．和向量的特征是从第一个向量的起点指向第二个向量的终点．向量相加的结果是向量，如果结果是零向量，一定要写成0，而不应写成0.2．2向量的减法学习任务核心素养1．掌握向量减法的定义，理解相反向量的意义．(重点)2．掌握向量减法的运算及几何意义，能作出两个向量的差向量．(难点)1．通过向量减法的概念及减法法则的学习，培养数学抽象素养．2．通过向量减法法则的应用，培养数学运算素养．小明的父亲在台北工作，他经常乘飞机从台北到香港开会，再从香港到上海洽谈业务．若台北到香港的位移用向量a表示，香港到上海的位移用向量b表示，台北到上海的位移用向量c表示．阅读教材，综合上述情境回答下列问题： 问题1：上述问题中，b 能用a ，c 表示吗？问题2：方向相同且模相等的两个向量称为什么向量？方向相反且模相等的两个向量称为什么向量？问题3：零向量的相反向量是什么？ 问题4：向量减法是向量加法的逆运算吗？ 知识点1 相反向量定义把与向量a 长度相等、方向相反的向量，叫作向量a 的相反向量，记作－a规定：零向量的相反向量仍是零向量． 性质(1)－(－0)＝0；(2)a ＋(－a )＝(－a )＋a ＝0；(3)若a ＋b ＝0，则a ＝－b ，b ＝－a ．知识点2 向量减法 (1)定义向量a 减向量b 等于向量a 加上向量b 的相反向量，即a －b ＝a ＋(－b )，求两个向量差的运算，叫作向量的减法．(2)几何意义如图，设OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝a －b ，即a －b 表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量．向量的减法可以转化为向量的加法来运算吗？[提示] 因为向量的减法是向量的加法的逆运算，所以向量的减法可以转化为向量的加法来运算．1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)BA →＝OA →－OB →； ( ) (2)相反向量是共线向量； ( ) (3)a －b 的相反向量是b －a ； ( ) (4)|a －b |≤|a ＋b |≤|a |＋|b |.( )[答案] (1)√ (2)√ (3)√ (4)√2.OP →－QP →＋PS →＋SP →＝( ) A ．QP → B ．OQ → C ．SP → D ．SQ → [答案] B类型1 向量减法的几何作图【例1】 (教材北师版P 84例4改编)如图，已知向量a ，b ，c 不共线，求作向量a ＋b －c .[解] 如图所示，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，则OB →＝a ＋b ，再作OC →＝c ，则CB →＝a ＋b －c .若本例条件不变，则a －b －c 如何作？[解] 如图，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝a －b .再作CA →＝c ，则BC →＝a －b －c .利用向量减法进行几何作图的方法(1)已知向量a ，b ，如图①所示，作OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝a －b .,(2)利用相反向量作图，通过向量求和的平行四边形法则作出a －b .如图②所示，作OA →＝a ，OB →＝b ，AC →＝－b ，则OC →＝a ＋(－b )，即BA →＝a －b .[跟进训练]1.如图所示，O 为△ABC 内一点，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，求作：(1)向量b ＋c －a ； (2)向量a －b －c .[解] (1)以OB →，OC →为邻边作▱OBDC ，如图，连接OD ，AD ，则OD →＝OB →＋OC →＝b ＋c ，AD →＝OD →－OA →＝b ＋c －a .(2)由a －b －c ＝a －(b ＋c )，如图，作▱OBEC ，连接OE ，则OE →＝OB →＋OC →＝b ＋c ，连接AE ，则EA →＝a －(b ＋c )＝a －b －c .类型2 向量减法的运算 【例2】 化简下列式子： (1)NQ →－PQ →－NM →－MP →； (2)(AB →－CD →)－(AC →－BD →).[解] (1)原式＝NP →＋MN →－MP →＝NP →＋PN →＝NP →－NP →＝0.(2)原式＝AB →－CD →－AC →＋BD →＝(AB →－AC →)＋(DC →－DB →)＝CB →＋BC →＝0.化简向量的和差的方法(1)如果式子中含有括号，括号里面能运算的直接运算，不能运算的去掉括号． (2)可以利用相反向量把差统一成和，再利用三角形法则进行化简．(3)化简向量的差时注意共起点，由减数向量的终点指向被减数向量的终点． 提醒：利用图形中的相等向量代入、转化是向量化简的重要技巧．[跟进训练]2．化简：(1)(BA →－BC →)－(ED →－EC →)； (2)(AC →＋BO →＋OA →)－(DC →－DO →－OB →).[解] (1)(BA →－BC →)－(ED →－EC →)＝CA →－CD →＝DA →. (2)(AC →＋BO →＋OA →)－(DC →－DO →－OB →)＝AC →＋BA →－DC →＋(DO →＋OB →)＝AC →＋BA →－DC →＋DB → ＝BC →－DC →＋DB →＝BC →＋CD →＋DB →＝BC →＋CB →＝0. 类型3 向量加减法的综合应用【例3】 (1)已知|a |＝1，|b |＝2，|a ＋b |＝5，则|a －b |＝________． (2)(教材北师版P 85例6改编)已知O 为平行四边形ABCD 内一点，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，试用a ，b ，c 表示OD →.(1)5 [(1)设AB →＝a ，AD →＝b ，AC →＝a ＋b ，则四边形ABCD 是平行四边形． 又∵(5)2＝12＋22，∴平行四边形ABCD 为矩形， ∴|a －b |＝⎪⎪⎪⎪DB →＝|AC →|＝ 5.] (2)[解]如图所示：OD →＝OA →＋AD →＝a ＋BC →＝a ＋(OC →－OB →)＝a ＋c －b .用已知向量表示未知向量的方法用图形中的已知向量表示所求向量，应结合已知和所求，联想相关的法则和几何图形的有关定理，将所求向量反复分解，直到全部可以用已知向量表示即可．[跟进训练]3．设平面内四边形ABCD 及任一点O ，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，若a ＋c ＝b ＋d 且|a －b |＝|a －d |.试判断四边形ABCD 的形状．[解] 由a ＋c ＝b ＋d 得a －b ＝d －c ，即OA →－OB →＝OD →－OC →， ∴BA →＝CD →，于是AB 与CD 平行且相等， ∴四边形ABCD 为平行四边形．又|a －b |＝|a －d |，从而|OA →－OB →|＝|OA →－OD →|， ∴|BA →|＝|DA →|，∴四边形ABCD 为菱形．当堂达标1．在△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，则BC →＝( ) A ．a ＋b B ．a －b C ．b －aD ．－a －bC [BC →＝AC →－AB →＝b －a .]2．如图，在四边形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，BC →＝c ，则DC →等于( )A ．a －b ＋cB ．b －(a ＋c )C ．a ＋b ＋cD ．b －a ＋c [答案] A3．(多选题)下列四个式子中可以化简为AB →的是( ) A ．AC →＋CD →－BD → B ．AC →－CB → C ．OA →＋OB →D ．OB →－OA →.AD [因为AC →＋CD →－BD →＝AD →－BD →＝AD →＋DB →＝AB →，所以A 正确；因为OB →－OA →＝AB →，所以D 正确，故选AD.]4．设正方形ABCD 的边长为2，则|AB →－CB →＋AD →－CD →|＝________． 42 [如图，原式＝|(AB →＋AD →)－(CB →＋CD →)|＝|AC →－CA →|＝|AC →＋AC →|＝2|AC →|， ∵正方形边长为2， ∴2|AC →|＝4 2.]5．已知非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则a 与b 的位置关系为________．(填“平行”或“垂直”)垂直 [如图所示，设OA →＝a ，OB →＝b ，以OA 、OB 为邻边作平行四边形， 则|a ＋b |＝|OC →|， |a －b |＝|BA →|， 又|a ＋b |＝|a －b |， 则|OC →|＝|BA →|，即平行四边形OACB 的对角线相等， ∴平行四边形OACB 是矩形， ∴a ⊥b .]回顾本节内容，自我完成以下问题： 1.向量减法的实质是什么？[提示]向量减法是向量加法的逆运算．即减去一个向量等于加上这个向量的相反向量．2.在用三角形法则作向量减法时，应注意什么问题？[提示]在用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连接两向量的终点，箭头指向被减向量”．解题时要结合图形，准确判断，区分a－b与b－a.3从速度的倍数到向量的数乘3．1向量的数乘运算学习任务核心素养1．掌握向量数乘的运算及其运算律．(重点)2．理解数乘向量的几何意义．(重点)1．通过向量数乘概念的学习，培养数学抽象素养；2．通过向量数乘的运算及其运算律的应用，培养数学运算素养．夏季的雷雨天，我们往往先看到闪电，后听到雷声，这说明声速与光速的大小不同，光速是声速的88万倍．阅读教材，结合上述情境回答下列问题：问题1：若设光速为v1，声速为v2，将向量类比于数，则v1与v2有何关系？问题2：实数与向量相乘结果是实数还是向量？(1)实数λ与向量a的乘积是一个向量，记作λa.(2)|λa|＝|λ||a|.(3)方向：λa 的方向⎩⎨⎧当λ>0时，与a 的方向相同；当λ<0时，与a 的方向相反；当λ＝0时，0a ＝0.(4)几何意义：当λ>0时，表示向量a 的有向线段在原方向伸长或缩短为原来的|λ|倍；当λ<0时，表示向量a 的有向线段在反方向伸长或缩短为原来的|λ|倍．若a ∥b ，b ∥c ，那么一定有a ∥c 吗？[提示] 不一定，若b ＝0，此时必有a ∥b ，b ∥c 成立，但a 与c 不一定共线．1.已知|a |＝2，|b |＝3，若两向量方向相同，则向量a 与向量b 的关系为b＝________a .32 [由于|a |＝2，|b |＝3，则|b |＝32|a |，又两向量同向，故b ＝32a .] 知识点2 数乘运算的运算律 设λ，μ为实数，a ，b 为向量，则 (1)(λ＋μ)a ＝λ a ＋μ a ； (2)λ(μa )＝(λμ)a ； (3)λ(a ＋b )＝λa ＋λb .向量的线性运算：向量的加法、减法和数乘的综合运算，通常称为向量的线性运算(或线性组合).2.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)若λa ＝0则λ＝0.( ) (2)对于非零向量a ，向量－2a 与向量a 方向相反． ( ) (3)当a 是非零向量，－1||a a 是与向量a 反向的单位向量．( )[答案] (1)× (2)√ (3)√类型1 向量数乘运算的定义【例1】 已知a 、b 为非零向量，试判断下列各命题的真假，并说明理由． (1)2a 的方向与a 的方向相同； (2)|－2a |＝32|3a |；(3)1||a a 是单位向量； (4)a ＋b 与－a －b 是一对相反向量． [解] (1)真命题．∵2>0， ∴2a 的方向与a 的方向相同． (2)假命题．|－2a |＝||－2|a |＝2|a |＝23|3a |. (3)真命题．⎪⎪⎪⎪⎪⎪1||a a ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1||a ||a ＝1||a ||a ＝1.(4)真命题．∵a ＋b 与－a －b 是一对相反向量，且－(a ＋b )＝－a －b ， ∴a ＋b 与－a －b 是一对相反向量．对数乘向量的三点说明(1)向量数乘运算的几何意义是把a 沿着a 的方向或a 的反方向扩大或缩小． (2)当λ＝0或a ＝0时，λa ＝0.反之，也成立， (3)数乘向量的运算不满足消去律．[跟进训练]1．已知λ∈R ，a ≠0，则在下列各命题中，正确的命题有( ) ①当λ＞0时，λa 与a 的方向一定相同； ②当λ＜0时，λa 与a 的方向一定相反； ③当λa 与a 的方向相同时，λ＞0； ④当λa 与a 的方向相反时，λ＜0.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个D [由λ与向量a 的乘积λa 的方向规定，易知①②③④正确．] 类型2 向量的线性运算【例2】 (教材北师版P 88例1改编)计算下列各式： (1)2(a ＋b )－3(a －b )； (2)3(a －2b ＋c )－(2a ＋b －3c )； (3)12⎣⎢⎡⎦⎥⎤（3a ＋2b ）－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12b －2⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋38b .[解] (1)原式＝2a －3a ＋2b ＋3b ＝－a ＋5b ； (2)原式＝3a －6b ＋3c －2a －b ＋3c ＝a －7b ＋6c ； (3)原式＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋32b －a －34b ＝a ＋34b －a －34b ＝0.1.向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”，但这里的“同类项”指向量，实数看作是向量的系数．2.对于线性运算，把握运算顺序为：正用分配律去括号→逆用分配律合并．[跟进训练]2．(1)化简23⎣⎢⎡⎦⎥⎤（4a －3b ）＋13b －14（6a －7b ）；(2)设向量a ＝3i ＋2j ，b ＝2i －j ，求⎝ ⎛⎭⎪⎫13a －b －⎝ ⎛⎭⎪⎫a －23b ＋(2b －a ). [解] (1)原式＝23⎣⎢⎡⎦⎥⎤4a －3b ＋13b －32a ＋74b＝23⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫4－32a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－3＋13＋74b ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫52a －1112b ＝53a －1118b ；(2)原式＝13a －b －a ＋23b ＋2b －a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1－1a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋23＋2b ＝－53a ＋53b＝－53(3i ＋2j )＋53(2i －j ) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－5＋103i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－103－53j ＝－53i －5j .类型3 向量线性运算的应用【例3】 已知任意四边形ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BC 的中点．求证：EF →＝12(AB →＋DC →).1．若D 是△ABC 的边BC 的中点，如何用AB →，AC →表示AD →？ [提示] 由三角形法则知， AD →＝AB →＋BD →， AD →＝AC →＋CD →，两式相加得2AD →＝⎝⎛⎭⎫AB →＋BD →＋⎝⎛⎭⎫AC →＋CD →＝⎝⎛⎭⎫AB →＋AC →＋⎝⎛⎭⎫BD →＋CD →＝AB →＋AC →，所以AD →＝12⎝⎛⎭⎫AB →＋AC →.2．在△ABC 中，若AD →＝12⎝⎛⎭⎫AB →＋AC →，则D 是否是△ABC 的边BC 的中点？ [提示] 设D ′是边BC 的中点，则AD ′→＝12⎝⎛⎭⎫AB →＋AC →，又AD →＝12⎝⎛⎭⎫AB →＋AC →， 则AD ′→＝AD →， 所以D 与D ′重合， 所以D 是边BC 的中点．[证明] 取以点A 为起点的向量，应用三角形法则求证，如图． ∵E 为AD 的中点， ∴AE →＝12AD →.∵F 是BC 的中点，∴AF →＝12(AB →＋AC →). 又∵AC →＝AD →＋DC →，∴AF →＝12(AB →＋AD →＋DC →)＝12(AB →＋DC →)＋12AD →. ∴EF →＝AF →－AE →＝12(AB →＋DC →)＋12AD →－12AD →＝12(AB →＋DC →).用已知向量表示其他向量的两种方法(1)直接法(2)方程法当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程．[跟进训练]3．在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点．求证：DE →＝12BC →. [证明] ∵D 为AB 的中点， ∴AD →＝12AB →.∵E 是AC 的中点，∴AE →＝12AC →.∴DE →＝AE →－AD →＝12AC →－12AB →＝12⎝⎛⎭⎫AC →－AB →＝12BC →.当堂达标1．(多选题)已知m ，n 是实数，a ，b 是向量，则下列命题中正确的为( ) A ．m (a －b )＝m a －m b B ．(m －n )a ＝m a －n a C ．若m a ＝m b ，则a ＝bD ．若m a ＝n a ，则m ＝n .AB [A 和B 属于数乘运算对向量与实数的分配律，正确；C 中，若m ＝0，则不能推出a ＝b ，错误；D 中，若a ＝0，则m ，n 没有关系，错误．]2. 在△ABC 中，如果AD ，BE 分别为BC ，AC 上的中线，且AD →＝a ，BE →＝b ，那么BC →等于( )A ．23a ＋43bB ．23a －23bC ．23a －43bD ．－23a ＋43bA [由题意，得BC →＝BE →＋EC →＝b ＋12AC →＝b ＋12(AD →＋DC →)＝b ＋12a ＋14BC →，即BC →＝b ＋12a ＋14BC →，解得BC →＝23a ＋43b .]3．设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →等于( ) A ．BC → B ．12AD → C ．AD →D ．12BC →C [EB →＋FC →＝EC →＋CB →＋FB →＋BC →＝EC →＋FB →＝12(AC →＋AB →)＝12·2AD →＝AD →.] 4．若2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13a －12(c ＋b －3x )＋b ＝0，其中a 、b 、c 为已知向量，则未知向量x ＝________．421a －17b ＋17c [据向量的加法、减法整理、运算可得x ＝421a －17b ＋17c .] 5.如图所示，已知AP →＝43AB →，用OA →，OB →表示OP →.则OP →＝________．－13OA →＋43OB → [OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋43AB →＝OA →＋43(OB →－OA →)＝－13OA →＋43OB →.]回顾本节内容，自我完成以下问题： 1.数乘向量的运算中应注意什么问题？[提示] 实数λ与向量a 可作数乘，但实数λ不能与向量a 进行加、减运算，如λ＋a ，λ－a 都是无意义的．还必须明确λa 是一个向量，λ的符号与λa 的方向相关，|λ|的大小与λa 的模有关．2.利用数乘运算的几何意义时应注意什么问题？[提示] 利用数乘运算的几何意义可以得到两个向量共线的判定定理及性质定理，一定要注意，向量的共线(平行)与直线共线(或平行)的区别；常用向量共线解决平面几何中的“平行”或“点共线”问题．。
高中数学北师大版必修二同步配套精品 第二章 解析几何初步 2.1.2.1
所以直线的点斜式方程为y-0=-(x+1), 即x+y+1=0. (4)由于直线与x轴垂直,所以斜率不存在,又该直线过点(-2,3),故 直线方程为x=-2.
探究一
探究二
探究三
一题多解
反思感悟1.求直线的点斜式方程的步骤如下:(1)确定直线所经过 的一个点(x0,y0); (2)求出直线的斜率k; (3)根据点斜式写出直线方程. 2.若直线的斜率为0或不存在,可直接根据条件写出直线方程.
探究一
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一题多解
求直线的斜截式方程 【例2】 根据下列条件求直线的斜截式方程: (1)斜率为3,且在y轴上的截距等于-1; (2)在y轴上的截距为-4,且与x轴平行. 分析(1)已知斜率和在y轴上的截距,可直接利用斜截式写方程;(2) 所求直线与x轴平行,此时斜率为0,是特殊的直线,可以先确定直线 上所有点的纵坐标,再由纵坐标写直线的方程. 解:(1)由斜截式可得,所求直线的方程为y=3x-1; (2)因为直线与x轴平行,所以直线上所有点的纵坐标相等,均为-4, 故所求的直线方程为y=-4.
探究一
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一题多解
直线方程的简单应用 【例3】已知直线l的斜率为2,且与x轴、y轴围成的三角形的面积 为36,求此时直线与x轴、y轴围成的三角形的周长. 分析已知斜率,且与坐标轴上的截距有关,因此可设截距式 y=2x+b,首先利用直线l和x轴、y轴围成的三角形的面积为36,求出 直线l的方程,然后求三角形的周长.
维
脉
络
1.直线的方程 一般地,如果一条直线l上任一点的坐标(x,y)都满足一个方程,满足 该方程的每一个数对(x,y)所确定的点都在直线l上,我们就把这个方 程称为直线l的方程.
备课参考高一数学北师大必修二同步练习：第2章 解析几何初步 2 含答案
解析几何小题训练一、选择题：1．平面α的斜线AB 交α于点B ，过定点A 的动直线l 与AB 垂直，且交α于点C ，则动点C 的轨迹是（ ）A ．一条直线B ．一个圆C ．一个椭圆D ．双曲线的一支2．参数方程2tan cot x y θθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数）所表示的曲线是（ ）A ．圆B ．直线C ．两条射线D ．线段3．一束光线从点(1,1)A -出发，经x 轴反射到圆22:(2)(3)1C x y -+-=上的最短路径是（ ）A ．4B ．5C ．1D ．4．若直线220(,0)ax by a b +-=>始终平分圆224280x y x y +---=的周长，则12a b+ 的最小值为（ ）A ．1B ．5C ．D ．3+5．已知平面区域D 由以()3,1A 、()2,5B 、()1,3C 为顶点的三角形内部和边界组成.若在区域D 上有无穷多个点()y x ,可使目标函数my x z +=取得最小值，则=m（ ）A ． 2-B ．1-C ．1D ．46. 设直线l 过原点，其倾斜角为α，将直线l 绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线1l ，则直线1l 的倾斜角为（ ）． A ．︒+α45 B ．︒-α135 C ．α-︒135D ．当︒<α≤︒1350时为︒+α45，当︒<α≤︒180135时为︒-α1357. 直线3y x =绕原点逆时针旋转090，再向右平移１个单位，所得到的直线为( ) （Ａ）113y x =-+ （Ｂ）1133y x =-+ （Ｃ）33y x =- （Ｄ）113y x =+8．将直线20x y λ-+=沿x 轴向左平移1个单位，所得直线与圆22240x y x y ++-= 相切，则实数λ的值为 （ ） （A ）－3或7 （B ）－2或8 （C ）0或10 （D ）1或11选择题答题卡二、填空题： 9. 已知两点A B ()()-2002，，，，点C 是圆x y x 2220+-=上的任意一点，则∆ABC 的面积最小值是 .10. 已知直线l ：x y +-=20与圆C ：x y ax ay a 2224240++-+=，设d 是圆C 上的点到直线的距离，且圆C 上有两点使d 取得最大值，则此时a = ，d =11. 直线()()a x b y +++=110与圆x y 222+=的位置关系是_________.12. 在直角坐标系中，射线OA ，OB 的方程是x y x -=≥00()，x y x +=≥00()。
2019—2020年最新北师大版高中数学必修二解析几何初步同步练习(精品试题)
解析几何初步一、 选择题1．直线236x y -=在x 轴、y 轴上的截距分别是（ ）()A 3，2()B 3,2- ()C 3,2- ()D 3,2--2．已知直线l 经过点(3,2)A 、(3,2)B -，则直线l 的斜率为（ ） ()A 0()B 1()C 1- ()D 不存在3．直线22(252)(4)50a a x a y a -+--+=的倾斜角为45，则a 的值为（ ）()A 3-()B 2- ()C 2 ()D 34．直线0Ax By C ++=通过第二、三、四象限，则系数,,A B C 需满足条件（ ）()A ,,A B C 同号 ()B 0,0AC BC << ()C 0,0C AB =<()D 0,0A BC =<5．已知直线12y x b =+与x 轴、y 轴的交点分别为A 、B ，如果AOB∆的面积（O 为坐标原点）不大于1，那么b 的范围是（ ）()A 1b ≥- ()B 11b -≤≤ ()C 1b ≤且0b ≠ ()D 11b -≤≤且0b ≠6．设,,a b c 是两两不等的实数，直线l 经过点(,)P b b c +与点(,)Q a a c +，则直线l 的斜率是（ ） ()A 0()B 33()C 1()D 37．三点(3,1)A ，(2,)B m ，(8,11)C 在同一直线上，则实数m 的值是（ ）()A 4-()B 3- ()C 2- ()D 1-8．直线的倾斜角为060，直线2l 垂直于直线1l ，则直线2l 的斜率是（ ） A3B 3- C33D33-9．已知A (0,8),B (4,0)-,C(m ，－4)三点共线，则实数m 的值是（ ） A6-B 6C 5-D 510．以A (1,1)- B (2,1)-C (1,4)为顶点的三角形是（ ）A 锐角三角形B 直角三角形C 钝角三角形D 以上都不对11．过点(6,)P m 和点Q (,3)m 的直线与直线250x y -+=平行，则m 的值为（ ） A 3B 4C 5D 612．两直线3430x y --=和68190x y -+=之间的距离为（ ）A 2B 32C 52D 3 13．下列直线中，斜率为43-，且不经过第一象限的是（）()A 3470x y ++= ()B 4370x y ++= ()C 43420x y +-=()D 44420x y +-=14．已知直线l ：0Ax By C ++=（,A B 不全为0），点00(,)P x y 在l 上，则l 的方程可化为（ ）()A 00()()0A x x B y y C ++++=()B 00()()0A x x B y y +++=()C 00()()0A x x B y y C -+-+=()D 00()()0A x x B y y -+-=15．直线l 经过点(1,0)-，且通过一、二、三象限，它与两坐标轴所围成的三角形的面积为2，则直线l 的方程是（ ）()A 440x y +-=()B 440x y ++=()C 440x y --=()D 440x y -+=16．在直线x y =到)1,1(-A 距离最短的点是 （ ）A ．（0，0）B ．（1，1）C ．（－1，－1）D ．（21,21-）17．x 轴上点到)2,2(),1,2(-B A 两点距离的最小值为（ ） A ．3B ．17C ．5D ．1718．若方程014)()32(22=+--+-+m y m m x m m 表示一条直线，则实数m 满足（ ）A ．0≠mB ．23-≠m C ．1≠m D ．1≠m ，23-≠m ，0≠m19．直线l 与两直线y ＝1和x －y －7＝0分别交于A ，B 两点，若线段AB 的中点为 M （1，－1），则直线l 的斜率为（ ）A ．23 B ．32C ．－23 D ． －3220．△ABC 中，点A(4，－1),AB 的中点为M(3，2),重心为P(4，2)，则边BC 的长为（ ）A ．5B ．4C ．10D ．821．直线kx －y ＋1＝3k ，当k 变动时，所有直线都通过定点 （ ） A ．(0，0) B．(0，1)C ．(3，1)D ．(2，1)22．如果AC ＜0且BC ＜0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限23．两直线22x ay a +=+与1ax y a +=+平行时，a 的值是（ ）()A 12a =()B 12a =-()C 1a = ()D 1a =-24．如图，若直线123,,l l l 的斜率分别为123,,k k k ，则（ ）()A 123k k k <<()B 132k k k <<()C 312k k k << ()D 321k k k <<25．下列说法的正确的是 （ ）A ．经过定点的直线都可以用方程表示xO2l3l1lyB ．经过定点()b A ，0的直线都可以用方程表示C ．不经过原点的直线都可以用方程表示D ．经过任意两个不同的点()()222111y x P y x P ，、，的直线都可以用方程表示26．如果直线l 沿x 轴负方向平移3个单位再沿y 轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，那么直线l 的斜率是（ ）A ．B ．－3C ．D ．327．直线在轴上的截距是（ ）A ．B ．－C ．D ．28．若点),4(a 到直线0134=--y x 的距离不大于3，则a 的取值范围为 （ ）A ．)10,0(B ．]10,0[C ．]331,31[ D ．),(+∞-∞29．已知两定点A(－3，5)，B(2，15)，动点P 在直线3x －4y ＋4＝0上，当PA ＋PB 取 最小值时，这个最小值为 （ ）A ．513B ．362C ．155D ．5＋10230．圆222420x y x y ++-+=的圆心坐标和半径分别为( )()A (1,2),3- ()B (1,2),3- ()C (1,2),3-()D (1,2),3-31．圆的方程为22220x y kx y k ++++=，当圆面积最大时，圆心坐标为（ ）()A (1,1)-()B (1,1)-()C (1,0)-()D (0,1)-32．如果圆220x y Dx Ey F ++++=关于直线2y x =对称，则（ ）()A 2D E = ()B 2E D = ()C 20E D += ()D D E =33．圆心为(2,1)-的圆，在直线10x y --=上截得的弦长为22，那么，这个圆的方程为（ ） A 22(2)(1)4x y -++=B 22(2)(1)2x y -++=C22(2)(1)4x y ++-= D22(2)(1)2x y ++-=34．圆2268240x y x y +-++=关于直线0y =对称的圆的方程是（ ） A 22(3)(4)1x y ++-=B 22(4)(3)1x y -++=C22(4)(3)1x y ++-= D 22(3)(4)1x y -+-=35．方程211(1)x y -=--表示的曲线是（ ）A 一个圆B 两个圆C 半个圆 D两个半圆36.直线l 经过点A （2,1），且与直线x – y -4 = 0和x 轴围成等腰三角形，则这样的直线的条数共有 （ ） A 、1条B 、2条C 、3条D 、4条37．在空间直角坐标系中，点(1,2,3)A 关于xoy 平面对称点为B ，关于原点的对称点为C ，则B,C 间的距离为（ ） A5 B 14 C 25 D21438．直线1x y +=与圆222220x y x y +-+-=的位置关系是（ ） A 相切 B 相交但直线不过圆心 C 相离 D相交且直线过圆心 39．直线0x my m ++=(1)m ≠±与圆22(1)1x y +-=的位置关系是（）()A相离()B相交()C相切()D根据m 的值而定40．已知半径为1的动圆与定圆22(5)(7)16x y-++=相切，则动圆圆心的轨迹方程是（）A．22(5)(7)25x y-++=B．22(5)(7)3x y-++=或22(5)(7)15x y-++=C．22(5)(7)9x y-++=D．22(5)(7)25x y-++=或22(5)(7)9x y-++=41．若圆x2 + y2 - 2x - 4y=0的圆心到直线x – y + a = 0的距离为22，则a的值( )A、-2或2B、12或32C、2或0D、-2或42．圆x2 + y2=9与圆(x-1)2+(y+1)2=16的位置关系是( ) A、相交B、内切C、外切D、相离43．若点A(2a , a-1)在圆x2 + y2 – 2y-4=0的内部，则a的取值范围是( )A、-1<a<1B、0<a<1C、-1<a<15D、15-<a<144、直线x-2y-3=0与圆(x-2)2+(y+3)2=9交于E、F两点，则△EOF(o为原点)的面积为( )A、32B、34C、25D、65245、圆：x2 + y2 – 4x + 6y = 0和圆：：x2 + y2 – 6x = 0交于A、B两点，则AB的垂直平分线的方程是( )A、x+y+3=0B、2x-y-5=0C、3x-y-9=0D、4x-3y+7=046、圆：x2 +y2 - 2x - 2y + 1 =0上的点到直线x – y = 2的距离最大值是( )A、2B、1+2C、1+22D、1+2247、与直线2x+3y-6=0关于点(1，-1)对称的直线方程是( )A、3x-2y+2 =0B、2x+3y+7=0C、3x-2y-12=0D、2x+3y+8=048、以点(2，-1)为圆心且与直线3x - 4y + 5 = 0相切的圆的方程为( )A、(x-2)2 + (y+1)2 = 3B、(x+2)2 + (y-1)2 = 3C、(x-2)3 + (y+1)2 = 9D、(x+2)2 + (y-1)2 = 949、若直线ax + by = 4与圆C：x2 + y2 = 4有两个不同交点，则点P( a,b)圆C的位置关系是( )A、在圆内B、在圆外C、在圆上D、不确定50、已知圆C：x2 + y2 - 2x + 4y = 0,则通过原点且与圆C相切的直线方程为( )A、y=-2xB、y=-12x C、y=12x D、y= 2x二、填空题1、直线l的倾斜角为-60α，则α的范围为__________2、若A(1，3)，B(3，3)，直线l过原点，且与线段AB有公共点，则直线l斜率的范围是________3、已知直线l的倾斜角为45，且在y轴上的截距为-4，则直线l的斜截式方程为______4、过两点(-2,2)，(2，3)的直线的点斜式方程为________5、直线l的y轴与x轴上的截距分别为12与-12，则直线l的方程为_______6、经过两点A(1,2)B(3，-2)的直线，在y轴与x轴上的截距分别为a,b,则a+b=______7、将方程2x+3y+4=0,化为截距式方程，其结果为________8、与直线x+y=1斜率相等，且过点(1,2)的直线方程的一般式为________9、已知A(0，-1),B(-2a,0 ),C(1,1),D(2,4),若直线AB与直线CD 平行，则a的值为_______10、过点P(m,n)引一直线，使其倾斜角为直线l：x – y – 3 = 0的倾斜角的两倍，则该直线的方程是_______11、若直线l1：x+by=1与直线l2:x-y=a的交点坐标是(0，2)，则a+b=_______12、在平面直角坐标系中，若直线x+y+a=0与直线x-3y=0的交点在第三象限，则a的取值范围是_______13、已知点M(x,-4)与N(2,3)间的距离为72，则x的值为__________14、与直线3x+4y=4平行，并且距离等于2的直线方程是__________15、圆(x-1)2+(y+1)2=2的周长为_________16、已知点A(-4，-5)，B( 6，-1), 则以线段AB为直径的圆的标准方程是_________17、圆x2 + y2 - 4x + 6y + m = 0的直径为6，则m=________18、过点O(0,0)，A(1,1)B(1，-5)的圆的一般方程是__________19、若圆(x-a)2 + (y-b)2 = r2与y轴相切，则a与r的关系为________20、已知直线x=a与圆(x-1)2+y2=1相切，则a=__________21、过圆x2 + y2 = 1和圆x2 + y2- 2x - 2y + 1=0的交点的直线方程是_________22、圆x2 + y2 = 1与圆x2 + y2 - 6x - 8y +9 = 0的公切线有______条23、点P(2,3，4)在xOy 平面内的射影的坐标为_______24、点B是点A(1,2，3)在坐标平面yOz内的射影，则OB等于________25、已知点A在x轴上，点B的坐标为(1,2，0)，且|AB|=5，则点A 的坐标为______26、直线3x + 4y - 13 = 0与圆(x-2)2 + (y-3)2 = 1的位置关系是_______27、直线y=x-1上的点到圆x2 + y2 + 4x - 2y + 4 =0的最近距离是______28、与圆x2+(y-2)2=1相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有______条29、圆心在直线2x-y-3=0上，且过点(5,2)和(3，-2)的圆的方程为________30、已知直线l的斜率为k(≠0)，它在x轴、y轴上的截距分别为k、2k，则直线l的方程为______三、解答题1、已知三角形的顶点为A(2,4)、B(0，-2)、C(-2,3)求：（1）AB边上的中线CM所在直线的方程；（2）△ABC的面积。
新版高中数学北师大版必修2习题第二章解析几何初步2.2.3.2含解析
第2课时圆与圆的位置关系1.已知A={(x,y)|x2+y2=1},B={(x,y)|(x-5)2+(y-5)2=4},则A∩B等于()A.⌀B.{(0,0)}C.{(5,5)}D.{(0,0),(5,5)}解析:集合A是由圆O:x2+y2=1上所有点组成的,集合B是由圆C:(x-5)2+(y-5)2=4上所有点组成的.又O(0,0),圆O的半径r1=1,C(5,5),圆C的半径r2=2,|OC|=5,所以|OC|>r1+r2=3.所以圆O和圆C相离,无公共点,即A∩B=⌀.答案:A2.若圆C1:(x+2)2+(y-2)2=m(m>0)与圆C2:x2+y2-4x-10y+13=0有3条公切线,则m=()A.1B.2C.3D.4答案:A3.已知圆O1:x2+y2-4x+6y=0和圆O2:x2+y2-6x=0交于A,B两点,则公共弦AB的垂直平分线的方程为()A.x+y+3=0B.2x-y-5=0C.3x-y-9=0D.4x-3y+7=0解析:由题意知,两圆的圆心分别为(2,-3),(3,0),=3, 因为公共弦AB的垂直平分线即为两圆圆心连线所在直线,所以所求直线的斜率为k=---故直线方程为3x-y-9=0.答案:C4.已知两圆相交于点A(1,3),B(m,-1),两圆的圆心均在直线x-y+c=0上,则m+c的值为()A.-1B.2C.3D.0解析:由题意知,AB的中点在直线x-y+c=0上,∴-1+c=0,m+2c=1.又直线AB的斜率k AB=--=-1,--∴m=5.∴c=-2.∴m+c=3,故选C.答案:C5.过点A(4,-1)且与圆x2+y2+2x-6y+5=0切于点B(1,2)的圆的方程是()A.(x+3)2+(y+1)2=5B.(x-3)2+(y+1)2=5C.(x-3)2+(y-1)2=5D.(x+3)2+(y-1)2=5解析:设所求圆的圆心为(a,b),半径为r,则有------解得所以所求圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=5.答案:C6.以两圆C1:x2+y2+4x+1=0及C2:x2+y2+2x+2y+1=0的公共弦为直径的圆的方程为()A.(x-1)2+(y-1)2=1B.(x+1)2+(y+1)2=1C.D.--解析:两圆方程相减,得相交弦所在直线为x-y=0,因为所求圆的圆心在直线x-y=0上,排除C,D选项.画图可知所求圆的圆心在第三象限,排除A,故选B.答案:B7.若点A(a,b)在圆x2+y2=4上,则圆(x-a)2+y2=1与圆x2+(y-b)2=1的位置关系是.解析:两圆的圆心距d=,又a2+b2=4,则d==2.两圆的半径之和为1+1=2,所以两圆的圆心距等于两圆的半径之和,故两圆外切.答案:外切8.若圆O1:x2+y2=5与圆O2:(x-m)2+y2=20(m∈R)相交于A,B两点,且两圆在点A处的切线互相垂直,则线段AB的长度是.解析:由题意知O1(0,0),O2(m,0),且<|m|<3,又O2A⊥AO1,所以有m2=()2+(2)2=25⇒m=±5,所以|AB|=2×=4.答案:49.若某圆的圆心为点(2,1),且它与圆x2+y2-3x=0的公共弦所在的直线经过点(5,-2),求此圆的方程.解设所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=r2,即x2+y2-4x-2y+5-r2=0,所求圆的方程与已知圆的方程作差可得公共弦所在直线的方程为x+2y-5+r2=0.又公共弦所在的直线经过点(5,-2),将点(5,-2)代入直线方程x+2y-5+r2=0,得5-4-5+r2=0,解得r2=4,故所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=4.10.求过点(0,6)且与圆C:x2+y2+10x+10y=0相切于原点的圆的方程.解方法一:将圆C的方程化为标准方程得(x+5)2+(y+5)2=50,则圆心为点(-5,-5).所以经过此圆心和原点的直线方程为x-y=0.设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.由题意得-----解得故所求圆的方程是(x-3)2+(y-3)2=18.方法二:由题意,所求的圆经过点(0,0)和(0,6),所以所求圆的圆心一定在直线y=3上,又由方法一,知所求圆的圆心在直线x-y=0上,所以由-得圆心坐标为(3,3).所以r==3,故所求圆的方程为(x-3)2+(y-3)2=18.★11.如图,已知圆心坐标为M(,1)的圆M与x轴及直线y=x均相切,切点分别为A,B,另一圆N与圆M,x轴及直线y=x均相切,切点分别为C,D.(1)求圆M和圆N的方程;(2)过B点作MN的平行线l,求直线l被圆N截得的弦的长度.解(1)由于圆M与∠BOA的两边相切,故M到OA及OB的距离均为圆M的半径,则M在∠BOA的角平分线上,同理,N也在∠BOA的角平分线上,即O,M,N三点共线,且OMN为∠BOA的角平分线,因为M的坐标为M(,1),所以M到x轴的距离为1,即圆M的半径为1,所以圆M的方程为(x-)2+(y-1)2=1;设圆N的半径为r,由Rt△OAM∽Rt△OCN,得OM∶ON=MA∶NC,即⇒r=3,OC=3,所以圆N的方程为(x-3)2+(y-3)2=9.(2)由对称性可知,所求弦长等于过A点的MN的平行线被圆N截得的弦长,此弦所在直线方程为y=(x-),即x-y-=0,圆心N到该直线的距离d=-,则弦长=2-.。
2019—2020年最新北师大版必修2高中数学《平行关系的判断》同步练习.doc
高中数学1.5.1平行关系的判断课时提能演练北师大版必修2"（30分钟50分）一、选择题（每小题4分，共16分）1.（2012·宝鸡高一检测）若平面α和平面β相交于直线l，直线a在平面α内，但不与直线l重合，则直线a与平面β的位置关系是() (A)相交(B)平行(C)相交或平行(D)aβ2.如图，下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是()（A）①④(B)②④（C）①③④(D)①③3.（2012·汉中高一检测)过平行六面体ABCD-A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB1D1平行的直线共有()(A)4条(B)6条(C)8条(D)12条4.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E是AB的中点，点F在BC上，则BF等于多少时，EF∥平面A1C1D()(A)1(B)12(C)13(D)14二、填空题（每小题4分，共8分）5.a，b，c是三条直线，α，β是两个平面，如果a∥b∥c，aα,bβ，cβ，那么平面α与平面β的位置关系是_________.6.（2012·郑州高一检测）设m,n是平面α外的两条直线，给出三个说法：①m∥n；②m∥α；③n∥α，以其中两个为条件，余下的一个为结论，可构成三个命题，写出你认为正确的一个命题__________.三、解答题（每小题8分，共16分）7.（易错题）不共面的三条线段AA1，BB1，CC1交于一点O且被O 所平分，求证：平面ABC∥平面A1B1C1.8.（2012·渭南高一检测）如图是一几何体的直观图，主视图和俯视图.（1）在主视图右侧，按照画三视图的要求画出该几何体的左视图;（2）在所给直观图中连接BD，证明：BD∥平面PEC.【挑战能力】（10分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，点M，N分别为BC，PA的中点，在线段PD上是否存在一点E，使得NM∥平面ACE；若存在，说明点E的位置；若不存在，说明理由.答案解析1.【解析】选C.若直线a与l平行，则a∥β，若直线a与直线l相交，则a与β相交.2.【解析】选D.对于图①，连接N与MP的中点，则其与AB平行，从而AB∥平面MNP.对于图③，AB∥MP,能得出AB∥平面MNP.图②，④中直线AB与平面MNP相交.【举一反三】在本题条件下，试判断下面三个正方体图形中，是否有AB∥平面MNP？【解析】对于图①，取NP的中点为R,连接MR，则有AB∥MR且AB平面MNP，所以AB∥平面MNP.对于图③，AB∥NP,且AB平面MNP，NP平面MNP, 所以AB∥平面MNP.图②中，AB与平面MNP相交.所以，①③图中AB∥平面MNP.3.【解析】选D.如图，设M，N，P，Q为所在棱的中点，易知平面MNPQ∥平面DBB1D1，则过M，N，P，Q这四个点中的任意两点的直线与平面DBB1D1 平行，这种情形共有6条；同理，经过BC，CD，B1C1，C1D1四条棱的中点也有6条，故共有12条.4.【解析】选B.当点F是BC的中点时，即BF=12BC=12，有EF∥平面A1C1D.∵EF∥AC,AC∥A1C1,∴EF∥A1C1,又∵EF平面A 1C1D,A1C1平面A1C1D,∴EF∥平面A1C1D.5.【解题指南】借助于正方体模型来判断.【解析】由正方体模型易知α∥β或α与β相交.答案：平行或相交6.【解题指南】先列出三个命题，然后判断真假. 【解析】三个命题如下:（1）m∥n,m∥α⇒n∥α；(2)m∥n,n∥α⇒m∥α；(3)m∥α,n∥α⇒m∥n.经验证，（1）（2）正确，（3）中m与n可能相交、平行、异面.答案：①②⇒③（或①③⇒②）7.【证明】如图，因AA1∩CC1=O,所以AA1与CC1确定一个平面，设为平面α.又∵△AOC≌△A1OC1，∴∠OAC=∠OA1C1,从而AC∥A1C1.又A 1C1A1B1C1,AC A 1B1C1,由线面平行的判定定理得AC∥平面A1B1C1.同理AB∥平面A 1B1C1.又AB∩AC=A,AB ABC,ACABC，由面面平行的判定定理得平面ABC∥平面A1B1C1.8.【解析】(1)如图所示：（2）取PC的中点M，设AC与BD的交点为N，连接MN，ME，∵PM＝CM，AN＝CN，∴MN＝1PA，MN∥PA，2∴MN＝EB，MN∥EB，故BEMN是平行四边形，∴EM∥BN.又EM平面PEC，BD平面PEC，∴BD∥平面PEC.【方法技巧】线面平行证法面面观在点、线、面的位置关系中，线面平行是重要的位置关系，也是我们学习的重点.在证明线面平行的过程中，关键是如何找线线平行，其方法主要有借助对应线段成比例、中位线、平行四边形等方法.下面主要就线面平行的证法进行归类总结.（1）借助对应线段成比例借助对应线段成比例来证明两直线平行，进而证明线面平行. （2）借助中位线借助三角形或梯形的中位线可以找到线线平行关系,从而证明线面平行.（3）借助平行四边形对于平行四边形我们知道其对边平行，借助此关系可以证明线面平行.【挑战能力】【解析】存在.取PD的中点E，连接NE，EC，AE，因为N，E分别为PA，PD的中点，所以NE∥AD且NE=12AD.又在平行四边形ABCD中，CM∥AD且CM=12AD，所以NE MC，即四边形MCEN是平行四边形，所以NM∥EC，又EC平面ACE，NM平面ACE，所以MN∥平面ACE，即在PD上存在一点E，使得NM∥平面ACE，此时PE=12PD.。
2020_2021学年高中数学本册测试题含解析北师大版必修2
高中数学单元综合测试：单元综合测试三(本册测试题)时间：120分钟分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共50分)一、选择题(每小题5分，共50分)1．圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心坐标和半径分别是(D)A．(1，－2)，5 B．(1，－2)， 5C．(－1,2)，5 D．(－1,2)， 5解析：圆的方程化为标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，其圆心是(－1,2)，半径为 5.2．点A在z轴上，它到点(22，5，1)的距离是13，则点A的坐标是(C)A．(0,0，－1) B．(0,1,1)C．(0,0,1) D．(0,0,13)解析：由点A在z轴上，可设A(0,0，z)，∵点A到点(22，5，1)的距离是13，∴(22－0)2＋(5－0)2＋(1－z)2＝13，解得z＝1，故A的坐标为(0,0,1)．故选C.3．圆台侧面的母线长为2a，母线与轴的夹角为30°，一个底面的半径是另一个底面半径的2倍．求两底面的面积之和是(C)A．3πa2B．4πa2C．5πa2D．6πa2解析：设圆台上底面半径为r，则下底面半径为2r，如图所示，∠ASO＝30°，＝sin30°，∴SA′＝2r.在Rt△SA′O′中，rSA′在Rt△SAO中，2r＝sin30°，SA∴SA＝4r.∴SA－SA′＝AA′，即4r－2r＝2a，r＝a.∴S＝S1＋S2＝πr2＋π(2r)2＝5πr2＝5πa2.4．一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为2的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的体积是( B )A.83 B ．43π C ．12πD.833π解析：由三视图可知该几何体为四棱锥，底面为边长为2的正方形，有一侧棱垂直于底面，该侧棱长为2，因此外接球的直径为23，∴r ＝3，∴V ＝43πr 3＝43π.5．若点P (2，－1)为圆C (x －1)2＋y 2＝25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是( A ) A ．x －y －3＝0 B ．2x ＋y －3＝0 C ．x ＋y －1＝0D ．2x －y －5＝0解析：圆心为C (1,0)，则AB ⊥CP ，∵k CP ＝－1，∴k AB ＝1，∴直线AB 的方程是y ＋1＝x －2，即x －y －3＝0.6．若直线l 过点A (3,4)，且点B (－3,2)到直线l 的距离最远，则直线l 的方程为( D ) A ．3x －y －5＝0 B ．3x －y ＋5＝0 C ．3x ＋y ＋13＝0D ．3x ＋y －13＝0解析：当l ⊥AB 时，符合要求． ∵k AB ＝4－23＋3＝13，∴l 的斜率为－3，∴直线l 的方程为y －4＝－3(x －3)，即3x ＋y －13＝0.7．点(a ＋1,2a )在圆(x －1)2＋y 2＝1的内部，则a 的取值范围为( B ) A ．|a |<15B ．|a |<55C ．|a |<1D ．a <55解析：∵点(a ＋1,2a )在圆内部， ∴(a ＋1－1)2＋(2a )2<1，∴|a |<55.8．一个球的外切正方体的表面积等于6 cm 2，则此球的体积为 ( C )A.43π cm 3 B.68π cm 3 C.16π cm 3 D.66π cm 3 解析：设球的直径为2R cm ，则正方体的棱长为2R cm ，由题意得6×4R 2＝6，解得R ＝12.所以球的体积V ＝43πR 3＝43π×18＝16π(cm 3)． 9．已知点P (x ，y )是直线kx ＋y ＋4＝0(k >0)上一动点，P A ，PB 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的两条切线，A ，B 是切点．若四边形P ACB 的最小面积是2，则k 的值为( D )A. 2B.212C ．2 2D ．2解析：圆心C (0,1)到l 的距离d ＝5k 2＋1.∴四边形面积的最小值为2(12×1×d 2－1)＝2，∴k 2＝4，即k ＝±2.又k >0，∴k ＝2.10．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，并且总是保持AP ⊥BD 1，则动点P 的轨迹是( A )A ．线段B 1C B ．线段BC 1C ．BB 1中点与CC 1中点连成的线段D ．BC 中点与B 1C 1中点连成的线段 解析：∵DD 1⊥平面ABCD ，∴DD 1⊥AC ，又AC ⊥BD ，BD 平面BB 1D 1D ，D 1D 平面BB 1D 1D ， ∴AC ⊥平面BDD 1，∴AC ⊥BD 1.同理BD 1⊥B 1C . 又∵B 1C ∩AC ＝C ，B 1C 平面AB 1C ，AC 平面AB 1C ， ∴BD 1⊥平面AB 1C .而AP ⊥BD 1，∴AP 平面AB 1C .又P ∈平面BB 1C 1C ，∴点P 的轨迹为平面AB 1C 与平面BB 1C 1C 的交线B 1C .故选A.第Ⅱ卷(非选择题，共100分)二、填空题(每小题5分，共25分)11．顺次连接A (1,0)，B (1,4)，C (3,4)，D (5,0)所得到的四边形绕y 轴旋转一周，所得旋转体的体积是184π3.解析：所得旋转体为上底、下底面半径分别为3,5，高为4的圆台，去掉一个半径为1，高为4的圆柱．V 台＝13(9π＋9π×25π＋25π)×4＝196π3，V 柱＝4π，则V ＝V 台－V 柱＝184π3. 12．经过两条直线2x ＋y ＋2＝0和3x ＋4y －2＝0的交点，且垂直于直线3x －2y ＋4＝0的直线方程为2x ＋3y －2＝0.解析：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0得交点A (－2,2)．因为所求直线垂直于直线3x －2y＋4＝0，故所求直线的斜率k ＝－23.由点斜式得所求直线方程为y －2＝－23(x ＋2)，即2x ＋3y－2＝0.13．在△ABC 中，高AD 与BE 所在直线的方程分别是x ＋5y －3＝0和x ＋y －1＝0，AB 边所在直线的方程是x ＋3y －1＝0，则△ABC 的顶点坐标分别是A (－2,1)，B (1,0)，C (2,5)．解析：高AD 与边AB 所在直线的交点即为顶点A ，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋5y －3＝0，x ＋3y －1＝0，得A (－2,1)．高BE 与边AB 所在直线的交点即为顶点B ，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0，x ＋3y －1＝0，得B (1,0)．因为直线AC 过点A ，且与直线BE 垂直，所以直线AC 的方程为y －1＝x ＋2，即y ＝x ＋3，同理，直线BC 的方程为y ＝5(x －1)，联立两直线方程得C (2,5)．14．已知在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝a ，若P A ⊥平面ABCD ，在BC 边上取点E ，使PE ⊥DE ，则满足条件的点E 有两个时，a 的取值范围是(6，＋∞)．解析：如图所示，连接AE ，要使PE ⊥DE ，由于DE ⊥P A ，则需DE ⊥AE .∵在矩形ABCD 中，∠AED ＝90°，满足条件的E 点有两个，∴以AD 为直径的圆与BC 相交．∴圆心到直线BC的距离d<R，即3<AD，得a>6.215．从原点O引圆(x－m)2＋(y－2)2＝m2＋1的切线y＝kx，当m变化时，切点P的轨迹方程是x2＋y2＝3.解析：设切点P(x，y)，圆心C(m,2)，则在直角三角形OPC中，由勾股定理可得m2＋4＝m2＋1＋x2＋y2，∴切点P的轨迹方程为x2＋y2＝3.三、解答题(本题共6小题，共75分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)16．(本题满分12分)求倾斜角为直线y＝－3x＋1的倾斜角的一半，且分别满足下列条件的直线方程．(1)经过点(－4,1)；(2)在y轴上的截距为－10.解：因为直线y＝－3x＋1的斜率为－3，所以该直线的倾斜角为120°.由题意知所求直线的倾斜角为60°，斜率k＝ 3.(1)因为直线过点(－4,1)，所以由直线的点斜式方程得y－1＝3(x＋4)，即3x－y＋1＋43＝0.(2)因为直线在y轴上的截距为－10，所以由直线的斜截式方程得y＝3x－10.即3x－y－10＝0.17．(本题满分12分)已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，主视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，左视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．(1)求该几何体的体积V ； (2)求该几何体的侧面积S .解：由题设可知，该几何体是一个高h ＝4的四棱锥，其底面是长和宽分别为8和6的矩形，正侧面及其相对侧面均为底边长为8，高为h 1的等腰三角形，左、右侧面均为底边长为6，高为h 2的等腰三角形，如图所示．(1)该几何体的体积V ＝13S 底h ＝13×6×8×4＝64.(2)正侧面及其相对侧面底边上的高为h 1＝42＋32＝5，左、右侧面底边上的高为h 2＝42＋42＝42，故该几何体的侧面积为S ＝2⎝⎛⎭⎫12×8×5＋12×6×42＝40＋24 2. 18．(本题满分12分)已知直线l 经过点P (3,4)．(1)若直线l 的倾斜角为θ(θ≠90°)，且直线l 经过另外一点(35，45)，求此时直线l 的方程；(2)若直线l 与两坐标轴围成等腰直角三角形，求直线l 的方程． 解：(1)直线l 的斜率为k ＝tan θ＝4－453－35，解得tan θ＝43.所以直线l 的斜率为43，直线l 的方程为y ＝43x .(2)由题意知，直线l 的斜率必存在，且不为零，则设l ：y －4＝k (x －3)，分别令x ，y 等于零得到x 轴上的截距为－4k＋3，y 轴上的截距为－3k ＋4，由|－4k ＋3|＝|－3k ＋4|，得－4k ＋3＝－3k ＋4，解得k ＝－1，或k ＝43；或者－4k ＋3＝3k －4，解得k ＝1或k ＝43；经检验k ＝43不合题意，舍去．综上k 的值为±1，直线l 的方程为y ＝x ＋1或y ＝－x ＋7.19．(本题满分12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，AD ⊥PD ，BC＝1，PC＝23，PD＝CD＝2.(1)求异面直线P A与BC所成角的正切值；(2)证明：平面PDC⊥平面ABCD.解：(1)在四棱锥P－ABCD中，因为底面ABCD是矩形，所以AD＝BC且AD∥BC，又＝因为AD⊥PD，故∠P AD为异面直线P A与BC所成的角．在Rt△PDA中，tan∠P AD＝PDAD 2.所以，异面直线P A与BC所成角的正切值为2.(2)证明：由于底面ABCD是矩形，故AD⊥CD，又由于AD⊥PD，CD∩PD＝D，因此AD⊥平面PDC，而AD平面ABCD，所以平面PDC⊥平面ABCD.20．(本题满分13分)如图，已知圆心坐标为(3，1)的圆M与x轴及直线y＝3x分别相切于A，B两点，另一圆N与圆M外切，且与x轴及直线y＝3x分别相切于C，D两点．(1)求圆M与圆N的方程；(2)过点B作直线MN的平行线l，求直线l被圆N截得的弦的长度．解：(1)∵点M的坐标为(3，1)，∴M到x轴的距离为1，即圆M的半径为1，则圆M 的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝1.设圆N 的半径为r ，连接MA ，NC ，OM ，如图，则MA ⊥x 轴，NC ⊥x 轴， 由题意知：M ，N 点都在∠COD 的角平分线上，∴O ，M ，N 三点共线． 由Rt △OAM ∽Rt △OCN 可知，OMON ＝MANC ，即23＋r ＝1r⇒r ＝3，则OC ＝33，则圆N 的方程为(x －33)2＋(y －3)2＝9.(2)由对称性可知，所求的弦长等于过A 点与MN 平行的直线被圆N 截得的弦的长度，此弦的方程是y ＝33(x －3)，即x －3y －3＝0，圆心N 到该直线的距离d ＝32， 则弦长为2r 2－d 2＝33.21．(本题满分14分)如图，边长为4的正方形ABCD 所在平面与正△P AD 所在平面互相垂直，M ，Q 分别为PC ，AD 的中点．(1)求四棱锥P -ABCD 的体积； (2)求证：P A ∥平面MBD ；(3)试问：在线段AB 上是否存在一点N ，使得平面PCN ⊥平面PQB ？若存在，试指出点N 的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．解：(1)∵Q 为AD 的中点，△P AD 为正三角形， ∴PQ ⊥AD .∵平面P AD ⊥平面ABCD ，且平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ， ∴PQ ⊥平面ABCD . ∵AD ＝4，∴PQ ＝23， 四棱锥P -ABCD 的体积V ＝13S 正方形ABCD ·PQ ＝13×42×23＝3233.(2)证明：连接AC 交BD 于点O ，连接MO ，如图所示．由正方形ABCD 知O 为AC 的中点．∵M 为PC 的中点， ∴MO ∥P A .∵MO 平面MBD ，P A ⃘平面MBD ，∴P A ∥平面MBD .(3)存在点N ，当N 为AB 的中点时，平面PQB ⊥平面PNC .证明如下：如图，连接BQ ，CN ，PN .∵四边形ABCD 是正方形，Q 为AD 的中点，∴BQ ⊥NC . 由(1)知，PQ ⊥平面ABCD ，NC 平面ABCD ， ∴PQ ⊥NC .又BQ ∩PQ ＝Q ，∴NC ⊥平面PQB . ∵NC 平面PCN ，∴平面PCN ⊥平面PQB .。
新教材北师大版高中数学必修第二册全册各章节学案(知识点考点汇总及配套练习题)
北师大版必修第二册全册学案第一章三角函数.................................................................................................................... - 2 - 1周期变化 ................................................................................................................... - 2 - 2任意角 ....................................................................................................................... - 8 - 3弧度制 ..................................................................................................................... - 14 - 4正弦函数和余弦函数的概念及其性质.................................................................. - 20 - 5正弦函数、余弦函数的图象与性质再认识.......................................................... - 35 -ωx＋φ的性质与图象................................................................... - 50 - 6函数y＝A sin ()7正切函数 ................................................................................................................. - 67 - 8三角函数的简单应用.............................................................................................. - 76 - 第二章平面向量及其应用.................................................................................................. - 85 - 1从位移、速度、力到向量...................................................................................... - 85 - 2从位移的合成到向量的加减法.............................................................................. - 92 - 3从速度的倍数到向量的数乘................................................................................ - 107 - 4平面向量基本定理及坐标表示............................................................................ - 119 - 5从力的做功到向量的数量积................................................................................ - 136 - 6平面向量的应用.................................................................................................... - 150 - 第三章数学建模活动（二）............................................................................................ - 188 - 1建筑物高度的测量................................................................................................ - 188 - 2测量和自选建模作业的汇报交流........................................................................ - 188 - 第四章三角恒等变换........................................................................................................ - 195 - 1同角三角函数的基本关系.................................................................................... - 195 - 2两角和与差的三角函数公式................................................................................ - 205 - 3二倍角的三角函数公式........................................................................................ - 237 - 第五章复数 ....................................................................................................................... - 255 - 1复数的概念及其几何意义.................................................................................... - 255 - 2复数的四则运算.................................................................................................... - 268 - 3复数的三角表示.................................................................................................... - 282 - 第六章立体几何初步.......................................................................................................... - 291 - 1基本立体图形........................................................................................................ - 291 - 2直观图 ................................................................................................................... - 310 - 3空间点、直线、平面之间的位置关系.............................................................. - 318 - 4平行关系 ............................................................................................................... - 335 - 5垂直关系 ............................................................................................................... - 364 - 6简单几何体的再认识............................................................................................ - 394 -第一章三角函数1周期变化学习任务核心素养1．了解现实生活中的周期现象，能判断简单的实际问题中的周期．(难点) 2．初步了解周期函数的概念，能判断简单的函数的周期性．(难点、重点)1．通过周期函数的概念的学习，逐步培养数学抽象素养．2．借助周期函数的判定，培养逻辑推理素养．在日常生活中，有一些现象按照一定的规律不断重复出现，比如每周七天，从星期一开始，到星期日结束，总是以七天为一个循环不断重复出现．我们把这种会重复出现的规律性问题称为周期问题．你还能列举日常生活中周期变化的实例吗？知识点1周期函数的概念一般地，对于函数y＝f(x)，x∈D，如果存在一个非零常数T，使得对任意的x∈D，都有x＋T∈D且满足f(x＋T)＝f(x)，那么函数y＝f(x)称作周期函数，非零常数T称作这个函数的周期．1.(1)是否所有的函数都是周期函数？(2)周期函数的周期唯一吗？[提示](1)不是，如y＝x＋1就不是周期函数．(2)周期函数的周期不唯一，如果T是函数f(x)的周期，那么kT(k∈Z且k≠0)也是函数f(x)的周期．知识点2最小正周期如果在周期函数y＝f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就称作函数y＝f(x)的最小正周期．2.(1)为什么规定T非零？(2)常函数f(x)＝c，x∈R是周期函数吗？若是，其周期是什么？[提示](1)T若为零，则任意函数都是周期函数．(2)是周期函数，其周期是任意非零实数．某物体作周期运动，如果一个周期为0.4秒，那么运动4秒，该物体经过了______个周期．10[4÷0.4＝10，所以经过了10个周期．]类型1周期现象【例1】水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，假设水车5分钟转一圈，计算1小时内最多盛水多少升？[解]因为1小时＝60分钟＝12×5分钟，且水车5分钟转一圈，所以1小时内水车转12圈．又因为水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，所以每转一圈，最多盛水16×10＝160(升)，所以水车1小时内最多盛水160×12＝1 920(升).1.周期现象的判断首先要认真审题，明确题目的实际背景，然后应抓住“间隔相同，现象(或值)重复出现”这一重要特征进行判断．2.收集数据、画散点图，分析数据特点，能直观地发现函数的周期性．[跟进训练]1．利用本例中的水车盛800升的水，至少需要多少时间？[解]设x分钟后盛水y升，由例1知每转一圈，水车最多盛水16×10＝160(升)，所以y＝x5×160＝32x，为使水车盛800升的水，则有32x≥800，所以x≥25，即水车盛800升的水至少需要25分钟．类型2周期函数【例2】 (教材北师版P 3例3改编)已知函数f (x )满足f (x )f ()x ＋2＝13，求证：f (x )是周期函数．1．若存在非零常数a ，使函数f (x )在定义域上满足：f ()x ＋a ＝－f (x )，则f (x )是周期函数吗？若是，其周期是什么？[提示] 由已知得，f ()x ＋2a ＝－f ()x ＋a ＝－[]－f ()x ＝f (x )，根据周期函数的定义，f (x )是以2a 为一个周期的周期函数．2．若存在非零常数a ，使函数f (x )在定义域上满足：f ()x ＋a ＝1f ()x ，则f (x )是周期函数吗？若是，其周期是什么？[提示] 由已知得，f ()x ＋2a ＝1f ()x ＋a ＝11f ()x ＝f (x )，根据周期函数的定义，f (x )是以2a 为一个周期的周期函数．[证明] 由已知得f ()x ＋2＝13f ()x ， 所以f ()x ＋4＝13f ()x ＋2＝1313f ()x ＝f (x ). 所以f (x )是周期函数，4是它的一个周期．判定一个函数是周期函数需分两步(1)先猜想出其周期；(2)用周期函数的定义证之．[跟进训练]2．已知函数f (x )满足f ()x ＋1＝1＋f ()x 1－f ()x ，求证：f (x )是周期函数． [证明] 由已知得，f ()x ＋2＝1＋f ()x ＋11－f ()x ＋1＝1＋1＋f ()x 1－f ()x 1－1＋f ()x 1－f ()x ＝2－2f ()x ＝－1f ()x .所以f ()x ＋4＝－1f ()x ＋2＝－1－1f ()x ＝f (x ).所以f (x )是周期函数，4是它的一个周期．类型3 周期函数的应用【例3】 (教材北师版P 2例2改编)设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，f ()x ＋2＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x .(1)求f ()π的值；(2)当－4≤x ≤4时，求f (x )的图象与x 轴所围成图形的面积；(3)写出(－∞，＋∞)内函数f (x )的单调递增(或减)区间．第(1)问，先求函数f (x )的周期，再求f ()π的值；第(2)问，推断函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，再结合周期画出图象，由图象易求面积；第(3)问，观察图象写出．[解] (1)由f ()x ＋2＝－f (x )，得f ()x ＋4＝－f ()x ＋2＝－[]－f ()x ＝f (x )， 所以f (x )是以4为周期的周期函数，∴f ()π＝f ()－1×4＋π＝f ()π－4＝－f ()4－π＝－()4－π＝π－4.(2)由f (x )是奇函数与f ()x ＋2＝－f (x )，得f []()x －1＋2＝－f ()x －1＝f ()1－x ，即f ()1＋x ＝f ()1－x .故知函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称．又0≤x ≤1时，f (x )＝x ，且f (x )的图象关于原点成中心对称，则f (x )的图象如图所示．当－4≤x ≤4时，f (x )的图象与x 轴围成的图形面积为S ，则S ＝4S △ OAB ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×1＝4. (3)函数f (x )的单调递增区间为[4k －1，4k ＋1](k ∈Z )，单调递减区间为[4k ＋1，4k ＋3](k ∈Z ).研究周期函数时，通常先研究其在一个周期上的性质，然后把它拓展到定义域上，这样可简化对函数的研究．[跟进训练]x＋4＝f(x)，则f(2)＝() 3．(1)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f()A．0B．1C．2D．3(2)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x＜2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0，6]上与x轴的交点的个数为()A．6 B．7 C．8 D．9(1)A(2)B[(1)由题意，f(x)为周期函数且周期为4，∴f(－2)＝f(－2＋4)＝f(2)，又f(－2)＝－f(2)，则f(2)＝－f(2)，所以f(2)＝0.(2)当0≤x＜2时，令f(x)＝x3－x＝0，得x＝0或x＝1或x＝－1(舍去)，又f(x)的最小正周期为2，∴f(0)＝f(2)＝f(4)＝f(6)＝0，f(1)＝f(3)＝f(5)＝0，∴y＝f(x)的图象在区间[0，6]上与x轴的交点个数为7.]当堂达标1．下列变化中，不是周期现象的是()A．“春去春又回”B．钟表的分针的运行C．天干地支表示年、月、日的时间顺序D．某同学每天上学的时间D[由周期现象的概念知，某同学每天上学的时间不是周期变化．故选D.] 2．设f(x)是定义在R上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间(－2，16＝()1]上的图象，则f()A.1 B ．0 C ．－1 D ．2A [由于f (x )是定义在R 上的周期为3的周期函数，所以f ()16＝f ()5×3＋1＝f ()1，而由图象可知f (1)＝1，所以f ()16＝1.]3．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对于任意的 x ∈R 都有f ()x ＋4＝f (x )＋f ()2，f (1)＝ 4，则f ()3＋f ()10的值为________．4 [由题意可知f ()x ＋4＝f (x )＋f ()2，令x ＝－2，可求得f ()－2＝0，又函数f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f ()2＝0，即f ()x ＋4＝f (x )，所以f (x )是以4为周期的周期函数，又f ()1＝4，所以f ()3＋f ()10＝f ()－1＋f ()2＝f ()1＋0＝4.]4．若f (x )是以π2为周期的函数，且f (π3)＝1，则f (－2π3)＝________．1 [f (－2π3)＝f (π3－2×π2)＝f (π3)＝1.]5．一个质点，在平衡位置O 点附近振动，如果不考虑阻力，可将此振动看作周期运动，从O 点开始计时，质点向左运动第一次到达M 点用了0.3 s ，又经过0.2 s ，第二次通过M 点，则质点第三次通过M 点，还要经过的时间可能是________s.1.4 [质点从O 点向左运动，O →M 用了0.3 s ，M →A →M 用了0.2 s ，由于M →O与O →M 用时相同，因此质点运动半周期T 2＝0.2＋0.3×2＝0.8(s)，从而当质点第三次经过M 时用时应为M →O →B →O →M ，所用时间为0.3×2＋0.8＝1.4(s).]回顾本节内容，自我完成以下问题：1.周期函数的定义是什么？如何判断f (x )是周期函数？[提示]一般地，对于函数y＝f(x)，x∈D，如果存在一个非零常数T，使得对任意的x∈D，都有x＋T∈D且满足f(x＋T)＝f(x)，那么y＝f(x)称作周期函数，利用周期函数的定义及一些常用的结论判断．2.周期函数的定义域有什么特点？[提示]设周期为T的函数的定义域为M，则x∈M，则必有x＋nT∈M(且n∈Z 且n≠0)，因此周期函数的定义域一定是无限集．2任意角学习任务核心素养1．了解任意角的概念，理解象限角的概念．(重点)2．掌握终边相同的角的含义及其表示．(难点)1．通过对任意角与象限角的概念的学习，培养数学抽象素养．2．借助终边相同的角的表示，培养数学运算素养．周日早晨，小明起床后，发现自己的闹钟停在5：00这一刻，他立即更换了电池，调整到了正常时间6：30，并开始正常的学习．小明在调整闹钟时间时，时针与分针各转过了多少度？知识点1角的概念角可以看成平面内一条射线OA绕着它的端点O按箭头所示方向旋转到终止位置OB所形成的图形．点O是角的顶点，射线OA，OB分别是角α的始边和终边．知识点2按照角的旋转方向，分为如下三类类型定义正角按逆时针方向旋转形成的角负角按顺时针方向旋转形成的角零角如果一条射线从起始位置OA没有作任何旋转，终止位置OB与起始位置OA重合，称这样的角为零角1.(1)角的三要素是什么？(2)正角、负角、零角是根据什么区分的？[提示](1)角的三要素是顶点、始边、终边．(2)根据射线是否旋转及旋转的方向．1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)小于90°的角都是锐角．()(2)终边与始边重合的角为零角．()(3)大于90°的角是钝角．()(4)将时钟拔快20分钟，则分针转过的度数是120°. ()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×知识点3象限角如果角的顶点在坐标原点，角的始边在x轴的非负半轴，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．2.第二象限角比第一象限角大吗？[提示]不一定．如120°是第二象限的角，390°是第一象限的角，但120°＜390°.2.－300°是第()象限角A．一B．二C．三D．四A[因为－300°的终边和60°的终边相同，所以它是第一象限角，故选A.] 知识点4终边相同的角给定一个角α，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与周角的整数倍的和．3.终边相同的角一定相等吗？[提示]不一定．如30°与390°角的终边相同，但并不相等．3.将－885°化为α＋k·360°(0°≤α<360°，k∈Z)的形式是________．[答案]195°＋(－3)× 360°类型1角的概念的推广【例1】写出下图中的角α，β，γ的度数．(1)(2)[解]由角的概念可知α＝330°，β＝－150°，γ＝570°.1.理解角的概念的三个“明确”2.表示角时的两点注意(1)字母表示时：可以用希腊字母α，β等表示，“角α”或“∠α”可以简化为“α”.(2)用图示表示角时：箭头不可以丢掉，因为箭头代表了旋转的方向，即箭头代表着角的正负．[跟进训练]1．(1)图中角α＝________，β＝________；(2)经过10 min，分针转了________．(1)－150°210°(2)－60°[(1)α＝－(180°－30°)＝－150°，β＝30°＋180°＝210°.(2)分针按顺时针转过了周角的16，即－60°.]类型2终边相同的角【例2】(教材北师版P7例3改编)已知α＝－1 190°.(1)把α写成β＋k× 360°(k∈Z，0°≤β＜360°)的形式，并指出它是第几象限角；(2)求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ＜0°.[解](1)α＝－1190°＝250°－4×360°，其中β＝250°，它是第三象限角．(2)令θ＝250°＋k×360°(k∈Z)，取k＝－1，－2就得到满足－720°≤θ＜0°的角，即250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°.所以θ为－110°，－470°.求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值即可．[跟进训练]2.写出终边在阴影区域内(含边界)的角的集合．[解]终边在直线OM上的角的集合为M＝{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝225°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝45°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝45°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝45°＋n·180°，n∈Z}．同理可得终边在直线ON上的角的集合为{α|α＝60°＋n·180°，n∈Z}，所以终边在阴影区域内(含边界)的角的集合为{α|45°＋n·180°≤α≤60°＋n·180°，n∈Z}．类型3象限角【例3】(教材北师版P6例1改编)写出终边落在第一象限和第二象限内的角的集合．根据终边相同的角一定是同一象限的角，可以先写出第一象限角的范围和第二象限角的范围，再加上360°的整数倍即可．[解]第一象限角的集合：S＝{β|k·360°＜β＜k·360°＋90°，k∈Z}．第二象限角的集合：S＝{β|k·360°＋90°＜β＜k·360°＋180°，k∈Z}．,象限角的判定方法,因为在直角坐标平面内，0°～360°范围的角与坐标系中的射线可建立一一对应的关系，所以可利用终边相同的角的表示将角转化到0°～360°范围内来判断．[跟进训练]3．在四个角－20°，－400°，－2 000°，1 600°中，第四象限角的个数是()A．0 B．1 C．2 D．3C[－20°是第四象限角，－400°＝－360°－40°与－40°终边相同，是第四象限角，－2 000°＝－6×360°＋160°与160°终边相同，是第二象限角，1 600°＝4×360°＋160°与160°终边相同，是第二象限角，故第四象限角有2个．]当堂达标1．设A＝{α|α为锐角}，B＝{α|α为小于90°的角}，C＝{α|α为第一象限的角}，D＝{α|α为小于90°的正角}，则下列等式中成立的是()A．A＝B B．B＝C C．A＝C D．A＝DD[根据角的分类，可知应选D.]2．下面各组角中，终边相同的是()A．390°，690°B．－330°，750°C．480°，－420°D．3000°，－840°B[因为－330°＝－360°＋30°，750°＝720°＋30°，∴－330°角与750°角的终边相同．]3．与－457°角终边相同的角的集合是()A．{α|α＝k·360°＋457°，k∈Z}B．{α|α＝k·360°＋97°，k∈Z}C．{α|α＝k·360°＋263°，k∈Z}D．{α|α＝k·360°－263°，k∈Z}C[－457°＝－2×360°＋263°，故选C.]4．与－1 692°终边相同的最大负角是________．－252°[∵－1 692°＝－5×360°＋108°，∴与108°终边相同的最大负角为－252°.]5．－1 060°的终边落在第________象限．一[因为－1 060°＝－3×360°＋20°，所以－1 060°的终边在第一象限．]回顾本节内容，自我完成以下问题：1.高中阶段所学的角与初中所学的角有什么不同？[提示]对角的理解，初中阶段是以“静止”的眼光看，高中阶段应用“运动”的观点下定义，理解这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转量”决定角的“绝对值大小”．2.用集合表示区域角时表示形式唯一吗？[提示]区域角的表示形式并不唯一，如第二象限角的集合，可以表示为{α|90°＋k×360°＜α＜180°＋k×360°，k∈Z}，也可以表示为{α|－270°＋k×360°＜α＜－180°＋k×360°，k∈Z}．3弧度制学习任务核心素养1.了解角的另外一种度量方法——弧度制．(重点、难点)2．能够熟练地在角度制和弧度制之间进行换算．(重点)3．掌握弧度制中弧长公式和扇形的面积公式．(重点)1．通过弧度制的建立过程，培养逻辑推理素养．2．通过弧度制与角度制的换算以及弧长公式和扇形的面积公式的应用，提升数学运算素养．度量长度可以用米、英尺等不同的单位制，度量重量可以用千克、磅等不同的单位制，不同的单位制能给解决问题带来方便，角的度量也可以用不同的单位制，那么测量角除了角度外，是否还有其它单位，它是怎样定义的？这就是本节课我们要重点研究的问题．知识点1弧度制的定义在单位圆中，长度等于1的弧所对的圆心角为1弧度的角，它的单位符号是rad，读作弧度．以弧度作为单位来度量角的方法，称作弧度制．1.在给定半径的圆中，弧长一定时，圆心角确定吗？[提示]确定．知识点2角度与弧度的互化角度化弧度弧度化角度360°＝2π rad2π rad＝360°180°＝π radπ rad＝180°1°＝π180rad≈0.017_45 rad 1 rad＝⎝⎛⎭⎪⎫180π°≈57°18′2.(1)在角度制中，把圆周角等分成360份，其中的一份是多少度？(2)在弧度制中，把圆周角等分成360份，其中的一份是多少弧度？[提示](1)1度；(2)π180弧度．1.(1)与120°角终边相同的角为()A．2kπ－2π3(k∈Z)B．11π3C．2kπ－10π3(k∈Z) D．(2k＋1)π＋2π3(k∈Z)(2)－23π12化为角度应为()A．－345°B．－15°C．－315°D．－375°(1)C(2)A[(1)120°＝2π3且2kπ－10π3＝(2k－4)π＋2π3(k∈Z)，∴120°与2kπ－10π3(k∈Z)，终边相同．(2)－23π12＝－2312×180°＝－345°.]知识点3弧长与扇形面积公式设扇形的半径为r，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则α为度数α为弧度数扇形的弧长l＝απr180l＝αr扇形的面积S＝απr2360S＝12lr＝12αr22.已知扇形的半径为12，弧长为18，则扇形圆心角为________．32[由弧长公式l＝αR，得α＝lR＝1812＝32.]类型1弧度制的概念【例1】下列说法中，错误的是()A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B．1度的角是周角的1360，1弧度的角是周角的12πC．根据弧度的定义，180°一定等于π弧度D．不论是用角度制还是用弧度制度量角，角的大小均与圆的半径大小有关D[A正确；1度的角是周角的1360，1弧度的角是周角的12π，B正确；根据弧度的定义，180°一定等于π弧度，C正确．根据角度制与弧度制的定义，无论是用角度制还是用弧度制度量角，角的大小均与圆的半径大小无关，而是与弧长和半径的比值有关，所以D错误，故选D.]1.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位.1度的角是周角的1360，1弧度的角是周角的12π．2.在角度制下，角x与其正弦sin x无法进行运算，在弧度制下，角x是一个实数，与其正弦sin x就可以进行运算，这拓展了我们所研究函数的范围．[跟进训练]1．下列各说法中，错误的说法是()A．半圆所对的圆心角是πradB．周角的大小等于2πC．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度D[根据1rad的定义：我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫1 rad的角．对照选项，知A、B、C正确，D项错误．]类型2角度制与弧度制的互化【例2】(教材北师大版P10例1、例2改编)将下列各角度与弧度互化．(1)112°30′；(2)94π rad；(3)－3 rad.[解](1)112°30′＝112.5°＝π180rad×112.5＝5π8rad.(2)94π rad＝94×180°＝405°.(3)－3 rad＝－3×180°π≈－171.9°.1.在进行角度制和弧度制的换算时，抓住关系式π rad＝180°是解题的关键．2.一些特殊角30°，45°，60°，90°，270°等的弧度数与度数的对应制今后常用，应熟记．3.弧度与角度在表示角时，二者不可混合使用，如β＝2kπ＋30°(k∈Z)，这种方法是不恰当的．[跟进训练]2．把－1480°写成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α<2π.[解]∵－1480°＝π180×(－1480)＝－74π9.又∵－74π9＝－10π＋169π，且0≤169π<2π.∴－1480°＝2×(－5)π＋16 9π.类型3弧长公式与扇形面积公式【例3】已知扇形的周长为20 cm，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？先用半径r表示弧长，再依据S＝12lr建立扇形面积S与半径r之间的函数关系，最后利用配方法求最大值．[解]设扇形的半径为r，弧长为l，面积为S.∵l＝20－2r，∴S＝12lr＝12(20－2r)·r＝－r2＋10r＝－(r－5)2＋25(0＜r＜10).∴当半径r＝5 cm时，扇形的面积最大，为25 cm2.此时α＝lr＝20－2×55＝2(rad).∴当扇形的半径为5 cm，圆心角为2 rad时，扇形面积最大，最大值为25 cm2.本例将条件改为“已知扇形周长为10，面积为4”试求扇形的圆心角的大小．[解] 设圆心角是θ，半径是r ，则⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋rθ＝10，12θ·r 2＝4 ⇒⎩⎪⎨⎪⎧r ＝4，θ＝12或⎩⎨⎧r ＝1，θ＝8(舍). 故扇形圆心角为12rad.灵活运用扇形弧长公式、面积公式列方程组求解是解决此类问题的关键，解决扇形中的有关最值问题可运用函数思想，将扇形面积表示为半径r 的函数，再求该函数的最值．[跟进训练]3．(1)一个扇形的面积为1，周长为4，则圆心角的弧度数为________．(2)已知扇形OAB 的圆心角α为120°，半径长为6.则AB 的长为________．(1)2 rad (2)4π [(1)设扇形的半径为R ，弧长为l ，则2R ＋l ＝4，∴l ＝4－2R ，根据扇形面积公式S ＝12lR ，得1＝12(4－2R )·R ，∴R ＝1，∴l ＝2，∴α＝l R ＝21＝2，即扇形的圆心角为2 rad.(2)∵α＝120°＝23π，r ＝6，∴AB ︵的长l ＝23 π×6＝4π.]当堂达标1.3π5弧度化为角度是( )A ．110°B ．160°C ．108°D ．218°C [3π5＝35×180°＝108°.]2．在半径为8 cm 的圆中，5π3的圆心角所对的弧长为( ) A ．403π cm B ．23π cm C ．2003π cm D ．4003π cmA [根据弧长公式，得l ＝5π3×8＝40π3(cm).]3．把22°30′化为弧度的结果是________．π8 [22°30′＝22.5°＝22.5180π＝π8.]4．一条弦长等于半径，则此弦所对圆心角的度数为________rad.π3 [因为弦长等于半径，所以弦和与弦两端点相交的两半径构成等边三角形，所以弦所对圆心角为60°即为π3 rad.]5．用弧度制表示终边落在x 轴上方的角α的集合为________．{α|2k π＜α＜2k π＋π，k ∈Z } [若角α的终边落在x 轴上方，则2k π＜α＜2k π＋π(k ∈Z ).],回顾本节内容，自我完成以下问题：1.角的概念推广后，角的集合与实数集R 之间是怎样的关系？[提示] 角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R 之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．2.在解决与角有关的问题时，应注意什么？[提示] (1)解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π rad ”这一关系式．(2)在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应用时，要注意角的单位取弧度．,4正弦函数和余弦函数的概念及其性质4．1单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义4．2单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质学习任务核心素养1．了解单位圆与正弦、余弦函数的关系．2．掌握任意角的正弦、余弦函数定义．(重点)3．掌握正弦函数、余弦函数在各个象限内的符号．(重点)1．通过正弦、余弦函数定义的学习，培养数学抽象素养．2．通过正弦函数、余弦函数在各个象限内的符号判断，培养逻辑推理素养．在初中，由于学习的知识不够深入和认知的差异，为了便于理解锐角三角函数的概念，我们以锐角为其中一个角构造一个直角三角形，利用不同边的比值定义了该锐角的三角函数(正弦函数、余弦函数、正切函数)，但这种定义显然不适应任意角的三角函数的定义，这节课我们将要探寻任意角的三角函数的本质，并对任意角的三角函数给出一个科学合理的定义．如何定义一般情形下的三角函数的定义呢？(1)单位圆的定义：在直角坐标系中，以原点为圆心，以单位长为半径的圆，称为单位圆．(2)如图所示，设α是任意角，其顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边与单位圆O交于点P()u，v.正弦函数sin α余弦函数cos α定义 点P 的纵坐标v 叫作角α的正弦函数值，记作v ＝sin_α点P 的横坐标u 叫作角α的余弦函数值，记作u ＝cos_α在各象限的符号1.已知Q ()x ，y 是角α终边上除原点外的一点，如何求sin α与cos α？ [提示] sin α＝y x 2＋y 2，cos α＝xx 2＋y2.1.点P (sin 2 020°，cos 2 020°)位于第________象限． 三 [∵2 020°＝5×360°＋220°， ∴2 020°是第三象限角， ∴sin 2 020°<0，cos 2 020°＜0， ∴点P 位于第三象限．]知识点2 正弦函数、余弦函数的基本性质 性质 正弦函数y ＝sin x余弦函数y ＝cos x定义域 R值域 []－1，1最大值与 最小值 当x ＝2k π＋π2，k ∈Z 时，y max ＝1；当x ＝2k π－π2，k ∈Z 时，y min ＝－1 当x ＝2k π，k ∈Z 时，y max ＝1；当x ＝()2k ＋1π，k ∈Z 时，y min＝－1周期性周期函数，T ＝2π单调性 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2， k ∈Z 上单调递增； 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2， 在[]2k π－π，2k π， k ∈Z 上单调递增的； 在[]2k π，2k π＋π， k ∈Z 上单调递减k ∈Z 上单调递减2.为什么y ＝sin x ，x ∈R 是周期函数？[提示] 因为∀x ∈R ，x ＋2π与x 终边相同，所以sin ()x ＋2π＝sin x ，根据周期函数的定义可知，y ＝sin x ，x ∈R 是周期函数．2.已知sin x ＝2m ＋3，且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π6， 则m 的取值范围是________． －74≤m ≤－54 [∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π6，∴结合单位圆知sin x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12，即－12 ≤2m ＋3≤ 12.∴－74 ≤m ≤－54.]类型1 三角函数的定义及应用【例1】 (教材北师版P 15练习1改编)已知角α的终边过点P ()－3a ，4a ()a ≠0，求2sin α＋cos α的值．[解] r ＝（－3a ）2＋（4a ）2＝5|a |. ①若a >0，则r ＝5a ，角α在第二象限， sin α＝y r ＝4a 5a ＝45， cos α＝x r ＝－3a 5a ＝－35， ∴2sin α＋cos α＝85－35＝1.②若a <0，则r ＝－5a ，角α在第四象限， sin α＝4a －5a＝－45， cos α＝－3a －5a ＝35，∴2sin α＋cos α＝－85＋35＝－1.已知角α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法1.在角α的终边上任选一点P (x ，y )，求出点P 到原点的距离为r ()r >0，则sin α＝y r ，cos α＝xr ．2.当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．[跟进训练]1．已知角α的终边在直线y ＝3x 上，求sin α，cos α的值． [解] 因为角α的终边在直线y ＝3x 上，所以可设P (a ，3a )(a ≠0)为角α终边上任意一点， 则r ＝a 2＋()3a 2＝2|a |(a ≠0). 若a >0，则α为第一象限角，r ＝2a ， 所以sin α＝3a 2a ＝32，cos α＝a 2a ＝12 . 若a <0，则α为第三象限角，r ＝－2a ， 所以sin α＝3a －2a ＝－32，cos α＝－a 2a ＝－12.类型2 正弦、余弦函数值符号的判断【例2】 (1)若α是第二象限角，则点P (sin α，cos α)在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限(2)判断下列各式的符号．①sin 145°cos (－210°)；②sin 3·cos 4.(1)D [∵α为第二象限角，∴sin α＞0，cos α＜0， ∴点P 在第四象限，故选D.] (2)[解] ①∵145°是第二象限角，∴sin 145°＞0，∵－210°＝－360°＋150°， ∴－210°是第二象限角，∴cos (－210°)＜0， ∴sin 145°cos (－210°)＜0.②∵π2＜3＜π，π＜4＜3π2，∴sin 3＞0，cos 4＜0，∴sin 3·cos 4<0.,对于已知角α，判断α的相应三角函数值的符号问题，常依据三角函数的定义，或利用口诀“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来处理．[跟进训练]2．若三角形的两内角A，B满足sin A cos B<0，则此三角形为()A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．以上三种情况都有可能B[由题意知，A，B∈(0，π)，∴sin A＞0，cos B＜0，∴B为钝角．故选B.]类型3单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质【例3】(教材北师版P18例3改编)已知函数f(x)＝2sin x－1.求(1)函数f(x)的定义域；(2)函数f(x)的值域；(3)函数f(x)的单调区间．若研究与三角函数有关的不等式问题，我们通常考虑数形结合思想求解．[解](1)要使函数f(x)有意义，则sin x≥1 2.如图所示，画出单位圆，作直线y＝12，交单位圆于P1，P2两点，在[0，2π)范围内，sin π6＝sin5π6＝12，则点P1，P2分别在5π6，π6的终边上，又sin x≥12，结合图形可知，图中阴影部分(包括边界)即满足sin x≥12的角α的终边所在的范围，即当x∈[0，2π)时，π6≤x≤5π6，故函数f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪2k π＋π6≤x ≤2k π＋5π6，k ∈Z (2)由12≤sin x ≤1，得f (x )的值域为[]0，1. (3)函数f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π6，2k π＋π2()k ∈Z ，单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋5π6()k ∈Z .若将例3函数的解析式改为“f (x )＝－2cos x －1”试求函数f (x )的定义域． [解] 若使函数f (x )有意义，则－2cos x －1≥0，即cos x ≤－12.作直线x ＝－12交单位圆于C 、D 两点，连接OC 、OD ，则OC 与OD 围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围．故满足条件的角α的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z .利用单位圆解三角不等式的一般步骤第一步：找出不等式对应方程的根；第二步：找出满足不等式的角的终边所在区域； 第三步：结合单位圆写出不等式的解集．[跟进训练]3．使sin x ≤cos x 成立的x 的一个取值区间是( ) A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，π4B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4D ．[0，π]A [如图所示，在直角坐标系中作出单位圆及直线y ＝x ，要使sin x ≤cos x ，由三角函数线的定义知角x 的终边应落在直线y ＝x 上或者该直线的下方，故选A.]当堂达标1．设已知角α的终边与单位圆交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12，则sin α的值为( )A ．－32B ．－12C ．32D ．12B [由于x ＝－32，y ＝－12，由正弦函数的定义知，sin α＝y ＝－12，故选B.] 2．当α为第二象限角时，||sin αsin α－cos α||cos α的值是( ) A ．1 B ．0 C ．2 D ．－2 C [∵α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0.∴||sin αsin α－cos α||cos α＝sin αsin α－cos α－cos α＝2.]3．若sin α≥32，则角α的取值范围是___________________．⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪2k π＋π3≤α≤2k π＋23π，k ∈Z[如图作直线y ＝32交单位圆于A 、B 两点，连接OA 、OB ，则OA 与OB 围成的区域即为角α的终边的范围，故满足条件的角α的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪2k π＋π3≤α≤2k π＋23π，k ∈Z .]4．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若P ()4，y 是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________．－8 [∵sin θ＝y 42＋y2＝－255， ∴y <0，且y 2＝64，∴y ＝－8.]5．u ＝12cos α，α∈[－π3，2π3]的单调递增区间是________，单调递减区间是________．[－π3，0] [0，2π3] [由图可知u ＝12cos α，在[－π3，0]上是增函数，在[0，2π3]上是减函数．]回顾本节内容，自我完成以下问题：1.借助单位圆，思考正弦函数，余弦函数的定义域、值域、周期、单调区间各是什么？[提示] 正弦、余弦函数的定义域、值域、周期均相同，分别是R 、[－1，1]、2π.正弦函数的单调增区间为[2k π－π2，2k π＋π2](k ∈Z )，减区间为[2k π＋π2，2k π＋3π2](k ∈Z )，余弦函数的增区间为[2k π－π，2k π](k ∈Z )，减区间为[2k π，2k π＋π](k ∈Z ).2.如何判断正弦函数值和余弦函数值在各象限内的符号？ [提示] (1)正弦函数值的符号取决于纵坐标y 的符号． (2)余弦函数值的符号取决于横坐标x 的符号．正弦、余弦函数值在各个象限的符号可简记为：一均正、二正弦、三均负、四余弦．4．3 诱导公式与对称 4．4 诱导公式与旋转学 习 任 务核 心 素 养1．了解正弦函数、余弦函数的诱导公式的意义和作用．(重点)2．理解诱导公式的推导过程．(难点)3．能运用有关诱导公式解决一些正弦函1．借助诱导公式的推导，培养逻辑推理素养．2．通过诱导公式的应用，提升数学运算素养．。
高中数学北师大版必修二同步配套精品 第二章 解析几何初步 2.1.2.2
������ -(-3) -6-(-3 )
=
������ -(-2) -5-(-2)
,
整理得x-y-1=0,即所求直线方程为x-y-1=0.
探究一
探究二
探究三
易错辨析
反思感悟1.当已知两点坐标,求过这两点的直线方程时,首先要判 断是否满足两点式方程的适用条件:两点的连线不垂直于坐标轴. 若满足,则考虑用两点式求方程;若不满足,则可直接写出直线方程. 2.注意:由于减法的顺序性,一般用两点式求直线方程时常会将字 母或数字的顺序错位而导致错误,在记忆和使用两点式方程时,必 须注意坐标的对应关系,即x2与y2是同一点的坐标,而x1与y1是另一 点的坐标.
归纳总结直线方程的几种形式之间的相互转化:
思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打 “×”. (1)直线的一般式方程可表示任意一条直线. ( √ ) (2)直线的截距式可表示除过原点外的所有直线. ( × ) (3)直线的两点式适用于求与两坐标轴不垂直的直线方程. ( √ ) (4)任何一条直线的一般式方程均能与其他四种形式(点斜式、 两点式、斜截式、截距式)相互互化. ( × )
������ ������
又直线经过点 M(2,6),所以 + =1,解得 a=8. 因此直线方程为 + =1,即 x+y-8=0.
当直线在x轴、y轴上的截距相等,且均等于0时,设其方程为y=kx, 又直线经过点M(2,6),所以6=2k,解得k=3,所以直线方程为y=3x. 综上所述,直线方程为x+y-8=0或y=3x.
探究一
探究二
探究三
易错辨析
直线方程的综合应用 【例3】 已知直线l的方程为(2m2+m-3)x+(m2-m)y-4m+1=0. (1)当m为何值时,直线l的倾斜角为45°? (2)当m为何值时,直线l在x轴上的截距为1? (3)当m为何值时,直线l与x轴平行? 解:因为方程(2m2+m-3)x+(m2-m)y-4m+1=0表示直线,所以 2m2+m-3与m2-m不能同时为0,所以m≠1. (1)若直线l的倾斜角为45°,则其斜率为1,
新教材北师大版高中数学必修第二册第五章复数 学案(知识点考点汇总及配套习题)
第五章复数1复数的概念及其几何意义........................................................................................ - 1 - 2复数的四则运算...................................................................................................... - 14 - 3复数的三角表示...................................................................................................... - 29 -1复数的概念及其几何意义1．1复数的概念学习任务核心素养1．了解引进虚数单位i的必要性，了解数集的扩充过程．(重点)2．理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念．(重点、难点) 3．掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件．(重点)1．通过对复数的相关概念的学习，培养学生数学抽象素养．2．借助复数的分类、复数的相等的相关运算，培养学生数学运算素养．五百年前意大利的卡尔丹遇到这样一个问题，将10分成两个部分，使它们的乘积等于40，则x(10－x)＝40即(x－5)2＝－15，该方程无实数解，那么他遇到了什么问题呢？他想：负数为什么不能开方？他是怎样解决的呢？形如a＋b i(其中a，b∈R)的数叫作复数，通常用字母z表示，即z＝a＋b i(a，b∈R).其中a称为复数z的实部，记作Re z, b称为复数z的虚部，记作Im z.知识点2复数的分类根据复数中a，b的取值不同，复数可以有以下的分类：复数a ＋b i(a ，b ∈R )⎩⎨⎧实数（b ＝0）；虚数（b ≠0）⎩⎨⎧纯虚数（a ＝0），非纯虚数（a ≠0）.1.在2＋7，27i, 8＋5i ，(1－3)i, 0.68这几个数中，纯虚数的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3C [27i, (1－3)i 是纯虚数，故选C.]知识点3 复数集全体复数构成的集合称为复数集，记作C .显然RC .知识点4 复数相等两个复数a ＋b i 与c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )相等定义为：它们的实部相等且虚部相等，即a ＋b i ＝c ＋d i 当且仅当a ＝c 且b ＝d ． 1.两个复数一定能比较大小吗？提示：当两个复数为实数时，能够比较大小；否则不能比较大小．2．若复数a ＋2i ＝3＋b i(a ，b ∈R )，则a ＋b 的值是什么？提示：因为a ＋2i ＝3＋b i ，所以a ＝3，b ＝2，所以a ＋b ＝5.2.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)若a ，b 为实数，则z ＝a ＋b i 为虚数．( ) (2)复数z ＝b i 是纯虚数． ( ) (3)若两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等．( )[提示] (1)错误．若b ＝0，则复数z ＝a ＋b i 是实数．(2)错误．若b ＝0，则复数z ＝b i ＝0是实数．(3)正确．若两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，则这两个复数的实部和虚部分别相等，所以两个复数相等．[答案] (1)× (2)× (3)√类型1 复数的概念【例1】 (1)给出下列三个命题：①若z ∈C ，则z 2≥0；②2i －1的虚部是2i ；③2i 的实部是0.其中真命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3(2)已知复数z ＝a 2－(2－b )i 的实部和虚部分别是2和3，则实数a ，b 的值分别是________．(1)B (2)±2 5 [(1)对于①，当z ∈R 时，z 2≥0成立，否则不成立，如z ＝i ，z 2＝－1<0，所以①为假命题；对于②，2i －1＝－1＋2i ，其虚部是2，不是2i ，②为假命题；对于③，2i ＝0＋2i ，其实部是0，③为真命题．故选B.(2)由题意知⎩⎨⎧a 2＝2，b －2＝3，∴a ＝±2，b ＝5.](1)复数的代数形式：若z ＝a ＋b i ，只有当a ，b ∈R 时，a 才是z 的实部，b 才是z 的虚部，且注意虚部不是b i ，而是b .(2)不要将复数与虚数的概念混淆，实数也是复数，实数和虚数是复数的两大构成部分．(3)举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这类题时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答．[跟进训练]1．下列命题：①若a ∈R ，则(a ＋1)i 是纯虚数；②若(x 2－4)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x ＝±2；③实数集是复数集的真子集．其中正确说法的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3B [对于复数a ＋b i(a ，b ∈R )，当a ＝0且b ≠0时，为纯虚数．对于①，若a ＝－1，则(a ＋1)i 不是纯虚数，故①错误．对于②，若x ＝－2，则x 2－4＝0，x 2＋3x ＋2＝0，此时(x 2－4)＋(x 2＋3x ＋2)i ＝0，不是纯虚数，故②错误．显然，③正确．故选B.]类型2 复数相等【例2】 (1)(教材北师版P 165例2改编)已知x 2－y 2＋2xy i ＝2i ，求实数x ，y 的值；(2)关于x 的方程3x 2－a 2x －1＝(10－x －2x 2)i 有实根，求实数a 的值．[解] (1)∵x 2－y 2＋2xy i ＝2i ，∴⎩⎨⎧x 2－y 2＝0，2xy ＝2， 解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝1或⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝－1. (2)设方程的实数根为x ＝m ，则3m 2－a 2m －1＝(10－m －2m 2)i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧3m 2－a 2m －1＝0，10－m －2m 2＝0，解得a ＝11或a ＝－715.复数相等问题的解题技巧(1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解．(2)根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现．(3)如果两个复数都是实数，可以比较大小，否则是不能比较大小的．[跟进训练]2．复数z 1＝(2m ＋7)＋(m 2－2)i ，z 2＝(m 2－8)＋(4m ＋3)i ，m ∈R ，若z 1＝z 2，则m ＝________．5 [因为m ∈R ，z 1＝z 2，所以(2m ＋7)＋(m 2－2)i ＝(m 2－8)＋(4m ＋3)i.由复数相等的充要条件得⎩⎨⎧2m ＋7＝m 2－8，m 2－2＝4m ＋3，解得m ＝5.] 类型3 复数的分类【例3】 当m 为何实数时，复数z ＝m 2－m －6m ＋3＋(m 2－2m －15)i. (1)是虚数；(2)是纯虚数．1. 复数z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ）何时为虚数？[提示] b ≠0．2.复数z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ）何时为纯虚数？[提示] a ＝0，b ≠0. 3.(1)复数z 是虚数→令虚部不等于0→解方程组可得m 的值(2)复数z 是纯虚数→令虚部不等于0且实部等于0→解方程组可得m 的值[解] (1)当⎩⎨⎧m ＋3≠0，m 2－2m －15≠0，即m ≠5且m ≠－3时，z 是虚数． (2)当⎩⎨⎧m 2－m －6m ＋3＝0，m 2－2m －15≠0，即m ＝3或m ＝－2时，z 是纯虚数．1．例3的条件不变，当m 为何值时，z 为实数？[解] 当⎩⎨⎧m ＋3≠0，m 2－2m －15＝0，即m ＝5时，z 是实数． 2．例3的条件不变，当m 为何值时，z >0.[解] 因为z >0，所以z 为实数，需满足⎩⎨⎧m 2－m －6m ＋3>0，m 2－2m －15＝0，解得m ＝5. 3．已知z ＝log 2(1＋m )＋ilog 12(3－m )(m ∈R )，若z 是虚数，求m 的取值范围． [解] ∵z 是虚数，∴log 12(3－m )≠0，且1＋m >0， 即⎩⎨⎧3－m >0，3－m ≠1，1＋m >0，∴－1<m <2或2<m <3.∴m 的取值范围为(－1，2)∪(2，3).复数分类的关键(1)利用复数的代数形式，对复数进行分类，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式．求解参数时，注意考虑问题要全面，当条件不满足代数形式z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )时应先转化形式．(2)注意分清复数分类中的条件,设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则①z 为实数⇔b ＝0，②z 为虚数⇔b ≠0，③z 为纯虚数⇔a ＝0，b ≠0.④z ＝0⇔a ＝0且b ＝0.当堂达标1．若x i －i 2＝y ＋2i ，x ，y ∈R ，则复数x ＋y i 等于( )A ．－2＋iB ．2＋iC ．1－2iD ．1＋2iB [由i 2＝－1，得x i －i 2＝1＋x i ，则由题意得1＋x i ＝y ＋2i ，根据复数相等的充要条件得x ＝2，y ＝1，故x ＋y i ＝2＋i.]2．以3i －2的虚部为实部，以3i 2＋2i 的实部为虚部的复数是( )A ．3－3iB ．3＋iC ．－2＋2iD ．2＋2iA [3i －2的虚部为3，3i 2＋2i ＝－3＋2i 的实部为－3，故选A.]3．已知复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝3＋(a 2－7)i ，a ∈R ，若z 1＝z 2，则a ＝( )A ．2B ．3C ．－3D ．9 B [因为z 1＝a ＋2i ，z 2＝3＋(a 2－7)i ，且z 1＝z 2，所以有⎩⎨⎧a ＝3，a 2－7＝2，解得a ＝3.故选B.]4．已知复数z ＝m 2－1＋(m 2－m －2)i 为实数，则实数m 的值为________． －1或2 [因为复数z ＝m 2－1＋(m 2－m －2)i 为实数，所以m 2－m －2＝0，解得m ＝－1或m ＝2.]5．设m ∈R ，复数z ＝－1－m ＋(2m －3)i.(1)若z 为实数，则m ＝________；(2)若z 为纯虚数，则m ＝________．(1)32(2)－1[(1)若复数z＝－1－m＋(2m－3)i为实数，则2m－3＝0，所以m＝32；(2)若z为纯虚数，则－1－m＝0，所以m＝－1.]回顾本节内容，自我完成以下问题：1.如何正确理解复数的概念？[提示](1)对于复数z＝a＋b i(a，b∈R)，可以限制a，b的值得到复数z的不同情况．(2)当两个复数不全是实数时，不能比较大小，只可判断相等或不相等，但两个复数都是实数时，可以比较大小．2.如何解决复数相等问题？[提示]两个复数相等，要先确定两个复数的实、虚部，再利用两个复数相等的充要条件进行判断．1．2复数的几何意义学习任务核心素养1．理解用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系．(难点)2．掌握实轴、虚轴、模、共轭复数等概念．(重点、难点)3．掌握用向量的模来表示复数的模的方法．(重点)1．通过学习复数的几何意义，培养学生直观想象素养．2．借助于复数的模和共轭复数的计算，培养学生数学运算素养．18世纪，瑞士人阿甘达注意到负数是正数的一个扩充，它是将方向和大小结合得出来的，他给出了负数的一些几何解释．而在使人们接受复数方面，高斯的工作更为有效，他不仅将复数z＝a＋b i表示为复平面的一点Z(a，b)，而且阐述了复数的几何加法和乘法，这也和向量运算是一致的，使人们对复数不再有种神秘的印象．阅读教材，结合上述情境回答下列问题．问题1：上述材料中，复平面是如何定义的？问题2：复数与复平面内的点及向量的关系如何？问题3：复数的模是实数还是虚数？问题4：复数z＝a＋b i的共轭复数是什么？知识点1复平面通过建立平面直角坐标系来表示复数的平面称为复平面，x轴称为实轴，y轴称为虚轴．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．1.虚轴上的点都对应着唯一的纯虚数吗？提示：不是．除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．知识点2复数的几何意义2.象限内的点与复数有何对应关系？提示：第一象限的复数特点：实部为正，且虚部为正；第二象限的复数特点：实部为负，且虚部为正；第三象限的复数特点：实部为负，且虚部为负；第四象限的复数特点：实部为正，且虚部为负．1.在复平面内，复数z＝i＋2i2对应的点位于()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限B [∵z ＝i ＋2i 2＝－2＋i ，∴实部小于0，虚部大于0，故复数z 对应的点位于第二象限．]知识点3 复数的模向量OZ →的模称为复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模，记作|z |或|a ＋b i|. 由向量模的定义可知，|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2．如果b ＝0，那么z ＝a ＋b i 是一个实数a ，它的模等于|z |＝a 2＋b 2＝a 2＝|a |(a 的绝对值).2.已知复数z 的实部为－1，虚部为2，则|z |＝________．5 [|z |＝（－1）2＋22＝ 5.]知识点4 共轭复数(1)定义：若两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则称这两个复数互为共轭复数，复数z 的共轭复数用z 表示．当z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )时，z ＝a －b i ．(2)几何意义：在复平面内，表示两个共轭复数的点关于实轴对称，并且它们的模相等．另外，当复数z ＝a ＋b i 的虚部b ＝0时，有z ＝z .也就是说，任意一个实数的共轭复数仍是它本身，反之亦然．3.复数z ＝－1＋i 的共轭复数对应的点位于第________象限．三 [z ＝－1＋i 的共轭复数为z ＝－1－i ，位于第三象限．]类型1 复数与平面内的点的关系【例1】 (教材北师版P 167练习第2题改编)实数x 分别取什么值时，复数z ＝(x 2＋x －6)＋(x 2－2x －15)i 对应的点Z 在：(1)第三象限；(2)直线x －y －3＝0上．[解] 因为x 是实数，所以x 2＋x －6，x 2－2x －15也是实数．(1)当实数x 满足⎩⎨⎧x 2＋x －6<0，x 2－2x －15<0，即当－3<x <2时，点Z 在第三象限． (2)z ＝x 2＋x －6＋(x 2－2x －15)i 对应点Z (x 2＋x －6，x 2－2x －15)，当实数x 满足(x 2＋x －6)－(x 2－2x －15)－3＝0，即当x ＝－2时，点Z 在直线x －y －3＝0上．按照复数和复平面内所有点组成的集合之间的一一对应关系，每一个复数都对应着一个有序实数对，只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值． [跟进训练]1．在复平面内，若复数z ＝(m 2－m －2)＋(m 2－3m ＋2)i(m ∈R )的对应点在虚轴上和实轴负半轴上，分别求复数z .[解] 若复数z 的对应点在虚轴上，则m 2－m －2＝0，所以m ＝－1或m ＝2，所以z ＝6i 或z ＝0.若复数z 的对应点在实轴负半轴上，则⎩⎨⎧m 2－m －2<0，m 2－3m ＋2＝0，所以m ＝1，所以z ＝－2.类型2 复数的模的几何意义【例2】 (教材北师版P 166例3改编)设z ∈C ，在复平面内对应点Z ，试说明满足下列条件的点Z 的集合是什么图形．(1)|z |＝3; (2)1≤|z |≤2.[解] (1)|z |＝3说明向量OZ →的长度等于3，即复数z 在复平面内对应的点Z 到原点的距离为3，这样的点Z 的集合是以原点O 为圆心，3为半径的圆．(2)不等式1≤|z |≤2可以转化为不等式组⎩⎨⎧|z |≤2|z |≥1.不等式|z |≤2的解集是圆|z |＝2及该圆内部所有点的集合．不等式|z |≥1的解集是圆|z |＝1及该圆外部所有点的集合．这两个集合的交集，就是满足条件1≤|z |≤2的点的集合．如图中的阴影部分，所求点的集合是以O 为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环，并且包括圆环的边界．解决复数的模的几何意义问题解决复数的模的几何意义的问题，应把握两个关键点：一是|z |表示点Z 到原点的距离，可依据|z |满足的条件判断点Z 的集合表示的图形；二是利用复数的模的概念，把模的问题转化为几何问题来解决． [跟进训练] 2．若复数z 满足|z |≤2，则z 在复平面所对应的图形的面积为________． 2π [满足|z |≤2的点Z 的集合是以原点O 为圆心，以2为半径的圆及其内部所有的点构成的集合，∴所求图形的面积为S ＝2π.故填2π.]类型3 复数、共轭复数与复平面内的向量的关系【例3】 (1)向量OZ 1对应的复数是5－4i ，向量OZ →2对应的复数是－5＋4i ，则OZ →1＋OZ →2对应的复数是( )A ．－10＋8iB ．10－8iC ．0D ．10＋8i(2)设O 是原点，向量OA →，OB →对应的复数分别为2－3i ，－3＋2i ，那么向量BA→对应的复数是( )A ．－5＋5iB ．－5－5iC ．5＋5iD ．5－5i1.复数z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ）在复平面内对应的向量OZ →和点Z 分别是什么？[提示] 向量OZ →＝（a ，b ），点Z 的坐标为（a ，b ）.2.设复数z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ）的共轭复数为z ，z 和z 在复平面内对应的点分别为A ，B ，则点A ，B 有什么关系？[提示] 点A ，B 关于x 轴对称．(1)C (2)D [(1)由复数的几何意义，可得OZ →1＝(5，－4)，OZ →2＝(－5，4)，所以OZ →1＋OZ →2＝(5，－4)＋(－5，4)＝(0，0)，所以OZ →1＋OZ →2对应的复数为0.(2)由复数的几何意义，得OA →＝(2，－3)，OB →＝(－3，2)，BA →＝OA →－OB →＝(2，－3)－(－3，2)＝(5，－5).所以BA →对应的复数是5－5i.] 1．在例3(2)中若BA →对应的复数是z ，求z .[解] 由例3(2)的解析可知BA →对应的复数是5－5i ，即z ＝5－5i ，所以z ＝5＋5i.2．在例3(2)中，若点A 关于实轴的对称点为点C ，求向量OC →对应的复数．[解] 复数2－3i 表示的点A (2，－3)关于实轴对称的点为C (2，3)，∴向量OC→对应的复数为2＋3i.(1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数．反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量．(2)解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化．[跟进训练]3．已知O 为坐标原点，OZ 1对应的复数为－3＋4i ，OZ 2对应的复数为2a ＋i(a ∈R )，若OZ 1与OZ 2共线，求a 的值．[解] ∵OZ 1对应的复数为－3＋4i ，OZ 2对应的复数为2a ＋i ，∴OZ 1＝(－3，4)，OZ 2＝(2a ，1).又∵OZ 1与OZ 2共线，∴(－3)×1－4×2a ＝0，解之得a ＝－38.当堂达标1．若OZ →＝(0，－3)，则OZ →对应的复数为( )A ．0B ．－3C ．－3iD ．3C [OZ →对应的复数为－3i.]2．已知复数z 1＝m ＋2i ，z 2＝1＋i ，若z 1＋z 2为纯虚数，则实数m 的值为( )A ．－1B ．1C ．4D ．－4A [z 1＋z 2＝m ＋1＋3i 为纯虚数，故m ＋1＝0，m ＝－1，故选A.]3．已知z ＝m －1＋(m ＋2)i 在复平面内对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1，2)B ．(－2，1)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－2)B [∵z ＝m －1＋(m ＋2)i 在复平面内对应的点在第二象限，∴m －1<0，m ＋2>0，解得－2<m <1，则实数m 的取值范围是(－2，1).]4．复数z ＝(a 2－2a )＋(a 2－a －2)i 对应的点在虚轴上，则( )A ．a ≠2或a ≠1B ．a ≠2或a ≠－1C ．a ＝2或a ＝0D ．a ＝0C [由题知a 2－2a ＝0解得a ＝0或a ＝2，故选C.]5．已知复数z ＝1＋2i ，则|z |＝________．5 [∵z ＝1＋2i ，∴|z |＝ 5.]回顾本节内容，自我完成以下问题：复数的模的几何意义是什么？提示：(1)复数z在复平面内对应的点为Z，复数z0在复平面内对应的点为Z0，r表示一个大于0的常数，则：①满足条件|z|＝r的点Z的轨迹为以原点为圆心，r为半径的圆，|z|＜r表示圆的内部，|z|＞r表示圆的外部；②满足条件|z－z0|＝r的点Z的轨迹为以Z0为圆心，r为半径的圆，|z－z0|＜r 表示圆的内部，|z－z0|＞r表示圆的外部．(2)复数的几何意义有两种：复数和复平面内的点一一对应，复数和复平面内以原点为起点的向量一一对应．如图所示：2复数的四则运算2．1复数的加法与减法学习任务核心素养1．掌握复数代数形式的加法和减法运算．(重点、难点)2．理解复数加法和减法所满足的交换律和结合律．(重点、难点)1．通过学习复数的加法和减法运算，培养学生数学运算素养．2．通过学习复数加法和减法运算所满足的运算律，培养学生数学抽象素养．随着生产发展的需要，我们将数的范围扩展到了复数．运算是“数”的主要功能，复数不同于实数，它是由实部、虚部两部分复合构造而成的整体．阅读教材，回答下列问题问题1：复数如何进行加、减运算呢？问题2：类比多项式的加、减运算，想一想复数又如何进行加、减法运算？问题3：两个复数的和或差得到的结果是什么？问题4：复数的加法法则可以推广吗？知识点1复数的加法与减法(1)复数加法的运算法则两个复数的和仍是一个复数，两个复数的和的实部是它们的实部的和，两个复数的和的虚部是它们的虚部的和，也就是(a＋b i)＋(c＋d i)＝(a＋c)＋(b＋d)i．(2)复数减法的运算法则两个复数的差仍是一个复数，两个复数的差的实部是它们的实部的差，两个复数的差的虚部是它们的虚部的差，也就是(a＋b i)－(c＋d i)＝(a－c)＋(b－d)i．(3)复数的加法运算的运算律：结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)；交换律：z1＋z2＝z2＋z1．1.两个复数的和是个什么数，它的值唯一确定吗？[提示]是复数，唯一确定．1.已知复数z1＝3＋4i，z2＝3－4i，则z1＋z2等于()A．8i B．6 C．6＋8i D．6－8iB[z1＋z2＝3＋4i＋3－4i＝(3＋3)＋(4－4)i＝6.]知识点2复数加法的几何意义如图，z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)分别与向量OZ1＝(a，b)，OZ2＝(c，d)对应，根据平面向量的坐标运算，得OZ1＋OZ2＝(a＋c，b＋d)，这说明两个向量OZ1，OZ2的和就是与复数(a＋c)＋(b＋d)i对应的向量．因此，复数的加法可以按照向量的加法来进行，这是复数加法的几何意义．2.若复数z 1，z 2满足z 1－z 2＞0，能否认为z 1＞z 2?提示：不能，例如可取z 1＝3＋2i ，z 2＝2i.2.计算(3＋i)－(2＋i)的结果为________．1 [(3＋i)－(2＋i)＝3＋i －2－i ＝1.]类型1 复数的加法和减法【例1】 (教材北师版P 169例1改编)(1)计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋12i ＋(2－i)－⎝ ⎛⎭⎪⎫43－32i . (2)已知复数z 满足z ＋1－3i ＝5－2i ，求z .(3)已知复数z 满足|z |＋z ＝1＋3i ，求z .[解] (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋12i ＋(2－i)－⎝ ⎛⎭⎪⎫43－32i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋2－43＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＋32i ＝1＋i. (2)法一：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，因为z ＋1－3i ＝5－2i ，所以x ＋y i ＋(1－3i)＝5－2i ，即x ＋1＝5且y －3＝－2， 解得x ＝4，y ＝1，所以z ＝4＋i.法二：因为z ＋1－3i ＝5－2i ，所以z ＝(5－2i)－(1－3i)＝4＋i.(3)设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，|z |＝x 2＋y 2，∴|z |＋z ＝(x 2＋y 2＋x )＋y i ＝1＋3i ，∴⎩⎨⎧x 2＋y 2＋x ＝1，y ＝3，解得⎩⎨⎧x ＝－4，y ＝3，∴z ＝－4＋3i.复数代数形式的加、减法运算技巧(1)复数代数形式的加、减法运算实质就是将实部与实部相加减，虚部与虚部相加减之后分别作为结果的实部与虚部，因此要准确地提取复数的实部与虚部．(2)算式中若出现字母，首先确定其是否为实数，再确定复数的实部与虚部，最后把实部与实部、虚部与虚部分别相加减．(3)复数的运算可以类比多项式的运算：若有括号，括号优先；若无括号，可以从左到右依次进行计算． [跟进训练] 1．(1)若复数z 满足z ＋i －3＝3－i ，则z ＝________．(2)(a ＋b i)－(2a －3b i)－3i ＝________(a ，b ∈R ).(1)6－2i (2)－a ＋(4b －3)i [(1)∵z ＋i －3＝3－i ，∴z ＝6－2i.(2)(a ＋b i)－(2a －3b i)－3i ＝(a －2a )＋(b ＋3b －3)i ＝－a ＋(4b －3)i.]类型2 复数加、减法的几何意义【例2】 (教材北师版P 170例4改编)如图所示，平行四边形OABC 的顶点O ，A ，C 分别表示0, 3＋2i ，－2＋4i.求：(1)AO →表示的复数；(2)对角线CA →表示的复数；(3)对角线OB →表示的复数．确定向量对应的复数→进行向量的运算→确定向量对应的复数[解] (1)因为AO →＝－OA →，所以AO →表示的复数为－3－2i.(2)因为CA →＝OA →－OC →，所以对角线CA →表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.(3)因为对角线OB →＝OA →＋OC →，所以对角线OB →表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.例2的条件不变，求向量AB →表示的复数．[解] 因为AB →＝AO →＋OB →，由例2的解析可知，AO →表示的复数为－3－2i ，OB→表示的复数为1＋6i ，所以向量AB →表示的复数为(－3－2i)＋(1＋6i)＝－2＋4i.复数与向量的对应关系的两个关注点(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )是与以原点为起点，Z (a ，b )为终点的向量一一对应的．(2)一个向量可以平移，其对应的复数不变，但是其起点与终点所对应的复数可能改变．[跟进训练]2．△ABC 的三个顶点所对应的复数分别为z 1，z 2，z 3，复数z 满足|z －z 1|＝|z －z 2|＝|z －z 3|，则z 对应的点是△ABC 的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心A [由复数模及复数减法运算的几何意义，结合条件可知复数z 的对应点P 到△ABC 的顶点A ，B ，C 距离相等，∴P 为△ABC 的外心．]当堂达标1．复数(1－i)－(2＋i)＋3i 等于( )A ．－1＋iB ．1－iC ．iD ．－iA [原式＝1－i －2－i ＋3i ＝－1＋i.]2．若复数z 满足z ＋(3－4i)＝1，则z 的虚部是( )A ．－2B ．4C ．3D ．－4B [z ＝1－(3－4i)＝－2＋4i ，故选B.]3．在复平面内，复数1＋i 与1＋3i 分别对应向量OA →和OB →，其中O 为坐标原点，则|AB →|等于( )A ． 2B ．2C ．10D ．4B [向量AB →对应的复数为(1＋3i)－(1＋i)＝2i ，所以AB →＝(0，2)，故|AB →|＝2.]4．(5－i)－(3－i)－5i ＝________．2－5i [(5－i)－(3－i)－5i ＝2－5i.]5．设z 1＝x ＋2i ，z 2＝3－y i(x ，y ∈R )，且z 1＋z 2＝5－6i ，则z 1－z 2＝________． －1＋10i [∵z 1＝x ＋2i ，z 2＝3－y i ，∴z 1＋z 2＝x ＋3＋(2－y )i ＝5－6i ， ∴⎩⎨⎧x ＋3＝5，2－y ＝－6，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝8，∴z 1＝2＋2i ，z 2＝3－8i ， ∴z 1－z 2＝(2＋2i)－(3－8i)＝－1＋10i.]回顾本节内容，自我完成以下问题：1.复数代数形式的加减运算之间有怎样的关系？[提示] 复数代数形式的加法满足交换律、结合律，复数的减法是加法的逆运算．2.复数加减法的几何意义是什么？[提示] 复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则．复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则．2．2 复数的乘法与除法*2．3 复数乘法几何意义初探学习任务核心素养1．掌握复数代数形式的乘法和除法运算．(重点、难点)2．理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律．(难点)3．了解复数乘法的几何意义．1．通过学习复数的乘法和除法，培养学生数学运算素养．2．通过学习复数乘法运算所满足的运算律，培养学生数学抽象素养．在研究复数的加、减法运算时，我们注意到复数的形式就像一个二项式，类比二项式乘二项式的法则，我们可以得到复数乘法的法则，让第一项与第二项的各项分别相乘，再合并“同类项”，即得到乘法的结果．阅读教材，回答下列问题．问题1：复数的乘法和除法运算法则各是什么？问题2：复数乘法的运算律有哪些？问题3：如何在复数范围内求方程的解？(1)复数的乘法法则设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i是任意两个复数，那么它们的积(a＋b i)(c＋d i)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i．(2)复数乘法的运算律对于任意z1，z2，z3∈C，有交换律z1·z2＝z2·z1结合律(z1·z2)·z3＝z1·_(z2·z3)乘法对加法的分配律z1·(z2＋z3)＝z1·z2＋z1·z3(3)对复数z，z1，z2和正整数m，n，有z m·z n＝z m＋n，(z m)n＝z mn，(z1·z2)n＝z n1·z n2．(4)虚数单位i乘方的周期性对于任意自然数n，有i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1．(5)共轭复数的性质：互为共轭复数的两个复数的乘积是实数，等于这个复数(或其共轭复数)模的平方．即若z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ·z ＝|z |2＝|z |2＝a 2＋b 2．(6)复数乘法的几何意义设复数z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R )所对应的向量为OZ 1．①z 2＝(a ＋b i)·c (c >0)所对应的向量为OZ 2，则OZ 2是OZ 1与c 的数乘，即OZ 2是将OZ 1沿原方向拉伸或压缩c 倍得到的．②z 3＝(a ＋b i)·i 所对应的向量为OZ 3，则OZ 3是由OZ 1逆时针旋转π2得到的．1.复数乘法的多项式运算与实数的多项式运算法则是否相似？ [提示] 相似，但是运算的结果要把i 2写成－1.1.复数(1＋i)(1－i)＝________． 2 [(1＋i)(1－i)＝1－i 2＝2.] 知识点2 复数的除法 (1)复数的除法：对任意的复数z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R )和非零复数z 2＝c ＋d i(c ，d ∈R )，规定复数的除法：z 1z 2＝z 1·1z 2.即除以一个复数等于乘这个复数的倒数．因此z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝(a ＋b i)⎝ ⎛⎭⎪⎫cc 2＋d 2－d c 2＋d 2i ＝ac ＋bd c 2＋d 2－ad －bc c 2＋d 2i ． (2)复数除法的运算： 在实际计算a ＋b ic ＋d i时，通常把分子和分母同乘分母c ＋d i 的共轭复数c －d i ，化简后就得到上面的结果：a ＋b i c ＋d i ＝（a ＋b i ）（c －d i ）（c ＋d i ）（c －d i ）＝ac ＋bd c 2＋d 2－ad －bcc 2＋d 2i ．由此可见，在进行复数除法运算时，实际上是将分母“实数化”．2.类比根式除法的分母有理化，比如1＋33－2＝（1＋3）（3＋2）（3－2）（3＋2），你能写出复数的除法法则吗？提示：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(c ＋d i ≠0)，则z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d 2i.2.设复数z 满足i z ＝1，其中i 为虚数单位，则z 等于( ) A ．－i B ．i C ．－1 D ．1A [z ＝1i ＝－i.]类型1 复数的乘法及其几何意义【例1】 (1)(教材北师版P 171例5改编)计算：①(2＋i)(2－i)；②(1＋2i)2. (2)设O 是坐标原点，在矩形OABC (点O ，A ，B ，C 按逆时针排列)中，OA ＝3OC ，若A 对应的复数是3＋4i ，求点B ，C 所对应的复数．[解] (1)①(2＋i)(2－i)＝4－i 2＝4－(－1)＝5； ②(1＋2i)2＝1＋4i ＋(2i)2＝1＋4i ＋4i 2＝－3＋4i.(2)因为在矩形OABC 中，OA ＝3OC ，且A 对应的复数是3＋4i ， 所以点C 对应的复数为(3＋4i)·13i ＝－43＋i ，因为OA →＝(3，4)，OC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，1，所以OB →＝OA →＋OC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫53，5，所以点B 对应的复数为53＋5i.1.两个复数代数形式乘法的运算步骤 (1)首先按多项式的乘法展开； (2)再将i 2换成－1；(3)然后再进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式． 2.常用公式(1)(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i(a ，b ∈R )； (2)(a ＋b i)(a －b i)＝a 2＋b 2(a ，b ∈R )； (3)(1±i)2＝±2i.[跟进训练]1．(1)计算：(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)＝( ) A ．2－13i B ．13＋2i C ．13－13iD ．－13－2i(2)复数(1－i)2(2－3i)的值为( )A ．6－4iB ．－6－4iC ．6＋4iD ．－6＋4i(3)设复数2＋i 对应的向量为OZ →，把OZ →沿原方向拉伸3倍所得到的向量对应的复数是( )A ．－1＋2iB ．6＋3iC ．6＋iD ．－6－3i(1)D (2)B (3)B [(1)(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)＝1－2i ＋i 2－(4－9i 2)＝－13－2i.(2)(1－i)2(2－3i)＝(－2i)(2－3i)＝－6－4i.(3)把OZ →沿原方向拉伸3倍所得到的向量对应的复数是(2＋i)·3＝6＋3i.] 类型2 复数的除法【例2】 (1)已知i 为虚数单位，图中复平面内的点A 表示复数z ，则表示复数z1＋i的点是( )A ．MB ．NC ．PD ．Q(2)设复数z ＝1＋2i ，则z 2＋3z －1＝( )A ．2iB ．－2iC ．2D ．－2(3)设复数z 满足1＋z1－z＝i ，则|z |等于( ) A ．1 B ． 2 C ． 3D ．2(1)D (2)C (3)A [(1)由图可知z ＝3＋i ，所以复数z1＋i ＝3＋i 1＋i＝（3＋i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝4－2i2＝2－i ，表示的点是Q (2，－1).故选D.(2)z 2＋3z －1＝（1＋2i ）2＋31＋2i －1＝12＋4i ＋4i 2＋32i ＝4i 2i ＝2.故选C.(3)由1＋z 1－z ＝i ，得z ＝－1＋i 1＋i＝（－1＋i ）（1－i ）2＝2i2＝i ，所以|z |＝|i|＝1.故选A.]两个复数代数形式的除法运算步骤(1)首先将除式写为分式；(2)再将分子、分母同乘以分母的共轭复数；(3)然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式．[跟进训练] 2．(1)3＋i1＋i＝( ) A ．1＋2i B ．1－2i C ．2＋iD ．2－i(2)已知i 为虚数单位，则1＋i3－i ＝( )A ．2－i5 B ．2＋i 5 C ．1－2i5 D ．1＋2i 5(1)D (2)D [(1)3＋i 1＋i ＝（3＋i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝4－2i2＝2－i. (2)1＋i 3－i ＝（1＋i ）（3＋i ）（3－i ）（3＋i ）＝1＋2i5.] 类型3 复数几何意义的综合应用【例3】 (1)已知i 是虚数单位，设复数z 1＝1＋i ，z 2＝1＋2i ，则z 1z 2在复平面内对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限(2)若复数(1－i)(a ＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(－1，＋∞)1. 复数z ＝－2＋i 在复平面内对应的点在第几象限？[提示] 因为复数z ＝－2＋i 在复平面内对应的点为（－2，1），它在第二象限． 2.若复数z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ）在复平面内对应的点在第四象限，则实数a ，b 应满足什么条件？[提示] a >0，b <0.3.(1)计算z 1z 2→求复数z 1z 2在复平面内对应的点→判断其所在的象限(2)计算（1－i ）（a ＋i ）→求复数（1－i ）（a ＋i ）在复平面内对应的点→构建方程组并求解(1)D (2)B [(1)由题可得，z 1z 2＝1＋i1＋2i ＝（1＋i ）（1－2i ）（1＋2i ）（1－2i ）＝35－15i ，对应在复平面上的点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－15，在第四象限．(2)因为z ＝(1－i)(a ＋i)＝a ＋1＋(1－a )i ，所以它在复平面内对应的点为(a ＋1，1－a )，又此点在第二象限，所以⎩⎨⎧a ＋1<0，1－a >0，解得a ＜－1.]1．把例3(1)中的复数“z 1z 2”换为“11＋i ”，答案是哪个？[解]11＋i ＝1－i （1＋i ）（1－i ）＝12－12i ，对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，在第四象限，故选D.2．把例3(2)中的复数“(1－i)(a ＋i)”换为“1－2ia ＋i”，其余条件不变， 求实数a 的取值范围．[解] 因为1－2i a ＋i ＝（1－2i ）（a －i ）（a ＋i ）（a －i ）＝a －2a 2＋1－2a ＋1a 2＋1i ，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a －2a 2＋1<0－2a ＋1a 2＋1>0，解得a <－12.(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )Z (a ，b )OZ →＝(a ，b ).(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解法更加直观．[跟进训练]3．已知复数z 满足(1＋2i)z ＝4＋3i(i 为虚数单位)，求z 及z z .[解] ∵(1＋2i)z ＝4＋3i ， ∴z ＝4＋3i 1＋2i ＝（4＋3i ）（1－2i ）（1＋2i ）（1－2i ）＝2－i ， ∴z ＝2＋i ，∴zz ＝2－i 2＋i ＝（2－i ）2（2＋i ）（2－i ）＝3－4i 5＝35－45i. 当堂达标1．复数(1＋i)2(2＋3i)的值为( ) A ．6－4i B ．－6－4i C ．6＋4iD ．－6＋4iD [(1＋i)2(2＋3i)＝2i(2＋3i)＝－6＋4i.]2．已知i 是虚数单位，若复数z 满足z i ＝1＋i ，则z 2＝( ) A ．－2iB ．2iC ．－2D ．2A [∵z i ＝1＋i ，∴z ＝1＋i i ＝1i ＋1＝1－i. ∴z 2＝(1－i)2＝1＋i 2－2i ＝－2i.] 3. 在复平面内，复数11－i的共轭复数对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限D [11－i ＝1＋i 2＝12＋12i ，其共轭复数为12－12i ，∴复数11－i的共轭复数对应的点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，位于第四象限，故选D.]4．计算：(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)＝________． 1＋i [(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)＝1－i 2－1＋i ＝1＋i.] 5．设复数z ＝1＋2i ，则z 2－2z ＝________．－3 [ ∵z ＝1＋2i ，∴z 2－2z ＝z (z －2)＝(1＋2i)(1＋2i －2)＝(1＋2i)(－1＋2i)＝－3.]回顾本节内容，自我完成以下问题： 1.如何进行复数代数形式的乘除运算？[提示] (1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律．(2)在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化．2.解决复数问题的基本思想是什么？[提示] 复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，利用复数相等的充要条件转化．利用复数产生分形图以前我们学过的函数，定义域都是实数集的子集．但函数概念还可以推广：定义域是复数集的子集的函数称为复变函数．类似地，我们还可以得到多项式复变函数的概念．例如，f(z)＝z2就是一个多项式复变函数，此时f(i)＝i2＝－1，f(1＋i)＝(1＋i)2＝2i.给定多项式复变函数f(z)之后，对任意一个复数z0，通过计算公式z n＋1＝f(z n)，n∈N可以得到一列值z0，z1，z2，…，z n，….如果存在一个正数M，使得|z n|＜M对任意n∈N都成立，则称z n为f(z)的收敛点；否则，称z n为f(z)的发散点．f(z)的所有收敛点组成的集合称为f(z)的充满茹利亚集．例如，当f(z)＝z2时，如果z n＝i，则得到的一列值是i，－1，1，1，…，1，…；如果z n＝1＋i，则算出的一列值是1＋i，2i，－4，…，22n－1，….显然，对于f(z)＝z2来说，i为收敛点，1＋i为发散点．事实上，利用|z2|＝|z|2可以证明，f(z)＝z2的充满茹利亚集是一个单位圆盘(即由满足|z|≤1的所有z组成的集合).让人惊讶的是，当f(z)＝z2＋c时，对于某些复数c来说，f(z)的充满茹利亚集是非常复杂的．如果利用计算机对不同形态的收敛点和发散点进行不同的着色，就可以得到分形图．而且，如果按照一定的规则对c进行分类，并进行着色，可以得到如图所示的芒德布罗分形图．。
全册检测综合篇-2020-2021学年北师大版高一数学(必修2)
1．D
【解析】根据棱柱的定义进行判定知，这4个图都满足，分别为四棱柱，三棱柱，五棱柱，六棱柱
故选D
2．A
【解析】
【分析】根据直线平行列等式，解得结果.
【详解】因为直线 与直线 互相平行，
所以 ，选A.
【点睛】本题考查两直线平行，考查基本 Nhomakorabea解能力，属基础题.
3．B
【解析】
【分析】先确定锥体的高，再根据锥体体积公式得结果.
取 的中点 ，根据直角三角形的性质可知 ，
所以点 是三棱锥 外接球的球心，
设 ，则 ，
则三棱锥 外接球的表面积 ， ，解得： ,
点 到平面 的距离 .
故答案为：
【点睛】方法点睛：本题考查了球与几何体的综合问题，考查空间想象能力以及化归和计算能力，（1）当三棱锥的三条侧棱两两垂直时，并且侧棱长为 ，那么外接球的直径 ，（2）当有一条侧棱垂直于底面时，先找底面外接圆的圆心，过圆心做底面的垂线，球心在垂线上，根据垂直关系建立 的方程.（3）而本题类型，是两个直角三角形的公共斜边的中点是外接球的球心.
所以 ，所以 ，解得 ，所以 ，
所以圆锥的侧面积为 .故答案为： .
【点睛】关键点点睛：掌握圆锥的侧面积公式和三角形的面积公式是解题关键.
15．
【分析】先根据题意得圆心为 ， ，进而得圆心到直线 的距离为： ，再根据几何法即可得 .
【详解】解：由题知：圆 的圆心为 ， ，
故圆心到直线 的距离为： ，所以弦长为： .
18．如图，在四棱锥 中，底面 为正方形，平面 平面 ， ， ， 为 的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）求四棱锥 的体积.
19．如图，在正方体 中，E为 的中点， .求证：
高中数学北师大版必修二同步配套精品 第二章 解析几何初步 2.1.3
∵k1· k2=-1,∴l1⊥l2.
探究一
探究二
探究三
变式训练1已知点A(2,2+2 √2 ),B(-2,2)和C(0,2-2 √2 )可组成三角 形. 求证:△ABC为直角三角形.
证明:∵kAB=
2-(2+2√2) -2-2
=
√2
2
,kBC=
2-2√2-2 =-√2, 0-(-2)
则kAB· kBC=-1,∴AB⊥BC. ∴△ABC为直角三角形.
解析:由已知可得������ +2=-2,解得 m=-8.
答案:A
4-������
2.两条直线垂直 一般地,设直线l1:y=k1x+b1,直线l2:y=k2x+b2. 若 l1⊥l2,则k1· k2=-1;反之,若k1· k2=-1,则l1⊥l2. 特别地,对于直线l1:x=a,直线l2:y=b,由于l1⊥x轴,l2⊥y轴,所以l1⊥l2. 【做一做2】 直线l1:kx+(1-k)y-3=0和l2:(k-1)x+(2k+3)y-2=0互相垂 直,则k等于( ) A.-3或-1B.3或1 C.-3或1 D.3或-1 解析:l1⊥l2⇔k(k-1)+(1-k)(2k+3)=0⇔(1-k)(k+3)=0⇔k=1或k=-3.故 选C. 答案:C
解:(1)将两条直线方程分别化为斜截式为 l1:y=- x+ ,l2:y=- x- ,则 l1 的斜率 k1=- ,l1 在 y 轴上的截距 b1= ,l2 的斜率 k2=- ,l2 在 y 轴上的 截距 b2=- .
10 3 5 5 5 3 6 5 5 3 5 10
3
6
3
3
∵k1=k2,b1≠b2,∴l1∥l2.
【北师大版】2020高中数学必修2：全册配套同步习题(打包33份,含答案)
1 / 169第一章立体几何初步1 简单几何体1.1 简单旋转体1.下列说法正确的是( ) A.圆锥的母线长等于底面圆直径 B.圆柱的母线与轴垂直 C.圆台的母线与轴平行 D.球的直径必过球心 答案:D2.下面左边的几何体是由选项中的哪个图形旋转得到的 ( )解析:选项B 中的图形旋转后为两个共底面的圆锥;选项C 中的图形旋转后为一个圆柱与一个圆锥的组合体;选项D 中的图形旋转后为两个圆锥与一个圆柱的组合体. 答案:A3.用一个平面去截一个几何体,得到的截面一定是圆面,则这个几何体是( ) A.圆锥 B.圆柱C.球D.圆台答案:C4.AB为圆柱下底面内任一不过圆心的弦,过AB和上底面圆心作圆柱的一截面,则这个截面是()A.三角形B.矩形C.梯形D.以上都不对解析:如图所示,由于圆柱的上下底面相互平行,故过AB和上底面圆心作圆柱的一截面与上底面的交线CD必过上底面圆心,且CD∥AB,在圆柱的侧面上,连接A,C(或B,D)两点的线是曲线,不可能是直线.故这个截面是有两条边平行、另两边是曲线的曲边四边形.故选D.答案:D5.以钝角三角形的较短边所在的直线为轴,其他两边旋转一周所得的几何体是()A.两个圆锥拼接而成的组合体B.一个圆台C.一个圆锥D.一个圆锥挖去一个同底的小圆锥解析:如图所示.旋转一周后其他两边形成的几何体为在圆锥AO的底部挖去一个同底的圆锥BO.答案:D6.点O1为圆锥高上靠近顶点的一个三等分点,过O1与底面平行的截面面积是底面面积的()A2 / 1693 / 169解析:如图所示,由题意知SO 1∶SO=1∶3,∴O 1B ∶OA=1∶3,O =1∶9,故选D. 答案:D7.下列说法中错误的是 .①过圆锥顶点的截面是等腰三角形; ②过圆台上底面中心的截面是等腰梯形;③圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个.答案:②8.若过轴的截面是直角三角形的圆锥的底面半径为r ,则其轴截面的面积为 . 解析:由圆锥的结构特征,可知若过轴的截面为直角三角形,则为等腰直角三角形,其斜边上的高为r ,所以S答案:r 29.已知圆锥的母线与旋转轴所成的角为30°,母线的长为 则其底面面积为解析:如图所示,过圆锥的旋转轴作截面ABC ,设圆锥的底面半径为r ,底面圆心为O.∵△ABC 为等腰三角形, ∴△ABO 为直角三角形.又∠BAO=30°,∴BO=r∴底面圆O 的面积为S=πr 2答案10.把一个圆锥截成圆台,已知圆台的上、下底面的半径比是1∶4,母线长是10 cm,求这个圆锥的母线长.分析:处理有关旋转体的问题时,一般要作出其过轴的截面,在这个截面图形中去寻找各元素之间的关系.解:设圆锥的母线长为y cm,圆台上、下底面的半径分别为x cm,4x cm.作圆锥过轴的截面如图所示.在Rt△SOA中,O'A'∥OA,则即-解得y故圆锥的母线长为cm.11.圆锥的底面半径为r,母线长是底面半径的3倍,在底面圆周上有一点A,求一个动点P自点A出发在侧面上绕一周回到点A的最短路程.解:沿圆锥的母线SA将侧面展开,如图所示.则线段AA1就是所求的最短路程.∵弧A1A的长为2πr,SA=3r,设弧A1A所对的圆心角为α,·3r=2πr,∴α=120°.4 / 169∴AA1=SA·cos 30°×2=3r即所求最短路程是5 / 1691.2简单多面体1.关于棱柱,下列说法正确的是()A.只有两个面平行B.所有的棱都相等C.所有的面都是平行四边形D.两底面平行,侧棱也互相平行解析:正方体可以有六个面平行,故选项A错误;长方体并不是所有的棱都相等,故选项B错误;三棱柱的底面是三角形,故选项C错误;由棱柱的概念知,两底面平行,侧棱也互相平行,故选项D正确.答案:D2.一个正棱锥的底面边长与侧棱长相等,则该棱锥一定不是()A.正三棱锥B.正四棱锥C.正五棱锥D.正六棱锥解析:由于正六边形的中心到顶点的距离与边长都相等,故正六棱锥的侧棱长必大于底面边长.答案:D6 / 1693.棱台不一定具有的性质是()A.两底面相似B.侧面都是梯形C.侧棱都相等D.侧棱延长后都交于一点解析:由棱台的定义可知,棱台是用平行于棱锥底面的平面去截棱锥而得到的,所以A,B,D选项都成立,只有选项C不一定成立.答案:C4.下列图形中,不是三棱柱的展开图的是()解析:根据三棱柱的结构特征知,A,B,D中的展开图都可还原为三棱柱,但是C中展开图还原后的几何体没有下底面,故不是三棱柱的展开图.答案:C5.下列说法正确的个数为()①存在斜四棱柱,其底面为正方形;②存在棱锥,其所有面均为直角三角形;③任意的圆锥都存在两条母线互相垂直;④矩形绕任意一条直线旋转都可以形成圆柱.A.1B.2C.3D.4解析:①存在斜四棱柱,其底面为正方形,正确.②正确.如图所示.③不正确,圆锥轴截面的顶角小于90°时就不存在.④不正确,矩形绕其对角线所在直线旋转,不能围成圆柱.故答案为B.7 / 1696.用一个平行于棱锥底面的平面截这个棱锥,截得的棱台上、下底面的面积之比为1∶4,截去的棱锥的高是3 cm,则棱台的高是()A.12 cmB.9 cmC.6 cmD.3 cm解析:棱台的上、下底面的面积之比为1∶4,则截去的棱锥的高与原棱锥的高的比为1∶2,棱台的高是3 cm.答案:D7.有下列四个结论:①各侧面是全等的等腰三角形的四棱锥是正四棱锥;②底面是正多边形的棱锥是正棱锥;③三棱锥的所有面可能都是直角三角形;④四棱锥中侧面最多有四个直角三角形.其中正确的有(填正确结论的序号).答案:③④8.如图所示,将装有水的长方体水槽固定底面一边后将水槽倾斜一个小角度,则倾斜后水槽中的水形成的几何体的形状是.解析:如图所示,假设以AB边固定进行倾斜,则几何体BB2C2C-AA2D2D一定为棱柱.8 / 1699.在侧棱长为的正三棱锥中∠APB=40°,E,F分别是PB,PC上的点,过点A,E,F作截面AEF,则△AEF周长的最小值是.解析:将正三棱锥的三个侧面展开,如图所示.则当E,F为AA1与PB,PC的交点时,△AEF的周长最小,最小值为2AP·cos 30°=2×答案:610.把右图中的三棱台ABC-A1B1C1分成三个三棱锥.解:如图所示,分别连接A1B,A1C,BC1,则将三棱台分成了三个三棱锥,即三棱锥A-A1BC,B1-A1BC1,C-A1BC1.(本题答案不唯一)11.试从正方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点中任取若干,连接后构成以下空间几何体,并且用适当的符号表示出来.(1)只有一个面是等边三角形的三棱锥.9 / 169(2)四个面都是等边三角形的三棱锥.(3)三棱柱.解:(1)如图所示,三棱锥A1-AB1D1(答案不唯一).(2)如图所示,三棱锥B1-ACD1(答案不唯一).(3)如图所示,三棱柱A1B1D1-ABD(答案不唯一).★12.如图所示,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=3,AA1=4,M为AA1的中点,P是BC上的一点,且由点P沿棱柱侧面经过棱CC1到M的最短路线的长为设这条最短路线与的交点为求:(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线的长;(2)求PC和NC的长.解:(1)正三棱柱ABC-A1B1C1的侧面展开图是一个长为9,宽为4的矩形,其对角线长为10 / 16911 / 169(2)如图所示,将侧面BB 1C 1C 绕棱CC 1旋转120°使其与侧面AA 1C 1C 在同一平面上,则点P 旋转到点P 1的位置,连接MP 1交CC 1于点N ,则MP 1的长等于由点P 沿棱柱侧面经过棱CC 1到点M 的最短路线的长.设PC=x ,则P 1C=x.在Rt △MAP 1中,由勾股定理, 得(3+x )2+22=29,解得x=2,所以PC=P 1C=2,又所以NC§2 直观图1.关于用斜二测画法所得的直观图,以下说法正确的是 ( )A.等腰三角形的直观图仍是等腰三角形B.正方形的直观图为平行四边形C.梯形的直观图不是梯形D.正三角形的直观图一定为等腰三角形解析:根据斜二测画法的规则知,正方形的直观图为平行四边形. 答案:B2.水平放置的△ABC ,有一条边在水平线上,它的斜二测直观图是正三角形A'B'C',则△ABC 是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形D.任意三角形解析:根据斜二测画法的规则,可知△ABC 中有一个角是钝角,所以△ABC 是钝角三角形. 答案:C12 / 1693.如图所示为一平面图形的直观图,则此平面图形可能是 ( )答案:C4.对于一条边在x 轴上的三角形,采用斜二测画法作出其直观图,则其直观图的面积是原三角形面积的( ) A.2倍 BC解析:由于平行于y 轴的线段其平行性不变,长度变为原来的一半,又直观图中∠x'O'y'=45°,设原三角形的面积为S ,其直观图的面积为S',则S'答案:B5.一个水平放置的三角形的直观图是等腰直角三角形A'B'O',如图所示,若O'B'=1,那么原△ABO 的面积是( ) A解析:由斜二测画法,可知原三角形为直角三角形,且∠AOB=90°,OB=1,OA=2O'A'=∴S △AOB故选C .答案:C6.已知△A'B'C'为水平放置的△ABC 的直观图,如图所示,则在△ABC 的三边及中线AD 中,最长的线段是()A.ABB.ADC.BCD.AC解析:由斜二测画法,可知原图形为直角三角形.AC为斜边,D为BC的中点,故AC>AD,故最长线段为AC.答案:D7.一个平面图形的斜二测直观图是腰长为2的等腰直角三角形,如图,则其平面图形的面积为.答案:48.已知正三角形ABC的边长为a, 则水平放置的△ABC的直观图△A'B'C'的面积为. 解析:图①、图②分别为实际图形和直观图.由图可知A'B'=AB=a,O'C'在图②中作C'D'⊥A'B'于点D',则C'D'所以S△A'B'C'·C'D'答案9.在等腰梯形ABCD中,上底边CD=1,AD=CB下底边按平行于上、下底边取轴则直观图的面积为解析:等腰梯形ABCD的高为1,且直观图A'B'C'D'仍为梯形,其高为45°故面积为13 / 169答案10.画出如图所示放置的直角三角形的直观图.解:画法:(1)画x'轴和y'轴,使∠x'O'y'=45°(如图②所示);(2)在原图中作BD⊥x轴,垂足为D(如图①所示);(3)在x'轴上截取O'A'=OA,O'D'=OD,在y'轴上截取O'C'=OC,过D'作B'D'∥y'轴,使D'B'=BD;(4)连线成图(擦去辅助线)(如图③所示).11.用斜二测画法得到一水平放置的Rt△ABC,AC=1,∠ABC=30°,如图所示,试求原三角形的面积.解:如图所示,作AD⊥BC于点D,令x'轴与y'轴的交点为E,则DE=AD,在Rt△ABC中,由∠ABC=30°,AC=1,可知BC=2,AB由AD⊥BC,AD=DE,可知AD14 / 16915 / 169由斜二测画法可知,原三角形A'B'C'中,B'C'=BC=2,A'E'=2AE 且A'E'⊥B'C', 所以S △A'B'C'·A'E'★12.画水平放置的圆锥的直观图.分析用斜二测画法画水平放置的圆锥的直观图,由于圆锥底面可以看作是水平放置的,因此,只需先画轴,再画底面和高即可.解:(1)画轴,如图所示,画x 轴、y 轴、z 轴,使∠xOy=45°,∠xOz=90°;(2)画圆锥的底面,画出底面圆的直观图,与x 轴交于A ,B 两点; (3)画圆锥的顶点,在Oz 上截取点P ,使得PO 等于圆锥的高;(4)连线成图,连接PA ,PB ,并加以整理(擦去辅助线,将被遮挡的部分改为虚线),得圆锥的直观图.§3 三视图3.1 简单组合体的三视图1.用一个平行于水平面的平面去截球,得到如图所示的几何体,则它的俯视图是( )解析:截去的平面在俯视图中看不到,故用虚线,因此选B . 答案:B2.下列各几何体的三视图中,有且仅有两个视图相同的是 ()A.①②B.①③C.①④D.②④解析:①中正方体的三视图均相同;②中圆锥的主视图和左视图相同;③中三棱台的三视图各不相同;④中正四棱锥的主视图和左视图相同.答案:D3.某几何体的主视图和左视图均如图所示,则该几何体的俯视图不可能是()解析:D选项的主视图为,故不可能是D选项.答案:D4.如图所示,若△A'B'C'为正三角形,与底面不平行,且CC'>BB'>AA',则多面体的主视图为()解析:因为△A'B'C'为正三角形,面A'B'BA向前,所以主视图不可能是A,B,C三个选项,只能是D.16 / 16917 / 169答案:D 5.“牟台方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体.它由完全相同的四个曲面构成,相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上,好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖).其直观图如图所示,图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线.当其主视图和左视图完全相同时,它的俯视图可能是( )答案:B6.如图所示,画出四面体AB 1CD 1三视图中的主视图,若以面AA 1D 1D 为投影面,则得到的主视图为( )解析:显然AB 1,AC ,B 1D 1,CD 1分别投影得到主视图的外轮廓,B 1C 为可见实线,AD 1为不可见虚线.故A 正确. 答案:A★7.如图所示,在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E 为棱BB 1的中点,若用过点A ,E ,C 1的平面截去该正方体的上半部分,则剩余几何体的左视图为()18 / 169设过点A ,E ,C 1的截面与棱DD 1相交于点F ,且F 是棱DD 1的中点,该正方体截去上半部分后,剩余几何体如图所示,则它的左视图应选C . 答案:C8.如图所示,图①②③是图④表示的几何体的三视图,其中图①是 ,图②是 ,图③是 (填写视图名称).解析:由三视图可知,①为主视图,②为左视图,③为俯视图. 答案:主视图 左视图 俯视图9.如图(a)所示,在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,P 为正方体的中心,则△PAC在该正方体各个面上的射影可能是图(b)中的(把可能的序号都填上).图(a)图(b)解析:要考虑△PAC在该正方体各个面上的射影,在上、下两个面上的射影是①,在前后左右四个面上的射影是④.答案:①④10.(1)画出如图①所示组合体的三视图;(2)图②所示的是一个零件的直观图,试画出这个几何体的三视图.图①图②解(1)该组合体是由一个四棱柱和一个圆锥拼接而成,其三视图如图所示.19 / 169(2)作出三视图如图所示.★11.如图是根据某一种型号的滚筒洗衣机抽象出来的几何体,数据如图所示(单位:cm).试画出它的三视图.解这个几何体是由一个长方体挖去一个圆柱体构成的,三视图如图所示.3.2由三视图还原成实物图1.若一个几何体的主视图和左视图都是等腰梯形,俯视图是两个同心圆,则这个几何体可能是()A.圆柱B.圆台C.圆锥D.棱台答案:B2.某几何体的三视图如图所示,则该几何体是()20 / 16921 / 169A .棱台B .棱柱C .棱锥D .以上均不对解析:由相似比,可知几何体的侧棱相交于一点. 答案:A3.如图所示是底面为正方形、一条侧棱垂直于底面的四棱锥的三视图,则该四棱锥的直观图是下列各图中的( )解析:由俯视图排除B,C 选项;由主视图、左视图可排除A 选项,故选D . 答案:D4.某几何体的三视图如图所示,则这个几何体是( )A .三棱锥B .四棱锥C .四棱台D .三棱台解析:因为主视图和左视图为三角形,可知几何体为锥体.又俯视图为四边形,所以该几何体为四棱锥,故选B . 答案:B5.如图所示,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的是一个几何体的三视图,则这个几何体是()22 / 169A.三棱锥B.三棱柱C.四棱锥D.四棱柱解析:由题知,该几何体的三视图为一个三角形,两个四边形,经分析可知该几何体为三棱柱,故选B . 答案:B6.一块石材表示的几何体的三视图如图所示,将该石材切削、打磨,加工成球,则能得到的最大球的半径等于( )A .1B .2C .3D .4解析:由三视图画出直观图如图所示,判断这个几何体是底面边长为6,8,10的直角三角形,高为12的躺下的直三棱柱,直角三角形的内切圆的半径为r= -=2,这就是做成的最大球的半径.答案:B7.把边长为的正方形ABCD沿对角线BD折起,连接AC,得到三棱锥C-ABD,其主视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形(如图所示),其左视图的面积为.解析:如图所示,根据两个视图可以推知折起后∠CEA=90°,其侧视图是一个两直角边长为1的等腰直角三角形,所以左视图的面积为.答案:8.用n个体积为1的正方体搭成一个几何体,其主视图、左视图都是如图所示的图形,则n的最大值与最小值之差是.解析:由主视图、左视图可知,正方体个数最少时,底层有3个小正方体,上面有2个,共5个;个数最多时,底层有9个小正方体,上面有2个,共11个.故n的最大值与最小值之差是6.答案:69.下图是一个几何体的三视图,想象该几何体的几何结构特征,画出该几何体的形状.23 / 169解由于俯视图中有一个圆和一个四边形,则该几何体是由旋转体和多面体构成的组合体,结合左视图和主视图,可知该几何体是由上面一个圆柱、下面一个四棱柱拼接成的组合体.该几何体的形状如图所示.★10.已知几何体的三视图如图所示,用斜二测画法画出它的直观图.解由三视图可知其几何体是底面边长为2,高为3的正六棱锥,其直观图如图所示.§4空间图形的基本关系与公理第1课时平面性质1.两个平面重合的条件是()A.有四个公共点B.有无数个公共点C.有一条公共直线D.有两条相交公共直线24 / 169解析:由两条相交直线确定一个平面知D选项正确.答案:D2.与“直线l上两点A,B在平面α内”含义不同的是()A.l⫋αB.直线l在平面α内C.直线l上只有这两个点在平面α内D.直线l上所有的点都在平面α内答案:C3.有下列说法:①梯形的四个顶点在同一平面内;②三条平行直线必共面;③有三个公共点的两个平面必重合.其中正确的个数是()A.0B.1C.2D.3解析:梯形是一个平面图形,所以其四个顶点在同一个平面内,故①正确;两条平行直线确定1个平面,三条平行直线确定1个或3个平面,故②错误;三个公共点可以同在两个相交平面的交线上,故③错误.答案:B4.设P表示一个点,a,b表示两条直线,α,β表示两个平面,给出下列四个命题,其中正确的命题是()①P∈a,P∈α⇒a⫋α;②a∩b=P,b⫋β⇒a⫋β;③a∥b,a⫋α,P∈b,P∈α⇒b⫋α;④α∩β=b,P∈α,P∈β⇒P∈b.A.①②B.②③C.①④D.③④答案:D5.三棱台ABC-A'B'C'的一条侧棱AA'所在直线与平面BCC'B'之间的关系是()25 / 169A.相交B.平行C.直线在平面内D.平行或直线在平面内解析:棱台就是棱锥被一个平行于底面的平面截去一个棱锥得到的,所以延长棱台各侧棱可以恢复成棱锥的形状,由此可知三棱台的一条侧棱所在直线与其对面所在的平面相交.答案:A6.如图所示,平面α∩平面β=l,A∈α,B∈α,AB∩l=D,C∈β,且C∉l,则平面ABC与平面β的交线是()A.直线ACB.直线BCC.直线ABD.直线CD解析:由题意知,平面ABC与平面β有公共点C,根据公理3,这两平面必定相交,有且只有一条经过C的交线,由于两点确定一条直线,所以只要再找到两平面的另一个公共点即可.显然点D在直线AB上,从而它在平面ABC内,而点D又在直线l上,所以它又在平面β内,所以点D 也是平面ABC与平面β的公共点.因此平面ABC与平面β的交线是直线CD.答案:D7.已知点P在平面α外,点A,B,C在平面α内且不共线,A',B',C'分别在PA,PB,PC上,若A'B',B'C',A'C'与平面α分别交于D,E,F三点,则D,E,F三点()A.成钝角三角形B.成锐角三角形C.成直角三角形D.在一条直线上解析:本题考查三点关系,根据两平面公共点在其交线上,知D,E,F三点共线,故选D.26 / 1698.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,Q,R分别是AB,AD,B1C1的中点,那么,正方体的过P,Q,R的截面图形是()A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形解析:如图所示,作GR∥PQ交C1D1于G,延长QP与CB延长线交于M,连接MR交BB1于E,连接PE.同理延长PQ交CD延长线于点N,连接NG交DD1于F,连接QF.所以截面PQFGRE为六边形.故选D.答案:D9.四条线段首尾相接得到一个四边形,当且仅当它的两条对角线时,能得到一个平面图形.解析:由公理1,2知当两条对角线相交时为平面图形,当两条对角线不共面时为空间四边形.答案:相交10.一个平面内不共线的三点到另一个平面的距离相等且不为零,则这两个平面的位置关系是.解析:当三点在另一个平面同侧时,这两个平面平行,当三点不在另一个平面同侧时,这两个平面相交.答案:平行或相交11.过已知直线a外的一点P,与直线a上的四个点A,B,C,D分别画四条直线,求证:这四条直线在同一平面内.27 / 169如图所示,因为点P在直线a外,所以过直线a及点P可作一平面α,因为A,B,C,D均在a上,所以A,B,C,D均在α内,所以直线PA,PB,PC,PD上各有两个点在α内,由公理2可知,直线PA,PB,PC,PD均在平面α内,故这四条直线在同一平面内.12.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,M,N分别是AA1,D1C1的中点,过D,M,N三点的平面与正方体下底面相交于直线l.试画出直线l的位置,并说明理由.解:如图所示,连接DM并延长,交D1A1的延长线于点P',连接NP',则直线NP'即为所求直线l.理由如下:如图所示,连接DN, ∵P'=DM∩D1A1,且DM⫋平面DMN,D1A1⫋平面A1B1C1D1,∴P'∈平面DMN∩平面A1B1C1D1.28 / 169又N∈平面DMN∩平面A1B1C1D1,∴由公理3知,直线NP'为平面DMN与平面A1B1C1D1的交线.第2课时异面直线所成的角1.若直线a∥b,b∩c=A,则直线a与c的位置关系是()A.异面B.相交C.平行D.异面或相交答案:D2.在三棱锥A-BCD中,E,F,G分别是AB,AC,BD的中点,如果AD与BC所成的角是60°,那么∠FEG为()A.60°B.30°C.120°D.60°或120°解析:异面直线AD与BC所成的角可能等于∠FEG,也可能等于∠FEG的补角.答案:D3.若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4满足l1⊥l2,l2∥l3,l3⊥l4,则下列结论一定正确的是()A.l1⊥l4B.l1∥l4C.l1与l4既不垂直也不平行D.l1与l4的位置关系不确定解析:因为l2∥l3,所以l1⊥l3,l3⊥l4.实质上就是l1与l4同垂直于一条直线,所以l1⊥l4,l1∥l4,l1与l4既不垂直也不平行都有可能成立,故l1与l4的位置关系不确定.答案:D29 / 1694.如图,在某个正方体的表面展开图中,l1,l2是两条面对角线,则在正方体中,l1与l2()A.互相平行B.异面且互相垂直C.异面且夹角为60°D.相交且夹角为60°解析:将表面展开图还原成正方体如图所示,则B,C两点重合.故l1与l2相交,连接AD,△ABD 为正三角形,所以l1与l2的夹角为60°.答案:D5.在三棱柱ABC-A1B1C1中,若点E,F分别在AB,AC上,且AE=AB,AF=AC,则下列说法正确的是()A.EF⊥BB1B.EF∥A1B1C.EF∥B1C1D.EF∥AA1解析:∵AE=AB,AF=AC,∴EF∥BC.又ABC-A1B1C1为棱柱,∴BC∥B1C1.∴EF∥B1C1.答案:C6.下列说法正确的是()A.空间中没有交点的两条直线是平行直线B.一条直线和两条平行直线中的一条相交,则它和另一条也相交C.空间四条直线a,b,c,d,如果a∥b,c∥d,且a∥d,那么b∥cD.分别在两个平面内的直线是平行直线30 / 169解析:A,B选项中,两直线可能异面,D选项中两直线可能相交,也可能异面.答案:C7.如图是一个正方体的表面展开图,如果将它还原为正方体,那么AB,CD,EF,GH这四条线段所在直线是异面直线的有对.解析:将图形还原成正方体,观察有AB与CD,AB与GH,EF与GH共3对异面直线.答案:38.如图,已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,A1A=AB,E,F分别是BD1和AD中点,则异面直线CD1,EF所成的角的大小为.答案:90°9.如图所示,在四棱锥C-ABED中,底面ABED是梯形.若AB∥DE,DE=2AB,且F是CD的中点,P是CE的中点,则AF与BP的位置关系是.解析:连接PF,∵P,F分别是CE,CD的中点,∴PF∥ED,且PF=ED.又AB∥ED,且DE=2AB,∴AB∥PF,且AB=PF,即四边形ABPF是平行四边形,∴BP∥AF.31 / 16932 / 169答案:平行10.如图所示,在三棱锥P-ABC 中,D ,E 是PC 上不重合的两点,F ,H 分别是PA ,PB 上的点,且与点P 不重合.求证:EF 和DH 是异面直线.证明∵PA ∩PC=P ,∴PA ,PC 确定一个平面α. ∵E ∈PC ,F ∈PA , ∴E ∈α,F ∈α,∴EF ⫋α. ∵D ∈PC ,∴D ∈α,且D ∉EF.又PB ∩α=P ,H ∈PB ,且点H 与点P 不重合,∴H ∉α,DH ∩α=D ,且DH 与EF 不相交,于是直线EF 和DH 是异面直线.★11.如图所示,在空间四边形ABCD 中,两条对边AB=CD=3,E ,F 分别是另外两条对边AD ,BC 上的点,且,EF= ,求AB 和CD 所成的角的大小.解如图所示,过点E 作EO ∥AB ,交BD 于点O ,连接OF ,所以,所以, 所以OF ∥CD.所以∠EOF 或其补角是AB 和CD 所成的角. 在△EOF 中,OE=AB=2,OF=CD=1,又EF=,所以EF2=OE2+OF2,所以∠EOF=90°.即异面直线AB和CD所成的角为90°.★12.在梯形ABCD中(如图①所示),AB∥CD,E,F分别为BC和AD的中点,将平面CDFE沿EF翻折起来,使CD到C'D'的位置,G,H分别为AD'和BC'的中点,得到如图②所示的立体图形.求证:四边形EFGH为平行四边形.图①图②证明∵在梯形ABCD中,AB∥CD,E,F分别为BC,AD的中点,∴EF∥AB,且EF=(AB+CD).又C'D'∥EF,∴C'D'∥AB.∵G,H分别为AD',BC'的中点,∴GH∥AB,且GH=(AB+C'D')=(AB+CD).∴GH∥EF,且GH=EF.∴四边形EFGH为平行四边形.33 / 169§5平行关系5.1平行关系的判定第1课时直线与平面平行的判定1.若直线a∥平面α,直线b∥平面α,则a与b的位置关系是()A.平行B.相交C.异面D.以上都有可能答案:D2.在五棱台ABCDE-A1B1C1D1E1中,若F,G分别是AA1和BB1上的点,且,则FG与平面ABCDE的位置关系是()A.平行B.相交C.异面D.FG在平面ABCDE内答案:A3.点E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,则空间四边形的四条边与两条对角线中与平面EFGH平行的条数为()A.0B.1C.2D.3解析:由线面平行的判定定理可知,BD∥平面EFGH,AC∥平面EFGH.答案:C4.下列四个正方体图形中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,P分别为其所在棱的中点,能得出AB ∥平面MNP的图形的序号是()34 / 169A.①②B.①④C.①③D.②④答案:B5.如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E为AA1的中点,F为BB1的中点,与EF平行的长方体的面有()A.1个B.2个C.3个D.4个解析:∵在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E为AA1的中点,F为BB1的中点,∴EF∥CD,EF∥AB,EF∥A1B1,∴由直线与平面平行判定定理得,与EF平行的长方体的面有面CDD1C1,面ABCD,面A1B1C1D1,共3个.故选C.答案:C6.已知两条直线a,b,a∥平面α,b⫋α,则直线a与b的位置关系是.答案:平行或异面7.在空间四边形ABCD中,E,F分别为AB和BC上的点,且AE∶EB=CF∶FB=1∶3,则对角线AC和平面DEF的位置关系是.解析:∵,∴EF∥AC.又AC⊈平面DEF,EF⫋平面DEF,∴AC∥平面DEF.答案:平行8.如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,D是AB的中点.求证:BC1∥平面CA1D.35 / 169。
2020-2021学年北师大版高中数学必修二《解析几何初步》单元同步训练及解析
最新（新课标）北师大版高中数学必修二习题课(三)【课时目标】 熟练掌握直线的位置关系(平行、垂直)及距离公式，能灵活应用它们解决有关的综合问题．1．三个距离公式⎩⎪⎨⎪⎧(1)两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的距离|P 1P 2|＝ .(2)点P (x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝ .(3)平行线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋ C 2＝0间的距离d ＝ .2．三种常见的对称问题 (1)点关于点的对称点P(x 0，y 0)关于点M(a ，b)的对称点为P ′______________________________． (2)点关于直线的对称若两点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0对称，则由方程组 ⎩⎨⎧A ·x 1＋x 22＋B ·y 1＋y22＋C ＝0，可得点P 1关于l 对称的点P 2的坐标(x 2，y 2)(其中A ≠0，x 1≠x 2)．(3)线关于点、线的对称线是点构成的集合，直线的方程是直线上任一点P(x ，y)的坐标x ，y 满足的表达式，故求直线关于点、线的对称，可转化为求该直线上任一点关于点、线的对称．一、选择题1．点(3,9)关于直线x ＋3y －10＝0的对称点为( ) A ．(－13,1) B ．(－2，－6) C ．(－1，－3) D ．(17，－9)2．和直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线方程为( ) A ．3x ＋4y －5＝0 B ．3x ＋4y ＋5＝0 C ．－3x ＋4y －5＝0 D ．－3x ＋4y ＋5＝03．在直线3x －4y －27＝0上到点P(2,1)距离最近的点的坐标是( ) A ．(5，－3) B ．(9,0) C ．(－3,5) D ．(－5,3)4．过点(1,3)且与原点的距离为1的直线共有( ) A ．3条 B ．2条 C ．1条 D ．0条 5．若点(5，b)在两条平行直线6x －8y ＋1＝0与3x －4y ＋5＝0之间，则整数b 的值为( ) A ．5 B ．－5 C ．4 D ．－4 6．已知实数x ，y 满足5x ＋12y ＝60，则x 2＋y 2－2x －4y ＋5的最小值是( )A ．3113B ．8913C ．13D ．不存在二、填空题7．点A(4,5)关于直线l 的对称点为B(－2,7)，则l 的方程为________________．8．如图所示，已知△ABC 的顶点是A(－1，－1)，B(3,1)，C(1,6)，直线l 平行于AB ，且分别交AC 、BC 于E 、F ，△CEF 的面积是△CAB 面积的14，则直线l 的方程为________．9．设点A(－3,5)和B(2,15)，在直线l：3x－4y＋4＝0上找一点P，使|PA|＋|PB|为最小，则这个最小值为________．三、解答题10．一条直线被直线l1：4x＋y＋6＝0和l2：3x－5y－6＝0截得的线段的中点恰好是坐标原点，求这条直线的方程．11．已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求满足下列条件的直线l′的方程．(1)l′与l平行且过点(－1,3)；(2)l′与l垂直且l′与两坐标轴围成的三角形面积为4；(3)l′是l绕原点旋转180°而得到的直线．能力提升12．直线2x－y－4＝0上有一点P，求它与两定点A(4，－1)，B(3,4)的距离之差的最大值．13．已知M(1,0)、N(－1,0)，点P 为直线2x －y －1＝0上的动点，求|PM|2＋|PN|2的最小值及取最小值时点P 的坐标．习题课(三) 答案知识梳理1．(1)(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2(2)|Ax 0＋By 0＋C|A 2＋B 2(3)|C 2－C 1|A 2＋B22．(1)(2a －x 0,2b －y 0) (2)y 1－y 2x 1－x 2＝BA作业设计1．C [设对称点为(x 0，y 0)， 则由⎩⎪⎨⎪⎧y 0－9x 0－3＝3，x 0＋32＋3·y 0＋92－10＝0，得⎩⎨⎧x 0＝－1，y 0＝－3.] 2．B [直线3x －4y ＋5＝0与x 轴交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－53，0，由对称直线的特征知，所求直线斜率为k ＝－34．∴y ＝－34⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋53，即3x ＋4y ＋5＝0．]3．A [当PQ 与已知直线垂直时，垂足Q 即为所求．]4．B [当直线斜率不存在时，直线方程为x ＝1，原点到直线距离为1，满足题意．当直线斜率存在时，设直线方程为y －3＝k(x －1)即kx －y ＋3－k ＝0．由已知|3－k|k 2＋1＝1，解得k ＝43，满足题意．故共存在2条直线．] 5．C [把x ＝5代入6x －8y ＋1＝0得y ＝318，把x ＝5代入3x －4y ＋5＝0得y ＝5，∴318<b<5．又∵b 为整数，∴b ＝4．] 6．A [x 2＋y 2－2x －4y ＋5 ＝(x －1)2＋(y －2)2，它表示点(x ，y)与(1,2)之间的距离，两点距离的最小值即为点(1,2)到直线5x ＋12y ＝60的距离，∴d ＝|1×5＋2×12－60|13＝3113．]7．3x －y ＋3＝08．x －2y ＋5＝0解析 由已知，直线AB 的斜率k ＝12，∵EF ∥AB ，∴直线EF 的斜率为k ＝12．∵△CEF 的面积是△CAB 面积的14，∴E 是CA 的中点，∴点E 的坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫0，52，直线EF 的方程是y －52＝12x ，即x －2y ＋5＝0．9．513解析 设点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标为(a ，b)，则由AA ′⊥l 且AA ′被l 平分， 得⎩⎪⎨⎪⎧b －5a ＋3×34＝－1，3×a －32－4×b ＋52＋4＝0.解之得a ＝3，b ＝－3．∴点A ′的坐标为(3，－3)， ∴(|PA|＋|PB|)min ＝|A ′B|＝(3－2)2＋(－3－15)2＝513．10．解 设所求直线与直线l 1交于A(x 0，y 0)，它关于原点的对称点为B(－x 0，－y 0)，且B 在直线l 2上，由⎩⎨⎧4x 0＋y 0＋6＝0，－3x 0＋5y 0－6＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－3623，y 0＝623，∴所求直线方程为y ＝623－3623x ＝－16x ，即x ＋6y ＝0．11．解 (1)直线l ：3x ＋4y －12＝0，k l ＝－34，又∵l ′∥l ，∴k l ′＝k l ＝－34．∴直线l ′：y ＝－34(x ＋1)＋3，即3x ＋4y －9＝0．(2)∵l ′⊥l ，∴k l ′＝43．设l ′与x 轴截距为b ，则l ′与y 轴截距为－43b ，由题意可知，S ＝12|b|·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－43b ＝4，∴b ＝±6．∴直线l ′：y ＝43(x ＋6)或y ＝43(x －6)．(3)∵l ′是l 绕原点旋转180°而得到的直线，∴l ′与l 关于原点对称．任取点(x 0，y 0)在l 上，则在l ′上对称点为(x ，y)．x ＝－x 0，y ＝－y 0，则－3x －4y －12＝0． ∴l ′为3x ＋4y ＋12＝0．12．解 找A 关于l 的对称点A ′，A ′B 与直线l 的交点即为所求的P 点．设A ′(a ，b)，则⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1a －4×2＝－12×4＋a 2－b －12－4＝0．解得⎩⎨⎧a ＝0b ＝1，所以|A ′B|＝(4－1)2＋(3－0)2＝32．13．解 ∵P 为直线2x －y －1＝0上的点，∴可设P 的坐标为(m,2m －1)，由两点的距离公式得|PM|2＋|PN|2＝(m －1)2＋(2m －1)2＋(m ＋1)2＋(2m －1)2＝10m 2－8m ＋4．(m ∈R)令f(m)＝10m 2－8m ＋4＝10⎝⎛⎭⎪⎫m －252＋125≥125，∴当m ＝25时，|PM|2＋|PN|2取最小值，此时P ⎝ ⎛⎭⎪⎫25，－15．。
2020年北师版数学必修二 2.2.1
第二章 §2 2.1A 级 基础巩固一、选择题1．以点(2，－1)为圆心，以2为半径的圆的标准方程是( C ) A ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝ 2 B ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝2 C ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝2D ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝ 22．经过圆C ：(x ＋1)2＋(y －2)2＝4的圆心且斜率为1的直线方程为( A ) A ．x －y ＋3＝0 B ．x －y －3＝0 C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋y ＋3＝0[解析] 圆C 的圆心坐标为(－1,2)，故所求直线方程为y －2＝1·(x ＋1)，即x －y ＋3＝0． 3．已知A (0，－5)、B (0，－1)，则以线段AB 为直径的圆的方程是( B ) A ．(x ＋3)2＋y 2＝2 B ．x 2＋(y ＋3)2＝4 C ．(x ＋3)2＋y 2＝4D ．(x －3)2＋y 2＝2[解析] 圆的圆心是(0，－3)， 半径是r ＝12|－5－(－1)|＝2．故圆的方程为x 2＋(y ＋3)2＝4．4．直线x ＋2y ＋3＝0将圆(x －a )2＋(y ＋5)2＝3的周长平分，则a 等于( B ) A ．13 B ．7C ．－13D ．以上答案都不对 [解析] 当直线过圆心时直线才将圆的周长平分，所以将圆心(a ，－5)代入直线方程x ＋2y ＋3＝0，得a ＋2×(－5)＋3＝0.解得a ＝7．5．圆心为(1,1)且与直线x ＋y ＝4相切的圆的方程是( D ) A ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2 B ．(x －1)2＋(y －1)2＝ 2 C ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2D ．(x －1)2＋(y －1)2＝2[解析] 圆的半径r 即为圆心(1,1)到直线x ＋y －4＝0的距离d ＝|1＋1－4|2＝2，所以圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2．6．如图所示，ACB 为一弓形，且A ，B ，C 的坐标分别为(－4,0)，(4,0)，(0,2)，那么弓形所在圆的方程为( D )A ．x 2＋y 2＝16B ．x 2＋y 2＝4C ．x 2＋(y ＋2)2＝20D ．x 2＋(y ＋3)2＝25[解析] ∵圆心在弦AB 的中垂线上，∴圆心在y 轴上，可设P (0，b )，∵|AP |＝|CP |， ∴16＋b 2＝|2－b |，解得b ＝－3， ∴圆心P (0，－3)．半径r ＝|CP |＝5， ∴圆的标准方程为x 2＋(y ＋3)2＝25． 二、填空题7．(2018·天津改编)已知圆x 2＋y 2－2x ＝0的圆心为C ，直线x ＋y －2＝0与该圆相交于A ，B 两点，△ABC 的面积为__12__．[解析] 圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝1，圆心为C (1,0)，半径为1，点C 到直线x ＋y －2＝0的距离d ＝|1＋0－2|2＝22，所以|AB |＝21－⎝⎛⎭⎫222＝2，所以S △ABC ＝12×2×22＝12．8．已知直线l ：x －y ＋4＝0与圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝2，则C 上各点到l 的距离的最小值为__2__．[解析] 圆心到直线的距离为d ＝|1－1＋4|12＋12＝22，又圆的半径为2，所以C 上各点到l 的距离的最小值为22－2＝2．三、解答题9．已知一个圆经过两个点A (2，－3)和B (－2，－5)，且圆心在直线l ：x －2y －3＝0上，求此圆的方程．[解析] 解法1：设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2． 由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧(2－a )2＋(－3－b )2＝r 2，(－2－a )2＋(－5－b )2＝r 2，a －2b －3＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－4a ＋6b ＝r 2－13，a 2＋b 2＋4a ＋10b ＝r 2－29，a －2b －3＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，r 2＝10.∴所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10． 解法2：由A (2，－3)，B (－2，－5)得AB 的中点为(0，－4)，k AB ＝12，∴AB 的垂直平分线的方程为y ＋4＝－2x ， 即2x ＋y ＋4＝0，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＋4＝0，x －2y －3＝0， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2.∴圆心为(－1，－2)，半径r ＝(2＋1)2＋(－3＋2)2＝10． 故所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10． 解法3：设点C 是圆心，∵点C 在直线l 上，∴设点C (2b ＋3，b )． 又∵|CA |＝|CB |，∴(2b ＋3－2)2＋(b ＋3)2＝(2b ＋3＋2)2＋(b ＋5)2， 解得b ＝－2，∴圆心为C (－1，－2)，半径r ＝10， 故所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10．10．已知△ABC 的三个顶点A (1,4)，B (－2,3)，C (4，－5)，求△ABC 的外接圆的方程． [解析] 解法1：设△ABC 的外接圆方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧(1－a )2＋(4－b )2＝r 2，(－2－a )2＋(3－b )2＝r 2，(4－a )2＋(－5－b )2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，r ＝5.故所求△ABC 的外接圆方程为 (x －1)2＋(y ＋1)2＝25． 解法2：∵k AB ＝4－31＋2＝13，k AC ＝4＋51－4＝－3， ∵k AB ·k AC ＝－1， ∴AB ⊥A C ．∴BC 为△ABC 外接圆的直径，BC 中点为M (1，－1)． r ＝|MA |＝|4＋1|＝5，∴△ABC 的外接圆方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝25．B 级 素养提升一、选择题1．已知一圆的圆心为点(2，－3)，一条直径的两个端点分别在x 轴和y 轴上，则此圆的方程是( A )A ．(x －2)2＋(y ＋3)2＝13B ．(x ＋2)2＋(y －3)2＝13C ．(x －2)2＋(y ＋3)2＝52D ．(x ＋2)2＋(y －3)2＝52[解析] 设直径两端点为A (x ,0) B (0，y )，则圆心(2，－3)为直径中点， ∴⎩⎨⎧2＝x ＋02－3＝0＋y2即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4y ＝－6.∴A (4,0)，B (0，－6)． ∴r ＝12|AB |＝12·42＋62＝13，∴圆的标准方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝13．2．设实数x ，y 满足(x ＋3)2＋y 2＝6，那么yx 的最大值是( C )A ．12B ．33C ． 2D ． 3[解析] 令yx ＝k ，即y ＝kx ，直线y ＝kx 与圆相切时恰好k 取最值．二、填空题3．已知圆C 经过A (5,1)，B (1,3)两点，圆心在x 轴上，则C 的方程为__(x －2)2＋y 2＝10__． [解析] 由题意，知线段AB 中点为M (3,2)，k AB ＝－12，所以线段AB 的中垂线所在的直线方程为y －2＝2(x －3)．由⎩⎪⎨⎪⎧y －2＝2(x －3)，y ＝0，得圆心的坐标为(2,0)． 则圆C 的半径r ＝(2－1)2＋(0－3)2＝10． 故圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝10．4．一束光线从点A (－1,1)发出，经x 轴反射到圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1，最短路程为__4__．[解析] 设光线与x 轴交于B (x ,0)， 依题意得k BC ＋k BA ＝0.即32－x ＋－1x ＋1＝0．解得x ＝－14，于是最短路程为：d ＝1＋916＋9＋8116－1＝4． 三、解答题5．求满足下列条件的圆的标准方程： (1)圆心C (8，－3)且过点P (5,1)；(2)圆心在x 轴上，半径为5，且截y 轴所得线段长为8． [解析] (1)方法一：设圆的标准方程为(x －8)2＋(y ＋3)2＝r 2， ∵点P (5,1)在圆上，∴(5－8)2＋(1＋3)2＝r 2． ∴r 2＝25．∴所求圆的标准方程为(x －8)2＋(y ＋3)2＝25． 方法二：∵圆的半径为r ＝|CP |＝(5－8)2＋(1＋3)2＝5， 又圆心为C (8，－3)，∴所求圆的标准方程为(x －8)2＋(y ＋3)2＝25． (2)如图，由题意|AC |＝r ＝5，|AB |＝8.∴|AO |＝4．在Rt △AOC 中，|OC |＝|AC |2－|AO |2＝52－42＝3． 设点C 坐标为(a ,0)，则|OC |＝|a |＝3，∴a ＝±3． ∴所求圆的方程为(x ＋3)2＋y 2＝25或(x －3)2＋y 2＝25．6．已知隧道的截面是半径为4 m 的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7 m ，高为3 m 的货车能不能驶入这个隧道？[解析] 以某一截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径AB 所在的直线为x 轴，建立直角坐标系，如图，那么半圆的方程为：x 2＋y 2＝16(y ≥0)．将x ＝2.7代入，得y ＝16－2.72＝8.71<3，即在离中心线2.7 m 处，隧道的高度低于货车的高度，因此，货车不能驶入这个隧道．C 级 能力拔高已知平面直角坐标系中有四个点A (0,1)，B (2,1)，C (3,4)，D (－1,2)，这四点能否在同一个圆上？为什么？[解析] 设经过A ，B ，C 三点的圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)． 代入三点的坐标得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋(b －1)2＝r 2，(a －2)2＋(b －1)2＝r 2，(a －3)2＋(b －4)2＝r 2，解方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3，r 2＝5.所以经过A ，B ，C 三点的圆的标准方程为(x －1)2＋(y －3)2＝5．将D 点坐标代入圆的标准方程的左边，得(－1－1)2＋(2－3)2＝5，所以点D 在圆上， 故A ，B ，C ，D 四点在同一个圆上．。
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【推荐】2020年北师大版高中数学必修二（全册）同步练习汇总一、选择题1．给出以下说法：①圆台的上底面缩小为一点时(下底面不变), 圆台就变成了圆锥；②球面就是球；③过空间四点总能作一个球．其中正确说法的个数是() A．0B．1C．2 D．32．将一个等腰梯形绕着它较长的底边所在的直线旋转一周, 所得几何体由下面哪些简单几何体构成()A．一个圆台和两个圆锥B．两个圆台和一个圆锥C．两个圆柱和一个圆锥D．一个圆柱和两个圆锥3．下图是由哪个平面图形旋转得到的()4．以下几何体中符合球的结构特征的是()A．足球B．篮球C．乒乓球D．铅球5．如图所示的几何体由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面, 下底面圆心为顶点的圆锥而得到的．现用一个竖直的平面去截这个几何体, 则所截得的图形可能是()A．(1)(2) B．(1)(3)C．(1)(4) D．(1)(5)二、填空题6．直角三角形围绕其斜边所在的直线旋转得到的旋转体由________组成．7．给出下列四个命题：①夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体；②圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台；③通过圆台侧面上一点, 有无数条母线．其中正确命题的序号是________．8．圆台两底面半径分别是2 cm和5 cm, 母线长是310 cm, 则它的轴截面的面积是______．三、解答题9．如图, 将曲边图形ABCDE绕AE所在的直线旋转一周, 由此形成的几何体是由哪些简单的几何体构成的？其中CD∥AE, 曲边DE为四分之一圆周且圆心在AE上．10．如图所示的四个几何体中, 哪些是圆柱与圆锥, 哪些不是, 并指出圆柱与圆锥的结构名称．答案1. 解析：选B根据圆锥和圆台的形状之间的联系可知①正确；球面是曲面, 球是球体的简称, 是实心的几何体, 故②不正确；当空间四点在同一条直线上时, 过这四点不能作球, 故③不正确．2. 解析：选D把等腰梯形分割成两个直角三角形和一个矩形、由旋转体的定义可知所得几何体．3. 解析：选A图中给出的组合体是一个圆台上接一个圆锥, 因此平面图形应由一个直角三角形和一个直角梯形构成, 并且上面应是直角三角形, 下面应是直角梯形．4. 解析：选D因为球包括球面及球体内部(即实心)．而足球、篮球、乒乓球都是中空的, 可视为球面, 铅球是球体, 符合球的结构特征．5. 解析：选D轴截面为(1), 平行于圆锥轴截面的截面是(5)．6. 解析：所得旋转体如图, 是由两个圆锥组成的．答案：两个圆锥7. 解析：①错误, 没有说明这两个平行截面的位置关系, 当这两个平行截面与底面平行时正确, 其他情况则结论是错误的, 如图(1)．②正确, 如图(2)．③错误, 通过圆台侧面上一点, 只有一条母线, 如图(3)．答案：②8. 解析：画出轴截面, 如图, 过A作AM⊥BC于M, 则BM＝5－2＝3(cm),AM＝AB2－BM2＝9(cm),∴S四边形ABCD＝(4＋10)×92＝63(cm2)．答案：63 cm29. 解：将直线段AB, BC, CD及曲线段DE分别绕AE所在的直线旋转, 如下图中的左图所示, 它们分别旋转得圆锥、圆台、圆柱以及半球．10. 解：②是圆锥, 圆面AOB是圆锥的底面, SO是圆锥的高．SA, SB是圆锥的母线．③是圆柱, 圆面A′O′B′和圆面AOB分别为上、下底面．O′O为圆柱的高, A′A 与B′B为圆柱的母线．①不是圆柱, ④不是圆锥．一、选择题1．用一个平面去截一个三棱锥, 截面形状是()A．四边形B．三角形C．三角形或四边形D．不可能为四边形2．若正棱锥的底面边长和侧棱长相等, 则该棱锥一定不是() A．三棱锥B．四棱锥C．五棱锥D．六棱锥3．在四棱锥的四个侧面中, 直角三角形最多可有()A．1个B．2个C．3个D．4个4．观察图中四个几何体, 其中判断正确的是()A．(1)是棱台B．(2)是圆台C．(3)是棱锥D．(4)不是棱柱5．有一个正三棱锥和一个正四棱锥, 它们所有的棱长都相等, 把这个正三棱锥的一个侧面重合在正四棱锥的一个侧面上, 则所得到的这个组合体是()A．底面为平行四边形的四棱柱B．五棱锥C．无平行平面的六面体D．斜三棱柱二、填空题6．在正方体上任意选择四个顶点, 它们可能是如下各种几何形体的四个顶点, 这些几何形体是________(写出所有正确结论的编号)．①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面是等腰直角三角形, 有一个面是等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．7．下列四个命题：(1)棱柱的两底面是全等的正多边形；(2)有一个侧面是矩形的棱柱是直棱柱；(3)有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱；(4)四棱柱的四条体对角线两两相等, 则该四棱柱为直四棱柱．其中正确的序号是________．8．用铁丝作一个三角形, 在三个顶点分别固定一根筷子, 把三根筷子的另一端也可用铁丝连成一个三角形, 从而获得一个几何模型, 如果筷子长度相等, 那么这个几何体可能是____________．三、解答题9．指出如图所示图形是由哪些简单几何体构成．10．画一个三棱台, 再把它分成：(1)一个三棱柱和另一个多面体；(2)三个三棱锥, 并用字母表示．答案1. 解析：选C如果截面截三棱锥的三条棱, 则截面形状为三角形(如图①), 如果截面截三棱锥的四条棱则截面为四边形(如图②)．2. 解析：选D解答本题要看所给的四种棱锥中能否使所有的棱长都相等．3. 解析：选D如图所示, 在长方体ABCD-A1B1C1D1中, 取四棱锥A1-ABCD, 则此四棱锥的四个侧面都是直角三角形．4. 解析：选C图(1)不是由棱锥截来的, 所以(1)不是棱台；图(2)上下两个面不平行, 所以(2)不是圆台；图(4)前后两个面平行, 其他面是平行四边形, 且每相邻两个四边形的公共边平行, 所以(4)是棱柱；很明显(3)是棱锥．5. 解析：选D如图, 正三棱锥A-BEF和正四棱锥B-CDEF的一个侧面重合后, 面BCD 和面AEF平行, 其余各面都是四边形, 故该组合体是斜三棱柱．6. 解析：如图所示, ①显然可能；②不可能；③如四面体A′AB′D′满足条件；④如四面体A′BC′D满足条件；⑤如四面体A′ABC满足条件．答案：①③④⑤7. 解析：(1)棱柱的两底面全等, 但不一定是正多边形；(2), (3)都不能保证侧棱与底面垂直；(4)易知对角面是长方形, 侧棱与底面垂直, 正确．答案：(4)8. 解析：在该模型中已知一面为三角形, 则根据筷子的位置情况, 判断即可．答案：三棱柱或三棱台9. 解：分割原图, 使它们每一部分都是简单几何体．(1)是一个三棱柱和一个四棱柱组成的几何体．(2)是一个圆锥和一个四棱柱组合而成的几何体．10. 解：画三棱台一定要利用三棱锥．(1)如图①所示, 三棱柱是棱柱A′B′C′-AB″C″.(2)如图②所示, 三个三棱锥分别是A′-ABC, B′-A′BC, C′-A′B′C.一、选择题1．下列说法中正确的个数是()①相等的角在直观图中对应的角仍然相等②相等的线段在直观图中对应的线段仍然相等③平行的线段在直观图中对应的线段仍然平行④线段的中点在直观图中仍然是线段的中点A．1B．2C．3 D．42．利用斜二测画法画边长为1 cm的正方形的直观图, 正确的是如图所示中的()3．已知一个正方形的直观图是一个平行四边形, 其中有一边长为4, 则此正方形的面积是()A．16B．64 C．16或64D．都不对4．如图, 直观图所表示(A′C′∥O′y′, B′C′∥O′x′)的平面图形是()A．正三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．直角三角形5．一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形, 则原平面四边形的面积等于()A.24a2 B.433a2C.34a2D．22a2二、填空题5．如图所示, 为一个水平放置的正方形ABCO, 它在直角坐标系xOy中, 点B的坐标为(2,2), 则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中, 顶点B′到x′轴的距离为________．6．水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示, 已知A′C′＝3, B′C′＝2, 则AB 边上的中线的实际长度为________．8．如图所示是水平放置的△ABC在直角坐标系中的直观图, 其中D是AC的中点, 原△ACB中, ∠ACB≠30°, 则原图形中与线段BD的长相等的线段有________条．三、解答题9．画出一个正三棱台的直观图(尺寸：上、下底面边长分别为1 cm、2 cm, 高为2 cm)．10.用斜二测画法得到一水平放置的三角形为直角三角形ABC, AC＝1, ∠ABC＝30°, 如图所示, 试求原图的面积．答案1. 解析：选B只有③④正确．2. 解析：选D正方形的直观图应是平行四边形, 且相邻两边的边长之比为2∶1.3. 解析：选C 当其中在x ′轴上的边长为4时, 正方形面积为16；当其中在y ′轴上的边长为4时, 正方形面积为64.4. 解析：选D 由A ′C ′∥O ′y ′, B ′C ′∥O ′x ′, ∠A ′C ′B ′＝45°知对应的平面图形为直角三角形．5. 解析：选D由题意知, 平行四边形的直观图为对应在直角坐标系下的图形为：∴平行四边形的面积为S ′＝2×12×a ×22a ＝22a 2.6. 解析：在直观图中, A ′B ′C ′O ′是有一个角为45°且长边为2, 短边为1的平行四边形, ∴B ′到x ′轴的距离为22. 答案：227. 解析：由于直观图中, ∠A ′C ′B ′＝45°, 则在原图形中∠ACB ＝90°, AC ＝3, BC ＝4,则斜边AB＝5, 故斜边AB上的中线长为2.5.答案：2.58. 解析：先按照斜二测画法把直观图还原为真正的平面图形, 然后根据平面图形的几何性质找与线段BD长度相等的线段, 把△ABC还原后为直角三角形, 则D为斜边AC的中点, ∴AD＝DC＝BD.答案：29. 解：(1)画轴, 以底面△ABC的垂心O为原点, OC所在直线为y轴, 平行于AB的直线为x轴, 建立平面直角坐标系,以上底面△A′B′C′的垂心O′与O的连线为z轴, 建立空间坐标系．(2)画下底面, 在xOy平面上画△ABC的直观图, 在y轴上量取OC＝33cm, OD＝36cm.过D作AB∥x轴, 且AB＝2 cm, 以D为中点, 连接AC、BC, 则△ABC为下底面三角形的直观图．(3)画上底面, 在z轴上截取OO′＝2 cm, 过O′作x′轴∥x轴, y′轴∥y轴, 在y′轴上量取O′C′＝36cm, O′D′＝312cm, 过D′作A′B′∥x′轴, A′B′＝1 cm, 且以D′为中点, 则△A′B′C′为上底面三角形的直观图．(4)连线成图, 连接AA′, BB′, CC′, 并擦去辅助线, 则三棱台ABC－A′B′C′, 即为所要画的三棱台的直观图(如图)．10. 解：如图(1)所示, 作AD⊥BC于D, 在BD上取一点E使DE＝AD, 由AC＝1, 可知BC＝2, AD＝32, AE＝62,由斜二测画法(如图(2))可知B ′C ′＝BC ＝2, A ′E ′＝2AE ＝6,∴S △A ′B ′C ′＝12B ′C ′·A ′E ′＝12×2×6＝ 6.(1) (2)一、选择题1．已知某空间几何体的三视图如图所示, 则此几何体为( )A．圆台B．四棱锥C．四棱柱D．四棱台2．(湖南高考)已知正方体的棱长为1, 其俯视图是一个面积为1的正方形, 侧视图是一个面积为2的矩形, 则该正方体的正视图的面积等于()A.32B．1C.2＋12 D. 23．三棱柱ABC-A1B1C1, 如下图所示, 以BCC1B1的前面为正前方画出的三视图, 正确的是()4．(福建高考)一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等, 那么这个几何体不可以是( )A ．球B ．三棱锥C ．正方体D ．圆柱5．一个几何体的三视图如图所示, 其中主视图中△ABC 是边长为2的正三角形, 俯视图为正六边形, 那么该几何体的左视图的面积为( )A.32B.23 C ．12 D ．6 二、填空题6．如图所示, 为一个简单几何体的三视图, 它的上部是一个________, 下部是一个________．7．用小正方体搭成一个几何体, 如图是它的主视图和左视图, 搭成这个几何体的小正方体的个数最多为________个．8．如图(1), E、F分别为正方体的面ADD1A1和面BCC1B1的中心, 则四边形BED1F在该正方体的面上的射影可能是图(2)中的________(要求：把可能的图的序号都填上)．三、解答题9．如图所示, 图②是图①中实物的主视图和俯视图, 你认为正确吗？如果不正确, 请找出错误并改正, 然后画出它的左视图．10．某建筑由若干个面积相同的房间组成, 其三视图如下, 其中每一个小矩形表示一个房间．(1)该楼有几层？共有多少个房间？ (2)画出此楼的大致形状．答 案1. 解析：选D 由主视图和左视图可以判断一定为棱台或圆台, 又由俯视图可知其一定为棱台且为四棱台．2. 解析：选D 由已知, 正方体的正视图与侧视图都是长为2, 宽为1的矩形, 所以正视图的面积等于侧视图的面积, 为 2.3. 解析：选A 正面是BCC 1B 1的矩形, 故主视图为矩形, 左侧为△ABC , 所以左视图为三角形, 俯视图为两个有一条公共边的矩形, 公共边为CC 1在面ABB 1A 1内的投影．4. 解析：选D 球的三视图是三个相同的圆；当三棱锥为正三棱锥时其三视图可能是三个全等的三角形；正方体的三视图可能是三个相同的正方形；不论圆柱如何放置, 其三视图形状都不会完全相同．5. 解析：选A 由主视图、左视图、俯视图之间的关系可以判断该几何体是一个底面为正六边形的正六棱锥．∵主视图中△ABC 是边长为2的正三角形, 此三角形的高为3, ∴左视图的高为 3.俯视图中正六边形的边长为1, 其小正三角形的高为32, ∴左视图的底为32×2＝3, ∴左视图的面积为12×3×3＝32.6. 解析：由三视图可知该几何体图示为所以, 其上部是一个圆锥, 下部是一个圆柱．答案：圆锥圆柱7. 解析：其俯视图如图所示时为小正方体个数最多情况(其中小正方形内的数字表示小正方体的个数)共需7个小正方体.答案：78. 解析：根据平行投影的理论, 从正方体的上下、前后、左右三个角度分别投影, 从上往下投影, 选择②, 从前往后投影, 选择②, 从左往右投影, 选择③.答案：②③9. 解：图①是由两个长方体组合而成的, 主视图正确, 俯视图错误．俯视图应该画出不可见轮廓(用虚线表示), 左视图轮廓是一个矩形, 有一条可视的交线(用实线表示), 正确画法如图所示．10. 解：(1)由主视图和左视图可知, 该楼共3层, 由俯视图可知, 该楼一楼有5个房间, 结合主视图与左视图, 易知二楼和三楼分别有4个, 1个房间, 故共10个房间．(2)此楼的大致形状如图：一、选择题1．如果空间四点A, B, C, D不共面, 那么下列判断中正确的是()A．A, B, C, D四点中必有三点共线B．A, B, C, D四点中不存在三点共线C．直线AB与CD相交D．直线AB与CD平行2．若点A在直线b上, b在平面β内, 则A, b, β之间的关系可以记作()A．A∈b, b∈βB．A∈b, bβC．A b, bβD．A b, b∈β3．如图, 平面α∩平面β＝l, 点A∈α, 点B∈α, 且点C∈β, 点C∉l.又AB∩l＝R, 设A, B, C三点确定的平面为γ, 则β∩γ是()A．直线AC B．直线BCC．直线CR D．直线AR4．平行六面体ABCD-A1B1C1D1中, 既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为() A．3 B．4 C．5 D．65．在四面体ABCD的棱AB, BC, CD, DA上分别取E, F, G, H四点, 如果EF与HG交于点M, 则()A．M一定在直线AC上B．M一定在直线BD上C．M可能在AC上, 也可能在BD上D．M不在AC上, 也不在BD上二、填空题6．空间四点A, B, C, D, 其中任何三点都不在同一直线上, 它们一共可以确定平面的个数为________．7．如图, 在这个正方体中, ①BM与ED平行；②CN与BM是异面直线；③CN与BE 是异面直线；④DN与BM是异面直线．以上四个命题中, 正确命题的序号是________．8．有下面几个说法：①如果一条线段的中点在一个平面内, 那么它的两个端点也在这个平面内；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对边分别平行的四边形是平行四边形；④四边形有三条边在同一平面内, 则第四条边也在这个平面内；⑤点A在平面α外, 点A和平面α内的任意一条直线都不共面．其中正确的序号是__________(把你认为正确的序号都填上)．三、解答题9．如图所示, AB∩α＝P, CD∩α＝P, A, D与B, C分别在平面α的两侧, AC∩α＝Q, BD∩α＝R.求证：P, Q, R三点共线．10．已知：a, b, c, d是两两相交且不共点的四条直线．求证：a, b, c, d共面．答案1. 解析：选B若A, B, C, D四点中有三点共线, 则A, B, C, D四点共面, 若AB与CD 相交(或平行), 则AB与CD共面, 即得A, B, C, D四点共面．2. 解析：选B∵点A在直线b上, ∴A∈b, 又∵直线b在平面β内, ∴bβ, ∴A∈b, bβ.3. 解析：选C∵C∈平面ABC, AB平面ABC, 而R∈AB,∴R∈平面ABC.而C∈β, lβ, R∈l, ∴R∈β,∴点C, 点R为两平面ABC与β的公共点, ∴β∩γ＝CR.4. 解析：选C如图, 与AB共面也与CC1共面的棱有CD, BC, BB1, AA1, C1D1, 共5条．5. 解析：选A因为E, F, G, H分别是四面体ABCD的棱AB, BC, CD, DA上的点, EF 与HG交于点M, 所以点M为平面ABC与平面ACD的公共点, 而两个平面的交线为AC, 所以M一定在直线AC上．6. 解析：四点共面时, 确定1个平面, 任何三点不共线, 四点不共面时, 确定4个平面．答案：1或47. 解析：观察图形可知①③错误, ②④正确．答案：②④8. 解析：①中线段可与平面α相交；②中的四边形可以是空间四边形；③中平行的对边能确定平面, 所以是平行四边形；④中三边在同一平面内, 可推知第四条边的两个端点也在这个平面内, 所以第四条边在这个平面内；⑤中点A与α内的任意直线都能确定一个平面．答案：③④9. 证明：∵AB∩α＝P, CD∩α＝P, ∴AB∩CD＝P.∴AB, CD可确定一个平面, 设为β.∵A∈AB, C∈CD, B∈AB, D∈CD,∴A∈β, C∈β, B∈β, D∈β.∴ACβ, BDβ, 平面α, β相交．∵AB∩α＝P, AC∩α＝Q, BD∩α＝R,∴P, Q, R三点是平面α与平面β的公共点．∴P, Q, R都在α与β的交线上, 故P, Q, R三点共线．10. 证明：①无三线共点情况, 如图所示,设a∩d＝M, b∩d＝N, c∩d＝P, a∩b＝Q, a∩c＝R, b∩c＝S.∵a∩d＝M, ∴a, d可确定一个平面α.∵N∈d, Q∈a, ∴N∈α, Q∈α.∴NQα, 即bα.同理cα.∴a, b, c, d共面．②有三线共点的情况, 如图所示,设b, c, d三线相交于点K, 与a分别交于N, P, M, 且K∉a,∵K∉a, ∴K与a确定一个平面, 设为β.∵N∈a, aβ, ∴N∈β.∴NKβ, 即bβ.同理, cβ, dβ.∴a, b, c, d共面．一、选择题1．若直线a∥b, b∩c＝A, 则a与c的位置关系是()A．异面B．相交C．平行D．异面或相交2．如图所示, 在三棱锥P-ABC的六条棱所在的直线中, 异面直线共有()A．2对B．3对C．4对D．6对3．如图所示, 在长方体木块AC1中, E, F分别是B1O和C1O的中点, 则长方体的各棱中与EF平行的有()A．3条B．4条C．5条D．6条4．已知E, F, G, H分别为空间四边形ABCD的各边AB, BC, CD, DA的中点, 若对角线BD＝2, AC＝4, 则EG2＋HF2的值是()A．5 B．10 C．12 D．不能确定5．异面直线a, b, 有aα, bβ且α∩β＝c, 则直线c与a, b的关系是()A．c与a, b都相交B．c与a, b都不相交C．c至多与a, b中的一条相交D．c至少与a, b中的一条相交二、填空题6．如图, 在正方体ABCD-A1B1C1D1中, BD和B1D1是正方形ABCD和A1B1C1D1的对角线,(1)∠DBC的两边与________的两边分别平行且方向相同；(2)∠DBC的两边与________的两边分别平行且方向相反．7．若a, b是异面直线, b, c是异面直线, 则直线a与直线c的位置关系是________．8．如图, 正方体ABCD-A1B1C1D1中, M, N分别是棱C1D1, C1C的中点．有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线②直线AM与BN是平行直线③直线BN与MB1是异面直线④直线AM 与DD 1是异面直线其中正确的结论为________(注：把你认为正确结论的序号都填上)． 三、解答题9．长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中, E , F 分别为棱AA 1, CC 1的中点．(1)求证：D 1E ∥BF ； (2)求证：∠B 1BF ＝∠D 1EA 1.10．如图, 设E , F , G , H 依次是空间四边形ABCD 的边AB , BC , CD , DA 上的点, 且AEAB ＝AH AD ＝λ, CF CB ＝CG CD＝μ.(1)当λ＝μ时, 求证：四边形EFGH 是平行四边形；(2)当λ≠μ时, 求证：①四边形EFGH 是梯形；②三条直线EF , HG , AC 交于一点．答案1. 解析：选D a与c不可能平行, 若a∥c, 又因为a∥b, 所以b∥c, 这与b∩c＝A矛盾, 而a与c异面、相交都有可能．2. 解析：选B据异面直线的定义可知共有3对．AP与BC, CP与AB, BP与AC.3. 解析：选B由于E、F分别是B1O、C1O的中点, 故EF∥B1C1, 因为和棱B1C1平行的棱还有3条：AD、BC、A1D1, 所以共有4条．4. 解析：选B如图所示, 由三角形中位线的性质可得EH 12BD, FG12BD,再根据公理4可得四边形EFGH是平行四边形, 那么所求的是平行四边形的对角线的平方和, 所以EG2＋HF2＝2×(12＋22)＝10.5. 解析：选D若c与a、b都不相交,∵c与a在α内, ∴a∥c.又c与b都在β内, ∴b∥c.由基本性质4, 可知a∥b, 与已知条件矛盾．如图, 只有以下三种情况．6. 解析：(1)B1D1∥BD, B1C1∥BC并且方向相同, 所以∠DBC的两边与∠D1B1C1的两边分别平行且方向相同；(2)B1D1∥BD, D1A1∥BC且方向相反, 所以∠DBC的两边与∠B1D1A1的两边分别平行且方向相反．答案：(1)∠D1B1C1(2)∠B1D1A17. 解析：如图, 可借助长方体理解,令a＝CC1, b＝A1B1, 则BC, AD, DD1均满足题目条件, 故直线a和直线c的位置关系是平行、相交或异面．答案：平行、相交或异面8. 解析：由异面直线的定义知③④正确．答案：③④9. 证明：(1)取BB1的中点M, 连接EM, C1M.在矩形ABB 1A 1中, 易得EM A 1B 1,∵A 1B 1C 1D 1, ∴EMC 1D 1,∴四边形EMC 1D 1为平行四边形, ∴D 1E ∥C 1M .在矩形BCC 1B 1中, 易得MBC 1F ,∴四边形BFC 1M 为平行四边形, ∴BF ∥C 1M , ∴D 1E ∥BF . (2)∵ED 1∥BF , BB 1∥EA 1,又∠B 1BF 与∠D 1EA 1的对应边方向相同, ∴∠B 1BF ＝∠D 1EA 1. 10. 证明：在△ABD 中,AE AB ＝AHAD＝λ, 故EH λBD .同理FGμBD .由公理4得EH ∥FG , 又可得FG ＝μλEH .(1)若λ＝μ, 则FG ＝EH , 故EFGH 是平行四边形． (2)①若λ≠μ, 则EH ≠FG , 故EFGH 是梯形． ②在平面EFGH 中EF 、HG 不平行, 必然相交． 设EF ∩HG ＝O , 则由O ∈EF , EF 平面ABC , 得O ∈平面ABC .同理有O ∈HG平面ACD .而平面ABC ∩平面ACD ＝AC , 所以O ∈AC , 即EF 、HG 、AC 交于点O .一、选择题1．已知b是平面α外的一条直线, 下列条件中, 可得出b∥α的是()A．b与α内的一条直线不相交B．b与α内的两条直线不相交C．b与α内的无数条直线不相交D．b与α内的所有直线不相交2．空间四边形ABCD中, E, F分别是AB和BC上的点, 若AE∶EB＝CF∶FB＝1∶3, 则对角线AC和平面DEF的关系是()A．平行B．相交C．在平面内D．平行或相交3．如图是正方体的平面展开图, 则在这个正方体中, 下列判断正确的是()A．平面BME∥平面ACNB．AF∥CNC．BM∥平面EFDD．BE与AN相交4．已知m, n表示两条直线, α, β, γ表示平面, 下列结论中正确的个数是()①若α∩γ＝m, β∩γ＝n, m∥n, 则α∥β；②若m, n相交且都在α, β外, 且m∥α, m∥β, n ∥α, n∥β, 则α∥β；③若m∥α, m∥β, 则α∥β；④若m∥α, n∥β, 且m∥n, 则α∥βA．1 B．2C．3 D．45．在正方体ABCD-A1B1C1D1中, M是棱A1D1上的动点, 则直线MD与平面A1ACC1的位置关系是()A．平行B．相交C．在平面内D．相交或平行二、填空题6．点E, F, G, H分别是空间四边形ABCD的边AB, BC, CD, DA的中点, 则空间四边形的六条棱中与平面EFGH平行的条数是________．7．三棱锥S-ABC中, G为△ABC的重心, E在棱SA上, 且AE＝2ES, 则EG与平面SBC 的关系为________．8．如图, 在正方体ABCD-A1B1C1D1中, E, F, G, H分别是棱CC1, C1D1, D1D, CD的中点, N是BC的中点, 点M在四边形EFGH及其内部运动, 则M满足________时, 有MN∥平面B1BDD1.三、解答题9．已知：△ABC中, ∠ACB＝90°, D, E分别为AC, AB的中点, 沿DE将△ADE折起, 使A到A′的位置, M是A′B的中点, 求证：ME∥平面A′CD.10．如图, 在正方体ABCD-A1B1C1D1中, S是B1D1的中点, E, F, G分别是BC, DC和SC 的中点．求证：(1)EG∥平面BDD1B1；(2)平面EFG∥平面BDD1B1.答案1. 解析：选D若b与α内的所有直线不相交, 即b与α无公共点, 故b∥α.2. 解析：选A如图所示,在平面ABC内,因为AE∶EB＝CF∶FB＝1∶3,所以AC∥EF.又因为AC 平面DEF, EF 平面DEF,所以AC∥平面DEF.3. 解析：选A作出如图所示的正方体．易知AN∥BM, AC∥EM, 且AN∩AC＝A, 所以平面ACN∥平面BEM.4. 解析：选A①仅满足mα, nβ, m∥n, 不能得出α∥β, 不正确；②设m, n确定平面为γ, 则有α∥γ, β∥γ, 从而α∥β, 正确；③④均不满足两个平面平行的条件, 故③④均不正确．5. 解析：选D当M与D1重合时, ∵DD1∥A1A, DD1面AA1C1C, AA1面AA1C1C, ∴MD∥面AA1C1C.当M不与D1重合时, DM与AA1相交, 也即DM与面AA1C1C相交．6. 解析：由线面平行的判定定理知：BD∥平面EFGH, AC∥平面EFGH. 答案：27. 解析：如图, 取BC中点F, 连SF.∵G为△ABC的重心,∴A, G, F共线且AG＝2GF.又∵AE＝2ES, ∴EG∥SF.又SF 平面SBC, EG平面SBC,∴EG∥平面SBC.答案：EG∥平面SBC8. 解析：∵HN∥BD, HF∥DD1, HN∩HF＝H, BD∩DD1＝D,∴平面NHF∥平面B1BDD1, 故线段FH上任意点M与N连接,有MN∥平面B1BDD1.答案：M∈线段FH9. 证明：如图所示, 取A′C的中点G, 连接MG, GD,∵M, G分别是A′B, A′C的中点, ∴MG 12BC,同理DE 12BC, ∴MG DE,∴四边形DEMG是平行四边形,∴ME∥DG.又ME 平面A′CD, DG平面A′CD,∴ME∥平面A′CD.10. 证明：(1)如图所示, 连接SB.∵E, G分别是BC, SC的中点,∴EG∥SB.又∵SB 平面BDD1B1, EG平面BDD1B1, ∴EG∥平面BDD1B1.(2)∵F, E分别是DC, BC的中点, ∴FE∥BD.又∵BD 平面BDD1B1, FE平面BDD1B1,∴FE∥平面BDD1B1.又EG∥平面BDD1B1, 且EG 平面EFG, EF 平面EFG, EF∩EG＝E, ∴平面EFG ∥平面BDD1B1.一、选择题1．设a, b是两条直线, α, β是两个平面, 若a∥α, aβ, α∩β＝b, 则α内与b相交的直线与a的位置关系是()A．平行B．相交C．异面D．平行或异面2．平面α∩平面β＝a, 平面β∩平面γ＝b, 平面γ∩平面α＝c, 若a∥b, 则c与a, b的位置关系是()A．c与a, b都异面B．c与a, b都相交C．c至少与a, b中的一条相交D．c与a, b都平行3．下列说法正确的个数为()①两平面平行, 夹在两平面间的平行线段相等；②两平面平行, 夹在两平面间的相等的线段平行；③如果一条直线和两个平行平面中的一个平行, 那么它和另一个平面也平行；④两平行直线被两平行平面截得的线段相等．A．1 B．2C．3 D．44．如图, P是△ABC所在平面外一点, 平面α∥平面ABC, α分别交线段P A, PB, PC于A′, B′, C′, 若P A′∶AA′＝2∶3, 则△A′B′C′与△ABC面积的比为()A．2∶5B．3∶8C．4∶9 D．4∶255．若不在同一直线上的三点A、B、C到平面α的距离相等, 且A∉α, 则()A．α∥平面ABCB．△ABC中至少有一边平行于αC．△ABC中至多有两边平行于αD．△ABC中只可能有一边与α相交二、填空题6．如图, 正方体ABCD-A1B1C1D1中, AB＝2, 点E为AD的中点, 点F在CD上．若EF ∥平面AB1C, 则线段EF的长度等于________．7．在棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中, M , N 分别是棱A 1B 1, B 1C 1的中点, P 是棱AD 上一点, AP ＝a3, 过P , M , N 的平面与棱CD 交于Q , 则PQ ＝________.8．如图所示, 直线a ∥平面α, 点A 在α另一侧, 点B , C , D ∈a .线段AB , AC , AD 分别交α于点E , F , G .若BD ＝4, CF ＝4, AF ＝5, 则EG ＝________.三、解答题9．如图, 棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧面BCC 1B 1是菱形, 设D 是A 1C 1上的点且A 1B ∥平面B 1CD , 求A 1D ∶DC 1的值．10．在底面是平行四边形的四棱锥P-ABCD中, 点E在PD上, 且PE∶ED＝2∶1, 如图, 在棱PC上是否存在一点F, 使BF∥平面AEC, 证明你的结论．答案1. 解析：选C a∥α, a与α内的直线没有公共点, 所以, a与α内的直线的位置关系是异面或平行, α内与b平行的直线与a平行, α内与b相交的直线与a异面．2. 解析：选D如图：∵a∥b, 且aγ, bγ, ∴a∥γ,∵aα且α∩γ＝c, ∴a∥c, ∴b∥c.3. 解析：选B 易知①④正确, ②不正确；③若α∥β、a β, 则a 与α平行, 故③不正确．4. 解析：选D 由题意知, △A ′B ′C ′∽△ABC , 从而S △A ′B ′C ′S △ABC＝⎝⎛⎭⎫P A ′P A 2＝⎝⎛⎭⎫252＝425. 5. 解析：选B 若三点在平面α的同侧, 则α∥平面ABC , 有三边平行于α.若一点在平面α的一侧, 另两点在平面α的另一侧, 则有两边与平面α相交, 有一边平行于α, 故 △ABC 中至少有一边平行于α.6. 解析：因为直线EF ∥平面AB 1C , EF平面ABCD , 且平面AB 1C ∩平面ABCD ＝AC ,所以EF ∥AC , 又因为E 是DA 的中点, 所以F 是DC 的中点, 由中位线定理可得：EF ＝12AC ,又因为在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中, AB ＝2, 所以AC ＝22, 所以EF ＝ 2.答案： 27. 解析：∵MN ∥平面AC , PQ ＝平面PMN ∩平面AC , ∴MN ∥PQ , 易知DP ＝DQ ＝2a 3, 故PQ ＝PD 2＋DQ 2＝2DP ＝22a3.答案：22a 38. 解析：A ∉a , 则点A 与直线a 确定一个平面, 即平面ABD . 因为a ∥α, 且α∩平面ABD ＝EG , 所以a ∥EG , 即BD ∥EG .所以AF AC ＝AE AB , 又EG BD ＝AE AB , 所以AF AC ＝EG BD.于是EG ＝AF ·BD AC ＝5×45＋4＝209.答案：2099. 解：设BC 1交B 1C 于点E , 连接DE ,则DE 是平面A 1BC 1与平面B 1CD 的交线． 因为A 1B ∥平面B 1CD , 且A 1B平面A 1BC 1,所以A 1B ∥DE . 又E 是BC 1的中点,所以D 为A 1C 1的中点, 即A 1D ∶DC 1＝1. 10. 解：当F 为PC 的中点时, BF ∥平面AEC . 证明如下：如图, 取PE 的中点M , 连接MF 、MB ,。