九年级数学总复习圆时与圆有关的概念及性质
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命题点一 垂径定理及其运用——命题角度1 求弦长
典例1
(2016莆田,15改编)如图,CD为☉O的弦,直径AB为4,AB⊥CD于点E,∠A=30°,则 CD的长为 .
思路
解题方法
圆中“铁三角”
在圆中,弦的一半、过该弦端点的半径和圆心到该弦的垂线段可谓是圆中的
“铁三角”,它们构成了以半径为斜边的直角三角形,这种密切的关系是解决圆
解题方法
巧用方程思想
进行圆中有关弦、弦心距和半径的计算时,如果这三者的大小相互制约,除了需
要运用垂径定理和勾股定理外,还应注意方程思想的运用,通过设元,再由勾股定
理列方程解之.
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命题点一 垂径定理及其运用——命题角度2 求半径
典例2
变式训练1
(2017新疆建设兵团,9)如图,☉O的半径OD垂直于弦AB,垂足为点C,连接AO并延 长交☉O于点E,连接BE,CE.若AB=8,CD=2,则△BCE的面积为
中有关弦、弦心距和半径的计算问题的关键.
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命题点一 垂径定理及其运用——命题角度2 求半径
典例2
变式训练1
(2017湖南长沙,15)如图,AB为☉O的直径,弦CD⊥AB于点E,已知CD=6,EB=1,则 ☉O的半径为 5 .
思路
连接OC,得直角三角形OCE.设☉O的半径为r,则OE=r-1.根据垂径定理,得CE=3, 由勾股定理,可得关于r的方程,解之即可.
A.30° B.29° C.28° D.20°
思路
根据“同弧所对圆周角等于圆心角的一半”可知∠A=2∠BFC=40°,从而可得等腰 三角形ABC的底角∠ABC=70°.又EF垂直平分AB,所以DA=DB,所以 ∠ABD=∠A=40°,故可求得∠DBC的度数.
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命题点二圆周角定理及其推论——
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考点三 圆周角定理及其推论
1.圆周角定义:顶点在 圆上 ,两边都与圆相交的角叫做圆周角.常见图形: 2.圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 一半 . 推论:(1)同弧(或等弧)所对的圆周角 相等 . (2)半圆(或直径)所对的圆周角是 直角 ;90°的圆周角所对的弦是 直径 ,所对 的弧是 半圆 .
考点点拨
在同圆或等圆中,两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距,如果其中有一组量 相等,那么它们所对应的其余各组量也分别相等.
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考点二 垂径定理及其推论
1.垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,且平分弦所对的 两条弧 . 2.推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
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考点一 与圆有关的概念
7.圆心角、弧、弦和弦心距的关系 (1)定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的 弧 相等,所对的 弦 也相等. (2)推论:①在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角 相等 ,所对的 弦 相等 ; ②在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角 相等 ,所对的优弧和 劣弧分别 相等 .
命题角度1 运用圆周角与圆心角关系求角的度数
典例3
典例4
变式训练2
A.92° B.108° C.112° D.124°
解析
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命题点二 圆周角定理及其推论——
命题角度2 运用直径所对圆周角是直角来求角的度数
考点点拨 在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等.
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考点四 与圆有关的多边形
1.圆内接多边形:如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上,这个多边形叫做这个 圆的内接多边形,这个圆叫做这个多边形的外接圆. 2.圆内接四边形性质:圆内接四边形对角 互补 ,每个外角等于与它相邻的内角的 对角,简称:外角等于它的内对角.
A.12
B.15
C.16
D.18
解析
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命题点二 圆周角定理及其推论——
命题角度1 运用圆周角与圆心角关系求角的度数
典例3
典例4
变式训练2
(2017湖北黄冈,6)已知,如图,在☉O中,OA⊥BC,∠AOB=70°,则∠ADC的度数为
A.30° B.35° C.45°
D.70°
思路
解题方法
考点点拨 如果一条直线满足如下五个结论中的任意两个,那么其他三个结论一定成立:①经过圆 心;②垂直于弦;③平分弦(被平分的弦不能是直径);④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所 对的劣弧.例如: (i)弦的垂直平分线经过 圆心 ,并且平分弦所对的 两条弧 ; (ii)平分弦所对的一条弧的直径 垂直于 弦,并且平分弦所对的 另一条弧 .
命题角度1 运用圆周角与圆心角关系求角的度数
典例3
典例4
Байду номын сангаас
变式训练2
易错考点
以弦换弧常致错 由于一个圆周角所对应的弧和弦都是唯一的,因此,在运用同弧(或等弧)所对圆 周角相等时,常常以弦换弧,错误地以为“同弦或等弦”所对圆周角相等.注意一条 弦所对的圆周角有相等或互补两种情形.
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命题点二 圆周角定理及其推论——
找等弧求角度
在圆中求角的度数时,常常需要运用圆周角定理,利用同弧或等弧所对的圆周角
相等,且等于圆心角的一半进行角的转换.而在求弧相等时要注意垂径定理中“平
分弧”的运用.
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命题点二 圆周角定理及其推论——
命题角度1 运用圆周角与圆心角关系求角的度数
典例3
典例4
变式训练2
(2017云南,14)如图,B,C是☉A上的两点,AB的垂直平分线与☉A交于E,F两点,与线 段AC交于D点.若∠BFC=20°,则∠DBC=
考点一 与圆有关的概念
1.圆的性质:圆是 轴对称 图形,任意一条 直径 所在直线都是它的对称轴;圆又是 中 心对称 图形,它的对称中心是 圆心 . 2.确定圆的条件:不在同一条直线上的 三个 点确定一个圆. 3.圆心角:顶点在圆心的角叫做圆心角. 4.弦:连接圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆心的弦叫做直径. 5.弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,直径两端点之间的弧叫做半圆,大于半圆的弧叫做优 弧,小于半圆的弧叫做劣弧.弧的度数等于它所对的圆心角的度数.半圆所对的圆心角等于 180 . 6.弦心距*:圆心到弦的垂线段的长度叫做这条弦的弦心距.在同圆或等圆中,如果弦相等,那 么弦心距也 相等 ;弦越大,弦心距越 小 ;直径的弦心距等于 0 .
命题点一 垂径定理及其运用——命题角度1 求弦长
典例1
(2016莆田,15改编)如图,CD为☉O的弦,直径AB为4,AB⊥CD于点E,∠A=30°,则 CD的长为 .
思路
解题方法
圆中“铁三角”
在圆中,弦的一半、过该弦端点的半径和圆心到该弦的垂线段可谓是圆中的
“铁三角”,它们构成了以半径为斜边的直角三角形,这种密切的关系是解决圆
解题方法
巧用方程思想
进行圆中有关弦、弦心距和半径的计算时,如果这三者的大小相互制约,除了需
要运用垂径定理和勾股定理外,还应注意方程思想的运用,通过设元,再由勾股定
理列方程解之.
第7页/共25页
命题点一 垂径定理及其运用——命题角度2 求半径
典例2
变式训练1
(2017新疆建设兵团,9)如图,☉O的半径OD垂直于弦AB,垂足为点C,连接AO并延 长交☉O于点E,连接BE,CE.若AB=8,CD=2,则△BCE的面积为
中有关弦、弦心距和半径的计算问题的关键.
第6页/共25页
命题点一 垂径定理及其运用——命题角度2 求半径
典例2
变式训练1
(2017湖南长沙,15)如图,AB为☉O的直径,弦CD⊥AB于点E,已知CD=6,EB=1,则 ☉O的半径为 5 .
思路
连接OC,得直角三角形OCE.设☉O的半径为r,则OE=r-1.根据垂径定理,得CE=3, 由勾股定理,可得关于r的方程,解之即可.
A.30° B.29° C.28° D.20°
思路
根据“同弧所对圆周角等于圆心角的一半”可知∠A=2∠BFC=40°,从而可得等腰 三角形ABC的底角∠ABC=70°.又EF垂直平分AB,所以DA=DB,所以 ∠ABD=∠A=40°,故可求得∠DBC的度数.
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命题点二圆周角定理及其推论——
第3页/共25页
考点三 圆周角定理及其推论
1.圆周角定义:顶点在 圆上 ,两边都与圆相交的角叫做圆周角.常见图形: 2.圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 一半 . 推论:(1)同弧(或等弧)所对的圆周角 相等 . (2)半圆(或直径)所对的圆周角是 直角 ;90°的圆周角所对的弦是 直径 ,所对 的弧是 半圆 .
考点点拨
在同圆或等圆中,两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距,如果其中有一组量 相等,那么它们所对应的其余各组量也分别相等.
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考点二 垂径定理及其推论
1.垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,且平分弦所对的 两条弧 . 2.推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
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考点一 与圆有关的概念
7.圆心角、弧、弦和弦心距的关系 (1)定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的 弧 相等,所对的 弦 也相等. (2)推论:①在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角 相等 ,所对的 弦 相等 ; ②在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角 相等 ,所对的优弧和 劣弧分别 相等 .
命题角度1 运用圆周角与圆心角关系求角的度数
典例3
典例4
变式训练2
A.92° B.108° C.112° D.124°
解析
第12页/共25页
命题点二 圆周角定理及其推论——
命题角度2 运用直径所对圆周角是直角来求角的度数
考点点拨 在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等.
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考点四 与圆有关的多边形
1.圆内接多边形:如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上,这个多边形叫做这个 圆的内接多边形,这个圆叫做这个多边形的外接圆. 2.圆内接四边形性质:圆内接四边形对角 互补 ,每个外角等于与它相邻的内角的 对角,简称:外角等于它的内对角.
A.12
B.15
C.16
D.18
解析
第8页/共25页
命题点二 圆周角定理及其推论——
命题角度1 运用圆周角与圆心角关系求角的度数
典例3
典例4
变式训练2
(2017湖北黄冈,6)已知,如图,在☉O中,OA⊥BC,∠AOB=70°,则∠ADC的度数为
A.30° B.35° C.45°
D.70°
思路
解题方法
考点点拨 如果一条直线满足如下五个结论中的任意两个,那么其他三个结论一定成立:①经过圆 心;②垂直于弦;③平分弦(被平分的弦不能是直径);④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所 对的劣弧.例如: (i)弦的垂直平分线经过 圆心 ,并且平分弦所对的 两条弧 ; (ii)平分弦所对的一条弧的直径 垂直于 弦,并且平分弦所对的 另一条弧 .
命题角度1 运用圆周角与圆心角关系求角的度数
典例3
典例4
Байду номын сангаас
变式训练2
易错考点
以弦换弧常致错 由于一个圆周角所对应的弧和弦都是唯一的,因此,在运用同弧(或等弧)所对圆 周角相等时,常常以弦换弧,错误地以为“同弦或等弦”所对圆周角相等.注意一条 弦所对的圆周角有相等或互补两种情形.
第11页/共25页
命题点二 圆周角定理及其推论——
找等弧求角度
在圆中求角的度数时,常常需要运用圆周角定理,利用同弧或等弧所对的圆周角
相等,且等于圆心角的一半进行角的转换.而在求弧相等时要注意垂径定理中“平
分弧”的运用.
第9页/共25页
命题点二 圆周角定理及其推论——
命题角度1 运用圆周角与圆心角关系求角的度数
典例3
典例4
变式训练2
(2017云南,14)如图,B,C是☉A上的两点,AB的垂直平分线与☉A交于E,F两点,与线 段AC交于D点.若∠BFC=20°,则∠DBC=
考点一 与圆有关的概念
1.圆的性质:圆是 轴对称 图形,任意一条 直径 所在直线都是它的对称轴;圆又是 中 心对称 图形,它的对称中心是 圆心 . 2.确定圆的条件:不在同一条直线上的 三个 点确定一个圆. 3.圆心角:顶点在圆心的角叫做圆心角. 4.弦:连接圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆心的弦叫做直径. 5.弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,直径两端点之间的弧叫做半圆,大于半圆的弧叫做优 弧,小于半圆的弧叫做劣弧.弧的度数等于它所对的圆心角的度数.半圆所对的圆心角等于 180 . 6.弦心距*:圆心到弦的垂线段的长度叫做这条弦的弦心距.在同圆或等圆中,如果弦相等,那 么弦心距也 相等 ;弦越大,弦心距越 小 ;直径的弦心距等于 0 .