材料力学课后答案第1、2章 习题解答
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因此
a 50 106 Pa
( y) 109 y 50 106
h 2 h 2
A
则：
FN ( y)dA （ky a）dA (ky a)bdy 200 kN
A A
z
M z ( y ) ydA (ky a) ydA 3.33 kN m
FN 3
FN1 FN1
证杆1安全即可。
杆1的强度条件为
2F A
A 2A F 2 2
FN 2
故，桁架所能承受的最大载荷即许用 载荷为
F
2A 2
2013-5-27
19
解：1.求预紧力 由公式
l
l3 Fl1 Fl2 Fl3 4 F l1 l2 l l1 l2 l3 EA1 EA2 EA3 E d12 d2 2 d32
' 0.33
21
解：ຫໍສະໝຸດ Baidu.轴力分析 由
F E A
F EA
得
2.确定 F 及 值 根据节点A的平衡方程
F F
得
2013-5-27
x y
0, F sin FN 2 sin 30 FN 1 sin 30 0, FN 1 cos 30 FN 2 cos 30 F cos
2 2
断面收缩率
d d 1 A A1 2 2 100 0 65.19 0 100 0 0 0 0 2 A d 2
由于
2013-5-27
=26.4%5%
故属于塑性材料。
14
解：求外径D
面积A
应力σ
[σ]
解：1.问题分析
由于横截面上仅存在沿截面高度线
性分布的正应力，因此，在横截面上
不可能存在剪力与扭矩，且不可能存 在矢量沿坐标轴y的弯矩My,只存在轴 力FN和弯矩Mz。
2013-5-27
4
2.内力计算
方法一：以C点为原点建立坐标系 根据题意，设 ky a 代入数据得：
b
k 109 Pa / m
由胡克定理得
FN1l1 50 103 1.5 0.9375mm 杆1的伸长为 l1 9 6 E1 A1 200 10 400 10
杆2的缩短为
2013-5-27
FN 2l2 50 2 103 1.5 l2 1.875mm 9 6 E2 A2 10 10 8000 10
2013-5-27
26
r
解：由形心的计算公式
（a）
S yc = z A
A
ydA A
（b）
zc =
Sy A
b
A
zdA A
y=
c
A
ydA A
=
0 0
R
- R
r cos rd dr
rdrd
2R sin 3
y=
c
A
ydA A
=
0
n 1 = b b ayn dy n 2
7
第二章 轴向拉伸与压缩
解：(a)以截面A的形心为坐标点，沿杆
建立坐标轴x。在x处将杆切开，得到平 衡方程：
m-m
x
x
FN
轴力图
FN 2qa qx 0
FN 2qa qx q(2a x)
因此，在x=0 时
FN ,max 2qa
8
2013-5-27
2
1
(b)以截面C 的形心为坐标原 点，沿杆建立坐标轴x。
10
45
45
0
解：杆件横截面上的正应力为
FN 10 103 N 0 10MPa 6 2 A 1000 10 m
0
由于斜截面的方位角 45 得该斜截面上的正应力和切应力分别为
45 0 cos2 10 cos2 450 MPa 5MPa
d
4
2
s
FN1
d
F
N2
取
A2 b
2
d 20mm
FN 2
b
FN 2
84.1mm
取
2013-5-27
b 84.1mm
17
解：1.轴力分析
FN1
FN 3
设杆1轴向受拉，杆轴2向受压，杆1与
FN1
杆2的轴力分别为FN1和FN2，则根据节点 C 的平衡方程
《材料力学》 课后习题讲解
2013-5-27
1
第一章 绪论
1-1 图示圆截面杆，两端承受一对方向相反、力偶矩矢量沿轴
线且大小均为M 的力偶作用。试问在杆件的任一横截面m-m上 存在何种内力分量，并确定其大小。
Mx 此时在截面m-m上存在扭矩 Mx。
x
解：（1）将杆沿mm切开，并选择切开后的左段为研究 对象。设
材料能安全使用则
材料的许用应力为 杆件上的正应力为
=
s
ns
F 4F A D2 - d 2
由此得 取杆的外径为
2013-5-27
D
4 Fns
s
d 2 19.87m m
D 19.87mm
15
解：1. 轴力分析
FN1
FN2
设杆1轴向受拉，杆2轴向受压，其轴力分 别为 FN 1 和 FN 2 ，根据节点A的平衡方程：
Fx 0
Fy 0
得
2013-5-27
FN1 - FN2 cos45 0 FN2 sin45 - F 0
FN1 F
FN 2 2F
16
2.确定 d 与 b
F 由 = A 4F s 2 d
F
4 FN 1 20mm s
N1
A1
AB段 BC段 CD段 最大拉应力 最大压应力
2013-5-27
▕
FN1
FN1 2kN
FN 2
FN3
FN 2 1kN
FN 3 3kN
F拉 max A
t ,max
c ,max
3 103 N 60MPa 6 2 50 10 m
F压 max 2 103 N 40MPa 6 2 A 50 10 m
2013-5-27
20
2-21 图示硬铝试样，厚度δ=2mm，试验段板宽b=20mm，标距l=70mm。在 轴向拉F=6kN的作用下，测得试验段伸长Δl=0.15mm，板宽缩短Δb=0.014mm。 试计算硬铝的弹性模量E与泊松比μ。
解：轴向正应变
l 0.015 mm 100 % 0.214 % l 70 mm
tan 0.1925, 10.89 F FN 2 16 8 F N1 kN 21.2kN 2sin 2sin10.89
22
A
l1
解：1.计算杆件的轴向变形
l 2
由（2-15）可知：
FN1 F 50KN（拉力）
FN2 2F 50 2KN （压力）
l 2
2 FN 1 F 20kN 5
4 FN 2 F 40kN 5
则
FN 1 20 103 N 1 66.7MPa 6 2 A 300 10 m
FN 2 40 103 N 2 133.3MPa 6 2 A 300 10 m
因为 1 2 ，故两杆均符合强度要求。
FN l EA
和叠加原理，故有
由此得
F
E l
l l l 4 1 2 3 d 21 d 2 2 d 23
18.65kN
2.校核螺栓的硬度
根据题中数据知
max
F 4F 514MPa 2 Amin d 2
此值虽然超过 ，但在百分数在5%以内，故仍符合强度要求。
FN 2
Fx 0
y 0
FN 2 FN1 cos45o 0
FN1 sin 45o F 0
F
得
FN1 2F（拉力）
FN 2 F （压力）
FN3 F
18
同理，对节点B进行分析得
2013-5-27
2.确定F的许用值
由于 FN 1 FN 2 FN 3 ，因此只需保
h h 1 M z FN FN h 3.33 103 N 3.33KN 所以： 2 3 6
2013-5-27
6
解：微元直角改变量称为切应变。
A a
2
2
0
A b 2
2
2
-2
2013-5-27
A
h 2 h 2
y
2013-5-27
5
• 方法二
先计算分布力的合力，然后向形心平移，求出轴力 和弯矩
1 1 1 FN max bh bh max 40 103 100 103 100 106 N 200 KN 2 2 2
h h 而其作用点到坐标轴z轴的距离d 2 3
（1）
FN 2
FN1
l1
l 2
（1） FN1 2FN 2 2F
建立补充方程 从变形图中可以看出，变形几何关 系为
2l1 l2
FN 1l FN 2l 2 EA EA
（2）
利用胡克定律，得补充方程为
2013-5-27
25
强度计算
联立方程（1）和方程（2），得
FN 2
FN1
l1
轴向正应力
FN FN 6 103 N 100% 1.5 108 pa A b 2 10-3 2010-3 m 2
1.5 108 pa E 70Gpa 0.214%
得硬铝的弹性模量
由于横向正应变
得泊松比
2013-5-27
b - 0.014 mm -0.07% b 20 mm
45
2013-5-27
1 sin 2 10 sin 900 MPa 5MPa 2 2
11
0
解：由题图可近似确定所求各量：
弹性模量
b
E
220MPa 220 109 Pa 220GPa 0.10 0 0
s
屈服极限
强度极限 伸长率
s 240MPa
23
2.计算节点的位移 节点A水平位移
Ax l1 0.9375mm
45
↙
节点A铅直位移
l1 l2 Ay 3.589mm 0 0 tan 45 cos 45
2013-5-27
24
解：建立平衡方程 由平衡方程
M
得：
B
0
FN1a FN 2 2a F 2a
（2）根据右手法则及法线方向并由平衡方程可得:
得截面m-m上的扭矩
M
=0
Mx M 0
Mx M
2013-5-27
其真实方向与假设 的方向一致。
2
1-2 如图所示，在杆件的斜截面m-m上，任一点A处的应力p=120 MPa，其方位角θ=20°，试求该点处的正应力σ与切应力τ。
α
n
（2）当 350MPa时
p
…………
………
A
e
正应变 0.76 103 0.00076 相应的弹性应变 e 0.00046 塑性应变 p 0.0003
2013-5-27
13
解：根据题意及已知数据可知 延伸率
l0 l l 100% 1 0 100% 26.4% l l0
x
FN1
BC 段，利用截面法得平衡方程：
FN1 qx 0
FN1 qx
FN 2
x
AB 段承受载荷的反作用力因此
FN 2 qa 0
因此： FN，max qa
FN 2 qa
a
轴力图
2013-5-27
9
1
2 →x 3
A
B
C
D
（压缩） （拉伸） （拉伸）
规定x方向为正，分别在1、2、3处切开杆得：
解：应力p与斜截面m-m的法线的夹角 α=90 º º θ =10°， -60 故
p cos 120 cos10 118.2MPa
p sin 120 sin10 20.8MPa
2013-5-27
3
1-3 图示矩形截面杆，横截面上的正应力沿截面高度线性分布， 截面顶边各点处的正应力均为σmax=100 MPa，底边各点处的正 应力均为零。试问杆件横截面上存在何种内力分量，并确定其 大小。图中之C点为截面形心。
b 445MPa
l 100 % max 28 % l
0 50 由于 28，故该 材料属于塑性材料。 0 0
2013-5-27
12
解：（1）由图得
弹性模量
210 106 E 700GPa 3 0.3 10
比例极限 p 230MPa 屈服极限 0.2 325MPa
a 50 106 Pa
( y) 109 y 50 106
h 2 h 2
A
则：
FN ( y)dA （ky a）dA (ky a)bdy 200 kN
A A
z
M z ( y ) ydA (ky a) ydA 3.33 kN m
FN 3
FN1 FN1
证杆1安全即可。
杆1的强度条件为
2F A
A 2A F 2 2
FN 2
故，桁架所能承受的最大载荷即许用 载荷为
F
2A 2
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解：1.求预紧力 由公式
l
l3 Fl1 Fl2 Fl3 4 F l1 l2 l l1 l2 l3 EA1 EA2 EA3 E d12 d2 2 d32
' 0.33
21
解：ຫໍສະໝຸດ Baidu.轴力分析 由
F E A
F EA
得
2.确定 F 及 值 根据节点A的平衡方程
F F
得
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x y
0, F sin FN 2 sin 30 FN 1 sin 30 0, FN 1 cos 30 FN 2 cos 30 F cos
2 2
断面收缩率
d d 1 A A1 2 2 100 0 65.19 0 100 0 0 0 0 2 A d 2
由于
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=26.4%5%
故属于塑性材料。
14
解：求外径D
面积A
应力σ
[σ]
解：1.问题分析
由于横截面上仅存在沿截面高度线
性分布的正应力，因此，在横截面上
不可能存在剪力与扭矩，且不可能存 在矢量沿坐标轴y的弯矩My,只存在轴 力FN和弯矩Mz。
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4
2.内力计算
方法一：以C点为原点建立坐标系 根据题意，设 ky a 代入数据得：
b
k 109 Pa / m
由胡克定理得
FN1l1 50 103 1.5 0.9375mm 杆1的伸长为 l1 9 6 E1 A1 200 10 400 10
杆2的缩短为
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FN 2l2 50 2 103 1.5 l2 1.875mm 9 6 E2 A2 10 10 8000 10
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r
解：由形心的计算公式
（a）
S yc = z A
A
ydA A
（b）
zc =
Sy A
b
A
zdA A
y=
c
A
ydA A
=
0 0
R
- R
r cos rd dr
rdrd
2R sin 3
y=
c
A
ydA A
=
0
n 1 = b b ayn dy n 2
7
第二章 轴向拉伸与压缩
解：(a)以截面A的形心为坐标点，沿杆
建立坐标轴x。在x处将杆切开，得到平 衡方程：
m-m
x
x
FN
轴力图
FN 2qa qx 0
FN 2qa qx q(2a x)
因此，在x=0 时
FN ,max 2qa
8
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2
1
(b)以截面C 的形心为坐标原 点，沿杆建立坐标轴x。
10
45
45
0
解：杆件横截面上的正应力为
FN 10 103 N 0 10MPa 6 2 A 1000 10 m
0
由于斜截面的方位角 45 得该斜截面上的正应力和切应力分别为
45 0 cos2 10 cos2 450 MPa 5MPa
d
4
2
s
FN1
d
F
N2
取
A2 b
2
d 20mm
FN 2
b
FN 2
84.1mm
取
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b 84.1mm
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解：1.轴力分析
FN1
FN 3
设杆1轴向受拉，杆轴2向受压，杆1与
FN1
杆2的轴力分别为FN1和FN2，则根据节点 C 的平衡方程
《材料力学》 课后习题讲解
2013-5-27
1
第一章 绪论
1-1 图示圆截面杆，两端承受一对方向相反、力偶矩矢量沿轴
线且大小均为M 的力偶作用。试问在杆件的任一横截面m-m上 存在何种内力分量，并确定其大小。
Mx 此时在截面m-m上存在扭矩 Mx。
x
解：（1）将杆沿mm切开，并选择切开后的左段为研究 对象。设
材料能安全使用则
材料的许用应力为 杆件上的正应力为
=
s
ns
F 4F A D2 - d 2
由此得 取杆的外径为
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D
4 Fns
s
d 2 19.87m m
D 19.87mm
15
解：1. 轴力分析
FN1
FN2
设杆1轴向受拉，杆2轴向受压，其轴力分 别为 FN 1 和 FN 2 ，根据节点A的平衡方程：
Fx 0
Fy 0
得
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FN1 - FN2 cos45 0 FN2 sin45 - F 0
FN1 F
FN 2 2F
16
2.确定 d 与 b
F 由 = A 4F s 2 d
F
4 FN 1 20mm s
N1
A1
AB段 BC段 CD段 最大拉应力 最大压应力
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▕
FN1
FN1 2kN
FN 2
FN3
FN 2 1kN
FN 3 3kN
F拉 max A
t ,max
c ,max
3 103 N 60MPa 6 2 50 10 m
F压 max 2 103 N 40MPa 6 2 A 50 10 m
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2-21 图示硬铝试样，厚度δ=2mm，试验段板宽b=20mm，标距l=70mm。在 轴向拉F=6kN的作用下，测得试验段伸长Δl=0.15mm，板宽缩短Δb=0.014mm。 试计算硬铝的弹性模量E与泊松比μ。
解：轴向正应变
l 0.015 mm 100 % 0.214 % l 70 mm
tan 0.1925, 10.89 F FN 2 16 8 F N1 kN 21.2kN 2sin 2sin10.89
22
A
l1
解：1.计算杆件的轴向变形
l 2
由（2-15）可知：
FN1 F 50KN（拉力）
FN2 2F 50 2KN （压力）
l 2
2 FN 1 F 20kN 5
4 FN 2 F 40kN 5
则
FN 1 20 103 N 1 66.7MPa 6 2 A 300 10 m
FN 2 40 103 N 2 133.3MPa 6 2 A 300 10 m
因为 1 2 ，故两杆均符合强度要求。
FN l EA
和叠加原理，故有
由此得
F
E l
l l l 4 1 2 3 d 21 d 2 2 d 23
18.65kN
2.校核螺栓的硬度
根据题中数据知
max
F 4F 514MPa 2 Amin d 2
此值虽然超过 ，但在百分数在5%以内，故仍符合强度要求。
FN 2
Fx 0
y 0
FN 2 FN1 cos45o 0
FN1 sin 45o F 0
F
得
FN1 2F（拉力）
FN 2 F （压力）
FN3 F
18
同理，对节点B进行分析得
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2.确定F的许用值
由于 FN 1 FN 2 FN 3 ，因此只需保
h h 1 M z FN FN h 3.33 103 N 3.33KN 所以： 2 3 6
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6
解：微元直角改变量称为切应变。
A a
2
2
0
A b 2
2
2
-2
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A
h 2 h 2
y
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5
• 方法二
先计算分布力的合力，然后向形心平移，求出轴力 和弯矩
1 1 1 FN max bh bh max 40 103 100 103 100 106 N 200 KN 2 2 2
h h 而其作用点到坐标轴z轴的距离d 2 3
（1）
FN 2
FN1
l1
l 2
（1） FN1 2FN 2 2F
建立补充方程 从变形图中可以看出，变形几何关 系为
2l1 l2
FN 1l FN 2l 2 EA EA
（2）
利用胡克定律，得补充方程为
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强度计算
联立方程（1）和方程（2），得
FN 2
FN1
l1
轴向正应力
FN FN 6 103 N 100% 1.5 108 pa A b 2 10-3 2010-3 m 2
1.5 108 pa E 70Gpa 0.214%
得硬铝的弹性模量
由于横向正应变
得泊松比
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b - 0.014 mm -0.07% b 20 mm
45
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1 sin 2 10 sin 900 MPa 5MPa 2 2
11
0
解：由题图可近似确定所求各量：
弹性模量
b
E
220MPa 220 109 Pa 220GPa 0.10 0 0
s
屈服极限
强度极限 伸长率
s 240MPa
23
2.计算节点的位移 节点A水平位移
Ax l1 0.9375mm
45
↙
节点A铅直位移
l1 l2 Ay 3.589mm 0 0 tan 45 cos 45
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24
解：建立平衡方程 由平衡方程
M
得：
B
0
FN1a FN 2 2a F 2a
（2）根据右手法则及法线方向并由平衡方程可得:
得截面m-m上的扭矩
M
=0
Mx M 0
Mx M
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其真实方向与假设 的方向一致。
2
1-2 如图所示，在杆件的斜截面m-m上，任一点A处的应力p=120 MPa，其方位角θ=20°，试求该点处的正应力σ与切应力τ。
α
n
（2）当 350MPa时
p
…………
………
A
e
正应变 0.76 103 0.00076 相应的弹性应变 e 0.00046 塑性应变 p 0.0003
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13
解：根据题意及已知数据可知 延伸率
l0 l l 100% 1 0 100% 26.4% l l0
x
FN1
BC 段，利用截面法得平衡方程：
FN1 qx 0
FN1 qx
FN 2
x
AB 段承受载荷的反作用力因此
FN 2 qa 0
因此： FN，max qa
FN 2 qa
a
轴力图
2013-5-27
9
1
2 →x 3
A
B
C
D
（压缩） （拉伸） （拉伸）
规定x方向为正，分别在1、2、3处切开杆得：
解：应力p与斜截面m-m的法线的夹角 α=90 º º θ =10°， -60 故
p cos 120 cos10 118.2MPa
p sin 120 sin10 20.8MPa
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1-3 图示矩形截面杆，横截面上的正应力沿截面高度线性分布， 截面顶边各点处的正应力均为σmax=100 MPa，底边各点处的正 应力均为零。试问杆件横截面上存在何种内力分量，并确定其 大小。图中之C点为截面形心。
b 445MPa
l 100 % max 28 % l
0 50 由于 28，故该 材料属于塑性材料。 0 0
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解：（1）由图得
弹性模量
210 106 E 700GPa 3 0.3 10
比例极限 p 230MPa 屈服极限 0.2 325MPa