数学分析函数项级数课后习题答案
(NEW)华东师范大学数学系《数学分析》(第4版)(下册)笔记和课后习题(含考研真题)详解
目 录第12章 数项级数12.1 复习笔记12.2 课后习题详解12.3 名校考研真题详解第13章 函数列与函数项级数13.1 复习笔记13.2 课后习题详解13.3 名校考研真题详解第14章 幂级数14.1 复习笔记14.2 课后习题详解14.3 名校考研真题详解第15章 傅里叶级数15.1 复习笔记15.2 课后习题详解15.3 名校考研真题详解第16章 多元函数的极限与连续16.1 复习笔记16.2 课后习题详解16.3 名校考研真题详解第17章 多元函数微分学17.1 复习笔记17.2 课后习题详解17.3 名校考研真题详解第18章 隐函数定理及其应用18.1 复习笔记18.2 课后习题详解18.3 名校考研真题详解第19章 含参量积分19.1 复习笔记19.2 课后习题详解19.3 名校考研真题详解第20章 曲线积分20.1 复习笔记20.2 课后习题详解20.3 名校考研真题详解第21章 重积分21.1 复习笔记21.2 课后习题详解21.3 名校考研真题详解第22章 曲面积分22.1 复习笔记22.2 课后习题详解22.3 名校考研真题详解第23章 向量函数微分学23.1 复习笔记23.2 课后习题详解23.3 名校考研真题详解第12章 数项级数12.1 复习笔记一、级数的收敛性1．相关定义（1）给定一个数列{u n}，对它的各项依次用“＋”号连接起来的表达式u1＋u2＋…u n＋… （12-1）称为常数项无穷级数或数项级数（也常简称级数），其中u n称为数项级数（12-1）的通项或一般项．数项级数（12-1）也常写作或简单写作∑u n．（2）数项级数（12-1）的前n项之和，记为 （12-2）称它为数项级数（12-1）的第n个部分和，也简称部分和．（3）若数项级数（12-1）的部分和数列{S}收敛于S（即），则称数项级数（12-1）收敛，称S为数项级数（12-1）的和，记作或S＝∑u n．若{S n}是发散数列，则称数项级数（12-1）发散．2．重要定理。
数学分析课后习题答案--高教第二版(陈纪修)--10章
第十章 函数项级数习 题 10. 1 函数项级数的一致收敛性1. 讨论下列函数序列在指定区间上的一致收敛性。
⑴ S n (x ) = , (i) x nx −e ∈)1,0(， (ii) x ∈； ),1(+∞ ⑵ S n (x ) = x , x nx −e ∈),0(+∞；⑶ S n (x ) = sin nx , (i)x ∈),(+∞−∞， (ii) x ∈],[A A −()； 0>A ⑷ S n (x ) = arctan nx , (i)x ∈)1,0(， (ii) x ∈； ),1(+∞ ⑸ S n (x ) =221nx +, x ∈),(+∞−∞； ⑹ S n (x ) = nx (1 - x )n , x ∈]1,0[；⑺ S n (x ) =n x ln n x, (i) x ∈)1,0(， (ii) x ∈)；),1(+∞ ⑻ S n (x ) = nnx x +1, (i) x ∈)1,0(， (ii) x ∈；),1(+∞ ⑼ S n (x ) = (sin x )n , x ∈],0[π；⑽ S n (x ) = (sin x )n1, (i) x ∈[0,]π， (ii) x ∈],[（0>δ）；δπδ− ⑾ S n (x ) = nn x ⎟⎠⎞⎜⎝⎛+1, (i) x ∈),0(+∞， (ii)x ∈],0(A ()； 0>A ⑿ S n (x ) = ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+x n x n 1, (i) x ∈),0(+∞, (ii)[)0,,>+∞∈δδx 。
解 （1）(i) ，0)(=x S )()(sup ),()1,0(x S x S S S d n x n −=∈1= ─/→ 0（∞→n ）， 所以{}()n S x 在上非一致收敛。
(0,1) (ii) ，0)(=x S )()(sup ),(),1(x S x S S S d n x n −=+∞∈n e −=)(0∞→→n ，所以{}()n S x 在上一致收敛。
数学分析简明教程答案数分10_数项级数(-[1].-)
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n1
n2
把它们代入勒让德方程可得
整理后可得
n(n 1)anxn2 n(n 1)anxn 2 nanxn l(l 1) anxn 0,
n2
n2
n1
n0
2a1 0 an (n
2)(n 1) l(l (n 1)n
1)
an 2 ,n
2,3, 4,.
那么由以上递推公式可得方程的解为
y(
x)
lim
n
U
n
lim
n
Vn
u
v;
即
un vn un vn .
n1
n1
n1
D
4.设级数 un各项是正的, 把级数的项经过组合而得到的新级数Un, 即
n1
n1
U n1 ukn 1 ukn 2 ukn1 ,n 0,1, 2,,
其中k0 0, k0 k1 k2 k n k n1 .
n
2r cos xSn r k12 cos x sin kx
k 1
n
rk1 sin(k 1)x sin(k 1)x k 1
Sn r sin x r n1 sin(n 1)x r 2 Sn r n sin nx
1 r2 Sn r sin x r n1 sin(n 1)x r n2 sin nx,
(2)
n1
1 2n
1 3n
;
由于级数
n1
1 2n
,
n1
1 3n
都收敛故原级数收敛。
(3) n1 cos 2n1;
lim cos
n
2n1
1 0, 故原级数发散。
(4)
1
; 收敛。
n1 (3n 2)(3n 1)
数学分析课后习题答案
数学分析课后习题答案数学分析课后习题答案数学分析是大学数学的重要分支之一，它研究的是数学函数的性质、极限、连续性、可导性等等。
在学习数学分析的过程中，课后习题是巩固和拓展知识的重要途径。
然而，有时候我们会遇到一些难题，不知道如何下手。
为了帮助大家更好地学习数学分析，本文将提供一些常见习题的答案和解析。
一、极限与连续性1. 求极限：lim(x→0) (sinx/x)。
解析：利用极限的性质，我们可以得到lim(x→0) (sinx/x) = 1。
这是因为当x趋近于0时，sinx/x的值趋近于1。
2. 证明函数f(x) = x^2在点x = 3处连续。
解析：要证明函数f(x) = x^2在点x = 3处连续，我们需要证明lim(x→3) f(x) = f(3)。
根据函数的定义，f(3) = 3^2 = 9。
而lim(x→3) f(x) = lim(x→3) x^2 = 3^2 = 9。
因此，函数f(x) = x^2在点x = 3处连续。
二、导数与微分1. 求函数f(x) = x^3的导数。
解析：根据导数的定义，导数f'(x) = lim(h→0) (f(x+h) - f(x))/h。
对于函数f(x) = x^3，我们可以得到f'(x) = lim(h→0) ((x+h)^3 - x^3)/h。
化简后，我们得到f'(x) = 3x^2。
2. 求函数f(x) = sinx的微分。
解析：微分的定义是df(x) = f'(x)dx。
对于函数f(x) = sinx，我们已经知道它的导数f'(x) = cosx。
因此，函数f(x) = sinx的微分为df(x) = cosxdx。
三、积分与级数1. 求函数f(x) = x^2在区间[0,1]上的定积分。
解析：根据定积分的定义，函数f(x) = x^2在区间[0,1]上的定积分为∫[0,1] x^2 dx。
计算这个积分，我们得到∫[0,1] x^2 dx = [x^3/3]0^1 = 1/3。
5.函数项级数习题解答2010_903601917
4．设 u n ( x) ∈ C[ a, b], n ∈ N ，函数项级数
∞ ∞
∑ u n ( x) 在 (a, b) 内一致收敛，证明：
取 M = max{M 1 , M 2 ," , M N , L + 2} ，则 ∀n ∈ ， ∀x ∈ I 有
N
4
函数项级数习题解答
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f ( x) < M ，即 { f n ( x)} 在区间 I 上一致有界．
5
n =1
∞
1
1 n
n
= lim x +
n→∞
1 = x, n
所 以 x <1 时 级 数 收 敛 ， x >1 时 级 数 发 散 ， x =1 时 级 数 为
∞
∑ (1 + n ) n
n =1
∞
1
与
u n ≠ 0 知这两个级数发散，从而 f ( x) 的定义域为 ( −1,1) ． ∑ (−1) n (1 − n ) n ，由 nlim →∞
∞ ∞ 4 −2 ∞ 4e −2 S ( x) = ∑ n x 2 e −nx ≤ ∑ n e = ∑ 3/ 2 n2 n =1 n =1 n =1n
x ∈ [0,+∞)
4e −2 由 ∑ 3/ 2 n =1 n
∞
收敛可得函数 S ( x) =
n =1
∑ n x 2 e −nx
∞
在 [0,+∞ ) 上有界．
解：(1) 因为 ln(1 + 一致收敛．
数学分析函数项级数课后习题答案
§11.11.解：（1）由于，所以于是，，因此 ，，（2）由于对，有，又，故，于是，， ⑶ 解：，故在上不一致收敛。
⑷ 解：令，故得为唯一极大值，从而是最大值，，故一致收敛。
⑸ 解： 法一，直接有和函数的连续性，可知在上不一致收敛。
法二，取， 故不一致收敛。
()()x S x x S n n ==∞→lim ()()n xnx n x n x x S x S n 111122222≤++=-+=-()()n x S x S n Dx 1sup ≤-∈()()0sup lim =-∈∞→x S x S n Dx n ()x x S x S n =⇒)(()∞→n D x ∈()+∞∞-∈∀,x ()()x S x n xx f n n n ==+=∞→∞→01limlim 22()()nx n x x S x S n 21122≤+=-()()()0sup lim ,=-+∞∞-∈∞→x S x S n x n ()0)(122=⇒+=x S xn xx S n ()∞→n R x ∈01lim 0,sup 010nxnx n x e e --→∞<<=-=≠n S ()0,1()()0,nx n S x xe S x -=→=(),nx f x xe -=()()()001'10,''0nx f x e nx x f x n-=-=⇒=<0x ()10,111sup 00n nxn x xee n e n--∈+∞-==→()n S x ()()[]1,2sin ,0,0,\2nn x S x S x x πθππ⎧=⎪⎪=→=⎨⎪∈⎪⎩()n S x []0,π()11sin lim 0022n n n n n n x arc x s x →∞→∞=-=-=≠⑹ 解：，又，（7）由于，，而收敛，故由判别法知在上一致收敛。
（8）设，则是正项级数，且有 ， 即收敛，而对，有故由判别法知：在上一致收敛。
数学分析(下册)答案-张岩 李克俊-第十章数项级数
习题10-11、讨论下列级数的敛散性，如果收敛，求其和：+⨯+⨯+⨯571351131)1(； （2）22111111232323n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；∑∞=++1)2)(1(1)3(n n n n ； 1(4)n ∞=-+∑；∑∞=12)5(n n n； ∑∞=++-+11211243)6(n n n n 0(7)sin 6n n π∞=∑； ∑∞=11)8(n nn；解 （1）()()1111212122121n u n n n n ⎛⎫==- ⎪+--+⎝⎭，所以1111111111123352121221nn k k s u n n n =⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑，故()()11111lim lim 121212212n n n n s n n n ∞→∞→∞=⎛⎫==-= ⎪+-+⎝⎭∑。
故级数收敛，且其和为12。
（2）22221111111111112323232223331111111112311,11232231123n n n n n nnn n s ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++=+++++++⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭=+=-+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦--所以，原式11113lim 11122322n nn →∞⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎛⎫⎛⎫=-+-=+=⎢⎥⎨⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭。
故级数收敛，且其和为32。
（3）()()()()()1111122112n u n n n n n n n ⎡⎤==-⎢⎥+++++⎢⎥⎣⎦，所以()()()()()11111111212232334112111,2212n n k k s u n n n n n n =⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-+-++-⎢⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅+++⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎡⎤=-⎢⎥++⎢⎥⎣⎦∑()()111111lim (1)(2)22124n n n n n n n ∞→∞=⎡⎤=-=⎢⎥++++⎢⎥⎣⎦∑。
数学分析数项级数课后习题答案
A 一、不定积分部分1.设()f x 具有可微的反函数()1fx -。
设()F x 是()f x 的一个原函数。
试证明()()()111f x dx xf x F f x C ---⎡⎤=-+⎣⎦⎰。
证 在公式右端对x 求导，我们有()(){}()()()()()()()()1111111111.df x df x d xf x F f x C f x x f f x dx dx dx df x df x f x x x f x dx dx----------⎡⎤⎡⎤-+=+-⎣⎦⎣⎦=+-=2. 设()f x 定义在(),a b 上，a c b <<，且有()()()()()()()()1212;;lim ,lim x cx cF x f x a x c F x f x c x b F x A F x B -+→→''=<<=<<==，若()f x 在x c =处连续，试证明()f x 在(),a b 上存在原函数。
证 作函数()F x 如下：()()()12,,,,,.F x a x c F x A x c F x B A c x b <<⎧⎪==⎨⎪-+<<⎩则()F x 在x c =处连续，由()f x 在x c =处连续知，()()lim lim x cx cF x F x -+→→=，故根据导函数的特征，即知()()F c f c '=。
因而()F x 是()f x 在(),a b 上的原函数。
3. 试证明下列命题：（1）（函数方程）设()f x 是(),-∞+∞上的可微函数，且满足()()()2,f x y f x f y xy x y +=++∈(),-∞+∞，则()()20f x x f x '=+；（2）设()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可微，且()()0f a f b ==。
数学分析课后习题答案--高教第二版(陈纪修)--9章
习
∞
数项级数
数项级数的收敛性
∞
题
9.1
1. 讨论下列级数的收敛性。收敛的话，试求出级数之和。
1 ; ⑴ ∑ n =1 n ( n + 2) ∞ 1 ; ⑶ ∑ n =1 n ( n + 1)( n + 2) ∞ 1
⑵ ⑷
∑ 3n + 1 ; ∑⎜ ⎝2
n =1 ∞
2n
⑸ ⑺ ⑼
∑
n =1 ∞ n =1 ∞
2n − 1 ， 3n
;
co m
（3）当 x = 1 时显然级数收敛；当 x ≠ 1 时 ∑ x n (1 − x) = (1 − x) ∑ x n ，收敛
n =1
∞
∞
n =1
范围是 x ∈ (−1,1) ；所以当 x ∈ (− 1,1] 时级数收敛。 3. 求八进制无限循环小数 (36.0736073607 … )8 的值。 解 (36.0736073607 … )8
n→∞ n→∞
3. 证明： (1) lim ( x n + y n ) ≥ lim x n + lim y n ；
n→∞ n→∞ n→∞
(2) 若 lim x n 存在，则
n →∞
lim ( x n + y n )= lim x n + lim y n 。
n→∞
n→∞
n→∞
证 （1）记 lim x n = h1 ， lim y n = h2 ，则对任意给定的 ε > 0 ，存在正整
h − ε < yn < H + ε 。
min{( x − ε )( H + ε ), ( x + ε )( H + ε )} < x n y n < max{( x − ε )(h − ε ), ( x + ε )(h − ε )}，
数学分析 刘三阳 第十一讲习题解答!
习题11-11. 求下列函数项级数的收敛域.(1) 211nnn x x∞=+∑； (2) 121(3)n nnn x x ∞=++∑1()3x ≠-. 解 (1) 设 ),2,1( 1)(2 =+=n x x x u nnn ， 当 1<x 时，因为nn x x u <)( ，所以级数绝对收敛； 又因为)()1(x u xu n n =，令 xt 1=，得nn t t u )(<，所以，当1 <t 即1 >x 时，级数也绝对收敛. 当1 =x 时，有21)(=x u n ，故级数发散.综合以上结果，该级数的收敛域为{}(,)\1,1-∞+∞-.(2) 当0=x 时，有n n u 2)0(=，此时级数发散；当0≠x 时，有nn nn nn nnn x x x x x u 31131)32(312)(++=++=，故32>x 时级数发散. 所以，级数的收敛域为) ,32()32 ,(∞+⋃--∞.2. 讨论函数项级数1nnn x n a∞=+∑(0)a ≥的敛散域. 解 如果10≤≤a ，由于x an x an xnnn nnn n =+⋅=+∞→∞→1limlim，所以，当11<<-x 时，级数收敛；当1≥x 时，由111+≥+≥+n n x a n x n n n 可知级数发散； 当1-<x 时，由+∞→+nna n x)(∞→n 可知级数也发散；当1-=x 时，由Abel判别法可知级数∑∞=+-1)1(n nna n 收敛. 如果1>a ，从nn n n n n na ax a n x -∞=∞=+=+∑∑11)(11可知， 当a x <时，级数绝对收敛（Cauchy 判别法）；当a x ±=时，由)( 1∞→→+n an a nn知级数发散.习题11-2 1. 证明函数项级数1[1(1)](1)n xn x nx ∞=+-+∑在[1,)+∞上一致收敛.证明因为)( 1111]11)1(11[)( ),,1[1∞→→+-=+--+=+∞∈∀∑=n nx kx x k x s x nk n而且 )( 01111)()(∞→→+<+=-n nnx x s x s n ， 故结论成立.2. 设{}()n f x 在区间I 上一致收敛于()f x ,且对任意x I ∈有()f x A >.试问是否存在N ,使当n N >时,对任意x I ∈有()n f x A ≥? 解 否. 例如：arctyx n nx f n 1)(+=在),1(+∞内一致收敛于arctyx ，且4),,1(π>+∞∈∀arctyx x .但是对任何正整数N ，存在N N n >+=10和188)32(0>++=N N tyx π， 使488)32(211000ππ<++⋅++=+N N N N arctyx n n3. 设()n f x 在[,]a b 上收敛于()f x ,且()f x 在[,]a b 上连续.(1)若()n f x (1,2,)n = 在[,]a b 上单调递增. 证明()n f x 在[,]a b 上一致收敛于()f x ;(2) 证明()n f x 在[,]a b 上一致收敛于()f x 的充要条件是:对[,]a b 中任一收敛点列0()n x x n →→∞有0lim ()()n n n f x f x →∞=. 证明 (1) 由)(x f 的连续性可知，对任给的0>ε，存在分割b x x x a n =<<<= 10使得 ε<--)()(1i i x f x f ),2,1(n i = 又存在N ，使当N n >时，有 ε<-)()(i i n x f x f ),2,1( =i 从而可知，对任意的i i x x x x ≤≤-1:，有)()()(1i n n i n x f x f x f ≤≤-.注意到)(x f 是递增的，故有εε+<≤≤<---)()()()()(11i n i i i n x f x f x f x f x f .从而得到 )( )()(b x a x f x f n ≤≤<-ε.(2) 证明 必要性. 由一致收敛性可知，, ,01N ∃>∀ε当1N n >时，有 2)()(ε<-x f x f n )(b x a ≤≤又由)(x f 的连续性知，存在12N N >，当2N n >时，有 2)()(0ε<-x f x f n从而得到 ε<-+-≤-)()()()()()(00x f x f x f x f x f x f n n n n n n .充分性. 反证法.假定()n f x 不一致收敛于()f x ，则00>∃ε以及],[b a x k n ∈，),2,1( =k ，使得 0)()(ε≥-k k k n n n x f x f （*）且不妨假定0x x kn →，由()f x 的连续性及题设可知，K ∃，当K k >时，有2)()(00ε<-x f x f k n ， 2)()(00ε<-x f x f kkn n .从而得到 000)()()()()()(ε<-+-≤-kkkkkkn n n n n n x f x f x f x f x f x f ， 这与（*）式矛盾.习题11-31. 在定理11.3.1 (定理11.3.1')和定理11.3.3(定理11.3.3')中,若将区间改为开区间或无限区间,结论是否仍然成立?2. 在定理11.3.3 (定理11.3.3')的条件下,能否推出()nSx 1(())n n u x ∞=∑一致收敛?3. 在定理11.3.3 (定理11.3.3')中将条件(2)减弱为: ()n S x 1(())n n u x ∞=∑在[,]a b 中某一点处收敛.其结论不变,试给出证明.4. 利用定理11.3.1'证明下列函数项级数不一致收敛.(1) 0(1)nn x x ∞=-∑,[0,1]x ∈, (2) 220(1)nn x x ∞=+∑,[0,1]x ∈. 证明 (1) ∑∞====-=<<00)1()0( ,1)1()(,10n n s s x x x s x ，)(x s 在]1,0[上不连续，所以级数不一致收敛.(2) 220(1)nn x x ∞=+∑∑∞=+=022)1(1n n x x ， )(x s ⎩⎨⎧=≠+=0 ,00,12x x x 在0=x 不连续，所以级数不一致收敛.5. 设22()1n xS x n x=+(例11.2.3),试问{}()nS x '在(,)-∞+∞上是否一致收敛?是否有()lim ()lim ()n n n n S x S x →∞→∞''=,(,)x ∈-∞+∞? 证明 （1）⎩⎨⎧≠=='=+-='∞→0,00 ,1)(lim )( ,)1(1)(22222x x x s x x n x n x s n n n σ. 取n x n 21= 则2512)()(=='n n nx x s σ不趋于)( ,0∞→n ，故{}()nS x '在(,)-∞+∞上不一致收敛（2） 由于在0=x 处，1)(lim )( ,0))(lim(='=='∞→∞→x s x x s n n n n σ 所以，在0=x 处()lim()lim ()n n n n S x S x →∞→∞''=不成立. 6. 证明11()()n n s x x n∞==+∑在(1,1)-上是连续的.证明 因为)10( ),1,1(0<<∃-∈∀r r x ，使得],[0r r x -∈，所以只需证明该级数在],[r r -上是一致收敛的. 由于],[ ,)1()1()1(r r x r nx n x n n n n -∈+≤+≤+ 又注意到 N ∃，当N n >时有 10 ,)1(<<≤+q q r nn n . 根据M －判别法可知，该级数在],[r r -上一致收敛，这说明)(x s 在点0x x =处连续，由)1,1(0-∈x 的任意性可知)(x s 在(1,1)-上连续. 7. 证明10111lim ln(1)()n n n k x dx n c n x n k ∞→∞==⎡⎤=-+=⎢⎥+⎣⎦∑∑⎰( c 为欧拉常数). 证明 由于21)(n n x n x ≤+，故∑∞=+1)(n n x n x 在]1,0[上一致收敛.从而有CN n dx x n n dx n x n x dx n x n x Nn N Nn N N n N n =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=+-=+=+∑∑⎰⎰∑⎰∑=∞→=∞→=∞→∞=1110101101)1ln(1lim )11(lim )(lim )(（C 为欧拉常数）8. 证明31sin ()n nxs x n ∞==∑在(,)-∞+∞上连续可导. 证明 首先，由 ),( ,1sin 33+∞-∞∈≤x nn nx ，可知该级数在),(+∞-∞上一致收敛，从而)(x s 在),(+∞-∞上连续. 又因为),( ,cos )sin (23+∞-∞∈=x nnxn nx dx d ，而∑∞=12co s n n nx在),(+∞-∞上一致收敛. 根据逐项求导定理可知),( cos )(12+∞-∞∈='∑∞=x n nxx s n ，由于每一项2cos n nx 连续，所以)(x s '在),(+∞-∞上连续.习题11-41. 讨论下列函数序列在指定区间上的一致收敛性.（1） nx n xe x S -=)(， (0, )x ∈+∞；（2） ()nx n S x n xe α-=， [0,1]x ∈；（3） n xx S n sin )(=， （i ）(, )x αα∈-， （ii ）(, )x ∈-∞+∞；（4） 221)(x n nxx S n +=， （i ）[0, 1]x ∈， （ii ）[1, 2]x ∈.解 （1） =)(x s ),0( ,0lim )(lim +∞∈==∞→∞→x e xx s nx n n n . n nx x ex x s x s nx n 1)()(=<=-0→， 故)(x s n 一致收敛.（2）0)(lim)(==∞→x s x s n n ，令 0)1()(=-='-nx e n x s nx n α，得 nx 1=. 11)1()()(--=≤-e n ns x s x s n n α)( ,0∞→→n 当且仅当1<α时.所以，当1<α时，()nx n S x n xe α-=在]1,0[上一致收敛.（3） =)(x s 0sin lim )(lim==∞→∞→nxx s n n n . ∀(, )x ∈-∞+∞ （i ）当(, )x αα∈-时，00sin →<≤-nnx nxα，故)(x s n 在),(αα-一致收敛.（ii ）当(, )x ∈-∞+∞ 时，nx nxx s x s n sin0sin )()(=-=-对于21=ε，无论n 取多大，当2πn x =时，总有επ=>==-2112sin )()(x s x s n .故)(x s n 在),(+∞-∞不一致收敛.（4）01lim )(lim)(22=+==∞→∞→x n nx x s x s n n n ，211)()(22≤+=-xn nx x s x s n . （i ）当[0, 1]x ∈时，对于31=ε，无论n 取多大，当nx 1=时，总有ε=>=-3121)()(x s x s n ，故)(x s n 在]1 ,0[不一致收敛.（ii ）当]2 ,1[∈x 时，n nx x n nx x n nx x s x s n 111)()(2222≤=≤+=-，故)(x s n 在]2 ,1[一致收敛. 2. 讨论下列函数项级数的一致收敛性.（1）21nxn nx e∞-=∑， (0,)x ∈+∞;（2） ∑∞=+-12)1(n nnx ， (2, )x ∈-+∞; （3） 21nx n x e α∞-=∑， (0, )x ∈+∞;（4）∑∞=+1344sin n xn nx， (, )x ∈-∞+∞;（5） ∑∞=++-11)()1(n n nn n n x ， [0, 1]x ∈; （6）∑∞=+1sin sin n xn nx x ， [0, )x ∈+∞.解（1）（2）因为)2( 212)1()(1≥≤+-=-n x x u n n n n ，而∑∞=-1121n n 收敛，由M －判别法可知所论级数一致收敛.（3）（4）因为 343441sin )(nxn nxx u n ≤+=，而∑∞=1341n n收敛，由M －判别法所论可知 级数一致收敛.（5）设n x u n n )1()(-=，nnn n n x nn x x v )1()()(+=+=. 因为∑∑∞=∞=-=11)1()(n nn n n x u ， 当]1 ,0[∈x 时一致收敛，)(x v n 当x 固定时关于n 是单调的，且e nxn ≤+)1(，]1 ,0[∈∀x ，),2,1( =n .根据Able 判别法，所论级数一致收敛.（6）设xn x v nx x x u n n +==1)( ,sin sin )(.由于∑=+=nk x nx n kx 12sin 2sin 21sinsin ， 故 x nx n x kx x x U nk n 2sin 21sin2cos 2sin sin )(1+==∑=， 2)(≤x U n ，即级数∑∞=1)(n nx u的部分和序列)(x U n 有界.又) ,0[∞+∈∀x ，)(x v n 单调且)( ,011)(∞→→≤+=n nx n x v n ，根据Dirichlet判别法，所论级数一致收敛.3. 设2231()ln(1)n u x n x n =+，(1, 2, 3, )n = . 证明函数项级数1()n n u x ∞=∑在[0, 1]上一致收敛，并讨论其和函数在[0, 1]上的连续性、可积性与可微性.证明 因为0121)(2223>+⋅='xn x n n x u n ，所以对每个)( ,x u n n 在[0, 1]上单调增加，从而有 ,2,1 , )1ln(1)1()(23 =+=≤n n nu x u n n . 又知当 1≥t 时，有t t <+)1ln(2，所以232311)1ln(1)(n n n n n x u n =⋅<+≤.由M －判别法可知∑∞=1)(n nx u在[0, 1]上一致收敛.由于 )(x u n 在[0, 1]上连续，),2,1( =n ， 故和函数在[0, 1]上连续、可积.可微性讨论如下：由)1(2)(22x n n xx u n +='连续，且21)(n x u n≤'可知，∑∞='1)(n n x u 在[0, 1]上一致收敛.综上可得，和函数在[0, 1]上可微.习题11-51. 设幂级数0n n n a x ∞=∑的收敛半径为R <+∞,求下列幂级数的收敛半径.(1) 0knn n a x∞=∑; (2)knn n a x∞=∑;(3) 00()nnn a x x ∞=-∑,0(,)x R R ∈-; (4)n n kn ax ∞+=∑;(5)10(1)nn n n a x ∞+=+∑; (6)101n n n a x n ∞+=+∑. 2. 求下列幂级数的收敛域.(1) 1ln(1)(1)(1)1nn n n x n ∞=+-++∑; (2)()21n nn x x ∞=+;(3) 221(1)3n n n x n ∞=--∑; (4) 21()n n n n a b x n n ∞=+∑(0)a b >>. 解 (1) 因为 11)1l n (lim 1)1ln()1(lim =++=++-∞→∞→n n n nn n n n n , 所以1=R 当0=x 时，根据莱布尼兹判别法，级数∑∞=++-11)1ln()1(n nn n 收敛； 当2-=x 时，级数∑∞=++11)1ln(n n n 发散. 收敛域 ]0,2(-.. (2)(3)比值(4) 因为a nb n a n n n n =+∞→2lim ， 所以a R 1=. 当 a x 1-=时，∑∑∞=∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=+1221)1()1()(n n n n n n n n n a n b n x n b n a 收敛； 当a x 1=时，)1()(2121n nn n n n n a n b nx n b n a +=+∑∑∞=∞=发散. 收敛域 )1,1[a a -. 3. 证明性质11.5.1,并据此求11(1)n n n -∞=-∑的和. 习题11-51. (1)k R ; (2) ; (3) R ; (4) R ; (5) R ; (6)R .2. (1) (2,0]-; (2) 1(,1](,)3-∞-⋃-+∞; (3) (2,4)-; (4) )1,1[aa -. 3. ln 2.。
数学分析习题册答案
习 题 1-11．计算下列极限（1）lim x ax a a x x a→--, 0;a >解：原式lim[]x a a ax a a a x a x a x a→--=---=()|()|x a x a x a a x ==''- =1ln aa a a a a --⋅=(ln 1)a a a -（2）sin sin limsin()x a x ax a →--；解：原式sin sin lim x a x ax a→-=-(sin )'cos x a x a ===（3）2lim 2), 0;n n a →∞->解：原式2n =20[()']x x a ==2ln a = （4）1lim [(1)1]pn n n→∞+-，0;p >解：原式111(1)1lim ()|p p p x n n nx =→∞+-'===11p x px p -== （5）10100(1tan )(1sin )lim;sin x x x x→+-- 解：原式101000(1tan )1(1sin )1lim lim tan sin x x x x x x→→+---=--=990010(1)|10(1)|20t t t t ==+++=（6）1x →，,m n 为正整数；解：原式11lim1x x →=- 1111()'()'mx nx x x ===n m=2．设()f x 在0x 处二阶可导，计算00020()2()()lim h f x h f x f x h h→+-+-. 解：原式000()()lim 2h f x h f x h h →''+--=00000()()()()lim 2h f x h f x f x f x h h→''''+-+--=000000()()()()lim lim 22h h f x h f x f x h f x h h →→''''+---=+-00011()()()22f x f x f x ''''''=+=3．设0a >，()0f a >，()f a '存在，计算1ln ln ()lim[]()x a x a f x f a -→.解：1ln ln ()lim[]x a x a f x -→ln ()ln ()ln ln lim f x f a x ax a e --→=ln ()ln ()limln ln x a f x f a x a e→--=ln ()ln ()lim ln ln x af x f a x a x a x a e →----='()()f a a f a e=习 题 1-21.求下列极限 （1）lim x →+∞;解：原式lim 1)(1)]0x x x →+∞=+--= ，其中ξ在1x -与1x +之间（2）40cos(sin )cos lim sin x x xx→-;解：原式=40sin (sin )limx x x x ξ→--=30sin sin lim()()()x x x x x ξξξ→--⋅=16，其中ξ在x 与sin x 之间（3）lim x →+∞解：原式116611lim [(1)(1)]x x x x →+∞=+--56111lim (1)[(1)(1)]6x x x xξ-→+∞=⋅+⋅+--5611lim (1)33x ξ-→+∞=+= ，其中ξ在11x -与11x +之间 （4） 211lim (arctan arctan);1n n n n →+∞-+ 解：原式22111lim ()11n n n n ξ→+∞=-++ 1=，其中其中ξ在11n +与1n 之间 2．设()f x 在a 处可导，()0f a >，计算11()lim ()nn n n f a f a →∞⎡⎤+⎢⎥-⎣⎦.解：原式1111(ln ()ln ())lim (ln ()ln ())lim n n f a f a n f a f a n nn nn e e→∞+--+--→∞==11ln ()ln ()ln ()ln ()[lim lim ]11n n f a f a f a f a n n n ne→∞→∞+---+-=()()2()()()()f a f a f a f a f a f a ee'''+==习 题 1-31．求下列极限（1）0(1)1lim (1)1x x x λμ→+-+-,0;μ≠解：原式0limx x x λλμμ→==（2）0x →;解：02ln cos cos 2cos lim12x x x nxI x →-⋅⋅⋅=20ln cos ln cos 2ln cos 2lim x x x nx x→++⋅⋅⋅+=- 20cos 1cos 21cos 12lim x x x nx x →-+-+⋅⋅⋅+-=-22220(2)()lim x x x nx x →++⋅⋅⋅+=21ni i ==∑ （3）011lim)1xx x e →--（; 解：原式01lim (1)x x x e xx e →--=-201lim x x e x x →--=01lim 2x x e x→-=01lim 22x x x →== （4）112lim [(1)]xxx x x x →+∞+-;解：原式11ln(1)ln 2lim ()x x xxx x ee+→+∞=-21lim (ln(1)ln )x x x x x →+∞=+- 1lim ln(1)x x x→+∞=+1lim 1x xx→+∞== 2. 求下列极限 （1）2221cos ln cos limsin x x x x xe e x-→----;解：原式222201122lim12x x x x x →+==- （2）0ln()2sin lim sin(2tan 2)sin(tan 2)tan x x x e xx x x→++--;解：原式0ln(11)2sin lim sin(2tan 2)sin(tan 2)tan x x x e x x x x →++-+=--012sin limsin(2tan 2)sin(tan 2)tan x x x e xx x x→+-+=-- 02lim442x x x xx x x→++==--习 题 1-41．求下列极限（1）21lim (1sin )n n n n→∞-；解：原式2331111lim [1(())]3!n n n o n n n →∞=--+11lim((1))3!6n o →∞=+=（2）求33601lim sin x x e x x→--；解：原式3636336600()112lim lim 2x x x xx o x x e x x x →→++---=== （3）21lim[ln(1)]x x x x→∞-+；解：原式222111lim[(())]2x x x o x x x →∞=--+12=（4）21lim (1)x xx e x-→+∞+；解：原式211[ln(1)]2lim x x xx ee +--→∞==此题已换3．设()f x 在0x =处可导，(0)0f ≠，(0)0f '≠.若()(2)(0)af h bf h f +-在0h →时是比h 高阶的无穷小，试确定,a b 的值.解：因为 ()(0)(0)()f h f f h o h '=++，(2)(0)2(0)()f h f f h o h '=++ 所以00()(2)2(0)(1)(0)(2)(0)()0limlim h h af h bf h f a b f a b f o h h h→→'+-+-+++==从而 10a b +-= 20a b += 解得：2,1a b ==- 3．设()f x 在0x 处二阶可导，用泰勒公式求0002()2()()limh f x h f x f x h h →+-+-解：原式222200001000220''()''()()'()()2()()'()()2!2!limh f x f x f x f x h h o h f x f x f x h h o h h→+++-+-++=22201220''()()()lim h f x h o h o h h→++=0''()f x = 4. 设()f x 在0x =处可导，且20sin ()lim() 2.x x f x x x →+=求(0),(0)f f '和01()lim x f x x→+. 解 因为 2200sin ()sin ()2lim()lim x x x f x x xf x x x x→→+=+= []22()(0)(0)()limx x o x x f f x o x x→'++++=2220(1(0))(0)()lim x f x f x o x x →'+++=所以 1(0)0,(0)2f f '+==,即(0)1,(0)2f f '=-= 所以 01()l i mx f x x→+01(0)(0)()l i m x f f x o x x →'+++=02()l i m 2x x o x x →+==习 题 1-51. 计算下列极限(1) limn →∞解：原式limn →∞=2n ==(2)2212lim (1)nn n a a na a na+→∞+++⋅⋅⋅+> 解：原式21lim (1)nn n n na na n a ++→∞=--2lim (1)n n na n a →∞=--21a a=-2． 设lim n n a a →∞=，求 (1) 1222lim nn a a na n →∞+++ ；解：原式22lim (1)n n na n n →∞=--lim 212n n na a n →∞==- (2) 12lim 111n nna a a →∞+++ ，0,1,2,,.i a i n ≠=解：由于1211111lim lim n n n na a a n a a →∞→∞+++== ， 所以12lim 111n nna a a a →∞=+++3．设2lim()0n n n x x -→∞-=，求lim n n x n →∞和1lim n n n x x n-→∞-.解：因为2lim()0n n n x x -→∞-=，所以222lim()0n n n x x -→∞-=且2121lim()0n n n x x +-→∞-=从而有stolz 定理2222limlim 022n n n n n x x xn -→∞→∞-==，且212121lim lim 0212n n n n n x x x n ++-→∞→∞-==+ 所以lim 0n n x n →∞=，111lim lim lim 01nn n n n n n x x x x n n n n n --→∞→∞→∞--=-=-4．设110x q <<，其中01q <≤，并且1(1)n n n x x qx +=-， 证明：1lim n n nx q→∞=.证明：因110x q<<，所以211211(1)111(1)()24qx qx x x qx q q q+-=-≤=<，所以210x q <<，用数学归纳法易证，10n x q <<。
数学分析三习题答案
数学分析三习题答案数学分析三习题答案数学分析是数学的一门重要分支，它研究的是函数、极限、连续等概念和性质。
在学习数学分析的过程中，习题是非常重要的一部分，通过解答习题可以巩固和加深对知识的理解。
下面是一些数学分析三的习题答案，希望对大家的学习有所帮助。
1. 求极限lim (x→0) (sinx/x)解：这是一个常见的极限问题。
我们可以利用泰勒展开公式来求解。
根据泰勒展开公式，sinx的泰勒展开式为x-x^3/3!+x^5/5!-...，当x趋近于0时，我们只需要保留到x^3这一项，即sinx≈x。
所以，lim (x→0) (sinx/x) = lim (x→0) 1 = 1。
2. 求函数的导数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x解：要求函数f(x)的导数，我们可以使用导数的定义。
根据导数的定义，f'(x) = lim (h→0) (f(x+h) - f(x))/h。
将函数f(x)带入导数的定义中，得到f'(x) = lim (h→0) ((x+h)^3 - 3(x+h)^2 + 2(x+h) - (x^3 - 3x^2 + 2x))/h。
化简后可得f'(x) = lim(h→0) (3x^2 - 6xh + 3h^2 + 2h)/h。
继续化简，得到f'(x) = 3x^2 - 6x + 3。
3. 求不定积分∫(x^2 + 2x + 1) dx解：要求不定积分，我们可以使用不定积分的基本公式。
根据不定积分的基本公式，∫(x^n) dx = (x^(n+1))/(n+1) + C，其中C为常数。
将函数x^2 + 2x + 1带入不定积分的基本公式中，得到∫(x^2 + 2x + 1) dx = (x^3)/3 + x^2 + x + C。
4. 求定积分∫[0, 1] (x^2 + 2x + 1) dx解：要求定积分，我们可以使用定积分的基本公式。
根据定积分的基本公式，∫[a, b] f(x) dx = F(b) - F(a)，其中F(x)为f(x)的一个原函数。
数学分析选讲第六章___函数项级数与含参数广义积分
列条件之一成立: (1) 二重极限
( x , y) → ( a , b )
lim
f ( x, y ) ∈R* , lim
x → a , y ≠b
f ( x, y) , lim
y → b , x≠ a
f ( x, y) ∈R;
x→ a
(2)〖类似于 1°(1)的条件〗f (x, y) � ϕ (x ) ( y→b) , ∀y ∈F, lim f (x, y)存在. 4° lim lim a m n = lim lim a m n , 若下列三组条件之一满足:
a
∞ ∞ ∞ ∞
(绝对)收敛. 3°Dirichlet 判别法 ∑f n g n 在 E 上一致收敛, 若: (1) ∑f n 的部分和列〈S n 〉 在 E 上一致 有界; (2) ∀x∈E , 〈g n (x)〉单调且在 E 上 g n � 0.
∫a
∞
f (x , t )g (x , t )dt 在 E 上一致收敛, 若: (1) I (x , A ) (作为 E ×[a, ∞)上的二元函数)有界;
112
(2) ∀x ∈E, g (x , t)是 t 的单调函数且在 E 上 g(x, t ) � 0 (t→∞). 4°Abel 判别法 ∑ f n g n 在 E 上一致收敛, 若 : (1) ∑f n 在 E 上一致收敛; (2) ∀ x∈ E, 〈g n (x)〉单调且〈g n〉在 E 上一致有界.
m ,n m n n m
5° lim ∑ a m n = ∑ lim a m n , 若下列条件〖类似于 4°(1) (2)〗之一成立:
n m m n
(1) ∀m, n 有|a m n | < b m, ∑b m 收敛, ∀m lim a m n 存在;
微积分B(1)第12次习题课(函数项级数)答案
n =1
在区间 [0, +∞) 上有定义． ．
设 f ( x) = x e ， x ∈ [0, +∞) ，则
2 − nx
f ′( x) = e− nx (2 x − nx 2 ) = e− nx x(2 − nx)
2 令 f ′( x) = 0 ，得 x = 0, x = n ． 2 2 因为当 x ∈ (0, n ) 时， f ′( x) > 0 ，当 x ∈ ( , +∞) 时， f ′( x) < 0 ，所以 f ( x) 在 [0, +∞) 上的 n 4 最大值为 f ( 2 )= ，从而 n ne 4 1 0 ≤ nx e ≤ ⋅ ， x ∈ [0, +∞) ． e n n 因为级数 ∑ n 1 n 收敛，所以函数 S ( x) = ∑ nx e 在 [0, +∞) 上有界． 注：能用优势判别法判断一致收敛的级数的和函数均是有界函数． 7．证明：若函数列 { f ( x)} 在区间 I 上一致收敛于 f ( x) ，而每一个 f ( x) 在区间 I 上有界， 则函数列 { f ( x)} 在区间 I 上一致有界． 证：因为 { f ( x)} 在 I 上一致收敛于 f ( x) ，所以对于 ε = 1 ， ∃N ，当 n > N 时，对 ∀x ∈ I 有 f ( x) − f ( x) < 1 ． 取定 n > N ，有
2 2 n
1, x ≠ 0, x2 = S ( x) = ∑ 2 n n =1 (1 + x ) 0, x = 0
∞ ∞
2 2 n
在 x = 0 处不连续，
所以级数 ∑ (1 +xx ) 在区间 (−∞, +∞) 上非一致收敛． 1 2．设函数 f ( x) 在区间 (−∞, +∞) 内具有连续导数， g ( x) = n[ f ( x + ) − f ( x)] ．求证： n （1）*在任意闭区间 [a, b] 上， {g ( x)} 一致收敛于 f ′( x) ； （2） lim ∫ g ( x)dx = f (b) − f (a) ． 证： （1）根据拉格朗日中值定理， 1 θ ( x, n) g ( x) = n[ f ( x + ) − f ( x)] = f ′( x + ) (0 < θ ( x, n) < 1) ． n n 因为 f ′( x) 在区间 (−∞, +∞) 内连续，所以在有界闭区间 [a, b + 1] 上一致连续．即对于任 意 ε > 0 ，存在 δ > 0 ，使得当 x, y ∈ [a, b + 1] ，且 x − y < δ 时， f ′( x) − f ′( y ) < ε ． 1 取N >δ ，则当 n > N 时，对任意的 x ∈[a, b] ，取 y = x + θ ( xn, n) ，则有 x− y <δ ， 所以
华东师范大学数学系《数学分析》(第4版)(下册)课后习题-函数列与函数项级数(圣才出品)
是单调递减的．
又对任意
故
由狄利克雷判别法知
致收敛．
（3）因为|x|＞r≥1，所以
在
上一
当 r＞1 时，因级数
收敛，所以 在| x |＞r＞1 上一致收敛．
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当 r＝1 时，
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所以级数
上不一致收敛．
（4）因
时．
，而
上不一致收敛． 考虑区间[0，M]时，
所以 在[0，M]上一致收敛且
上内闭一致收敛．
（5）任意给定的
（i）
，考虑区间[－1，1]时，
由（ii）知 在[0，＋∞）
（ii）D＝（－∞，＋∞）时．
故 但由（i）知 在
所以
在（－∞，＋∞）上不一致收敛．
上内闭一致收敛．
2．证明：设
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若对每一个正整数 n 有
证明：必要性
总存在 的一个邻域 和 I 的一个内闭区间[a，b]，使得
所以
而 在[a，b]上一致收敛于 f，因此 在
上一致收敛于 f．
充分性
由已知
使得 在
上一致收敛于
f．从而
当
时
有
显然，当
取遍[a，b]上所有点时，
覆盖[a，b]．由有限覆盖定理，存在有限个区间覆盖[a，b]．不妨设
取
，则当 n＞N 时，
证明：不妨设存在 M≥0，对任意
有|g（x）|＜M．因
在 D 上一致收敛于
S（x），故对任意
存在 N＞0，当 n＞N 时，对任意
，均有
从而，对任意
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数学分析答案
数学分析答案第2，3，11章习题解答习题2-11.若自然数n不是完全平方数.证明n是无理数.证明反证法.假若npq(p,qN,且p,q互质)，于是由nq2p2可知,q2是p2的因子，从而得q21即p2n,这与假设矛盾.2.设a,b是两个不同实数.证明在a和b之间一定存在有理数.证明不妨设a0,所以存在正整数n,使得0<mm综上可得nann3.设某为无理数.证明存在无穷多个有理数pq(p,q为整数，q0)使得某pq1q2.证明反证法.假若只有有限个有理数满足不等式,即某令piqi<1qi2,(i1,2,3,m)pmin某ii1,2,3,,mqi取N:N1,且选取整数p,q(0qN),使得p111,某N2习题2-2（3）(1)n11(1)n1nN,（4）y|y某2,某(1,).n2答案：(1)上确界1,下确界0;(2)上确界e,下确界2;(3)上确界1,下确界-1；(4)上确界1,下确界0.2．设E某|某2,某Q，验证infE2.证某E,由某2得某22是E的一个下界.另一方面，设12也是E的下界，由有理数集在实数系中的稠密性，在(2,1)2区间中必有有理数某，则某2某E且某11不是E的下界.按下确界定义，22infE2.3．用定义证明上（下）确界的唯一性.证明设为数集E的上确界，即upE.按定义，某E有某.若也是E的上确界且.不妨设，则对0,某0E有某0()即某0,矛盾.下确界的唯一性类似可证.4．试证收敛数列必有上确界和下确界，且上下确界中至少有一个属于该数列.趋于的数列必有下确界，趋于的数列必有上确界.证法1设{某n}为收敛数列，则{某n}非空有界，由确界存在原理，存在up{某n},inf{某n}.若，则{某n}为常数数列，于是，,{某n}；若k}使某nk,某nk(k)，这与且{某n},{某n}，则存在两个子列{某nk},{某n{某n}收敛相矛盾.由此可得，与至少有一个属于{某n}.证法2设lim某na，若{某n}为常数列，则结论显然成立；若{某n}不是常数列，n不妨设某1a，对某1a2,N0，当nN0时，某nU(a,0)，而在邻域U(a,0)外，只有{某n}的有限多项.在这有限项中必存在{某n}的最大项或最小项，于是，{某n}的上下确界中至少有一个属于{某n}.若某n,则{某n}有下界，所以必有下确界；若某n，则{某n}有上界，所以必有上确界.5．证明：单调减少有下界的数列必有极限.证设数列{某n}单调减少且有下界，根据确界存在原理{某n}有下确界，记inf{某n}.由(1)某n(n1,2,)；(2)0,某N{某n}使某N.因为{某n}单调减少，所以当nN时，有某n某N.于是有0某n，故得lim某n.n习题2-31．用区间套定理证明：有下界的数集必有下确界.证设a是E的一个下界，b不是E的下界，则ab.令c11(ab)，若c1是E的下界，则取a1c1,b1b；2若c1不是E的下界，则取a1a,b1c1.令c21(a1b1)，若c2是E的下界，则取a2c2,b2b1；2若c2不是E的下界，则取a2a1,b2c2；……，按此方式继续作下去，得一区间套{[an,bn]}，且满足：an是E的下界，bn不是E的下界(n1,2,).由区间套定理[an,bn]n1,2,，且limanlimbn.nn下证infE：an某(1)某E都有某an(n1,2,)，而limn，即是E的下界.从而当n充分大以后，有bn.而bn不是E的下界不(2),由于limbn，n是E的下界，即是最大下界.2.设f(某)在[a,b]上无界.证明必存在某0[a,b],使得f(某)在某0的任意邻域内无界.证明由条件知，f(某)在[a,(ab)2]上或[(ab)2,b]上无界，记使f(某)在其上无界的区间为[a1,b1]；再二等分[a1,b1]，记使f(某)在其上无界的区间为[a2,b2]，……，继续作下去，得一区间套{[an,bn]}，满足f(某)在[an,bn](n1,2,)上无界.根据区间套定理，某0[an,bn]n1,2,，且limanlimbn某0.nn因为对任意的0，存在N，当nN时，有[an,bn](某0,某0)，从而可知f(某)在(某0,某0)上无界.3.设f(某),g(某)在[0,1]上满足f(0)0,f(1)0,若g(某)在[0,1]上连续,f(某)g(某)在[0,1]上单调递增.证明存在[0,1],使f()0.11,b11;若f()0,22abn1则记a20,b2.类似地,对已取得的[an,bn]二等分,若f(n)0，则记22abnabnabnan1n,bn1bn；若f(n)0，则记an1an,bn1n.按此方式继续222证明记a10,b11且二等分[0,1].若f()0，则记a2下去，得一区间套{[an,bn]}，其中f(an)0,f(bn)0.根据区间套定理可知，[an,bn],n1,2,3,且有limanlimbn.nn12因为g(某)在[0,1]上连续，所以g(an)g(),g(bn)g()(n).注意到g(an)f(an)g(an)f(bn)g(bn)g(bn)可得g()lim[f(an)g(an)]lim[f(bn)g(bn)]，nn再由f(an)g(an)f()g()f(bn)g(bn)可知g()f()g()g()，f()0.习题2-41.证明下列数列发散(1)某n(2)yn121n(1)n2n3nn2n1,n1,2,;(1)n1nn,n1,2,.证(1)因为某2n(2)因为y2n12n12n11,某2n10，(n)所以{某n}发散.24n124n3n1n11,y2n1,(n)所以{yn}发散.2n22n122．证明:单调数列收敛的充要条件是其存在一个收敛子列.证明必要性显然成立.充分性.不妨设数列某n单调增加且存在某nk某n，有lim某nka，k现证lim某na.因为lim某nka，所以K,当kK时有某nka.注意到nk某n单调增加且某na，取Nnk，则当nN时，有某n某N于是有某na 某nka.3.设极限lim(ainnbcon)存在,证明ab0.n某nk证明(1)假若a0,b0或a0,b0，显然题设极限不存在，矛盾.(2)假若a0,b0，设lim(ain某bcon)An令coaa2b2,inAab22ba2b2，由ni(，则有ain某bcona2b2in(n)从而得in(n)n2)ni(n)2ni1co(n1)可知co(n)0(n).又由in(2n2)2in(n)co(n)可知in(2n2)0(n).再由2(in2)n2][2ni2n)2(2ci2n(on1)2][可知co(2n2)0(n).此结果与等式in2(2n2)co2(2n2)1矛盾.4.设在某0的某个邻域内有g(某)f(某)h(某),且limg(某)limh(某)A.证明某某0某某0某某0limf某()A.证明因为某某limg(某)limh(某)A，根据海涅归结原理，{某n}:某n某0且某某某n某0，都有limg(某n)limh(某n)A.nn又因为g(某)f(某)h(，某)所以g(某n)f(某n)h(某n)n1,2,.某某0根据数列极限的夹逼准则limf(某n)A，从而limf(某)A.n5.设f(某)在某0的一个邻域(某0,某0)内有定义.若对任意满足下列条件的数列某n(某0,某0),某n某0明limf(某)A.某某0(n),0某n1某0某n某0都有limf(某n)A.证n证明反证法.假若limf(某)A，则00,0,某(某0,某0)使得某某0f(某)A0.取11,某1(某01,某01)使得f(某1)A0取2.设f(某),g(某)在有限开区间(a,b)内均一致连续.证明f(某)g(某)也在(a,b)内一致连续.若(a,b)换为无限区间,结论还成立吗证明易知f(某),g(某)在(a,b)有界，设f(某)M1,g(某)M2，则某,某(a,b)有f(某)g(某)f(某)g(某)g(某)f(某)f(某)f(某)g(某)g(某)M2f(某)f(某)M1g(某)g(某)由此可知，f(某)g(某)在(a,b)内一致连续.若(a,b)换为无限区间,结论不一定成立.例如f(某)g(某)某在[1,)一致连续，而f(某)g(某)某2在[1,)不一致连续.又如f(某)某,g(某)in某,某[a,).3.设f(某)在有限开区间(a,b)内连续.证明f(某)在(a,b)内一致连续的充要条件是:极限某alimf(某)和limf(某)均存在.某b证明必要性.由f(某)在(a,b)内一致连续可知，0，0，当某某,某,某(a,b)时，f(某)f(某).于是，对(a,b)中满足某a2,某a2的任意两点，可知某某某a某a，从而有f(某)f(某).根据柯西收敛准则，极限limf(某)存在.类似证明limf(某)存在.某a某bf(a),某a,充分性.作函数F(某)f(某),某(a,b),f(b),某b.显然，F(某)在[a,b]上连续，由康托定理F(某)在[a,b]上一致连续，当然在(a,b)内也一致连续.又因为F(某)f(某),某(a,b)，所以f(某)在(a,b)内一致连续.4.设f(某)在有限开区间(a,b)内一致连续.证明f(某)在(a,b)内有界.证明由3题直接可得.5.设f(某)在有限区间I上有定义,证明f(某)在I上一致连续的充要条件是f(某)把柯西列映射成柯西列,即对任何柯西列某nI,f(某n)也是柯西列.证明必要性.设f(某)在I上一致连续，则0,0，使得f(某)f(某),某某,某,某I.某n，某n)0，于是对上述，N,nN,某n,某n满足lim(某n设某nn)f(某n).从而有f(某n,某nI,某n某n充分性反证法.假若f(某)在I上不一致连续，于是00,某n1，n)f(某n)0.由致密性定理，某nk某n,某nk(k)；因为但f(某nk某nk0某n因而是k.数列某n1,某n1,某n2,某n2,某nk,某nk,收敛于，，故lim某nk 柯西列.但由k)f(某nk)0f(某n，可知1),f(某n2),f(某n2),,f(某nk),f(某nk)不是柯西列，与假设矛盾.f(某n1),f(某n习题11-11.求下列函数项级数的收敛域.(1)1某n1某n2n；(2)1(某).1(3某)n3n1某n(n1,2,)，2n某n解(1)设un(某)1某2nn当某1时，因为un(某)某，所以级数绝对收敛；又因为un()un(某)，令t得un(t)t，所以，当t1即某1时，级数也绝对收敛.当某1时，有un(某)n1某1，某1，故级数发散.综合以上结果，该级数的收敛域为(,)\\1,1.2n(2)当某0时，有un(0)2，此时级数发散；2n1)n2某3某3，故某2时级数发散.当某0时，有un(某)1313n某n1nn3某22所以，级数的收敛域为(,)(,).33nn(2.讨论函数项级数n1某nnan(a0)的敛散域.解如果0a1，由于limnn某nnna某lim1nannn某，某n1所以，当1某1时，级数收敛；当某1时，由可知级数发散；nn1n1na当某1时，由某n某nnna(n)可知级数也发散；当某1时，由Abel判别法可知级数(1)nnn1na收敛.如果a1，从某n1()可知，当某a时，级数绝对收敛nn1nan1nan1a某n（Cauchy判别法）；当某a时，由习题11-21.证明函数项级数n1annan1(n)知级数发散.某[1(n1)某](1n某)n在[1,)上一致收敛.证明因为某[1,),n(某)[k1111]11(n)1(k1)某1k某1n某而且n(某)(某)110(n)，故结论成立.1n某1n2.设fn(某)在区间I上一致收敛于f(某),且对任意某I有f(某)A.试问是否存在N,使当nN时,对任意某I有fn(某)A解否.例如：fn(某)narcty某在(1,)内一致收敛于arcty某，且n1某(1,),arcty某某0ty4.但是对任何正整数N，存在n0N1N和nN1(2N3)(2N3)1，使0arcty某0n01N28N848N83.设fn(某)在[a,b]上收敛于f(某),且f(某)在[a,b]上连续.(1)若fn(某)(n1,2,)在[a,b]上单调递增.证明fn(某)在[a,b]上一致收敛于f(某);(2)证明fn(某)在[a,b]上一致收敛于f(某)的充要条件是:对[a,b]中任一收敛点列某n某0(n)有limfn(某n)f(某0).n证明(1)由f(某)的连续性可知，对任给的0，存在分割a某0某1某nb使得f(某i)f(某i1)(i1,2,n)又存在N，使当nN时，有fn(某i)f(某i)(i1,2,)从而可知，对任意的某:某i1某某i，有fn(某i1)fn(某)fn(某i).注意到f(某)是递增的，故有fn(某i1)f(某i1)f(某)f(某i)fn(某i).从而得到fn(某)f(某)(a某b).(2)证明必要性.由一致收敛性可知，0,N1,当nN1时，有fn(某)f(某)2(a某b)又由f(某)的连续性知，存在N2N1，当nN2时，有f(某n)f(某0)2从而得到fn(某n)f(某0)fn(某n)f(某n)f(某n)f(某0).充分性.反证法.假定fn(某)不一致收敛于f(某)，则00以及某nk[a,b]，(k1,2,)，使得fnk(某nk)f(某nk)0（）且不妨假定某nk某0，由f(某)的连续性及题设可知，K，当kK时，有f(某nk)f(某0)02，fnk(某nk)f(某0)02.从而得到fnk(某nk)f(某nk)fnk(某nk)f(某0)f(某0)f(某nk)0，这与（）式矛盾.习题11-31.在定理11.3.1(定理11.3.1')和定理11.3.3(定理11.3.3')中,若将区间改为开区间或无限区间,结论是否仍然成立2.在定理11.3.3(定理11.3.3)的条件下,能否推出Sn(某)(un(某))一致收敛'n13.在定理11.3.3(定理11.3.3)中将条件(2)减弱为:Sn(某)(un(某))在[a,b]中某一点处收'n1敛.其结论不变,试给出证明.4.利用定理11.3.1'证明下列函数项级数不一致收敛.(1)(1某)某n0n,某[0,1],(2)(1某n0某22n),某[0,1].证明(1)0某1,(某)(1某)某1,(0)(1)0，(某)在[0,1]上不连续，nn0所以级数不一致收敛.(2)(1某n0某22n)某2(1某n012n)，1某2,某0在某0不连续，所以级数不一致收敛.(某)0,某05.设Sn(某)某1n某22(某)在(,)上是否一致收敛是否有(例11.2.3),试问Sn(limSn某)nn,某(,)limSn某()证明（1）(某)n1,某01,(某)lim(某).取某nn222n(1n某)2n0,某01n2某2(某n)(某n)则n12(某)在(,)上不一致收敛不趋于0,(n)，故Sn25nn(某)1（2）由于在某0处，(limn(某))0,(某)limn(某)limSn(某)不成立.所以，在某0处limSnnn。
数学分析习题课讲义解答
16.2 级数求和计算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
17 高维空间的点集与基本定理
54
18 多元函数的极限与连续
55
19 偏导数与全微分
56
பைடு நூலகம்
20 隐函数存在定理与隐函数求导
13 数项级数
46
14 函数项级数与幂级数
47
15 Fourier 级数
48
16 无穷级数的应用
49
16.1 积分计算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.5 参考题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5 连续函数
25
5.1 连续性的概念 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Mathematical analysis exercises class lectures Answer
数学分析习题课讲义 解答
Don’t give up, never give up.
目录
1 引论
1
1.1 几个常用的不等式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
数学分析第六章习题答案
数学分析第六章习题答案数学分析第六章习题答案数学分析是一门重要的数学学科，它以函数、极限和连续性为基础，研究数学对象的性质和变化规律。
第六章是数学分析课程中的重要章节，主要涉及级数和函数项级数的理论与应用。
本文将为读者提供第六章习题的详细解答，希望对大家的学习有所帮助。
1. 习题1：证明级数∑(n=1 to ∞) (1/n^2) 收敛。
解答：根据级数的判别法，我们可以使用比较判别法来证明该级数的收敛性。
比较判别法的核心思想是将给定级数与一个已知的收敛级数进行比较。
考虑级数∑(n=1 to ∞) (1/n^2) 和级数∑(n=1 to ∞) (1/n(n+1))，显然，对于任意n，都有1/n^2 ≤ 1/n(n+1)。
由于级数∑(n=1 to ∞) (1/n(n+1)) 是一个已知的收敛级数（可以使用比较判别法证明），所以根据比较判别法，原级数∑(n=1 to ∞) (1/n^2) 也是收敛的。
2. 习题2：证明函数项级数∑(n=1 to ∞) (x^n/n^2) 在区间(-1,1)上一致收敛。
解答：为证明函数项级数在区间(-1,1)上一致收敛，我们可以使用Weierstrass判别法。
该判别法要求级数的每一项函数都满足一致收敛的条件。
考虑函数项级数∑(n=1 to ∞) (x^n/n^2)，对于任意x∈(-1,1)，我们有|x^n/n^2| ≤ |x^n|，而级数∑(n=1 to ∞) (x^n) 是一个已知的收敛幂级数（当|x| < 1时），所以根据Weierstrass判别法，原函数项级数在区间(-1,1)上一致收敛。
3. 习题3：证明函数项级数∑(n=1 to ∞) (x^n/n) 在区间(-1,1)上不一致收敛。
解答：为证明函数项级数在区间(-1,1)上不一致收敛，我们可以使用Cauchy收敛准则。
该准则要求级数的部分和函数满足一致收敛的条件。
考虑函数项级数∑(n=1 to ∞) (x^n/n)，对于任意x∈(-1,1)，我们有|x^n/n| ≤ |x^n|，而级数∑(n=1 to ∞) (x^n) 是一个已知的发散幂级数（当|x| ≥ 1时），所以根据Cauchy收敛准则，原函数项级数在区间(-1,1)上不一致收敛。
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§11.11.解：（1）由于，所以于是，，因此 ，，（2）由于对，有，又，故，于是，， ⑶ 解：，故在上不一致收敛。
⑷ 解：令，故得为唯一极大值，从而是最大值，，故一致收敛。
⑸ 解： 法一，直接有和函数的连续性，可知在上不一致收敛。
法二，取， 故不一致收敛。
()()x S x x S n n ==∞→lim ()()n xnx n x n x x S x S n 111122222≤++=-+=-()()n x S x S n Dx 1sup ≤-∈()()0sup lim =-∈∞→x S x S n Dx n ()x x S x S n =⇒)(()∞→n D x ∈()+∞∞-∈∀,x ()()x S x n xx f n n n ==+=∞→∞→01limlim 22()()nx n x x S x S n 21122≤+=-()()()0sup lim ,=-+∞∞-∈∞→x S x S n x n ()0)(122=⇒+=x S xn xx S n ()∞→n R x ∈01lim 0,sup 010nxnx n x e e --→∞<<=-=≠n S ()0,1()()0,nx n S x xe S x -=→=(),nx f x xe -=()()()001'10,''0nx f x e nx x f x n-=-=⇒=<0x ()10,111sup 00n nxn x xee n e n--∈+∞-==→()n S x ()()[]1,2sin ,0,0,\2nn x S x S x x πθππ⎧=⎪⎪=→=⎨⎪∈⎪⎩()n S x []0,π()11sin lim 0022n n n n n n x arc x s x →∞→∞=-=-=≠⑹ 解：，又，（7）由于，，而收敛，故由判别法知在上一致收敛。
（8）设，则是正项级数，且有 ， 即收敛，而对，有故由判别法知：在上一致收敛。
（9）当时，有，且，因此级数收敛，由判别法知：在上一致收敛。
⑽ 解：记 ， 取，，故不一致收敛。
2.证明：由于，，即，，当时，有，()11n nx xx n x x S x e n n ⎛⎫⎛⎫=+=+→ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()22221ln 122x x x xx x n x n n n n n n n n S x eeeοο⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+⎢⎥ ⎪-++ ⎪ ⎪⎢⎥⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦===()()()()22221112221111sup sup sup 1sup 1x x x x x x x n n n n n n x x x n x x x x s x s x ee e e e e οοο⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪-+ ⎪⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎣⎦⎝⎭⎝⎭<<<<⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=-=-=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()22121sup 10,x x n n x x e e e n n ο⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭<⎡⎤⎢⎥-≤→→∞⎢⎥⎣⎦221n n x n ≤[]1,0∈x ∑∞=121n n M ∑∞=122n nx []1,0()!1-=n r M nn ∑∞=1n n M ()0!1!11→=-⋅=++n rrn n r M M nn n n ∑∞=1n n M []r r x ,-∈∀()()n nn M n r n x =-≤-!1!1M ()∑∞=-1!1n nn x []r r x ,-∈2≥x n n nxn2≤212lim =∞→n n n ∑∞=12n n n M ∑∞=1n n xn2≥x []0,1knn k S x ==∈1k x =()()0nnn n n k k S x S x +==-==→/0lim =∞→n n α0>n α0>∀ε+>∃N n N n >εαα<=n n故有，，即，，3.证明：因为在处连续，所以对，，当时，有，即，又对，当时，对一切，有，所以对，，当时，对一切，有所以在上一致收敛于0.4.（1）证明：由于，，且，即单调一致有界。
又收敛，即在上一致收敛，因而由阿贝尔判别法知：在上一致收敛，同时在上连续，从而在上亦连续，故（2）证明：由于，且，即单调一致有界。
又收敛，即在上一致收敛，因而由阿贝尔判别法知：在上一致收敛，同时在上连续，从而可知在上连续。
故5.证明：由于，而收敛，即在上一致连续，又易知在上连续，故在上连续。
又由()()ε<≤-n n a x f x f D x ∈()()x f x f n ⇒()∞→n D x ∈()x f 1=x 0>∀ε10<<∃δδ<-1x ()()ε<-1f x f ()ε<x f 0,0>∃>∀N εN x >[]δ-∈1,0x ()ε<-0nx x f 0>∀ε0>∃N N n >[]b a x ,∈()[]()[]()[]()εεδδδ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<⎭⎬⎫⎩⎨⎧<--∈-∈-∈x f x x f x x f x x f x n x n x n 1,11,11,0sup ,max sup ,sup max 0(){}nxx f []1,011≤x n [)+∞∈,0x ()x x n n 111≤+⎭⎬⎫⎩⎨⎧x n 1∑n a ∑n a [)+∞,0∑∞=1n x nna [)+∞,0x n n a [)+∞,0() ,2,1=n ∑∞=1n x nna [)+∞,0∑∑∑∞=∞=→∞=→==++11010lim lim n n n x nx n x n x a n a n a 1≤nx[]1,0∈x ()n nx x ≥+1{}n x []()1,0∈x ∑na∑na[]1,0∑∞=1n n nx a[]1,0nn x a []1,0() ,2,1=n ∑∞=1n n nx a[]1,0∑∑⎰⎰∑∞=∞=∞=+==1111011n nn nn n nn n a dx x a dx x a 111sin 22+≤+n n nx ∑∞=+1211n n ∑∞=+021sin n n nx()ππ2,1sin 2+n nx() ,2,1=n ()ππ2,()∑∞=+=021sin n n nx x f ()ππ2,于，而，可推出在上亦一致收敛，且在上连续，故，从而知：在上连续。
6. ⑴证明：因此. 在区间上而连续，，故在区间上一致有界，，在区间上一致有界。
在区间上，单调递增，且因为因此收敛，又，收敛，故一致收敛，故由Abel 判别法可知在区间上一致收敛，在区间上一致收敛，故在区间上连续。
（2）略7、证明：由，在上单调增加得，1cos 1sin 22+='⎪⎭⎫ ⎝⎛+n nx n n nx 11cos 22+≤+n n n nx n ∑∞=+021cos n n nx n ()ππ2,1cos 2+n nx n () ,2,1=n ()ππ2,()∑∑∞=∞=+='⎪⎭⎫ ⎝⎛+='02021cos 1sin n n n nx n n nx x f ()x f '()+∞∞-,111sin1sin 1sin 2sin cos costan222222cos cos sin 222n nn n j j n n n j j n n nxx x x x x xx x x-=====∏∏1211tan sin sin cos 2222n n n n j j x x x x -==∏11sin lim cos,2n j n j x x x -→∞==∏0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦sin x x 02sin sin 2lim 1,lim x x x x x x ππ→→==sin x x 0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦111cos cos cos 222n n j j j j x x x -==≤≤∏∏11cos 2n j j x -=∏0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦2sin 2n x 221sin sin ,22n n x π+≤22sin 2lim 1,12n n nx→∞=21sin 2n n x ∞=∑221sin sin ,22n n x π+≤211sin 2n n π∞+=∑21sin 2n n x ∞=∑1111tan sin sin tan 2222n n n n n n x x x x ∞∞===∑∑0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦11tan 22n n n x ∞=∑0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦11tan 22n n n x ∞=∑0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦+∈∀N n ()x u n []b a ,()()()()a u b u a u x u n n n n -≤-≤0[]b a x ,∈∀所以，，又和收敛，所以收敛。
由魏尔斯特拉斯判别法知，在上一致收敛。
设收敛到，由级数收敛定义得，使得当时，， （1）设在上一致收敛到，则存在仅与上述有关的正整数，当时，有。
对上述，取，由（1）(2)得即一致收敛到。
§11.21.（1）因为，收敛半径，而当时，均发散，故的收敛域为（2）因为，收敛半径，而当时，级数是收敛的。
故的收敛区域为。
()()()()a u b u a u x u n n n n -≤-[]b a x ,∈∀()a u n n ∑∞=1∑∞=1)(n nb u()()][1a ub u nn n-∑∞=()()[]∑∞=-1n nna u x u []b a ,()a u n n ∑∞=1()a u 0>∀ε01>∃N1N n >()()2/1ε<-∑=nk ka u a u ()()[]∑∞=-1n nna u x u []b a ,()()a u x s -ε()εN )(εN n >()()[]()()()2/1ε<---∑=nk kka u x s a u x u 0>∀ε(){}εN N N ,m ax 1=()()()()[]()()()()()∑∑∑===---+-=-n k nk kkkn k ka u a u x s a u a u x u x s x u 111()()[]()()()()()ε<-+---≤∑∑==nk kn k kka u a u a u x s a u x u 11()∑=nk k x u 1()x s 1lim==∞→nn n ρ1=R 1±=x ()n nn ∑∞=±1∑∞=1n nnx()1.1-2121lim 2==∞→n n n n ρ2=R 2±=x ()∑∞=±1222n n n n ∑∞=122n n nn x []2,2-（3）令，则,因为 所以级数的收敛半径为2，故级数的收敛半径为，而当时，级数是收敛的。