高中数学典型例题大全概率与统计正态分布

借助于标准正态分布表求值

例 设ξ服从)1,0(N ，求下列各式的值：

（1）);35.2(≥ξP （2）);24.1(-<ξP （3）).54.1(<ξP

分析：因为ξ用从标准正态分布，所以可以借助于标准正态分布表，查出其值．但由于表中只列出)()(,0000x x P x Φ=<≥ξ的情形，故需要转化成小于非负值0x 的概率，公式：);()()();(1)(a b b a P x x Φ-Φ=<<Φ-=-Φξ和)(1)(00x P x P <-=≥ξξ有其用武之地．

解：（1）;0094.09906.01)35.2(1)35.2(1)35.2(=-=Φ-=<-=≥ξξP P

（2）;1075.08925.01)24.1(1)24.1()24.1(=-=Φ-=-Φ=-<ξP

（3）)54.1()54.1()54.154.1()54.1(-Φ-Φ=<-=<ξξP P

.8764.01)54.1(2)]54.1(1[)54.1(=-Φ=Φ--Φ=

说明：要制表提供查阅是为了方便得出结果，但标准正态分布表如此简练的目的，并没有给查阅造成不便．相反其简捷的效果更突出了核心内容．左边的几个公式都应在理解的基础上记住它，并学会灵活应用．

求服从一般正态分布的概率

例 设η服从)2,5.1(2N 试求：

（1）);5.3(<ηP （2）);4(-<ηP

（3）);2(≥ηP （4）).3(<ηP

分析：首先，应将一般正态分布)2,5.1(N 转化成标准正态分布，利用结论：若),(~2σμηN ，则由)1,0(~N σμηξ-=知：,)(⎪⎭

⎫ ⎝⎛-Φ=<σμηx x P 其后再转化为非负标准正态分布情况的表达式，通过查表获得结果． 解：（1）;8413.0)1(25.15.3)5.3(=Φ=⎪⎭⎫

⎝⎛-Φ=<ηP

（2）;0030.0)75.2(1)75.2(25.14)4(=Φ-=-Φ=⎪⎭

⎫ ⎝⎛--Φ=-<ηP （3）;4013.0)25.0(125.121)2(1)2(=Φ-=⎪⎭⎫

⎝⎛-Φ-=<-=≥ηηP P （4）⎪⎭⎫ ⎝

⎛--Φ-⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-=<=<25.1325.131)2()3(ηηP P )]25.2(1[7734.0)25.2()75.0(Φ--=-Φ-Φ=

.7612.0)9878.01(7734.0=--=

说明：这里，一般正态分布),(~2

σμξN ，总体小于x 的概率值)(x F 与)(x P <ξ和⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φσμx 是一样的表述，即：.)()(⎪⎭

⎫ ⎝⎛-Φ==<σμξx x F x P 服从正态分布的材料强度的概率

例 已知：从某批材料中任取一件时，取得的这件材料强度ξ服从).18,200(2N

（1）计算取得的这件材料的强度不低于180的概率．

（2）如果所用的材料要求以99％的概率保证强度不低于150，问这批材料是否符合这个要求．

分析：这是一个实问题，只要通过数学建模，就可以知道其本质就是一个“正态分布下求随机变量在某一范围内取值的概率”的问题；本题的第二问是一个逆向式问法，只要把握实质反向求值即可．

解：（1）-=⎪⎭

⎫ ⎝⎛-Φ-=<-=≥1181201801)180(1)180(ξξP P ;8665.0)11.1()]11.1(1[1)11.1(=Φ=Φ--=-Φ

（2）可以先求出：这批材料中任取一件时强度都不低于150的概率为多少，拿这个结果与99％进行比较大小，从而得出结论．

;9973.0)78.2()]78.2(1[1)78.2(1182001501)150(1)150(=Φ=Φ--=-Φ-=⎪⎭

⎫ ⎝⎛-Φ-=<-=≥ξξP P 即从这批材料中任取一件时，强度保证不低于150的概率为99.73％＞99％，所以这批材料符合所提要求．

说明：“不低于”的含义即在表达式中为“大于或等于”．转化“小于”后，仍须再转化为非负值的标准正态分布表达式，从而才可查表．

公共汽车门的高度

例 若公共汽车门的高度是按照保证成年男子与车门顶部碰头的概率在1％以下设计的，如果某地成年男子的身高)36,175(~N ξ（单位：㎝），则该地公共汽车门的高度应设计为多高？

分析：实际应用问题，分析可知：求的是门的最低高度，可设其为)cm (x ，使其总体在不低于x 的概率值小于1％，即：%101.0)(=<≥x P ξ，从中解出x 的范围．

解：设该地公共汽车门的高度应设计高为x cm ，则根据题意可知：%1)(<≥x P ξ，由于)36,175(~N ξ， 所以，;01.061751)(1)(<⎪⎭

⎫ ⎝⎛-Φ-=<-=≥x x P x P ξξ 也即：;99.06175>⎪⎭

⎫ ⎝⎛-Φx 通过查表可知：;33.26

175>-x 解得：;98.188>x

即该地公共汽车门至少应设计为189cm 高．

说明：逆向思维和逆向查表，体现解决问题的灵活性．关键是理解题意和找出正确的数学表达式．

学生成绩的正态分布

例 某班有48名同学，一次考试后数学成绩服从正态分布．平均分为80，标准差为10，问从理论上讲在80分至90分之间有多少人？

分析：要求80分至90分之间的人数，只要算出分数落在这个范围内的概率，然后乘以总人数即可，而计算这个概率，需要查标准正态分布表，所以应首先把这个正态总体化成标准正态总体．

解：设x 表示这个班的数学成绩，则x 服从)10,80(2N 设10

80-=x Z 则z 服从标准正态分布)1,0(N ． 查标准正态分布表，得：

5000.0)0(,8413.0)1(==ΦΦ

所

以，3413.05000.08413.0)0()1()10()10

80901080108080()9080(=-=∅-∅=<<=-<-<-=<