(完整版)全等三角形常见的几何模型

1、绕点型（手拉手模型）

（1）自旋转：⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧，造中心对称遇中点旋

全等遇等腰旋顶角，造旋转

，造等腰直角

旋遇，造等边三角形旋遇自旋转构造方法00

00018090906060

（2）共旋转（典型的手拉手模型）

例1、在直线ABC 的同一侧作两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证明： （1） △ABE ≌△DBC

（2） AE=DC

（3） AE 与DC 的夹角为60。

（4） △AGB ≌△DFB （5） △EGB ≌△CFB （6） BH 平分∠AHC

（7） GF ∥AC

变式练习1、如果两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证明： （1） △ABE ≌△DBC （2） AE=DC

（3） AE 与DC 的夹角为60。

（4） AE 与DC 的交点设为H,BH 平分∠AHC

H

F

G E D

E

B

D

变式练习2、如果两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD，证明：

(1)△ABE≌△DBC

(2)AE=DC

(3)AE与DC的夹角为60。

（4）AE与DC的交点设为H,BH平分∠AHC

（1）如图

1，点C是线段AB上一点，分别以AC，BC为边在AB的同侧作等边△ACM和△CBN，连接AN，BM．分

别取BM，AN的中点E，F，连接CE，CF，EF．观察并猜想△CEF的形状，并说明理由．

（2）若将（1）中的“以AC，BC为边作等边△ACM和△CBN”改为“以AC，BC为腰在AB的同侧作等腰△ACM 和△CBN，”如图2，其他条件不变，那么（1）中的结论还成立吗？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由．

例4、例题讲解：

1. 已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点（点D不与B,C重合），以AD为边作菱形ADEF(按A,D,E,F 逆时针排列），使∠DAF=60°,连接CF.

(1) 如图1，当点D在边BC上时，求证：① BD=CF ‚②AC=CF+CD.

(2)如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD是否成立？若不成立，请写出AC、CF、CD之间存在的数量关系，并说明理由；

(3)如图3，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC、CF、CD之间存在的数量关系。

H

B

D

2、半角模型

说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。

例1、如图，正方形ABCD的边长为1，AB,AD上各存在一点P、Q，若△APQ的周长为2，求PCQ

的度数。

D

A

C

B

Q

P

例2、在正方形ABCD中，若M、N分别在边BC、CD上移动，且满足MN=BM +DN，求证：①∠MAN=45°；②

△CMN的周长=2AB；③AM、AN分别平分∠BMN和∠DNM。

例3、在正方形ABCD中，已知∠MA N=45°，若M、N分别在边CB、DC 的延长线上移动：①试探究线段MN、BM 、DN之间的数量关系；②求证：AB=AH.

例4、在四边形ABCD 中，∠B+∠D=180°，AB=AD ，若E 、F 分别在边BC 、CD 且上，满足EF=BE+DF.求证：BAD EAF ∠=

∠2

1

。