选修2-3课件2.3.1离散型随机变量的均值优质课

小结： 一般地，如果随机变量X服从两点分布，
X
1
0
P
p
1－p
则 EX 1 p 0(1 p) p
例2.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分， 罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为 0.7，他连续罚球3次； （1）求他得到的分数X的分布列； （2）求X的期望。
解：(1) X～B（3，0.7）
二、数学期望的性质
E(aX b) aEX b
三、基础训练
1、随机变量ξ的分布列是
ξ
1
3
5
P
0.5
0.3
0.2
(1)则Eξ= 2.4
.
(2)若η=2ξ+1，则Eη= 5.8 .
2、随机变量ξ的分布列是
ξ
4
7
P
0.3
a
9
10
b
0.2
Eξ=7.5,则a= 0.1 b= 0.4 .
四、例题讲解
例1.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分， 罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为 0.8，则他罚球1次的得分X的均值是多少？
X
1
0
P
p
1－p
则 EX p
四、如果随机变量X服从二项分布，即
X～B（n,p），则 EX np
证明：若ξ～B(n，p)，则Eξ＝np
证明：
P(ξ
k)
C
k n
p
k
q
n
k
(
k
0,1,2, , n)
Eξ
0
C
0 n
p0
q
n
1 C1np1q n1
k Cknpkq nk nCnnpnq0
np( C0n1p0q n1
为随机变量X的均值或数学期望。它反映了离 散型随机变量取值的平均水平。
X x1 x2 ··· xi ··· xn P p1 p2 ··· pi ··· pn
EX x1 p1 x2 p2 xi pi xn pn
思考：
设Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则Y也是 随机变量． （1） Y的分布列是什么？ （2） EY=？
我们还常常希望直接通过数字来反映随机变量的某 个方面的特征，最常用的有期望与方差.
二、互动探索
1、某人射击10次，所得环数分别是：1，1，1，
1，2，2，2，3，3，4；则所得的平均环数是
多少？
X 1111222334 2 10
把环数看成随机变量的概率分布列：权数
X
1
2
3
4
加
P
4
3
2
1
权
10
10
1000 1000－a
P 0.97 0.03
E = 1000－0.03a≥0.07a
得a≤10000 故最大定为10000元。
2、射手用手枪进行射击，击中目标就停止，否则继续射 击，他射中目标的概率是0.7,若枪内只有5颗子弹,求射击 次数的期望。(保留三个有效数字)
1
2
3
4
5Байду номын сангаас
p
0.7
0.3× 0.32× 0.33× 0.7 0.7 0.7
a( x1 p1 x2 p2 xn pn ) b( p1 p2 pn )
aEX b
一、离散型随机变量取值的平均值 数学期望
X x1 x2 ··· xi ··· xn P p1 p2 ··· pi ··· pn
EX x1 p1 x2 p2 xi pi xn pn
10
10
平
X 1 4 2 3 3 2 4 1 2 均
10 10 10 10
一、离散型随机变量取值的平均值 数学期望
一般地，若离散型随机变量X的概率分布为：
X x1 x2 ··· xi ··· xn P p1 p2 ··· pi ··· pn
则称
EX x1 p1 x2 p2 xi pi xn pn
2个黄球，从中有放回地取5次，则取到红球
次数的数学期望是 3 .
4.（07全国）某商场经销某商品，根据以往资料统
计，顾客采用的分起付款期数 的分布列为：
1
2
3
4
5
P 0.4 0.2 0.2 0.1 0.1
商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200 元，分2期或3期付款，其利润为250元，分4期或5
2.3.1离散型随机变量的均值
一、引入 甲、乙两人射击的概率分布表为：
X（环数） P（概率）
8
9 10
0.4 0.5 0.1
y（环数） P（概率）
8
9 10
0.5 0.2 0.3
如何比较两人的射击水平呢？
一、复习回顾
1、离散型随机变量的分布列
X
x1
x2 ··· xi
···
P
p1
p2 ··· pi
0.34
E =1.43
六、课堂小结
一、离散型随机变量取值的平均值 数学期望
X x1 x2 ··· xi ··· xn P p1 p2 ··· pi ··· pn
EX x1 p1 x2 p2 xi pi xn pn
二、数学期望的性质
E(aX b) aEX b
三、如果随机变量X服从两点分布，
···
2、离散型随机变量分布列的性质：
(1)pi≥0，i＝1，2，…； (2)p1＋p2＋…＋pi＋…＝1．
复习引入
对于离散型随机变量，可以由它的概率分布列确 定与该随机变量相关事件的概率。但在实际问题中， 有时我们更感兴趣的是随机变量的某些数字特征。例 如，要了解某班同学在一次数学测验中的总体水平， 很重要的是看平均分；要了解某班同学数学成绩是否 “两极分化”则需要考察这个班数学成绩的方差。
X x1 x2 ··· xi ··· xn P p1 p2 ··· pi ··· pn
X x1
Y ax1 b P p1
x2
ax2 b
p2
··· xi ··· axi b
··· pi
··· xn ···axn b
··· pn
EY (ax1 b) p1 (ax2 b) p2 (axn b) pn
X0
1
2
3
P
0.33
C
1 3
0.7
0.3
2
C
2 3
0.7
2
0.3
0.73
(2)
EX
0 0.33
1
C
1 3
0.7
0.32
2
C
2 3
0.7
2
0.3
3 0.73
EX 2.1 3 0.7
小结： 一般地，如果随机变量X服从二项分布，
即X～B（n,p），则 EX np
基础训练： 一个袋子里装有大小相同的3 个红球和
C
1 n
1p1q
n2
C p q k 1 k 1 ( n1)( k1) n 1
期付款，其利润为300元， 表示经销一件该商品的
利润。
（1）求事件A：”购买该商品的3位顾客中，至少有 一位采用1期付款” 的概率P(A)；
（2）求 的分布列及期望E 。
练习： 1、若保险公司的赔偿金为a（a＞1000）元，为使保险 公司收益的期望值不低于a的百分之七，则保险公司应 将最大赔偿金定为多少元？