数值分析实验二

内江师范学院

数值分析

实验报告册

编制张莉审定牟廉明

专业：

班级：级班

学号：

姓名：

数学与信息科学学院

2013年9月

说明

一、学生在做实验之前必须要准备实验，主要包括预习与本次实验相关的理论知识，熟练与本次实验相关的软件操作，收集整理相关的实验参考资料，要求学生在做实验时能带上充足的参考资料；若准备不充分，则学生不得参加本次实验，不得书写实验报告；

二、要求学生要认真做实验，主要是指不得迟到、早退和旷课，在做实验过程中要严格遵守实验室规章制度，认真完成实验内容，极积主动地向实验教师提问等；

三、各个实验按照学生水平分别设置了A、B、C、D四个等级，其中对应的难度系数为1、、、，也可根据实际完成情况制定相应地的难度系数，但总体保证难度排序为A级难度最大，B级次之，C级较易，D级最简单。

四、学生可以根据自己对各个实验涉及到的知识点掌握的程度自由选取A、

B、C、D等级的实验题目。

五、学生要认真工整地书写实验报告，实验报告的内容要紧扣实验的要求和目的，不得抄袭他人的实验报告；

四、根据实验准备、实验态度、实验报告的书写、实验报告的内容进行综合评定，并给出实验成绩评定分。

实验名称： 实验二 插值与拟合 指导教师： 吴开腾 张莉 实验时数： 4 实验设备：安装了Matlab 、C ++、VF 软件的计算机 实验日期：2013年 10 月 23、30 日 实验地点： 第五教学楼北902 实验目的：

1. 掌握插值方法的基本思想和基本步骤，能够根据实际问题选用适当地插值方法进行数值实验，并从实验过程中理解各类插值方法之间的联系与区别。

2. 理解各类插值方法优缺点，并能自行编程求解。

3. 理解插值方法与数据拟合的区别，掌握数据拟合方法解决实际问题的基本步骤和求解理论，并能通过数值实验进行验证。

实验准备：

1. 在开始本实验之前，请回顾教科书的相关内容；

2. 需要一台准备安装Windows XP Professional 操作系统和装有数学软件的计算机。

实验内容及要求

A 题 在某海域测得一些点(,)x y 处的水深z 由表1给出，在矩形区域(75,200)(50,150)⨯-内画出海底曲面的图形；若船的吃水深度为5英尺，请问在矩形区域(75,200)(50,150)⨯-里的哪些地方船要避免进入。

表1 海域数据表

B 题 设从某一实验中测得2个变量x 和y 的一组数据表2所示。 表2 变量关系数据表

求一代数多项式曲线，使其最好地拟合这组给定数据。

要求：请用多项式和指数模型进行曲线拟合，观察其结果的精度，再直接调用polyfit 命令进行比较。

C 题 考察函数2

1

(),[5,5]1f x x x

=

∈-+ （1）设计插值方案，构造龙格（Runge ）现象。

（2）设计插值方法消除龙格（Runge ）现象，要求至少用分段线性插值和分段三次插值两种算法进行设计，并比较两种算法的精度。

D 题 已知数据（表3） 表3 数据表

要求：

试用Lagrange 插值多项式求0.5626,0.5635,0.5645x =时的函数近似值．

说明：实验过程应包括对问题的简要分析、求解方法、求解步骤、程序及其必要的图表等内容。

实验过程：

A 题的实验过程

1、实验中问题的重述

在某海域测得一些点(,)x y 处的水深由表1给出，在矩形区域(75,200)(50,150)⨯-内画出海底曲面的图形；若船的吃水深度为5英尺，请问在矩形区域(75,200)(50,150)⨯-里的哪些地方船要避免进入。

2、对实验的分析 对软件的选择

对于此题来说，利用软件编程计算。

对“如何画海底曲面图形”的分析

要画出海底曲面图形，首先就应该有该海域海底是平滑的假设；

然后，由于测量点是散乱分布的，所以在平面上先作出测量点的分布图；

其次，利用二维插值方法griddadt函数补充一些点的水深；

最后，再利用surf函数作出海底曲面图。

对“哪些地方需避免进入”的分析

由于船只的吃水深度为5，所以在水深为5以下的区域都是危险区域，船只都需避免。于是，先作出等高线图，再通过等高线图得到水深小于5的区域。

对结果呈现的分析

由于题中明确要求画出海底曲面，所以利用插值，以曲面图显示结果。

题目中还要求给出哪些地方需要避免进入，所以可以利用图形显示出那一部分区域，也可以给出该危险区域中点的坐标范围。

3、实验求解过程（程序见附录）

首先，利用plot函数，画出所给14个点的位置分布图，分布图见下图1；

然后，利用meshgrid函数，生成一些采样点，便于接下来根据这些采样点绘制出整个海底曲面图形；

其次，利用griddadt函数进行插值；

再次，利用surf函数，画出经过插值后的海底曲面图形，见下图2。

200

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

最后，利用contour 函数，画出海水的等高线图，见下图3。并且，利用clabel 函数标记出各个等高线的水深高度。

-1

0-9-9

-9

-9

-8

-8

-8

-8

-8

-8-8-8

-7

-7

-7

-7

-7-7-7-6

-6

-6

-6-6-6-5

-5

-5-5-5-4

-4

-4

-4

等高线图（-5至0的区域为危险区域）

80

100

120

140

160

180

200

-50050

100

150

图3 等高线图

于是得到该危险区域为：图3中水深为-5的等高线区域内部所有的位置。

B 题的实验过程

一、用多项式拟合曲线

观察这一实验中测得的变量x 、y 的数据并进行分析，当i=[1,5]时y 随x 的增大而减小，当i=[6,9]时，y 随x 的增大呈线性增大。那么我们就可以采取n>=2次多项式进行曲线拟合,然后观察图像的变化及其精度，并分析。用matlab 多项式拟合曲线图像如下：

图4 二次多项式拟合图像

图5 三次多项式拟合图像