函数f(x)一致连续的条件及应用
一元函数一致连续性
一元函数一致连续性一元函数的一致性连续性是数学中一个重要的概念，它涉及到函数的结构、性质和行为。
一元函数的一致性的连续性是指在局部区域上，函数的值是相同的。
为了更好地说明一元函数的一致性连续性，本文将首先介绍一元函数的概念和定义，然后讨论一元函数的一致性连续性。
最后，将介绍一些相关的定理和证明。
一元函数，即一元多项式，是实数的函数，表示为y=f(x)，其中x代表实数的变量，y代表函数f对变量x的值。
一元函数的定义有以下几种：一是定义域和值域都是实数集，二是函数的本质属性，满足某种条件可以用联立方程推出函数表达式，如一阶多项式函数f(x)=ax+b（其中a，b是实数），三是函数的特殊形式，如指数函数f(x)=a^x（其中a是实数），对数函数f(x)=loga x（其中a是正数）。
一元函数的一致性连续性是指在某一区域内，函数的值保持不变。
因此，当在某一局部区域内的输入发生微小的变化时，输出的值也不会发生大的变化。
这可以用一个有限的表达式来表示：设f(x)为一元函数，若对任意给定的正数δ，在(x-δ, x+δ)内的任意x值，函数f(x)的变动量都小于某个定值η，则称f(x)在点x处一致连续。
我们也称δ和η分别为函数f(x)的一致性连续性条件。
由一元函数的一致性连续性可以定义函数连续性，即当函数在某一区域内一致连续时，函数是连续的。
这也是数学定理中最经典的定义之一。
如果函数在某一区域内连续，则往往可以对该函数进行导数求解，其中最重要的是求函数的零点。
一元函数的一致性连续性是确定函数的零点的条件之一，因为连续的函数是可导的，当函数的导数为0时，即可确定函数产生零点。
另外，一元函数的一致性连续性还是可以应用到数学定理中的，如果证明一元函数f在一定区域[a,b]上是一致连续的，就可以利用连续性定理证明函数f在[a,b]上的取值处有最大值和最小值。
这也是为什么一元函数的一致性连续性在数学理论中特别重要的原因之一。
一致连续性的判定及运用
一致连续性的判定及运用本文摘要：本文讨论函数一致连续性的几种常用的判定方法及其运用。
主要讨论用定义判定、用康托定理判定、用导函数有界来判定、用一致连续的一些性质判定等等。
关键词：函数 连续 一致连续 判定1 引言我们知道，函数的一致连续性是数学分析课程中的一个重要内容。
它是一个极限概念，是从连续的概念派生出来的函数()f x 在某区间内连续，是指函数()f x 在该区间内每一点都连续，它反映函数()f x 在该区间上一点附近的局部性质，但函数的一致连续性则反映的是函数()f x 在给定区间上的整体性质，它有助于研究函数()f x 的变化趋势及性质。
因此，本文对函数一致连续性的概念、判定条件进行了深入的分析和总结，目的是帮助大家掌握运用不同的方法证明函数一致连续，使大家对函数一致连续性的内涵有更全面的理解和认识。
一致连续是数学分析中较难的一个概念，因为它只有εσ-语言定义，所以要判定一个函数的一致连续性相对来说不容易。
所以讨论一致连续函数的判定及运用有运用有一定的应用价值。
2 一致连续性判定2.1 利用定义定义：设函数()f x 在区间I 上有定义，若对0ε∀>，()0δδε∃=>，,x x I'''∀∈，只要x x δ'''-<，就有()()f x f x ε'''-<则称函数()f x 在区间I 上一致连续。
直观地说，f 在I 上一致连续意味着：无论x '与x ''二点与在I 处于什么位置，只要他们的距离小于δ，就可使()()f x f x ε'''-<这样就可以证明一致连续性。
例1 证明()(0)f x ax b a =+≠在(,)-∞+∞上一致连续。
证明：任给0ε>，由于()()f x f x a x x ''''''-=-故可选取aεδ=，则对任何x '，x ''∈(,)-∞+∞，只要x x '''-<δ,就有()()f x f x '''-<ε这就证得()(0)f x ax b a =+≠在(,)-∞+∞上一致连续。
函数一致连续性及其应用(数学考研)
1 函数一致连续性[1]设()x f 在定义在区间I 上的函数，若对任给0>ε，存在()0>=εδδ，使得对任意的1x 、I x ∈2，只要δ<-21x x ，就有()()ε<-21x f x f ，则称函数()x f 在区间I 上一致连续.1.1 函数一致连续的相关定理与证明定理1.1[2] 若()x f 在区间I 上有定义，则()x f 在I 上一致连续的充要条件是()()0lim 21,02121=-<-+∈→x f x f SUP x x Ix x δδ.证明 ①必要性因为()x f 在区间I 上一致连续,所以由定义知 0,00>∃>∀δε，对任意的1x ，I x ∈2，只要 021δ<-x x ，就有()()221ε<-x f x f ,故可得出()()221,02121εδ≤-<-∈x f x f SUP x x Ix x .因为当00δδ<<时，有()()()()εεδδ<≤-≤-<-<-∈∈221,21,021212121x f x f SUPx f x f SUP x x x x Ix x Ix x .故可得()()0lim 21,02121=-<-+∈→x f x f SUP x x Ix x δδ.②充分性由于()()0lim 21,02121=-<-+∈→x f x f SUP x x Ix x δδ,所以0,00>∃>∀δε，对任意的1x ，I x ∈2只要021δ<-x x ，就有()()εδ<-<-∈21,02121x f x f SUPx x Ix x .故取00δδ≤<，当1x ，I x ∈2，021δ<-x x 时，可以得到()()()()()()εδδ<-≤-≤-<-<-∈∈21,21,21021212121x f x f S U P x f x f S U P x f x f x x x x Ix x Ix x ,所以()x f 在区间I 上一致连续.定理1.2[2] 函数()x f 在区间I 上一致连续的充要条件是在I 上任意两个数列nx '，n x ''，只要使0lim =''-'∞→n nn x x ，就有()()0lim =''-'∞→n n n x f x f 证明 ①必要性因为()x f 在区间I 上一致连续,所以由定义知 0,0>∃>∀δε，对任意的x '，I x ∈''只要δ<''-'x x ，就有 ()()ε<''-'x f x f .对于任意数列n x '，n x ''，因为0lim =''-'∞→n n n x x ，故对上述N n N N >∀>∈∃+,0,δ有δ<''-'n nx x . 故可得()()ε<''-'x f x f ，即()()0lim =''-'∞→n n n x f x f .②充分性（反证法）假设()x f 在区间I 上不一致连续，则存在某00>ε，对任意0>δ，都存在相应的两点I x x ∈''',，尽管δ<''-'x x ，但有()()0ε≥''-'x f x f .令n1=δ（n 为正整数），相应的两点记为I x x n n∈''',，尽管nx x 1<''-'，但有()()0ε≥''-'n nx f x f . 当n 取遍所有正整数时，得数列{}nx '与{}n x ''，且有0lim =''-'∞→n n n x x 但是 ()()0lim ≠''-'∞→n n n x f x f ,这与条件矛盾，所以假设不成立.因此可得()x f 在区间I 上一致连续.定理1.3[3] 设函数()x f 在区间I 上可导，其导函数()x f '在区间I 上有界，则()x f 在I上一致连续.证明 因为()x f '在区间I 上有界，则I x M ∈∀>∃,0有()M x f ≤'.对0>∀ε,=∃δδε<''-'∈'''∀x x I x x M ，,,,就有()()()εεξ=⋅<''-''=''-'MM x x f x f x f ,所以()x f 在I上一致连续.定理 1.4[3] 函数()x f 在区间I 上一致连续的充要条件是对任意给出的0>ε，,0,,>∃∈'''∀M I x x 使得当()()Mx x x f x f >''-'''-'时恒有有()()ε<''-'x f x f .证明 ①必要性（反证法）函数()x f 在区间I 上一致连续,所以0,0>∃>∀δε，对任意的x '，I x ∈''只要δ<''-'x x ，就有()()ε<''-'x f x f 即()()ε≥''-'x f x f 必有δ≥''-'x x .取δε2=M ，当()()Mx x x f x f >''-'''-'时有()()ε≥''-'x f x f .令()()x f x f ''-'=α，则存在1>K 使得()εαεK K <<-1. 令1-=K αβ，则αβε≤≤.不妨设()()()x x x f x f ''<'''<',因为()()()()x f x f x f x f ''=+''≤+'<'αβ，且由连续函数的介值性知(]x x x '''∈∃,1使得()()β+'=x f x f 1同理：(]x x x ''∈∃,12使得()()β+=12x f x f .如此可得k k x x x x <<<<-110 ，规定x x x x k ''='=,0且对每一个i ，()()εβ≥=--1i i x f x f .因为由一致连续的定义知δ≥--1i i x x ,所以()()MK K x x x f x f =≤=≤''-'''-'δεδβδβ2与条件矛盾，假设不成立.即,0,,0>∃∈'''∀>∀M I x x ，ε使得当()()Mx x x f x f >''-'''-'时恒有()()ε<''-'x f x f .②充分性,0,,0>∃∈'''∀>∀M I x x ，ε使得当()()Mx x x f x f >''-'''-'时恒有()()ε<''-'x f x f .取Mεδ=，若设()()ε≥''-'x f x f 必有()()Mx x x f x f ≤''-'''-'即()()Mx f x f x x 1≥''-'''-' .故()()()()δε=≥''-'''-'''-'=''-'Mx f x f x f x f x x x x 1.故有只要δ<''-'x x ，就有 ()()ε<''-'x f x f 即()x f 在I 上一致连续.1.2有限区间上的函数一致连续性定理1.5[1] 函数()x f 在[]b a ,上连续，则函数()x f 在[]b a ,上一致连续.证明（应用有限覆盖定理）由f 在[]b a ,上的连续性，任给0>ε，对[]b a x ,∈∀，都存在0>x δ，使得当()x x U x δ;∈'时有()()2ε<-'x f x f .考虑开区间集合[]⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈⎪⎭⎫⎝⎛=b a x x U H x ,2,δ，显然H 是[]b a ,的一个开覆盖。
函数一致连续性及其应用
1 函数一致连续性[1]设()x f 在定义在区间I 上的函数，若对任给0>ε，存在()0>=εδδ，使得对任意的1x 、I x ∈2，只要δ<-21x x ，就有()()ε<-21x f x f ，则称函数()x f 在区间I 上一致连续.1.1 函数一致连续的相关定理与证明定理1.1[2] 若()x f 在区间I 上有定义，则()x f 在I 上一致连续的充要条件是()()0lim 21,02121=-<-+∈→x f x f SUP x x Ix x δδ.证明 ①必要性因为()x f 在区间I 上一致连续,所以由定义知 0,00>∃>∀δε，对任意的1x ，I x ∈2，只要 021δ<-x x ，就有()()221ε<-x f x f ,故可得出()()221,02121εδ≤-<-∈x f x f SUP x x Ix x .因为当00δδ<<时，有()()()()εεδδ<≤-≤-<-<-∈∈221,21,021212121x f x f SUP x f x f SUP x x x x Ix x Ix x .故可得()()0lim 21,02121=-<-+∈→x f x f SUP x x Ix x δδ.②充分性由于()()0lim 21,02121=-<-+∈→x f x f SUP x x Ix x δδ,所以0,00>∃>∀δε，对任意的1x ，I x ∈2只要021δ<-x x ，就有()()εδ<-<-∈21,02121x f x f SUP x x Ix x .故取00δδ≤<，当1x ，I x ∈2，021δ<-x x 时，可以得到()()()()()()εδδ<-≤-≤-<-<-∈∈21,21,21021212121x f x f SUP x f x f SUP x f x f x x x x Ix x Ix x ,所以()x f 在区间I 上一致连续.定理1.2[2] 函数()x f 在区间I 上一致连续的充要条件是在I 上任意两个数列n x '，n x ''，只要使0lim =''-'∞→n nn x x ，就有()()0lim =''-'∞→n n n x f x f 证明 ①必要性因为()x f 在区间I 上一致连续,所以由定义知 0,0>∃>∀δε，对任意的x '，I x ∈''只要δ<''-'x x ，就有 ()()ε<''-'x f x f .对于任意数列n x '，n x ''，因为0lim =''-'∞→n n n x x ，故对上述N n N N >∀>∈∃+,0,δ有δ<''-'n nx x . 故可得()()ε<''-'x f x f ，即()()0lim =''-'∞→n n n x f x f .②充分性（反证法）假设()x f 在区间I 上不一致连续，则存在某00>ε，对任意0>δ，都存在相应的两点I x x ∈''',，尽管δ<''-'x x ，但有()()0ε≥''-'x f x f .令n1=δ（n 为正整数），相应的两点记为I x x n n∈''',，尽管n x x 1<''-'，但有()()0ε≥''-'n nx f x f . 当n 取遍所有正整数时，得数列{}nx '与{}n x ''，且有0lim =''-'∞→n n n x x 但是 ()()0lim ≠''-'∞→n n n x f x f ,这与条件矛盾，所以假设不成立.因此可得()x f 在区间I 上一致连续.定理1.3[3] 设函数()x f 在区间I 上可导，其导函数()x f '在区间I 上有界，则()x f 在I 上一致连续.证明 因为()x f '在区间I 上有界，则I x M ∈∀>∃,0有()M x f ≤'.对0>∀ε,=∃δδε<''-'∈'''∀x x I x x M ，,,,就有()()()εεξ=⋅<''-''=''-'MM x x f x f x f ,所以()x f 在I 上一致连续.定理 1.4[3] 函数()x f 在区间I 上一致连续的充要条件是对任意给出的0>ε，,0,,>∃∈'''∀M I x x 使得当()()M x x x f x f >''-'''-'时恒有有()()ε<''-'x f x f .证明 ①必要性（反证法）函数()x f 在区间I 上一致连续,所以0,0>∃>∀δε，对任意的x '，I x ∈''只要δ<''-'x x ，就有()()ε<''-'x f x f 即()()ε≥''-'x f x f 必有δ≥''-'x x .取δε2=M ，当()()M x x x f x f >''-'''-'时有()()ε≥''-'x f x f . 令()()x f x f ''-'=α，则存在1>K 使得()εαεK K <<-1. 令1-=K αβ，则αβε≤≤.不妨设()()()x x x f x f ''<'''<',因为()()()()x f x f x f x f ''=+''≤+'<'αβ，且由连续函数的介值性知(]x x x '''∈∃,1使得()()β+'=x f x f 1同理：(]x x x ''∈∃,12使得()()β+=12x f x f .如此可得k k x x x x <<<<-110 ，规定x x x x k ''='=,0且对每一个i ，()()εβ≥=--1i i x f x f .因为由一致连续的定义知δ≥--1i i x x ,所以()()M K K x x x f x f =≤=≤''-'''-'δεδβδβ2与条件矛盾，假设不成立.即,0,,0>∃∈'''∀>∀M I x x ，ε使得当()()M x x x f x f >''-'''-'时恒有 ()()ε<''-'x f x f .②充分性,0,,0>∃∈'''∀>∀M I x x ，ε使得当()()M x x x f x f >''-'''-'时恒有 ()()ε<''-'x f x f .取Mεδ=，若设()()ε≥''-'x f x f 必有()()M x x x f x f ≤''-'''-'即()()Mx f x f x x 1≥''-'''-' .故()()()()δε=≥''-'''-'''-'=''-'Mx f x f x f x f x x x x 1.故有只要δ<''-'x x ，就有 ()()ε<''-'x f x f 即()x f 在I 上一致连续.1.2有限区间上的函数一致连续性定理1.5[1] 函数()x f 在[]b a ,上连续，则函数()x f 在[]b a ,上一致连续.证明（应用有限覆盖定理）由f 在[]b a ,上的连续性，任给0>ε，对[]b a x ,∈∀， 都存在0>x δ，使得当()x x U x δ;∈'时有()()2ε<-'x f x f .考虑开区间集合[]⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈⎪⎭⎫ ⎝⎛=b a x x U H x ,2,δ，显然H 是[]b a ,的一个开覆盖。
【免费下载】函数fx一致连续的条件及应用
f (x' ) f (x'' ) 0 ,则 f (x) 一致连续. 例 1 f (x) 1 在 (0, c)(c 0) 上是非一致连续的,但在[c, )(c 0) 上一致连续. x 分析： f (x) 1 (x 0) ，在 x 0 处，图形无限变陡. x 0, f ( ) . 0 时 f ( ) 0 .
f (x法 3：无穷区间上一致连续的判别法
若 f (x) 在 (, ) 上连续，且 lim f (x) A 及 lim f (x) B 极限存在，则 f (x) 在
(, ) 上一致连续.
类似的还有：
x
若 f (x) 在[a, ) (或 (,b] )上连续，且 lim f (x) (或 lim f (x) )极限存在，则 f (x) 在
x
2
x
x
x
xa
x
lim f (x) )极限存在，则 f (x) 在 (a, ) (或 (,b) )上一致连续.
xb
3. 方法的归纳和应用 3.1 方法的归纳及方法的应用
方法 1：用连续模数来刻画一致连续性
若 f (x) 在区间 I 上有定义,则称 f ( ) sup f (x' ) f (x'' ) 为函数 f (x) 的连续 x' ,x''I x'x''
1．引言 函数的一致连续性是数学分析课程的重要理论，弄清函数的一致连续性的概念和熟练掌握
判断函数一致连续的方法是学好这一理论的关键．一般的数学分析教材中只给出一致连续的概
函数一致连续判定的充分性条件及其应用
函数一致连续判定的充分性条件及其应用依函数连续与一致连续的定义和关系，结合实例总结出函数连续与一致连续的区别，对函数一致连续性的判定方法做了归纳。
分类给出了函数一致连续的若干充分条件及充要条件，以使一致连续性的判定方法更加直观及便于应用。
第一章关键词：连续，一致连续性，充分性条件，判定，应用第二章引言本文选题于经典分析数学中关于函数连续及一致连续的判定与应用问题，主要目的是探讨一致连续函数判定的充分性条件以及在分析领域中的应用。
函数的一致连续性是数学分析中的重要内容，也是学习起来比较困难的一个内容，是函数的一个重要特征，标志着一个连续函数的变化速度有没有“突变”。
函数)(xf在该区间上的每一点都连续，它反映的f在某区间连续，是指)(x是函数)f在该区间内一点附近的局部性质。
函数的一致连续性则是比连续更(x强的一种性质，它不仅要求函数)f在该区间内的每一点保持连续，还要求它(x在该区间所有点邻近有大体均匀的变化趋势，强调的是函数在给定区间内的整体性质，刻画了函数在区间上变化的相对均匀性，有助于研究函数)f的整体变(x化趋势。
第三章 由函数的连续引出一致连续函数的一致连续是从连续的概念派生出来的，要比函数连续的条件更严苛，但是在数学分析教科书中，往往只给出一致连续的定义以及利用定义证明函数在某区间上一致连续的方法。
为了更加便于对函数一致连续的理解，首先从函数在某区间上连续的定义出发，引出一致连续的概念，然后从局部性和整体性两个方面分析给出连续与一致连续的区别。
2.1 函数的连续性2.1.1 函数连续的概念当函数)(x f 的自变量x 变化很微小时，所引起的)(x f 的变化也很小，此时一个连续量)(x f 随着另一个连续量x 连续地变化，可以用极限给出严格的描述：定义1（函数在点0x 连续)[1] 设)(x f 在包含0x 的某个邻域内有定义，若)()(lim 00x f x f x x =→，则称函数)(x f 在点0x 处是连续的。
证明函数一致连续
证明函数一致连续函数一致连续是一种数学概念，它描述的是给定一个函数，无论限制条件在何种情况下发生变化，函数值的变化都不会太大。
这种连续的特性，对于很多数学问题来说都是至关重要的，因为它能够提供严密的基础以及可靠的结果。
以下是证明函数一致连续的方式和步骤：一、首先需要了解函数的定义和连续性的概念，以便能够适当运用数学知识来推导出结果。
二、对于任何一个函数f(x)，要证明它是一致连续的，需要满足以下条件：1. 对于任意的ε>0，存在δ>0，使得当|x-y|<δ时，有|f(x)-f(y)|<ε成立。
2. δ的取值不仅与x与y的差值|x-y|有关，而且还与ε有关。
这就意味着在一个合理的范围内，无论ε如何变化，δ都能够找到合适的取值。
三、基于以上定义和条件，我们可以利用数学运算和推导，以证明函数的一致连续性。
1. 首先，需要利用函数的极限定义和ε-δ方法推导出一个满足条件一的δ值。
这个δ值需要具有普适性，即对于所有的x和y都适用。
这个δ值的关键在于，它要同时满足连续性和一致性的要求。
2. 其次，需要利用连续性定义和数学基本理论证明这个δ值的正确性。
也就是说，满足条件一的δ值也要满足条件二。
3. 最后，需要在证明过程中使用到一些数学定理或者引理，以加强证明证明的准确性和可靠性。
比如说，中值定理、可微性定理等等。
四、证明完毕后，需要重新审视一下证明过程，检查是否有漏洞，遗漏或者错误。
并且需要进一步地分析函数的特性，了解连续性和一致连续性的优势和局限性。
这将有助于更好地理解函数这个数学概念的本质和应用。
总之，证明函数一致连续需要充分利用数学基本原理和基本思想，运用严密的逻辑推导和分析，独立思考和创新，才能最终证明一个函数的一致连续性。
(整理)一致连续函数性质的应用(1).
1、设函数()f x 在区间[,]a b 上可导，证明()f x 在[,]a b 上一致可导的充分必要条件是()f x '在[,]a b 上连续。
这里()f x 在[,]a b 上一致可导是指：对任给0ε>，存在0δ>，使得对任意,[,]x y a b ∈，当0||x y δ<-<时，就有()()()f y f x f x y xε-'-<-成立。
证明 充分性 设()f x '在[,]a b 上连续，于是()f x '在[,]a b 上一致连续， 对任给0ε>，存在0δ>，使得对任意,[,]x y a b ∈，当||x y δ-<时，就有()()f x f y ε''-<成立；对任意,[,]x y a b ∈，0||x y δ<-<，存在ξ位于,x y 之间，使得()()()()f x f y f x y ξ'-=-，显然||x ξδ-<，()()f f x ξε''-<，于是()()()()()f y f x f x f f x y x ξε-'''-=-<-， 即得()f x 在[,]a b 上一致可导；必要性 设()f x 在[,]a b 上一致可导， 注到,x y 的地位对称，因此有对任给0ε>，存在0δ>，当,[,]x y a b ∈，0||x y δ<-<时，就有()()()f y f x f x y x ε-'-<-，()()()f y f x f y y xε-'-<- 从而 ()()f x f y ''-()()()()()()2f y f x f y f x f x f y y x y xε--''≤-+-<--， 故得到()f x '在[,]a b 上一致连续，因此()f x '在[,]a b 上连续。
函数的极限与一致连续性
函数的极限与一致连续性函数是数学中的重要概念之一，而函数的极限和一致连续性是函数分析中的基本概念。
本文将介绍函数的极限和一致连续性的定义、性质以及它们在数学和实际问题中的应用。
一、函数的极限函数的极限是函数分析中一个重要的概念，它描述了当自变量趋于某个特定值时，函数的取值的趋势。
以下是函数的极限的定义：定义1：设函数f(x)在无穷邻域U(x)内有定义，如果存在常数A，对于任意小的ε>0，存在与x无关的正数δ>0，使得当0<|x-x0|<δ时，有|f(x)-A|<ε，那么称函数f(x)当x趋于x0时的极限为A，记为lim┬(x→x₀)f(x)=A。
其中，ε代表误差的允许范围，δ代表自变量x与x0的距离。
函数的极限存在的条件是对于任意给定的ε，总存在一个δ，使得当自变量x与x0的距离小于δ时，函数的取值与极限A的差的绝对值小于ε。
函数的极限具有一些重要的性质，如极限的唯一性、加减乘除运算等。
在数学中，函数的极限的计算和性质是许多数学分析和微积分的重要基础。
二、函数的一致连续性函数的一致连续性是指函数在定义域上的每一点都满足连续性的性质。
以下是函数的一致连续性的定义：定义2：设函数f(x)在定义域I上有定义，对于任意给定的ε>0，存在与ε无关的正数δ>0，使得当任意两个自变量x1和x2满足|x1-x2|<δ时，总有|f(x1)-f(x2)|<ε，那么称函数f(x)在定义域I上一致连续。
可以看出，函数的一致连续性与函数在每一点的连续性不同，它要求函数的连续性在整个定义域上都成立。
函数的一致连续性保证了函数的取值在定义域上的小波动不会造成函数取值的大波动。
函数的极限和一致连续性在数学分析、微积分以及实际问题的求解中有着广泛的应用。
三、极限与连续性的应用1. 极限的应用在微积分中，函数的极限是导数和积分的基本概念。
导数表示函数变化的速率，而极限则用来计算函数的导数。
函数一致连续性的判断及应用大学本科毕业论文
题 目：函数一致连续性的判断及应用目：函数一致连续性的判断及应用目：函数一致连续性的判断及应用毕业论文（设计）作者声明本人郑重声明：所呈交的毕业论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果。
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论文题目：函数一致连续性的判断及应用作者单位：数学与统计学院作者签名：2014年 5月17日目 录摘 要要 (4)引言 (5)1. 1. 函数连续与函数一致连续的关系函数连续与函数一致连续的关系 (6)1.1函数连续性与函数一致连续性的区别函数连续性与函数一致连续性的区别............................. .............................6 1.2 1.2 函数连续性与函数一致连续性的联系函数连续性与函数一致连续性的联系............................ 8 2. 2. 一元函数一致连续的判断和应用一元函数一致连续的判断和应用 .. (9)2.1 2.1 一元函数在有限区间上的一致连续性一元函数在有限区间上的一致连续性........................... 9 2.2 2.2 一元函数在无限区间上的一致连续性一元函数在无限区间上的一致连续性......................... 11 2.3 2.3 一元函数在任意区间上的一致连续性一元函数在任意区间上的一致连续性......................... 13 3. 3. 二元函数一致连续性二元函数一致连续性 ................................................18 3.1 3.1 二元函数一致连续的概念二元函数一致连续的概念.................................... 18 3.2 3.2 二元函数的一致连续性的判断及应用二元函数的一致连续性的判断及应用.......................... 18 结束语.. (19)参考文献 (19)致谢 (21)函数一致连续性的判断与应用摘 要：本文从函数连续和一致连续的概念和关系出发，对函数的一致连续的定义进行了深入的分析，之后主要对一元函数在不同类型的区间进行了探讨、总结和应用，还将部分一元函数的一致连续的判定方法推广到二元函数，使大家对函数一致连续的内涵有更全面的理解和认识对函数一致连续的内涵有更全面的理解和认识. .关键词：连续；一致连续；连续函数连续；一致连续；连续函数The judgment and Application of Uniformly ContinuousFunctionAbstract: This article from the concept of uniformly continuousfunction is continuous and relation. the definition of uniformlycontinuous of function carried on the thorough analysis, then we researchthe methods of decisions of uniformly continuous function in differentkinds of intervals. Moreover, we extend some of the results to functionof two variables in different region.Key words : Continuity; Uniformly Continuity; Continuity Function引言函数一致连续性是数学分析的一个重要概念，理解函数的一致连续性的概念和熟练掌握判断函数一致连续的方法是学好这一理论的关键．函数一致连续不仅仅是闭区间上连续函数黎曼可积的基础，而且与以后的含参量积分、函数项积分等概念有着密切的联系．所以，找出函数一致连续性的条件是数学分析中的一个重要内容重要内容..因此，本文探讨了函数一致连续性的判定方法，基本性质及其应用，并且对函数一致连续性的判定方法，基本性质及各个应用进行了深入研究，目的是使读者能更好的掌握函数的一致连续性．使大家对函数一致连续的内涵有更全面的理解和认识面的理解和认识. .数学概念对数学的发展是不可估量的，函数的概念对于数学发展的影响，可以说是贯穿古今．函数概念的发展历史，不仅有助于我们提高对函数概念来龙去脉认识的清晰度，而且能帮助我们领悟数学概念及数学的学习有很大帮助．脉认识的清晰度，而且能帮助我们领悟数学概念及数学的学习有很大帮助．1717世纪中叶，世纪中叶，笛卡尔引入变数的概念，笛卡尔引入变数的概念，笛卡尔引入变数的概念，制定了解析几何学，制定了解析几何学，制定了解析几何学，从而打破了局限于方程从而打破了局限于方程的未知数的理解；的未知数的理解；1919世纪中期，法国数学家黎曼吸收了莱布尼茨，达郎贝尔和欧拉的成果，第一次提出了函数的定义；随后，牛顿，莱布尼茨分别独立的建立了微分学说．这期间，随着数学的发展，各种函数大量出现，但函数还没有给出一个一般的定义．国内的主要理论成书于十九世纪．它逐步形成一门逻辑严密，系统完整的学科，而且在各个方面获得了十分广泛的应用，成为处理有关连续量基础的强有力的工具．文献1,2,5作为论文的基础，主要是参考了函数一致连续的概念和几个基本的判别方法。
函数的一致连续性
函数的一致连续性一致连续性是数学分析中的一个重要概念，它不仅在微积分中有着广泛的应用，而且在函数论和拓扑学等领域也扮演着关键的角色。
本文将对一致连续性的定义、性质及其与普通连续性的关系进行深入探讨，并通过例子说明其在实际中的应用。
一致连续性的定义传统的连续性涉及到函数在某一点的邻域内的行为，而一致连续性则进一步扩展了这一概念。
设 ( f: A ) 是定义在集合 ( A ) 上的一个函数。
如果对任意的 ( > 0 )，存在一个 ( > 0 )，使得对于所有的 ( x, y A )，只要满足 ( |x - y| < )，就有 ( |f(x) -f(y)| < )，那么我们称函数 ( f ) 是在 ( A ) 上一致连续的。
这种定义与普通的连续性不同，普通的连续性要求在特定点附近都能找到适合的 ( ) 值，而一致连续性则要求这个 ( ) 值能够适用于整个区间或集合。
这种“整体”性质使得一致连续性在分析中极具吸引力。
一致连续性的性质性质一：一致连续性的充要条件一致连续性最重要的一个性质是其与有界闭集上连续性的关系。
即如果函数 ( f: [a, b] ) 在区间上是连续的，并且该区间是有界闭集，那么函数 ( f ) 是一致连续的。
这一性质也可以称为“海涅-博尔查诺定理”的一种表现。
性质二：复合函数的一致连续性如果 ( f: A B ) 和 ( g: B C ) 都是显式一致连续的函数，那么复合函数 ( g(f(x)) ) 也是一致连续的。
这为我们提供了在处理复杂问题时的一种手段，可以将多个容易处理的一致连续函数组合起来。
性质三：一致连续函数的有限性如果一组函数 ( f_n: A_n B_n ) 是一致连续的，并且它们都定义在相同的集合上，则它们的一致收敛也将保持一致性，即如果( f_n(x) f(x) )（对所有 ( x A_n )），那么 ( f(x) ) 同样是一致连续的。
一致连续性与普通连续性的关系虽然所有的一致连续函数都是普通连续函数，但并非所有普通连续函数都是一致连续函数。
函数极限与一致连续性
函数极限与一致连续性函数极限和一致连续性是微积分中重要的概念，它们在解决实际问题和理论推导中起到关键作用。
本文将对函数极限和一致连续性进行介绍和探讨。
一、函数极限函数极限是指当自变量趋于某个特定值时，函数所对应的因变量的变化趋势。
函数极限的定义可以表示为：当自变量x无限接近于a时，函数f(x)的极限为L，记作lim(x→a)f(x)=L。
函数极限可以通过图像、数列以及算术运算来进行计算和表示。
例如，对于函数f(x)=2x+1，当x无限接近于2时，f(x)的值也会无限接近于5。
因此，lim(x→2)(2x+1)=5。
函数极限的计算可以利用一些基本的极限性质和定理，例如极限的四则运算法则、极限的夹逼原理等。
这些性质和定理为我们计算和求解函数极限提供了有效的工具。
二、一致连续性一致连续性是指当自变量的变化趋势不同时，函数的变化趋势相对稳定的性质。
具体来说，函数f(x)在定义域D上一致连续，意味着对于任意给定的正数ε，存在正数δ，使得当x和y分别属于D且|x-y|<δ时，就有|f(x)-f(y)|<ε。
一致连续性与普通连续性的区别在于，一致连续性要求对于整个定义域上的任意两个点，它们之间的距离足够小时，函数值的变化也不会很大。
一致连续性是函数连续性的一种强化形式，它与函数的导数有密切的联系。
对于连续函数，如果存在导数，则一定是一致连续的。
但是，一致连续函数不一定存在导数。
三、函数极限与一致连续性的关系函数极限和一致连续性是紧密相关的概念。
在函数的一致连续性的条件下，函数的极限存在，并且函数的极限与函数在该点的函数值相等。
换言之，函数的一致连续性保证了函数极限的存在和唯一性。
反过来，函数的极限存在并不一定能够保证函数的一致连续性。
例如，函数f(x)=1/x在定义域(0,∞)上的极限为0，但是它并不是一致连续的。
因此，函数极限与一致连续性二者不完全等价，但函数的一致连续性是函数极限存在的重要条件。
一致连续的几何意义
一致连续的数学定义
对于函数f(x)，如果对于任意给定的正 数ε，都存在一个正数δ，使得当|x1x2|<δ时，有|f(x1)-f(x2)|<ε，则称f(x) 在区间I上是一致连续的。
数学定义中，δ是关于ε的函数，并且要 求对于任意的ε，δ都存在且δ随着ε的减 小而减小。
联系。
一致连续与函数空间的构造
一致连续的函数在函数空间的构造中起着重要的作用。例如，一致连续的函数可以构成 巴拿赫空间、希尔伯特空间等重要的数学空间。这些空间的性质和结构与一致连续的函
数密切相关。
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一致连续的性质
一致连续的函数在闭区间上也是一致连续的。
一致连续的函数在有限区间上的性质与在无限区间上的性质类似，但需要 注意区间的限制。
一致连续的函数在每个子区间上的性质是一致的，即如果一个函数在两个 子区间上都是一致连续的，那么这两个子区间上的性质是相同的。
02 一致连续与连续的关系
连续与一致连续的区别
一致连续的优越性
稳定性
一致连续函数在定义域内的任何 一点都保持一致的变化趋势，因 此具有更好的稳定性。
分、实变函数等领域都有广泛的 应用，因为它们满足一些重要的 数学定理和性质。
数学分析中的重要
概念
在数学分析中，一致连续的概念 是重要的，因为它与函数的可积 性、可微性等概念密切相关。
曲线拟合
在数据分析和科学计算中，一致 连续的曲线可以用于拟合数据点，
以获得平滑的拟合结果。
曲面重建
在计算机图形学和三维建模中，一 致连续的曲面可以用于重建复杂的 物体表面。
浅谈函数的一致连续
浅谈函数的一致连续 作者：王晗晟 指导老师：赵海兵引言：在数学分析的学习过程中，我们发现一致连续性是函数一个很好的性质。
关于一致连续性的证明，教材上只给出在一条定理，即：若函数在[],a b 上连续，则函数在[],a b 上一致连续。
用定义判断判读比较繁琐。
因此，下面的内容将简单地介绍一些函数一致连续的判断方法。
内容主要包括有限区间一致连续的判断，可导函数的一致连续性的判断，凹凸函数的一致连续的判断，复合函数一致连续的判断以及一致连续的四则运算。
主要结论：一、有限区间的一致连续的判断引理1：函数()f x 是在[],a b 上的连续函数。
则()f x 在[],a b 闭区间的一致连续性与()f x 在(],a b 开区间的一致连续性相同。
即：()f x 在[],a b 一致连续⇔()f x 在(],a b 一致连续 ()f x 在[],a b 不一致连续⇔()f x 在(],a b 不一致连续 证明：先证明“⇒”（反证法）已知()f x 在[],a b 一致连续。
假设()f x 在(],a b 不一致连续，则有 (]012121200,0,,,,..||,|()()|x x a b s t x x f x f x εδδε∃>∀>∃∈-<-> 则有 []012121200,0,,,,..||,|()()|x x a b s t x x f x f x εδδε∃>∀>∃∈-<->与()f x 在[],a b 一致连续矛盾；因此假设不成立。
即证明f （x ）在[],a b 一致连续时有f （x ）在(],a b 一致连续。
再证明“⇐”已知()f x 在(],a b 一致连续。
⇒ (]112121120,0,..,,,,()()|s t x x a b x x f x f x εδδε∀>∃>∀∈-<-<满足| 又因为()f x 在x a =处连续，由柯西收敛⇒ 2122120,0,..,(,),()()|s t x x U a f x f x εδδε+∀>∃>∈-<满足| 012min{,}δδδ=⇒ []012120120,,..,,,,()()|s t x x a b x x f x f x εδδδε∀>∃=∀∈-<-<满足| 即证当()f x 在(],a b 一致连续，()f x 在[],a b 一致连续。
连续有界函数一致连续
连续有界函数一致连续连续有界函数是指在定义域上连续且存在界的函数。
而一致连续是连续的一种更强的性质，它要求函数在整个定义域上都具有一致的连续性。
本文将详细介绍连续有界函数一致连续的概念、性质以及与其他相关概念的关系。
我们来回顾一下连续函数的定义。
对于定义在实数集上的函数f(x)，如果对于任意给定的ε>0，存在一个δ>0，使得当|x-x0|<δ时，有|f(x)-f(x0)|<ε成立，那么我们称函数f在点x0处连续。
如果函数f在定义域上的任意点都连续，我们称函数f在整个定义域上连续。
而有界函数是指存在一个实数M，使得对于定义域上的任意x，有|f(x)|≤M。
也就是说，函数f的值都在一个有界的区间内。
连续有界函数一致连续的概念是在连续函数和有界函数的基础上提出的。
具体来说，如果对于任意给定的ε>0，存在一个δ>0，使得当|x-x0|<δ时，有|f(x)-f(x0)|<ε对于定义域上的任意两个点x 和x0都成立，那么我们称函数f在整个定义域上一致连续。
连续有界函数一致连续的性质有以下几个方面：1. 连续有界函数一致连续的充分条件是定义域是一个闭区间。
也就是说，如果函数f在一个闭区间上连续有界，那么它就是一致连续的。
这是因为闭区间上的连续函数一定是一致连续的，而有界函数在闭区间上一定存在界。
2. 连续有界函数一致连续的性质可以通过取极限来证明。
具体来说，如果函数f在定义域上连续有界，那么对于任意给定的ε>0，存在一个δ>0，使得当|x-x0|<δ时，有|f(x)-f(x0)|<ε对于定义域上的任意两个点x和x0都成立。
我们可以通过极限的性质，将该条件推广到整个定义域上，从而证明函数f在整个定义域上一致连续。
3. 连续有界函数一致连续与函数的Lipschitz性质有关。
如果函数f在定义域上满足|f(x)-f(y)|≤K|x-y|，其中K为一个常数，那么函数f是一致连续的。
函数一致连续的判别方法及其应用.
函数一致连续的判别方法及其应用摘要函数一致连续性是数学分析的重要概念，一般教材只给出一致连续的概念及Cantor 定理，没有做更深入的研究。
本文比较全面的总结了判断函数的一致连续性的条件，并结合具体例子对这些方法加以应用，而且对基本初等函数的一致连续性作了较为完整的讨论，从充要等条件出发进行深入的分析和系统的总结。
关键词：一致连续积分导数Cantor定理基本初等函数AbstractThe uniform continuity of function is an important concept of mathematical analysis. General textbooks only show the concept of uniform continuity and the Cantor theory, without a more in-depth study. This thesis comprehensively summarize the conditions to judge the uniform continuity of functions, combined with specific examples of these methods to be applied, and made a more complete discussion of the uniform continuity of the basic elementary functions, with in-depth analysis and summary, starting from the necessary and sufficient conditions.Keywords:uniform continuity integral derivative Cantor theorem Basic elementary function目录摘要 (Ⅰ)Abstract (Ⅱ)第一章引言 (1)第二章一致连续的充要条件 (2)第三章一致连续的充分条件 (10)第四章函数一致连续的应用 (16)4.1 应用一：基本初等函数的一致连续性的应用 (16)4.2 应用二：反函数的一致连续性的应用 (18)4.3 函数的四则运算的一致连续性 (21)总结 (24)致谢 (25)参考文献 (26)第一章引言我们知道，函数的一致连续性是数学分析中应用非常普遍，重要而又抽象的数学概念之一，它体现在某个区间上的整体性质，是微积分学的基础，并且对后续课程的学习起着关键作用。
一致连续性的判定定理及性质
一致连续性的判定定理及性质作者：朱肖红 指导老师：张海摘 要 函数的一致连续性是数学分析课程中的一个重要概念,在分析问题中起着十分重要的作用.它不仅是闭区间上连续函数黎曼可积的理论基础,而且与随后的含参量积分,函数项级数等概念都有着密切的联系.因此,判定函数的一致连续性是数学分析的一项重要内容.本文对函数的一致连续性的概念进行了深入分析,对判定函数一致连续性的充分条件,充要条件作了简要概括,并给出了闭区间和开区间上函数一致连续性的判别方法.包括无穷区间上函数一致连续性的判定,并分别给出了这些定理的证明.同时,本文也总结了一致连续性的几个性质及它的应用.关键词 连续函数 极限 有界函数 一致连续 非一致连续1引言弄清函数一致连续性的概念和掌握判断函数一致连续性的方法无疑是学好函数一致连续性理论的关键.数学分析教材中只给出了一致连续的概念和判断函数在闭区间上一致连续的Cator 定理,内容篇幅少,但实际运用时,这些远远不够.本文将给出函数在区间上一致连续性的几个充分条件,充要条件及性质与运用.这几种方法为教科书所忽视,但比较实用且应用面广泛,有必要加以详细讨论.2一致连续性的概念定义 2.1 设函数()x f 在区间I 上有定义.若,,,0,021I x x ∈∀>∃>∀δε只要,21δ<-x x 都有()()ε<-21x f x f ,称函数()x f 在I 上一致连续.对函数一致连续性概念的掌握,应注意以下三个方面的问题：（1）要注意函数在区间的连续性与一致连续性的区别和联系比较函数在区间的连续性和一致连续性可知：前者的δ不仅和ε有关,而且还和点0x 有关,即对于不同的0x ,一般来说δ是不同的,这表明只要函数在区间内每一点都连续,函数就在区间连续；后者的δ仅与ε有关,与0x 无关,即对不同的0x ,δ是相同的.这表明函数在区间的一致连续性,不仅要求函数在这个区间的每一点都连续,而且要求函数在区间上的连续是“一致”的.（即连续可对一点来讲,而且对于某一点0x ,δ取决于0x 和ε ,而一致连续必须以区间为对象, 只取决于ε ,与点0x 的值无关.）在区间I 上一致连续的函数在这个区间一定是一致连续的,事实上,由一致连续性定义将1x 固定,令2x 变化,即知函数()x f 在1x 连续,又1x 是I 的任意一点,从而函数()x f 在I 连续,但在区间I 连续的函数在这区间上不一定一致连续,例如()xx f 1= 在区间 ()1,0 就是如此.（2）函数一致连续性的实质,就是当这个区间的任意两个彼此充分靠近的点上的值的差,就绝对值来说,可以任意小,即任意的21,x x ,当δ<-21x x 时,就有()()ε<-21x f x f .（3）要注意函数一致连续的否定叙述一致连续的否定就是非一致连续,即设函数()x f 在区间I 上有定义,若 δδε<-∈∃>∀>∃21210:,,0,0x x I x x 有()()021ε≥-x f x f ,则称)(x f 在I 上非一致连续.总的来说,函数的连续性反映了函数的局部性质,而函数的一致连续性则反映了在整个区间上的整体性质.二者之间既有区别又有联系.3一致连续性的判定定理判定函数一致连续性的几个充要条件定理3.1 ()x f 在 []b a ,上一致连续的充要条件是()x f 在[]b a , 上连续.证明 ［必要性］由定义直接可得.［充分性］采用反证法,假设()x f 在 []b a ,上非一致连续,即,00>∃ε对0>∀η,在区间[]b a , 内至少存在两点1x 及2x , 虽然η<-21x x ,但()()021ε≥-x f x f . 现取() 3,2,11==n nη ,那么在[]b a , 内存在两点()n x 1 及 ()n x 2 . 虽然 ()()nx x n n 121<-,但()()()()021ε≥-n n x f x f . 应用魏尔斯特拉斯定理,在有界数列(){}n x 1中存在一个收敛的子列()()∞→→k x x k n 01,这里 []b a x ,0∈,再由于()()nx x n n 121<- , 所以 ()()kk k n x x 121<-, 亦即()()∞→→-k x x k k n n 021 .因为()()∞→→k x x k n 01 ,所以()()∞→→k x x k n 02 , 并且()()()()021ε≥-k k n n x f x f 对一切 k 成立.另一方面,由于()x f 在 0x 连续,亦即()()00lim x f x f x x =→.由函数极限与数列极限的关系,有()()()()()()0201lim ,lim x f x f x f x f k k n k n k ==∞→∞→.而 ()()()()()0lim 21=-∞→k k n n k x f x f .这同()()()()021ε≥-k k n n x f x f 对一切 k 成立相矛盾.即假设不成立.即原命题成立.定理 3.2 函数 ()x f 在有限开区间()b a , 内一致连续的充要条件是()x f 在()b a , 内连续且极限()x f a x +→lim 和()x f bx -→lim 存在. 证明 ［充分性］令⎝⎛=-∈=+=b x b f b a x x f a x a f x g ),0(),(),(),0()(则)(x g 在[]b a ,上连续,从而)(x g 在[]b a ,上一致连续.［必要性］ 因为()x f 在()b a , 内一致连续.∴()x f 在()b a , 内连续,并且∈>∃>∀21,,0,0x x δε()b a , ,当δ<-21x x 时, 有()()ε<-21x f x f于是当()δ+∈a a x x ,,21 时，有()()ε<-21x f x f .根据柯西准则,极限()x f a x +→lim 存在.同理可证()x f bx -→lim 也存在. 定理3.3设函数()x f 在区间 I 上有定义, 在I 上一致连续的充要条件是对区间I 上的任意两数列}{n x 与}{n y ,当0)(lim =-∞→n n n y x 时, 有()()0)(lim =-∞→n n n y f x f . 证明 ［必要性］因为()x f 在I 上一致连续,所以I y x ∈∀>∃>∀,,0,0δε, 当δ<-y x 时有ε<-)()(y f x f .任取I 上的两数列}{n x 与}{n y 并且满足0)(lim =-∞→n n n y x . 则对N ∃>,00δ ,当N n >时有0δ<-n n y x .于是ε<-)()(n n y f x f ,即0)]()([lim =-∞→n n n y f x f . ［充分性］假设()x f 在I 上不一致连续, 则δδε<-∈∃>∀>∃21210:,,0,0x x I x x ,但()()021ε≥-x f x f .特别,取)(1N n n ∈=δ ,则ny x I y x n n n n 1,,<-∈,但 0)]()([lim )()(,0≠-∴≥-∞→n n n n n y f x f y f x f ε, 这与已知条件矛盾.所以原命题成立.判定函数一致连续性的几个充分条件定理 3.4 若()x f 在),(+∞-∞ 内连续,且)(lim ),(lim x f x f x x +∞→-∞→ 都存在,则()x f 在),(+∞-∞ 上一致连续.证明 0,)(lim ,0,01>∃∴=>∃>∀+∞→b A x f x δε ,当b x > 时, 有 2)(ε<-A x f , 从而当12121,,δ<->x x b x x 时, 有 ε<-+-≤-A x f A x f x f x f )()()()(2121 .所以()x f 在),[+∞b 上一致连续. 同理可证当221δ<-x x 时,有()()ε<-21x f x f ,即知()x f 在],(a -∞ 上一致连续.又()x f 在[]b a ,上连续,03>∃∴δ当 321δ<-x x 时，有()()ε<-21x f x f ,故()x f 在[]b a , 上一致连续. 取},,min{321δδδδ= ,当 δ<-21x x 时便有()()ε<-21x f x f即()x f 在),(+∞-∞上一致连续.定理3.5 若函数)(x f 在区间I 上的导数有界,则)(x f 在I 上一致连续.推论 若函数)(x f 在),[+∞a 上单调增加,可导且其图形是上凸的,则 )(x f 在区间),[+∞a 上一致连续.证明：由 )(x f 可导且单增,从而0)('≥x f ,又曲线)(x f y = 向上凸,从而 )('x f 在),[+∞a 上单减.所以)()(0''a f x f +≤≤ ,于是)('x f 在 ),[+∞a 上有界,由上定理知,)(x f 在 ),[+∞a 上一致连续 . 定义 3.1 设函数 )(x f 是区间 I 上的实值函数,如果任取 10,,≤≤∈λI y x ,有())])}()1()())1(([){()1()(]1[y f x f y x f y f x f y x f λλλλλλλλ-+≥-+-+≤-+ 称是区间 上凸（下凸）函数.定义 3.2 若)(x f 在 )(00x U 有定义,且hh x f h x f h )2()2(lim 000--+← 的极限存在,则称)(x f 在0x 拟可导,记为hh x f h x f x Df h )2()2(lim )(0000--+=→. 引理3.1凸函数在任意开区间（有限或无穷）I 上连续.引理3.2 若函数)(x f 在I 上连续,且对I x x ∈∀21,,有)2(2)()(2121x x f x f x f +≥+ , 则)(x f 为下凸函数.定理3.6 若函数)(x f 在区间I （有限或无穷）上单调,且)(x Df 在I 内处处存在且有界,则函数)(x f 在开区间 I 上一致连续.证明 不妨设)(x f 在开区间 I 上单调增加.因为)(x Df 在I 内处处存在,有界,即 I x M ∈∀>∃,0,有 M x Df <)(.下面证明：对I x x x x ∈<2121,, ,有)(2)()(1212x x M x f x f -<- .若不然,1111,,b a I b a <∈∃ ,使)(2)()(1111a b M a f b f -≥- . 令)(2111b a c += ,则区间 ],[1c a 和 ],[1b c 中至少一个,记为],[22b a , 满足 )(2)()(2222a b M a f b f -≥-由此,利用归纳法可得到区间套 ⊃⊃⊃⊃],[],[],[2211n n b a b a b a .)(21)2()(2)()()1(111a b a b a b M a f b f n n n n n n n -=--≥--根据区间套定理,这些区间有惟一的公共点,记为ξ .由条件知,M Df <)(ξ .所以,0>∃δ ,使当δ<h ,且I h h ∈+-2,2ξξ时，有M h f h f h <--+)]2()2([1ξξ . (3) 因为 ],[1n n n b a ∞=⋂∈ξ,且0→-n n a b ,故存在正整数 N,使22δξξδξ+<≤<-N a .不妨设ξξ-<-N N b a .令 )(20ξ-=N b h ,则 δ<0h ,且222200δξξξδξ+<=+<<-<-N N b h a h . 故000)(2)()()2()2(Mh a b M a f b f h f h f N N N N ≥-≥-=--+ξξ 此与（3）矛盾,从而（1）试对I 内任意两点都成立,因而可得 )(x f 在区间 I 上一致连续.推论1 若函数)(x f 是开区间I （有限或无穷）上的凸函数,且拟导数存在,有界,则)(x f 在区间 I 上一致连续.证明 不妨设)(x f 为区间I 上的下凸函数, .因为)(x f 为凸函数,所以)(x f 在I 上连续.若)(x f 在I 上单调,由定理3知结论成立.若)(x f 在 I 上不单调,由 )(x f 为区间I 上的下凸函数可知,在I 上至少存在三点321x x x << ,有)()(21x f x f > ,且 )()(32x f x f <.因为)(x f 在],[31x x 上连续,故存在),(310x x x ∈,使)(min )(],[031x f x f x x x ∈= .下证)(m i n )(0x f x f Ix ∈= .否则,若存在][314x x I x --∈ ,且)()(04x f x f < .若04x x < ,则λ∃ ,使 10,)1(401<<-+=λλλx x x ,从而)())()1()()(0401x f x f x f x f <-+≤λλ,矛盾.同理04x x >不成立.于是,由)(x f 为区间I 上的下凸函数定义可证, )(x f 在 ],(0x a 上递减,在[),0b x 上递增.故)(x f 在],(0x a 与0[,)x b 上一致连续.而)(x f 在I 上连续,故)(x f 在I 上一致连续.推论2 若函数)(x f 在开区间 I （有限或无穷）满足条件：I x x ∈∀21,)1(,有);2(2)()(2121x x f x f x f +≥+ )(,)2(x f I x -∈∀. 和)(x f + 都存在)3(在I 上处处拟可导,且拟导数有界.则函数)(x f 在区间I 上一致连续.证明 先证)(x f 在I 上连续.对I x ∈∀0,下证)()(00x f x f +-= .因为)()(00x f x f +-≠ ,则不妨设)()(00x f x f +-< ，取0,0))()((41100>∃>-=-+δεx f x f , 100:δ<-<∈∀x x I x ，有ε<--)()(0x f x f ,100:δ<-<∈∀x x I x ,有ε<-+)()(0x f x f .}2,,2)()(min{,0,0100δδδM x f x f h M -+-=∃>∀>∀有hx f x f h x f x f h x f h h x f h x f )()()2()()2()2()2(0000000-++-+---+=--+ M M x f x f x f x f h x f x f h x f x f =--≥-=-->-+-+-+-+2))()((2)()(2)()(2)()(00000000ε.与已知条件矛盾,所以)()(00x f x f +-= .又由 )2(2)()(00x x f x f x f +≥+,两边对x 取极限,得 )()(00x f x f -≥.因为 I 为开区间,取0>h ,使I h x h x ∈-+00, , 则2)()()2()(00000h x f h x f h x h x f x f -++≤-++=,两边对 h 取极限, 得)(2)()()(0000x f x f x f x f --+=+≤ ,从而)(x f 在0x 点连续, 即)(x f 在区间I 上连续,由引理2得)(x f 为凸函数.由推论1得)(x f 在区间I 上一致连续定理 3.7 若函数 )(x f 在区间I 上满Lipschitz 条件,即存在常数0>L ,使对任何I x x ∈21, ,都有2121)()(x x L x f x f -≤- ,则函数 )(x f 在区间 I 上一致连续.依定义可立即证得推论 若函数)(x f 在区间I 上可导,且 )('x f 在区间I 上有界,则函数)(x f 在区间I 上一致连续.证明 )('x f 在区间I 上有界,即 I x L ∈∀>∃,0,有L x f ≤)(' .因为)(x f 在区间I 上可导,据拉格朗日定理I x x ∈∀21,,有))(()()(21'21x x f x f x f -=-ξ .从而2121'21)()()(x x L x x f x f x f -≤-=-ξ ,即)(x f 在区间I 上满足Lipschitz 条件,故)(x f 在区间I 上一致连续.定理 3.8 若函数)(x f 在),[+∞a 可导,且λ=+∞→)(lim 'x f x （常数或∞+）,则)(x f 在 ),[+∞a 一致连续的充要条件是λ为常数.证明 ［充分性］ 若λ为常数,由局部有界性,,a A >∃可使)('x f 在),[+∞A 有界,再由定理4推论,)(x f 在 ),[+∞A 上一致连续,再由Cantor 定理知)(x f 在],[A a 一致连续 .故)(x f 在),[+∞a 一致连续.［必要性］（反证法） 设+∞=+∞→)(lim 'x f x .则0,210>∀=∃δε ,取δ1=G ,故,,A x a A >∀>∃有.)('G x f >.取A x x >21, ,且使δδ<=-221x x ,据拉格朗日定理有212)()()(21'21=>-=-δξG x x f x f x f . 故)(x f 在),[+∞A 非一致连续,这与)(x f 在),[+∞a 一致连续矛盾.上定理的结论相当完美,它使得许多初等函数在无限区间上一致连续与非一致连续的判别,都变得简便易行.4一致连续的性质性质 4.1若)(x f 和)(x g 都是区间I 上的有界的一致连续函数,则)()()(x g x f x F =也在I 上一致连续.证明 由题设)(x f ,)(x g 有界,从而存在0>M ,使.,)(,)(I x M x g M x f ∈∀<< . 再由 )(x f ,)(x g 都一致连续,则0,01>∃>∀δε 和02>δ ,使I x x x x ∈∀4321,,, ,且243121,δδ<-<-x x x x ,时有M x g x g M x f x f 2)()(,2)()(4321εε<-<- ,令},min{21δδδ=,则I x x ∈∀65,,且δ<-65x x 时)()()()()()()()()()()()(656655665565x f x f x g x g x g x f x g x f x g x f x F x F -+-≤-=-εεε=+<M M M M 22.所以)(x f )(x g 在I 上一致连续.性质 4.２函数)(x f 在 ],[b a 上一致连续,又在],[c b 上一致连续,c b a << .用定义证明：)(x f 在],[c a 上一致连续.证明 由)(x f 在],[b a 一致连续,故0,01>∃>∀δε,使当],[,21b a x x ∈,且121δ<-x x 时,有2)()(21ε<-x f x f (i)同理,)(x f 在],[c b 上一致连续,对上述0>ε,存在02>δ,使当],[,43c b x x ∈ ,且 243δ<-x x 时,有2)()(43ε<-x f x f (ii)令},min{21δδδ= ,则对 0>ε,当],[,65c a x x ∈ 且 δ<-65x x 时,（1）若],,[,65b a x x ∈由（i ）式有εε<<-2)()(65x f x f（2）若],[,65c b x x ∈,由（ii ）式也有ε<-)()(65x f x f（3）若],[],,[65c b x b a x ∈∈时,则δδ<-<-b x b x 65,所以 εεε=+<-+-≤-22)()()()()()(6565x f b f b f x f x f x f .从而得证 )(x f 在 ],[c a 上一致连续. 性质 4.3设函数)(x f 在),[+∞a 连续,函数)(x g 在),[+∞a 一致连续,且0)()(lim =-+∞→x g x f x ,则)(x f 在 ),[+∞a 一致连续.证明 0)()(lim =-+∞→x g x f x ,故 A x x a A ≥∀>∃>∀21,,,0ε,有 3)()(,3)()(2211εε<-<-x g x f x g x f .及函数)(x g 在),[+∞a 一致连续,故对上述A x x ≥∀>∃>21,,0,0δε ,且 δ<-21x x ,有3)()(21ε<-x g x g .综上A x x ≥∀21,,且 δ<-21x x ,有 )()()()()()()()(22211121x g x f x g x g x g x f x f x f -+-+-≤- .εεεε=++<333即 )(x f 在),[+∞A 一致连续,再由Cantor 定理知)(x f 在 ],[A a 上一致连续,故 )(x f ),[+∞a 在 一致连续.定理5表明：若连续函数可在无穷远处充分接近一个一致连续函数,则其必一致连续.考虑到线性函数必一致连续,如果某连续函数在无穷远处充分接近一个线性函数,即此函数存在斜渐近线,则它必一致连续.即是如下推论.推论 设函数)(x f 在),[+∞a 连续,且有斜渐近线,即有数b 与 c ,使0])([lim =--+∞→c bx x f x ,则)(x f 在),[+∞a 一致连续.5一致连续性的应用利用一致连续性定义或判断函数一致连续性的定理来判断某函数的一致连续性.例1 判断),0(,11)(2+∞∈+=x xx f 的一致连续性. 解：因为 011lim2=++∞→x x ，111lim 20=+→x x 又 )(x f 在),0(+∞ 上连续,所以 )(x f 在),0(+∞ 上一致连续.本题利用定理3.4，)(x f 在无限区间上连续且在端点极限存在，则)(x f 在此无限区间上一直连续.例2 证明)(x f =x e 在R 上非一致连续.证明1 :ln ),1ln(),11(0,21210R n x n x e n ∈=+=∀->∃>∀=∃δδε,ln )11ln(ln )1ln(21δδ=<+=-+=-e n n n x x 有021211)1()()(ε=>=-+=-n n x f x f .所以)(x f =x e 在R 上非一致连续.根据一直连续性定义证得.证明2 取R n y n x n n ∈=+=ln ),1ln( , 且0)11ln(lim ]ln )1[ln(lim )(lim =+=-+=-∞→∞→∞→n n n y x n n n n n .但01)1(lim ][lim )]()([lim ln )1ln(≠=-+=-=-∞→+∞→∞→n n e e y f x f n nn n n n n .所以)(x f =x e 在 R 上非一致连续.此题根据判定函数一直连续性的充要条件即定理3.3.例3 判断)1,0(,1cos )(∈=x x e x f x 的一致连续性.解：因为x e x x 1cos lim 0+→ 不存在,所以)(x f =x e 在)1,0( 内不一致连续.此题根据判定连续函数在有限开区间一致连续性的方法即定理3.2例4 证明： x e x f =)(在),(a -∞ 上一致连续,而在 ),(+∞a 上非一致连续.证明 0lim =-∞→xx e 且a x a x e e =-→lim .所以 x e 在 ),(a -∞上一致连续.+∞==+∞→x x x x e Lim e e ,)(' .所以)(x f =x e 在 ),(+∞a 上非一致连续. 此题根据连续函数导数的有界性来判定函数的一致连续性。
函数的一致连续性
1 引言 1.1 函数连续性定义 设函数()f x 在点0x 的某一邻域内有定义，如果当自变量的增量趋于零时，对应的函数的增量()()00y f x x f x ∆=+∆-也趋于零，那么就称函数()f x 在点0x 连续。
设0x x x=+∆则x ∆→就是x x →，()()()()000y f x x f x f x f x ∆=+∆-=-即 ()()0f x f x y =+∆可见0y ∆→就是()()0f x f x →因此（1）式与lim x x →()f x =()0f x 相当。
所以，函数()f x 在点0x 连续的定义又可叙述如下设函数()f x 在点0x 的某一邻域内有定义，如果函数()f x 当0x x →时的极限存在，且等于它在点0x 处的函数值()0f x 即那么就称函数()f x 在点0x 连续。
由函数()f x 当0x x →时的极限的定义可知，上述定义也可用“ε-δ”语言表达如下：设函数()y f x =在0x 的某一邻域内有定义，如果对于任意给定的正数ε，总存在着正数δ，使得对于适合不等式0x x δ-<的一切x 对应的函数值()f x 都满足不等式()()0f x f x -<ε那么就称函数()f x 在点0x 连续。
1.2 函数一致连续性定义定义 设函数()f x 在区间I 有定义,若∃ε> 0 , ∀ δ> 0 ,∃1x ,2x ∈I| 1x -2x | <δ,有|()()12f x f x - | <ε, 称函数()f x 在I 一致连续。
[１]对函数的一致连续性概念的掌握,应注意以下三个方面的问题: (1) 要注意函数在区间的连续性与一致连续性的区别和联系。
比较函数在区间的连续性和一致连续性定义可知:前者的δ不仅与ε有关,而且还与点0x 有关,即对于不同的0x 一般来说δ是不同的,这表明只要函数在区间内每一点都连续,函数就在区间连续;后者的δ仅与ε有关,与0x 无关,即对不同的0x ,δ是相同的。
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函数f(x)一致连续的条件及应用函数f(x)一致连续的条件及应用内容摘要：比较全面的总结了判断函数的一致连续性的条件，并结合具体例子对这些方法加以应用，而且对基本初等函数的一致连续性作了较为完整的讨论，还将一元函数的一致连续性推广到二元函数上去．关键词：一致连续拟可导函数基本初等函数二元函数Abstract：This paper is more completely to summarize the methods of judging uniform continuity of functions, and apply them to analyze some examples, moreover, we discuss uniform continuity of fundamental primary functions in detail, and extend these methods to the case of functions of two variables. Key words: uniform continuity perederivatable functions fundamentalprimary functions functions of two variables 1．引言函数的一致连续性是数学分析课程的重要理论，弄清函数的一致连续性的概念和熟练掌握判断函数一致连续的方法是学好这一理论的关键．一般的数学分析教材中只给出一致连续的概念和判断函数在闭区间上一致连续的G.康托定理，内容篇幅较少，不够全面和深入；虽然有些论文对函数一致连续性的判断作了一些拓展和补充，但是显得不够系统和应用得不够广泛．因此，对一般数学分析教材中这一部分内容并结合一部分论文资料，作一个比较系统和全面的总结，并作适当的拓展，如将一元函数的一致连续性推广到二元函数上去，无疑这一工作是十分必要和具有现实意义的．2．预备知识一致连续和非一致连续的定义一致连续：设f(x)为定义在区间I上的函数.若对任给的??0，存在???(?)?0，使得对任何x?,x???I，只要x??x????，就有f(x?)?f(x??)??,则称函数f(x)在区间I上一致连续. 1 非一致连续：存在?0?0，对任何正数?，总存在两点x?,x???I，尽管x??x????，但有f(x’)?f(x’’)??0.则称函数f(x)在区间I上非一致连续. G.康托定理G.康托定理[1]：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上一致连续. 这个定理的证明可应用实数连续性命题中有限覆盖定理或致密性定理来证明．但是G.康托定理只能用来判断有限闭区间上函数的一致连续性，应用不是十分广泛．下面再介绍几种比较常见的判断函数一致连续性的方法．几种常见的判断函数一致连续性的方法方法1：利用李普希茨条件若f(x)在区间I上满足李普希茨条件，即任给x,y?I，有f(x)?f(y)kx?y?为常数），则f(x)在区间I上一致连续. 方法2：有限开区间上一致连续的判别法若f(x)在有限开区间(a,b)上连续，且f(a?0)与f(b?0)都存在且有限?函数f(x)在上连续，且f(a?0)存在且有限?函数f(x)在(a,b]上一致连续. 方法3：无穷区间上一致连续的判别法若f(x)在(??,??)上连续，且limf(x)?A及limf(x)?B 极限存在，则f(x)在x???x???(??,??)上一致连续. 类似的还有：若f(x)在[a,??)(或(??,b])上连续，且limf(x)(或limf(x))极限存在，则f(x)在x???x???[a,??)(或(??,b])上一致连续. f(x)(或limf(x)及若f(x)在(a,??)(或(??,b))上连续，且limf(x)及lim?x???x?ax??? 2 x?b?limf(x))极限存在，则f(x)在(a,??)(或(??,b))上一致连续. 3. 方法的归纳和应用方法的归纳及方法的应用方法1：用连续模数来刻画一致连续性若f(x)在区间I上有定义,则称?f(?)?supf(x)?f(x)为函数f(x)的连续x’,x’’?Ix’?x’’??’’’模数. 定理若f(x)在区间I上有定义,则f(x)在I上一致连续的充要条件是[5]??0?lim?f(?)?0. ??0’’’g(?)?0,则推论若f(x)在区间I上连续,若?f(?)?supf(x)?f(x)?g(?)且lim?x’,x’’?Ix’?x’’??f(x)在I上一致连续. 上述定理易得到一致连续的视察法: ?f(?)的值只与f(x)的图象最陡的地方有关.若f(x)的图象在某处无限变陡, 使得?f(?)?0,则f(x)非一致连续;若f(x)在某处最陡,但??0时,此处的变差?f(x’)?f(x’’)?0,则f(x)一致连续. 1在(0,c)(c?0)上是非一致连续的,但在[c,??)(c?0)上一致连续. x1分析：f(x)?(x?0)，在x?0处，图形无限变陡. x例1 f(x)????0,?f(?)???.??0?时?f(?)??0. 因此，f在任何区间(0,c)(c?0)上都是非一致连续的. 但在区间[c,??)上，f(x)?可见，f(x)?111?0(??0?). 在点c处最陡，且?f(?)??xcc??1在[c,??)上一致连续. x方法2：利用一致连续函数的四则运算性质来判断一致连续(1)若f(x),g(x)都在区间I上一致连续,则f(x)?g(x)也在I上一致连续. 3 (2)若f(x),g(x)都在有限区间I上一致连续,则f(x)g(x)也在I 上一致连续. 若f(x),g(x)都在区间I(含无穷区间)上一致连续且有界,则f(x)g(x)也在I上一致连续. (3)若f(x)在区间I上一致连续,且有正的下确界(或负的上确界),则致连续. (4)若f(x)在区间I上一致连续,则?f(x)也在I上一致连续(其中?为任意常数). 例2 若f(x)在有限区间I上一致连续, g(x)在区间I上非一致连续.问: f(x)?g(x)在1也在I上一f(x)I上的一致连续性. 分析：假设f(x)?g(x)在I上一致连续，又f(x)是有限区间I的一致连续函数，一致连续函数的四则运算性质知g(x)?[f(x)?g(x)]?f(x)在I上一致连续，这与条件矛盾. 所以，f(x)?g(x)在I上非一致连续．同理有f(x)?g(x)在I上非一致连续. 方法3：复合函数的一致连续性设函数f(x)在区间I上一致连续, g(x)在区间U上一致连续,且g(U)?I,则复合函数f(g(x))在区间U上一致连续. 方法4：利用两区间之并设f(x)定义在[a,c]上，若f(x)在[a,b]和[b,c]上都连续，则f(x)在[a,c]上一致连续. 上述结论可进一步推广为：设区间I1的右端点为c?I1,区间I2的左端点也为c?I2(I1,I2可为有限或无限区间).若[1]f(x)在I1和I2上都一致连续,则f(x)在I?I1?I2上一致连续. 例 3 讨论f(x)?x在[0,??)上的一致连续性. 分析：f(x)在[0,??)上连续，设a?0，当0?x?a 时，设0?x1?a,0?x2?a,x1?x2??，则4 x1?x2?x1?x2??, 0??f(?)?supx1,x2?[0,a]x1?x2??f(x1)?f(x2) ?? ??0，所以f(x)?且lim???0x在[0,a]上一致连续. 当x?a时，x1?x2?所以f(x)?x1?x2x1?x2??2a,且lim???0?2a?0. x在[a,??)上一致连续. x在[0,??)上一致连续. 综上所述，f(x)?方法5：利用数列(1)函数f(x)在I上一致连续?对区间I上任意两个数列{xn},{yn},当limxn?yn?0n??时,有limf(xn)?f(yn)?0. n??函数f(x)在I上非一致连续?区间I上存在两个数列{xn},{yn},当limxn?yn?0时,n??但limf(xn)?f(yn)?0. n??例4 f(x)?sinx2在(??,??)内非一致连续. ’分析：可取xn?2n???2,xn’’?2n???2，则xn’?xn’’?0(n??).而f(xn’)?f(xn’’)?2，故f(x)?sinx2在(??,??)内非一致连续.(2)函数f(x)在有界实数集E上一致连续?函数f(x)将E中的柯西列变成R中的柯西[5]1列. 方法6：利用渐近线设f(x)在[a,??)上连续,且lim[f(x)?(cx?d)]?0(c,d为常数).即x???时, x???f(x)有渐近线y?cx?d，则f(x)在[a,??)上一致连续. 上述结论可进一步推广为: [6] 5设f(x)在[a,??)上连续,g(x)在[a,??)上一致连续,即x???时,且x???lim[f(x)?g(x)]?A，则f(x)在[a,??)上一致连续. 例5 f(x)?xln(e?)在[1,??)上一致连续. 1x1xln(e?)x?1,b?lim[xln(e?1)?x]?1，故f(x)?xln(e?1)在该分析：于k?limx??x??xxxe区间有渐近线y?x?1，所以f(x)在[1,??)上一致连续. e方法7：利用导数若f(x)在区间I上存在有界导函数,即?M?0,?x?I,有f?(x)?M，则f(x)在I上一致连续. 下面还有一个应用得更加广泛的结论: 若f(x)在[a,??)上连续,在(a,??)内处处可导,且limf?(x)?A存在，则f(x)在x???[6] [a,??)上一致连续. 例6 f(x)?’x2?2在(??,??)上一致连续. xx2?2,f’(x)?1，故f(x)?x2?2在(??,??)上一致连续. 分析：于f(x)?方法8：利用积分设函数f(x)在区间[a,??)上局部可积，且f(x)在区间[a,??)上有界,则F(x)??xaf(s)ds在[a,??)上一致连续. 方法9：引进拟可导函数来说明一致连续性定义1(凸函数) 设函数f(x)在区间I上有定义,若?x,y? I,0???1,有[4] f[?x?(1??)y]??f(x)?(1??)f(y)(或f[?x?(1??)y]??f(x)?(1??)f(y)), 则称f(x)为定义在区间I上的下凸(或上凸)函数,上,下凸函数统称为凸函数. 注：下面的定义，引理，定理和推论均见[4]. 定义2(拟可导函数) 若函数f(x)在U0(x0)有定义,且极限 6hhf(x0?)?f(x0?)22存在, limh?0hhhf(x0?)?f(x0?)22. 则称函数f(x)在x0拟可导,记为Df(x0)?limh?0h引理1 凸函数在任意开区间I上连续. 引理 2 若f(x)在区间I上连续，且对?x1,x2?I，有f(x1)?f(x2)x?x?f(12)，22则函数f(x)为下凸函数. 定理若f(x)在开区间I上单调，且Df(x)在I内处处存在，有界，则f(x)在I上一致连续. 推论1 若f(x)是开区间I上的凸函数，且拟导数存在，有界，则f(x)在I上一致连续. 推论2 若f(x)在开区间I 上满足条件：①?x1,x2?I，有f(x1)?f(x2)x?x?f(12)；22②?x?I，f?(x)和f?(x)都存在；③在I上处处拟可导，且拟导数有界，则f(x)在I上一致连续. 几个重要应用应用之一：周期函数的一致连续性[2][6] 设f(x)是(??,??)上以T为周期的函数，则f(x)在(??,??)上连续?f(x)在(??,??)上一致连续. 应用之二：基本初等函数的一致连续性?(1)f(x)?x在[0,??)上，当0???1时一致连续，当??1时不一致连续.(2)f(x)?e在R上非一致连续. x 7(3)f(x)?lnx在(0,1]上非一致连续，在[1,??)上一致连续. (4)y?sinx和y?cosx均在R上一致连续,y?tanx和y?cotx均在其定义域上非一致连续. (5)y?arcsinx 和y?arccosx均在[?1,1]上一致连续,y?arctanx和y?arccotx均在(??,??)上一致连续. p(x)?0xn??1xn?1?...??n(6)R(x)?，其中n,m 为非负整数，?mm?1q(x)?0x??1x?...??m?0,?1,...?n ，?0,?1,...,?m均为常数，且?0?0，?0?0.当n?m?1时，R(x)在[a,??)上一致连续；当n?m?1时，R(x)在[a,??)上非一致连续.. 4. 二元函数的一致连续性前面我们已经对一元函数的一致连续性已作了详细的叙述，下面我们将一元函数的一致连续性的一些结论推广到二元函数中去. 定理 1 若函数f(P)在有界闭区域D上连续，则f(P)在D上一致连续. 定理2 函数f(P)在有界开区域D上一致连续?f(P)在D上连续，且?P0??D,limf(P)存在. P?P0P?D2定理3 函数f(x,y)在R上连续，且limf(x,y)存在，其中r?r???x2?y2，则f(x,y)在R2上一致连续. 定理 4 函数f(x,y)在区域D上满足：?(xi,yi)?D(i?1,2)，都有，f(x1,y1)?f(x2,y2)?k1x1?y1?k2x2?y2则f(x,y)在D上一致连续. 定理5 函数f(x,y)在凸区域D内存在有界偏导数，则f(x,y)在D上一致连续. 定理6 函数f(P)在区域D上一致连续?对?{Pn},{Qn}?D，n???lim?(Pn,Qn)?0，恒有limf(Pn)?f(Qn)?0. n??? 8 定理7 函数f(x,y)在有界区域E上一致连续?函数f(x,y)将E中的柯西列变成R中的柯西列. 总之，一元函数的一致连续性大多可以推广到二元函数上去，但形式上要注意区别，例如定理5中的条件要求为凸区域．5. 结束语文章比较全面的总结了各种判断函数的一致连续性的条件，并结合实例对这些方法加以运用，而且对基本初等函数的一致连续性作了较为完整的讨论，并将一元函数的一致连续性推广到二元函数上去，这些都具有一定的意义．然而必须指出：关于函数一致连续性的判断，是函数所满足的条件及所定义的范围决定的，还不能解决所有的判断函数一致连续的问题，还可以进行更加深入的讨论和研究．。