高中数学复习专题讲座函数的连续及其应用
高中数学复习：函数模型及其应用
第九节 函数模型及其应用
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教 1.几种常见的函数模型 材 2.三种增长型函数模型的图象与性质 研 读 3.解函数应用题的步骤（四步八字）
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考 考点一 用函数图象刻画变化过程
点 突
考点二 应用所给函数模型解决实际问题
破 考点三 构建函数模型解决实际问题
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3.在某个物理实验中,测量得变量x和变量y的几组数据如下表:
x
0.50
0.99
2.01
3.98
y
-0.99
0.01
0.98
2.00
则对x,y最适合的拟合函数是 ( D )
A.y=2x B.y=x2-1
C.y=2x-2 D.y=log2x
答案 D 根据x=0.50,y=-0.99,代入计算,可以排除A;根据x=2.01,y=0. 98,代入计算,可以排除B,C;将各数据代入函数y=log2x,可知满足题意.
间T内完成预测的运输任务Q0,各种方案的运输总量Q与时间t的函数关 系如图所示,在这四种方案中,运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的
是 (B)
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(2)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程,如图描述 了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确 的是 ( D )
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知识拓展 形如f(x)=x+ a (a>0)的函数模型称为“对勾”函数模型:
x
(1)该函数在(-∞,- a )和( a ,+∞)上单调递增,在[- a ,0)和(0, a ]上单调 递减. (2)当x>0时,在x= a 处取最小值2 a , 当x<0时,在x=- a 处取最大值-2 a .
高考数学难点突破_难点33__函数的连续及其应用
高考数学难点突破_难点33__函数的连续及其应用函数的连续及其应用是高考数学中的一个重要难点，对于很多学生来说，理解和掌握这个知识点是比较困难的。
本文将分为三个部分进行讲解，首先是函数连续的概念和定义；其次是连续函数的性质和判断方法；最后是函数连续的应用。
一、函数连续的概念和定义在数学中，函数连续是指函数在一些点上没有突变、断层，即在该点上没有跳跃，也没有突变的现象。
具体来说，对于函数f(x)在点x=a处连续，需要满足以下三个条件：1.函数在点x=a处存在；2.函数在点x=a处的左极限和右极限存在且相等；3.函数在点x=a处的极限等于函数在该点的函数值。
符号化表示如下：f(a-)=f(a+)=f(a)二、连续函数的性质和判断方法1.连续函数的四则运算性质：如果函数f(x)和g(x)在点x=a处连续，则它们的和、差、积、商也在点x=a处连续。
2.连续函数的复合函数性质：如果函数f(x)在点x=a处连续，函数g(x)在点x=b处连续，并且a是g(x)的定义域内特定点的函数值，则复合函数f(g(x))在点x=b处连续。
3.连续函数的初等函数性质：初等函数包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等，它们在其定义域上都是连续的。
对于函数连续的判断方法，可以通过根据定义依次检查函数是否满足连续的条件，也可以利用函数的性质进行判断。
三、函数连续的应用1.函数连续与导数的关系：对于连续函数f(x)，在其定义域内的每个点上都有导数存在。
2.函数连续与极值的关系：对于连续函数f(x)，在闭区间[a,b]上，如果f(x)在内部点取得最大值或最小值，则必然在[a,b]的边界点或者内部存在极值。
3.函数连续与介值定理的关系：对于连续函数f(x)，如果[a,b]上f(a)和f(b)异号，那么在(a,b)内必然存在一些点c，使得f(c)=0。
4.函数连续与零点存在性的关系：对于连续函数f(x)，如果f(a)和f(b)异号，则在(a,b)内必然存在一些点c，使得f(c)=0。
高中数学复习专题讲座(第10讲)函数图象及图象性质的应用
题目 高中数学复习专题讲座函数图象及图象性质的应用高考要求函数的图象与性质是高考考查的重点内容之一，它是研究和记忆函数性质的直观工具,利用它的直观性解题,可以起到化繁为简、化难为易的作用因此，考生要掌握绘制函数图象的一般方法，掌握函数图象变化的一般规律，能利用函数的图象研究函数的性质 重难点归纳1 熟记基本函数的大致图象，掌握函数作图的基本方法 (1)描点法 列表、描点、连线；(2)图象变换法 平移变换、对称变换、伸缩变换等2 高考中总是以几类基本初等函数的图象为基础来考查函数图象的题型多以选择与填空为主，属于必考内容之一，但近年来，在大题中也有出现，须引起重视典型题例示范讲解例1对函数y =f (x )定义域中任一个x 的值均有f (x +a )=f (a －x ), (1)求证y =f (x )的图象关于直线x =a 对称；(2)若函数f (x )对一切实数x 都有f (x +2)=f (2－x ),且方程f (x )=0恰好有四个不同实根，求这些实根之和命题意图 本题考查函数概念、图象对称问题以及求根问题 知识依托 把证明图象对称问题转化到点的对称问题错解分析 找不到问题的突破口，对条件不能进行等价转化技巧与方法 数形结合、等价转化(1)证明 设(x 0,y 0)是函数y =f (x )图象上任一点，则y 0=f (x 0),∵2)2(00x x a +-=a , ∴点(x 0,y 0)与(2a －x 0,y 0)关于直线x =a 对称，又f (a +x )=f (a －x ),∴f (2a －x 0)=f ［a +(a －x 0)］=f ［a －(a －x 0)］=f (x 0)=y 0, ∴(2a －x 0,y 0)也在函数的图象上，故y =f (x )的图象关于直线x =a 对称(2)解 由f (2+x )=f (2－x )得y =f (x )的图象关于直线x =2对称，若x 0是f (x )=0的根，则4－x 0也是f (x )=0的根， 若x 1是f (x )=0的根，则4－x 1也是f (x )=0的根， ∴x 0+(4－x 0)+ x 1+(4－x 1)=8 即f (x )=0的四根之和为8例2如图，点A 、B 、C 都在函数y =x 的图象上，它们的横坐标分别是a 、a +1、a +2 又A 、B 、C 在x 轴上的射影分别是A ′、B ′、C ′,记△AB ′C 的面积为f (a ),△A ′BC ′的面积为g (a )(1)求函数f (a )和g (a )的表达式；(2)比较f (a )与g (a )的大小，并证明你的结论命题意图 本题考查函数的解析式、函数图象、识图能力、图形的组合等知识依托 充分借助图象信息，利用面积问题的拆拼以及等价变形找到问题的突破口错解分析 图形面积不会拆拼技巧与方法 数形结合、等价转化 解 (1)连结AA ′、BB ′、CC ′,则f (a )=S △AB ′C =S 梯形AA ′C ′C －S △AA ′B ′－S △CC ′B =21(A ′A +C ′C )=21(2++a a ),g (a )=S △A ′BC ′=21A ′C ′·B ′B =B ′B1(2)()()2f a g a -=12=--102=-<∴f (a )<g (a )例3已知函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d 的图象如图，求b 的范围解法一 观察f (x )的图象，可知函数f (x )的图象过原点，即f (0)=0,得d =0,又f (x )的图象过(1，0)，∴f (x )=a +b +c ① 又有f (－1)＜0,即－a +b －c ＜0 ② ①+②得b ＜0,故b 的范围是(－∞,0)解法二 如图f (0)=0有三根0,1,2，∴f (x )=ax 3+bx 2+cx +d =ax (x －1)(x －2)=ax 3－3ax 2+2ax ,∴b =－3a ,∵当x>2时，f (x )>0，从而有a >0,∴b ＜0 学生巩固练习1 当a ≠0时，y =ax +b 和y =b ax的图象只可能是( )2某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了，再走余下的路，下图中y轴表示离学校的距离，x轴表示出发后的时间，则适合题意的图形是()3已知函数f(x)=log2(x+1)，将y=f(x)的图象向左平移1个单位，再将图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到函数y=g(x)的图象，则函数F(x)=f(x)－g(x)的最大值为_________三、解答题4如图，在函数y=lg x的图象上有A、B、C三点，它们的横坐标分别为m,m+2,m+4(m>1)(1)若△ABC面积为S，求S=f(m);(2)判断S=f(m)的增减性5如图，函数y=23|x|在x∈［－1,1］的图象上有两点A、B，AB∥Ox轴，点M(1，m)(m∈R且m>23)是△ABC的BC边的中点(1)写出用B点横坐标t表示△ABC面积S的函数解析式S=f(t);(2)求函数S=f(t)的最大值，并求出相应的C点坐标6已知函数f(x)是y=1102+x－1(x∈R)的反函数，函数g(x)的图象与函数y=－21-x的图象关于y轴对称，设F(x)=f(x)+g(x)(1)求函数F(x)的解析式及定义域；(2)试问在函数F(x)的图象上是否存在两个不同的点A、B，使直线AB 恰好与y轴垂直？若存在，求出A、B的坐标；若不存在，说明理由7已知函数f1(x)=21x-,f2(x)=x+2,(1)设y =f (x )=⎩⎨⎧∈--∈]1,0[ ),(3)0,1[ ),(21x x f x x f ，试画出y =f (x )的图象并求y =f (x )的曲线绕x 轴旋转一周所得几何体的表面积；(2)若方程f 1(x +a )=f 2(x )有两个不等的实根，求实数a 的范围(3)若f 1(x )>f 2(x －b )的解集为［－1，21］，求b 的值8 设函数f (x )=x +x1的图象为C 1，C 1关于点A (2，1)对称的图象为C 2，C 2对应的函数为g (x )(1)求g (x )的解析表达式；(2)若直线y =b 与C 2只有一个交点，求b 的值，并求出交点坐标； (3)解不等式log a g (x )<log a 29 (0<a <1)参考答案1 解析 ∵y =b ax =(b a )x ,∴这是以b a 为底的指数函数 仔细观察题目中的直线方程可知 在选择支B 中a >0,b >1,∴b a >1,C 中a ＜0,b >1,∴0＜b a＜1,D 中a ＜0,0＜b ＜1,∴b a >1 故选择支B 、C 、D 均与指数函数y =(b a )x 的图象不符合答案 A2 解析 由题意可知，当x =0时，y 最大，所以排除A 、C 又一开始跑步，所以直线随着x 的增大而急剧下降答案 D3 解析 g (x )=2log 2(x +2)(x >－2)F (x )=f (x )－g (x )=log 2(x +1)－2log 2(x +2)=log 21441log441log)2(122222+++=+++=++x x x x x x x x)1(21111log2->++++=x x x ∵x +1>0,∴F (x )≤41log211)1(21log 22=++⋅+x x =－2当且仅当x +1=11+x ,即x =0时取等号∴F (x )max =F (0)=－2答案 －24 解 (1)S △ABC =S 梯形AA ′B ′B +S 梯形BB ′C ′C －S 梯形AA ′C ′C(2)S =f (m )为减函数5 解 (1)依题意，设B (t ,23 t ),A (－t ,23t )(t >0),C (x 0,y 0)∵M 是BC 的中点 ∴2x t +=1,2230y t + =m∴x 0=2－t ,y 0=2m －23t在△ABC 中，|AB |=2t ,AB 边上的高h AB =y 0－23t =2m －3t∴S =21|AB |·h AB =21·2t ·(2m －3t ),即f (t )=－3t 2+2mt ,t ∈(0,1)(2)∵S =－3t 2+2mt =－3(t －3m )2+32m ,t ∈(0,1],若⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤<23130m m ，即23＜m ≤3,当t =3m 时，S max =32m ,相应的C 点坐标是(2－3m ,23m ),若3m >1,即m >3 S =f (t ) 在区间(0，1］上是增函数，∴S max =f (1)=2m －3,相应的C 点坐标是(1，2m －3)6 解 (1)y =1102+x－1的反函数为f (x )=lg xx +-11(－1＜x ＜1)由已知得g (x )=21+x ,∴F (x )=lgxx +-11+21+x ,定义域为(－1，1)(2)用定义可证明函数u =xx +-11=－1+12+x 是(－1，1）上的减函数，且y =lg u 是增函数∴f (x )是(－1，1）上的减函数，故不存在符合条件的点A 、B7 解 (1）y =f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧∈+--∈-]1,0[,1)0,1[,12x x x x 的图像如图所示y =f (x )的曲线绕x 轴旋转一周所得几何体是由一个半径为1的半球及底面半径和高均为1的圆锥体组成，其表面积为(2+2)π(2)当f 1(x +a )=f 2(x )有两个不等实根时，a 的取值范围为2－2＜a ≤1(3)若f 1(x )>f 2(x －b )的解集为［－1，21］，则可解得b8 (1)g (x )=x －(2)b =4时，交点为(5，4)；b =0时，交点为(3，0)(3)不等式的解集为{x |4＜x ＜29或x >6}课前后备注。
高中数学指数函数与对数函数的极限与连续性解析
高中数学指数函数与对数函数的极限与连续性解析在高中数学中，指数函数和对数函数是重要的数学概念，它们在各个领域都有广泛的应用。
理解指数函数和对数函数的极限与连续性是学好高中数学的关键之一。
本文将通过具体的题目举例，分析其考点，并给出解题技巧和指导性语言，以帮助高中学生和他们的父母更好地理解和应用这些概念。
一、指数函数的极限与连续性1. 考点：指数函数的极限题目：求极限lim(x->∞) 2^x解析：这是一个典型的指数函数极限题目。
指数函数的极限通常可以通过观察底数的性质来确定。
在这个题目中，当x趋向于正无穷时，2^x也会趋向于正无穷，因为指数函数的增长速度非常快。
解题技巧：观察底数的性质，确定极限的趋势。
2. 考点：指数函数的连续性题目：证明函数f(x) = 3^x在整个实数域上连续。
解析：要证明一个函数在整个实数域上连续，需要证明其在任意一点的左右极限存在且相等。
对于指数函数来说，它在整个实数域上都是连续的，因为指数函数的底数是正数，且不等于1，所以其左右极限都存在且相等。
解题技巧：证明指数函数的连续性，只需证明其底数为正数且不等于1即可。
二、对数函数的极限与连续性1. 考点：对数函数的极限题目：求极限lim(x->0+) log(x)解析：对数函数的极限通常需要利用对数函数的性质进行求解。
在这个题目中，当x趋向于0时，log(x)趋向于负无穷。
因为对数函数的定义域是正数，所以log(x)在0的右侧无定义，因此其极限为负无穷。
解题技巧：利用对数函数的性质，确定极限的趋势。
2. 考点：对数函数的连续性题目：证明函数f(x) = log(x)在开区间(0,∞)上连续。
解析：要证明一个函数在开区间上连续，需要证明其在该区间内的任意一点的左右极限存在且相等。
对于对数函数来说，在开区间(0,∞)上是连续的，因为其定义域是正数，且log(x)的左右极限都存在且相等。
解题技巧：证明对数函数的连续性，只需证明其定义域为正数即可。
高中三年数学掌握函数的极限与连续性概念
高中三年数学掌握函数的极限与连续性概念在高中的数学学习中，函数是一个非常重要的概念，而函数的极限与连续性更是涉及到数学分析与应用的核心内容。
在高中三年数学的学习过程中，掌握函数的极限与连续性概念对于学生的数学素养提升和应试能力的提高至关重要。
一、函数的极限概念函数的极限概念是几乎贯穿于整个高中数学的学习过程中的一个重要概念，在高中数学的学习中，主要包括无穷与无限小量、极限的定义、函数极限的性质和运算等方面的内容。
无穷与无限小量是函数极限概念中的重点内容之一，通过引入无穷大和无穷小的概念，可以更好地描述函数在某一点或趋近于某一点时的特性。
学生需要通过举一些实例，来理解无穷与无限小量的概念以及它们在实际问题中的应用。
极限的定义是函数极限概念的核心，学生需要了解并掌握极限的定义，理解极限的含义。
通过使用极限的定义，可以推导出函数在某一点的极限值，并进一步应用到一些实际的数学问题中。
在学习过程中，举一些具体的实例进行讲解和练习，可以帮助学生更好地理解和掌握极限的定义。
函数极限的性质和运算也是学习函数极限概念过程中需要重点关注的内容。
学生需要了解并掌握函数极限的性质和运算规则，如极限的四则运算、复合函数的极限等。
通过举一些实例进行讲解和练习，可以帮助学生熟悉和掌握函数极限的性质和运算规则，提高他们对函数极限的理解和运用能力。
二、函数的连续性概念函数的连续性概念在高中数学的学习中也是一个重要的内容，主要包括函数连续的定义、连续函数的性质和运算等方面的内容。
函数连续的定义是函数连续性概念的核心，学生需要了解并掌握连续函数的定义，理解连续性的含义。
通过使用连续的定义，可以判断函数在某一点或某一段区间上是否连续，进一步应用到一些实际的数学问题中。
在学习过程中，可以通过举一些实际的例子进行讲解和练习，帮助学生更好地理解和掌握连续性的定义。
连续函数的性质和运算也是学习连续性概念过程中需要重点关注的内容。
学生需要了解并掌握连续函数的性质和运算规则，如连续函数的四则运算、复合函数的连续性等。
高中数学备课教案函数的连续与间断点
高中数学备课教案函数的连续与间断点高中数学备课教案函数的连续与间断点一、引言函数的连续性和间断点是高中数学中重要的概念，对于理解和应用函数具有重要作用。
本教案将详细介绍函数的连续性和间断点的概念、判定方法以及相关性质。
二、函数的连续性连续性是函数概念中最基本的性质之一，它表示函数在某个点上的值与其邻近点上的函数值之间存在接近的关系。
1. 连续的定义在数学中，若函数 f(x) 在点 x=a 处的极限存在且与 f(a) 的值相等，则称函数在点 x=a 处连续。
2. 连续的判定函数在某一点处连续的判定方法有三种：利用定义、利用函数的性质、利用间断点的概念。
3. 连续函数的性质连续函数具有以下性质：- 连续函数的和、差、积仍然是连续函数。
- 连续函数的复合函数仍然是连续函数。
- 有界闭区间上的连续函数必定有最大值和最小值。
三、函数的间断点在函数的定义域内，存在使函数值发生突变的点，这些点被称为函数的间断点。
1. 第一类间断点若函数 f(x) 在点 x=a 处的左、右极限存在，但左、右极限不相等，则称点 x=a 为函数的第一类间断点。
2. 第二类间断点若函数 f(x) 在点 x=a 处的左、右极限至少有一个不存在，则称点x=a 为函数的第二类间断点。
3. 可去间断点若函数 f(x) 在点 x=a 处的极限存在，但与 f(a) 的值不相等，则称点x=a 为函数的可去间断点。
4. 跳跃间断点若函数 f(x) 在点 x=a 处的左、右极限存在且不相等，则称点 x=a 为函数的跳跃间断点。
四、连续性与间断点的应用函数的连续性和间断点有广泛的应用，涉及到极限、导数、积分等数学领域。
1. 连续函数的导数连续函数在其定义域内的导函数仍然是连续函数。
2. 连续函数的积分连续函数在其定义域内的积分仍然是连续函数。
3. 最值问题利用连续函数的性质，可以解决最值问题，如求函数在闭区间上的最大值和最小值。
五、综合练习通过综合练习，巩固对函数的连续性和间断点的理解和应用。
高中数学常见函数及其应用
高中数学常见函数及其应用数学是一门广泛应用于各个领域的学科，而函数是数学中的基本概念之一。
在高中数学中，我们需要掌握并熟练运用一些常见函数及其应用。
本文将介绍一些常见的高中数学函数及其在实际问题中的应用。
一、线性函数线性函数是最简单的一类函数，其表达式为y = kx + b，其中k和b为常数。
线性函数的图像为一条直线，其斜率k代表直线的倾斜程度，而常数b代表直线与y轴的截距。
线性函数常见的应用有以下几种：1. 方程的解：在线性方程中，我们常常需要求解一元一次方程。
以y = 2x + 3为例，我们可以通过这个线性函数找到方程的解。
当x取特定的值时，我们可以求得对应的y值，从而得到该方程的解。
2. 直线的斜率和截距：线性函数的斜率和截距可以帮助我们分析直线的性质。
斜率决定了直线的倾斜程度，而截距则决定了直线与y轴的交点。
二、二次函数二次函数是一个非常常见的函数形式，其表达式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为常数，且a不等于0。
二次函数的图像通常是一个开口向上或向下的抛物线，常见的应用有以下几种：1. 抛物线的顶点问题：二次函数的顶点是抛物线的最高点或者最低点，在实际问题中可以用来寻找最优解，例如最大值或最小值。
2. 建模问题：二次函数可以用来建立实际问题的模型。
例如，通过分析苹果从树上掉落的过程，可以建立一个与时间相关的二次函数来描述苹果的运动轨迹。
三、指数函数指数函数是以一个正常数为底数，变量为指数的函数，其表达式为y = a^x，其中a为常数且大于0。
指数函数的图像通常是上升或下降的曲线，常见的应用有以下几种：1. 指数增长问题：指数函数在自然界中的许多现象都有应用，例如人口增长、细胞分裂等。
通过分析指数函数的特点，我们可以预测未来的发展趋势。
2. 复利计算：指数函数在金融领域中有着重要的应用，特别是在计算复利方面。
通过利率和时间的指数函数关系，我们可以计算复利的收益。
四、对数函数对数函数是指以一个正常数为底数，另一个正数为真数的函数，其表达式为y = loga(x)，其中a为常数且大于0且不等于1。
高中数学中的极限与函数连续性
高中数学中的极限与函数连续性在高中数学课程中，极限和函数连续性是两个重要的概念。
它们在微积分和数学分析中起着核心作用，对于理解和解决数学问题至关重要。
本文将深入探讨高中数学中的极限和函数连续性。
一、极限极限是数学中的一个基本概念，它用于描述函数在某一点上的趋近情况。
通常来说，我们将自变量趋近于某个特定值，观察函数的表现。
如果函数在该特定值的附近逐渐接近一个确定的值，那么我们称此值为函数在该点的极限。
极限可以用符号表示。
如果当自变量趋近于特定值时，函数值无限接近于一个常数L，我们可以表示为：lim[f(x)] = L (x→a)其中，lim代表极限的意思，f(x)是函数，x→a表示自变量x趋近于a，L是函数f(x)在点a处的极限值。
通过求取极限可以帮助我们研究函数的性质和行为。
二、函数的连续性函数连续性是指函数在整个定义域上的连续性质。
如果一个函数在其定义域上的任意一点处都满足极限存在且与函数值相等的条件，那么我们称该函数在定义域上连续。
在数学中，函数连续性的形式化定义如下：对于函数f(x)，如果满足以下条件，则称其在点a处连续：1. f(a)存在；2. lim[f(x)] = f(a) (x→a)这意味着函数在点a的函数值与极限值相等。
简单来说，函数的连续性要求函数在点a处没有突变或跳跃，它可以平滑地过渡。
连续性是函数在数值计算和解析推导中的重要性质。
三、极限与函数连续性的关系极限和函数连续性有着密切的联系。
实际上，函数在点a处连续的一个重要条件就是其在该点的极限存在且与函数值相等。
具体来说，如果一个函数在点a处连续，那么它的极限存在且等于函数值。
换句话说，如果函数在点a处不满足极限存在或者与函数值不等的条件，那么该函数在点a处就不连续。
举个例子来说明，考虑函数f(x) = 1/x。
在x=0处，这个函数的极限存在，为正无穷或负无穷，但函数在点x=0处并不连续，因为函数在此处的函数值并不等于极限值。
高考数学考点总复习第讲函数模型及其应用
【解析】 (1)因为 f(x)＝p·qx 是单调函数，f(x)＝logqx＋ p 也是单调函数，而 f(x)＝(x－1)(x－q)2＋p 中 f ′(x)＝3x2 －(4q＋2)x＋q2＋2q.
了解指数函数、对数函数、幂函数、 分段函数等函数模型的意义，并能 建立简单的数学模型，利用这些知 识解决应用问题．
函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型， 不同的变化规律需要用不同的函数模型来描述． 那么，面临一个实际问题，应当如何选择恰当 的函数模型来刻画它呢？事实上，要顺利地建 立函数模型，首先要深刻理解基本函数的图象 和性质，熟练掌握基本函数和常用函数的特点， 并对一些重要的函数模型必须要有清晰的认识． 一般而言，有以下8种函数模型：
【解析】 将各组数据代入验证，选 B.
3.某汽车运输公司，购买了一批豪华大客车投入客运，
据市场分析，每辆客车营运的总利润 y 万元与营运年数 x (x
∈N*)的关系为 y＝－x2＋12x－25，则为使其营运年平均利润
最大，每辆客车营运年数为(
)
A．2
B．4
C．5
D．6
【解析】 平均利润y＝－x2＋12x－25
综上可得，当年销售额 x 在[16,100](万元)内时，y
∈[4,10](万元)．
【点评】已知函数模型问题应根据题中条件找准对应量， 列出函数解析式；再转化为给定定义域上的“给值求值、 给定范围求范围或最值”问题，对自变量的分类很重要！
素材1
某地区的一种特色水果上市时间能持续 5 个月，预测 上市初期和后期会因供不应求使价格呈连续上涨态势，而 中期又将出现供大于求使价格连续下跌，现有三种价格模 拟函数：f(x)＝p·qx，f(x)＝logqx＋p，f(x)＝(x－1)(x－q)2＋ p(以上三式中 p，q 均为常数，且 q>2).
高中数学专题 微专题2 基本初等函数、函数的应用
A.y＝1.002x
1
C.y＝ x 3－5
√B.y＝log7x＋1
D.y＝5＋sin x
由题意，函数在(10,1 000)上单调递增，故D不符合题意，排除D；
1
因为当x∈(10,125)时，y＝x 3－5<0，故C不符合题意，排除C；
当x＝1 000时，1.0021 000≈7.37>5，故y＝1.002x不符合题意，排除A；
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
对于D选项，当T＝360，P＝729时，lg P＝ lg 729∈(lg 102，lg 103)，即lg P∈(2,3)，根 据图象可知，二氧化碳处于超临界状态.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
(1，＋∞)上单调递减，所以由复合函数的单调性可知，f(x)在(－∞，
1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减.易知f(x)的图象关于直线x＝1
对称，所以
c＝f
6
2
＝
f
2－
6
2
，
又
2 2
<2 －
6 2<
3 2
<1 ，
所以
f
2
2
<f
2－
26<f
23，所以
b>c>a.
跟则实踪数训a练的1取值(1)范(2围02是3·广东联考)已知函数f(x)＝2－x，12xx≥，0x<，0，若f(a)<f(6－a)，
PART TWO
热点突破
1.(2023·通州模拟)下列函数中，是奇函数且在定义域内单调递增的是
A.y＝1x C.y＝ex＋e－x
√B.y＝x3
高中数学中的极限与连续函数
高中数学中的极限与连续函数数学是一门精密而又纯粹的学科，它涉及到许多重要的概念和原理。
在数学的大门中，极限与连续函数是必修的课程，它们在高中数学中占据着重要的地位。
本文将重点探讨高中数学中的极限与连续函数的基本概念和性质。
一、极限的概念极限是数学中的一个重要概念，它描述了一个函数在某一点上的趋势或变化情况。
在高中数学中，我们通常用极限符号来表示一个函数在无穷或某一点上的极限值。
例如，lim(x→a)f(x)表示当自变量x趋近于a时，函数f(x)的极限值。
极限具有一些基本的性质。
首先，极限存在唯一性，也就是说一个函数的极限只能有一个值。
其次，如果一个函数的极限存在，那么它的左极限和右极限一定存在，并且相等。
最后，对于无穷极限，我们可以用无穷和有限的值来表示。
二、连续函数的定义与性质连续函数是极限的重要应用之一。
在高中数学中，我们称一个函数在某一点上连续，如果它在该点上的极限值等于该点的函数值。
换句话说，函数在某一点上连续，意味着它不存在跳跃或间断的情况。
连续函数具有一些基本的性质。
首先，如果一个函数在某点上连续，那么它在该点的某个小区间内也是连续的。
其次，连续函数的四则运算结果仍然是一个连续函数。
此外，连续函数与极限之间存在着紧密的联系，我们可以利用极限的性质来研究连续函数的特性。
三、极限与连续函数的应用极限与连续函数在高中数学中有着广泛的应用。
首先，它们能够帮助我们探究函数的奇点和特殊点，揭示函数图像的特征。
其次，它们在微积分中有着重要的应用，例如用于求解函数的导数和积分。
此外，极限与连续函数还与数列的收敛性和级数的求和等问题有着密切的关联。
总结：高中数学中的极限与连续函数是数学学习的重要内容。
通过学习极限的概念和连续函数的性质，我们能够更好地理解数学的本质和应用。
极限与连续函数具有广泛的应用领域，不仅在数学中扮演着重要角色，而且在其他学科中也有着重要的应用。
因此，在高中数学学习中，我们要注重理解和掌握极限与连续函数的基本概念和性质，为深入学习和应用打下坚实的基础。
高中总复习二轮数学精品课件 专题一 函数与导数 第2讲 基本初等函数、函数的应用 (2)
(4)形如f(g(x))的函数,可采用换元法,先令g(x)=t,求得当f(t)=0时t的值,然后
根据函数g(x)的图象及性质确定当g(x)=t时x的值的个数即为f(g(x))的零点
的个数,解答时注意数形结合,注意对函数f(x)与g(x)图象及性质的分析.
A.函数f(x)的定义域为R
B.函数f(x)在R上为增函数
C.函数f(x)的值域为(-3,+∞)
D.函数f(x)只有一个零点
)
答案 (1)B (2)AC
解析 (1)由于
1
4
c=log93= ,b=
2
9
1
5
=
2
3
2
5
<
2
3
1
3
=a,又 b=
4
9
1
5
>
1
32
1
5
=
1
,所
2
以 c<b<a.故选 B.
(2)对于选项A,由已知可得函数定义域为R,故A正确;
专题一
第2讲 基本初等函数、函数的应用
内
容
索
引
01
必备知识•精要梳理
02
关键能力•学案突破
必备知识•精要梳理
(1)log
b =logab(a>0,且 a≠1,b>0,m≠0).
n
(2)对数恒等式:lo g =N(a>0,且 a≠1,N>0).
log
(3)换底公式:logaN= log (a,b>0,且 a,b≠1,N>0).
25
函数的极限与连续性高中数学的基石
函数的极限与连续性高中数学的基石函数的极限与连续性函数是高中数学中的重要概念之一，它描述了数值之间的关系。
而函数的极限与连续性则是函数理论的基石，它们在数学分析和实际应用中起着至关重要的作用。
一、函数的极限函数的极限是指当自变量趋近于某一特定值时，函数的值逐渐趋近于一个确定的数。
数学上常用符号lim来表示函数的极限。
对于函数f(x)，当 x 无限接近 a 时，函数的极限可以用以下形式表示：lim(x→a) f(x) = L上式表示当 x 无限接近 a 时，f(x) 的极限等于 L。
这意味着无论 a 有多接近于某个值，只要满足特定条件，函数 f(x) 的值都会无限接近于 L。
二、函数的连续性函数的连续性是指函数在整个定义域上无间断的性质。
简单来说，如果函数在某一点处的极限与函数在该点处的值相等，那么该函数是连续的。
具体地，对于函数f(x)，当 x=a 时，如果满足以下条件，则该函数在点 a 处连续：1. f(a) 存在（函数在点 a 处有定义）；2. lim(x→a) f(x) 存在；3. lim(x→a) f(x) = f(a)。
三、函数极限与连续性的关系函数的极限与连续性是密切相关的。
在很多情况下，函数在某点处的极限与函数在该点的连续性直接相关。
首先，如果一个函数在某点处的极限不存在，那么该函数在该点处不连续。
这是因为在极限不存在的情况下，函数的值不会逐渐趋近于某个确定的数，无法满足连续性的定义。
其次，如果一个函数在某点处连续，那么该函数在该点处的极限存在且等于函数在该点处的值。
这是因为在连续的情况下，函数的值会逐渐趋近于函数在该点处的值，满足极限的定义。
综上所述，函数的极限与连续性是密不可分的。
它们相互依赖，构成了函数理论的基石。
四、函数极限与连续性的应用函数的极限与连续性在实际应用中具有广泛的应用。
例如，在物理学中，函数的极限与连续性用于描述物体的运动轨迹；在经济学中，函数的极限与连续性用于描述市场供需关系的变化。
高三数学第二轮复习专题讲座 人教版
高三数学第二轮复习专题讲座 人教版专题一 函数考点高考要求 1 映射的概念 了解 2 函数的概念 理解 3 函数的单调性的概念 了解 4 简单函数单调性的判断 掌握 5 函数的奇偶性 了解 6 反函数的概念了解 7 互为反函数的函数图象间的关系 了解 8 简单函数的反函数的求法 掌握 9 分数指数幂的概念 理解 10 有理数指数幂的运算性质 掌握 11 指数函数的概念、图象和性质 掌握 12 对数的概念 理解 13 对数的运算法制掌握 14 对数函数的概念、图象和性质 掌握 15运用函数的性质解决简单的实际问题掌握说明：1．了解：要求对所列知识的含义有初步的、感性的认识，知道这一知识内容是什么，并能在有关的问题中直接应用；2．理解和掌握：要求对所列知识内容有较为深刻的理性认识，能够解释、举例或变形、推断，并能利用知识解决有关问题；3．灵活和综合运用：要求系统的掌握知识的内在联系，能够运用所列知识分析和解决较为复杂的或综合性的问题．（以下两点分析主要针对的是2004年全国各地的高考试题，共15套） 二、高考考点分析：在2004年全国各地的高考题中，考查函数的试题或与函数有关的试题大约有56道，在150分中约占25分到30分．对函数，常常从以下几个方面加以考查．1知识点函数的解析式 定义域和值域（包括最大值和最小值） 函数的单调性 函数的奇偶性和周期性 函数的反函数 题量27335函数和一些分段函数，简单的函数方程为背景，难度以中等题和容易题为主，如： 例1．（重庆市）函数)23(log 21-=x y 的定义域是（ D ）A 、[1,)+∞B 、23(,)+∞C 、23[,1]D 、23(,1]例2．（天津市）函数123-=xy （01<≤-x ）的反函数是（ D ）A 、)31(log 13≥+=x x yB 、)31(log 13≥+-=x x yC 、)131(log 13≤<+=x x yD 、)131(log 13≤<+-=x x y也有个别小题的难度较大，如 例3．（北京市）函数,,(),,x x P f x x x M ∈⎧=⎨-∈⎩其中P 、M 为实数集R 的两个非空子集，又规定f P y y f x x P (){|(),}==∈，f M y y f x x M (){|(),}==∈，给出下列四个判断：①若P M ⋂=∅，则f P f M ()()⋂=∅ ②若P M ⋂≠∅，则f P f M ()()⋂≠∅ ③若P M ⋃=R ，则()()f P f M ⋃=R ④若P M R ⋃≠，则()()f P f M ⋃≠R 其中正确判断有（ B ）A 、 1个B 、 2个C 、 3个D 、 4个分析：若P M ⋂≠∅，则只有}0{=⋂M P 这一种可能．②和④是正确的．2．对数形结合思想、函数图象及其变换的考查．对图象的考查有6道试题，也以小题为主，难度为中等． 例4．（上海市）设奇函数f (x )的定义域为[-5，5]．若当x ∈[0，5]时f (x )的图象如右图，则不等式f (x )<0的解是]5,2()0,2( -． 例5．（上海市）若函数y =f (x )的图象可由函数y =lg(x +1)的图象绕坐标原点O 逆时针旋转2π得到，则f （x ）为（ A ） A 、10-x-1 B 、10x-1 C 、1-10-xD 、1-10x3．对函数思想的考查．利用函数的图象研究方程的解；利用函数的单调性证明不等式（常常利用函数的导数来判断和证明函数的单调性）；利用函数的最值说明不等式恒成立等问题．在全部考题中，有7道小题考查了用函数研究方程或不等式的问题，有14道大题考查了函数与方程、不等式、数列等的综合问题． 例6．（1）（浙江省）已知⎩⎨⎧≥<-=,0,1,0,1)(x x x f 则不等式)2()2(+⋅++x f x x ≤5的解集是]23,(-∞．（2）（全国卷3）设函数2(1),1,()41, 1,x x f x x x ⎧+<⎪=⎨--≥⎪⎩则使得f (x )≥1的自变量x 的取值范围为（ A ）A 、(-∞,-2][0,10]B 、(-∞,-2][0,1]C 、(-∞,-2][1,10] D 、[-2,0][1,10]例7．（上海市）已知二次函数y =f 1（x ）的图象以原点为顶点且过点（1，1），反比例函数y =f 2（x ）的图象与直线y =x 的两个交点间距离为8，f （x ）= f 1（x ）+ f 2（x ）． （1）求函数f （x ）的表达式；（2）证明：当a >3时，关于x 的方程f (x )= f (a )有三个实数解．解：（1）由已知,设f 1(x )=ax 2，由f 1(1)=1，得a =1，故f 1(x )= x 2．设f 2(x )=xk(k >0)，它的图象与直线y =x 的交点分别为A (k ，k )、B (－k ,－k ) 由AB =8，得k =8，故f 2(x )=x 8．所以f (x )=x 2+x8． （2）证法一：由f （x ）=f （a ）得x 2+x 8=a 2+a 8， 即x 8=－x 2+a 2+a 8．在同一坐标系内作出f 2(x )=x 8和f 3(x )= －x 2+a 2+a8的大致图象，其中f 2(x )的图象是以坐标轴为渐近线，且位于第一、三象限的双曲线，f 3(x )的图象是以(0，a 2+a8)为顶点，开口向下的抛物线．因此,，f 2(x )与f 3(x )的图象在第三象限有一个交点，即f (x )=f (a )有一个负数解． 又因为f 2(2)=4,，f 3(2)= －4+a 2+a8 当a >3时，f 3(2)－f 2(2)= a 2+a8－8>0, 所以当a >3时，在第一象限f 3(x )的图象上存在一点(2，f (2))在f 2(x )图象的上方． 所以f 2(x )与f 3(x )的图象在第一象限有两个交点，即f (x )=f (a )有两个正数解． 因此，方程f (x )=f (a )有三个实数解． 证法二：由f (x )=f (a )，得x 2+x 8=a 2+a 8， 即(x －a )(x +a －ax8)=0，得方程的一个解x 1=a ． 方程x +a －ax8=0化为ax 2+a 2x －8=0，由a >3，∆=a 4+32a >0，得 x 2=a a a a 23242+--， x 3=aa a a 23242++-，因为x 2<0, x 3>0, 所以x 1≠ x 2，且x 2≠ x 3．若x 1= x 3，即a =aa a a 23242++-，则3a 2=a a 324+， a 4=4a ，得a =0或a =34，这与a >3矛盾，所以x 1≠ x 3． 故原方程f (x )=f (a )有三个实数解． 例8．（福建高考题）已知f (x )=2324()3x ax x x +-∈R 在区间[－1，1]上是增函数． （Ⅰ）求实数a 的值组成的集合A ； （Ⅱ）设关于x 的方程f (x )=3312x x +的两个非零实根为x 1、x 2．试问：是否存在实数m ，使得不等式m 2+tm +1≥|x 1－x 2|对任意a ∈A 及t ∈[－1，1]恒成立？若存在，求m 的取值范围；若不存在，请说明理由.解：（Ⅰ）f ＇(x )=4+2,22x ax - ∵f (x )在[－1，1]上是增函数，∴f ＇(x)≥0对x ∈[－1，1]恒成立，即x 2－ax －2≤0对x ∈[－1，1]恒成立． ①设ϕ(x )=x 2－ax －2，方法一：① ⇔ ⎩⎨⎧≤-+=-≤--=021)1(021)1(a a ϕϕ ⇔－1≤a ≤1，∵对x ∈[－1，1]，只有当a =1时，f ＇(-1)=0以及当a =－1时，f ＇(1)=0∴A ={a |－1≤a ≤1}.方法二：①⇔ ⎪⎩⎪⎨⎧≤-+=-≥021)1(02a a ϕ或⎪⎩⎪⎨⎧≤--=<021)1(02a a ϕ⇔ 0≤a ≤1或－1≤a ≤0⇔ －1≤a ≤1．∵对x ∈[－1，1]，只有当a =1时，f ＇(－1)=0以及当a =－1时，f ＇(1)=0， ∴A ={a |－1≤a ≤1}． （Ⅱ）由,02,0,3123242332=--=+=-+ax x x x x x ax x 或得 ∵△=a 2+8>0，∴x 1，x 2是方程x 2－ax －2=0的两非零实根，x 1+x 2=a ，x 1x 2=－2， 从而|x 1－x 2|=212214)(x x x x -+=82+a ． ∵－1≤a ≤1，∴|x 1-x 2|=82+a ≤3．要使不等式m 2+tm +1≥|x 1－x 2|对任意a ∈A 及t ∈[－1，1]恒成立， 当且仅当m 2+tm +1≥3对任意t ∈[－1，1]恒成立，即m 2+tm －2≥0对任意t ∈[－1，1]恒成立. ②设g(t)=m 2+tm －2=mt +(m 2－2)，方法一：②⇔ g (－1)=m 2－m －2≥0且g (1)=m 2+m －2≥0，⇔m ≥2或m ≤－2.所以，存在实数m ，使不等式m 2+tm +1≥|x 1－x 2|对任意a ∈A 及t ∈[－1，1]恒成立，其取值范围是{m |m ≥2，或m ≤－2}. 方法二：当m =0时，②显然不成立；当m ≠0时，②⇔m >0，g (－1)=m 2－m －2≥0 或m <0，g (1)=m 2+m －2≥0 ⇔ m ≥2或m ≤－2.所以，存在实数m ，使不等式m 2+tm +1≥|x 1－x 2|对任意a ∈A 及t ∈[-1，1]恒成立，其取值范围是{m |m ≥2，或m ≤－2}.说明：本题主要考查函数的单调性，导数的应用和不等式等有关知识，考查数形结合及分类讨论思想和灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力． 三、高考热点分析函数几乎贯穿了高中数学的始末，它与高中数学的每一部分内容几乎都有联系．对函数的认识，应该包含对函数的概念和性质的理解；对二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等基本初等函数和分段函数的概念和性质的理解；函数图象的变换和应用；建立函数模型解决问题的意识等．在复习过程中，以下几点值得重视：1．重视对函数概念和基本性质的理解．包括定义域、值域（最值）、对应法则、对称性（包括奇偶性）、单调性、周期性、反函数、图象变换、基本初等函数（常常是载体）等．研究函数的性质要注意分析函数解析式的特征，同时要注意函数图象（形）的作用．对这部分知识的考查，除了一部分比较简单的小题直接考查函数某一方面的性质外，常常是对函数综合的类型较多（中等难度题，以小题和前三道大题为主），包括函数内部多种知识的综合，函数同方程、不等式、数列的综合．例1．（北京市）函数f x x ax ()=--223在区间［1，2］上存在反函数的充分必要条件是（ D ）A . a ∈-∞(,]1B . a ∈+∞[,)2C . a ∈[,]12D . a ∈-∞⋃+∞(,][,)12 说明：涉及二次函数的单调性、反函数的概念、充分必要条件等知识．例2． （福建省）已知函数y =log 2x 的反函数是y =f —1(x )，则函数y = f —1(1－x )的图象是（ C ）例3．（全国高考题3）已知函数y =f (x )是奇函数，当x ≥0时，f (x )=3x -1，设f (x )的反函数是y =g (x )，则g (-8)=___-2_____．例4．（湖北省）函数]1,0[)1(log )(2在++=x a x f a 上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值为（ B ）A 、41B 、21 C 、2 D 、4例5．（北京市）在函数f x ax bx c ()=++2中，若a ，b ，c 成等比数列且f ()04=-，则f x ()有最大 值（填“大”或“小”），且该值为-3．例6．（湖南省）设函数,2)2(),0()4(.0,2,0,)(2-=-=-⎩⎨⎧>≤++=f f f x x c bx x x f 若则关于x 的方程x x f =)(解的个数为（ C ）A 、1B 、2C 、3D 、4例7．（江苏省）设k >1，f (x )=k (x -1)(x ∈R ) ．在平面直角坐标系xOy 中，函数y =f (x )的图象与x 轴交于A 点，它的反函数y =f -1(x )的图象与y 轴交于B 点，并且这两个函数的图象交于P 点．已知四边形OAPB 的面积是3，则k 等于（ B ）A 、3B 、32C 、43D 、65例8．（上海市）记函数f (x )=132++-x x 的定义域为A ，g (x )=lg [(x －a －1)(2a －x )](a <1) 的定义域为B ． （1）求A ；（2）若B ⊆A , 求实数a 的取值范围． 解：（1）2－13++x x ≥0，得11+-x x ≥0， x <－1或x ≥1，即A =(－∞，－1) [1，+ ∞)． （2）由(x －a －1)(2a －x )>0，得(x －a －1)(x －2a )<0．因为a <1，所以a +1>2a ，故B =(2a ，a +1)． 因为B ⊆A ，所以2a ≥1或a +1≤－1，即a ≥21或a ≤－2，而a <1， 所以21≤a <1或a ≤－2，故当B ⊆A 时，实数a 的取值范围是(－∞，－2] [21，1)．例9．（2003年全国理科高考题）已知.0>c 设P ：函数xc y =在R 上单调递减.Q ：不等式1|2|>-+c x x 的解集为R ，如果P 和Q 有且仅有一个正确，求c 的取值范围.解：函数xc y =在R 上单调递减.10<<⇔c不等式|2|1|2| 1.x x c R y x x c +->⇔=+-R 的解集为函数在上恒大于 22,2,|2|2,2,1|2|2.|2|121.211,,0.,, 1.(0,][1,).22x c x c x x c c x c y x x c c x x c R c c P Q c P Q c c -≥⎧+-=⎨<⎩∴=+-∴+->⇔>⇔><≤≥⋃+∞R 函数在上的最小值为不等式的解集为如果正确且不正确则如果不正确且正确则所以的取值范围为 2．重视利用导数研究函数的单调性等性质，进而证明一些不等式或转化一些不等式恒成立问题． 例10．（全国高考题1）已知13)(23+-+=x x ax x f 在R 上是减函数，求a 的取值范围. 分析：函数13)(23+-+=x x ax x f 在R 上递减等价于0)(≤'x f 恒成立．解：函数f (x )的导数：.163)(2-+='x ax x f当0)(≤'x f （x ∈R ）时，)(x f 是减函数.23610()ax x x +-≤∈R .3012360-≤⇔≤+=∆<⇔a a a 且所以，所求a 的取值范围是（].3,-∞-说明：这类问题在2004年全国各地的高考题中大量出现，需重视． 例11．（重庆市）设函数()(1)(),(1)f x x x x a a =-->（1）求导数/()f x ；并证明()f x 有两个不同的极值点12,x x ； （2）若不等式12()()0f x f x +≤成立，求a 的取值范围． 解：（1）.)1(23)(2a x a x x f ++-='.0)(,;0)(,;0)(,:)())((3)(,,,,04)1(4.0)1(230)(221121212122>'><'<<<'<'--='<>≥+-=∆=++-='x f x x x f x x x x f x x x f x x x x x f x x x x a a a a x a x x f 时当时当时当的符号如下可判断由不妨设故方程有两个不同实根因得方程令因此1x 是极大值点，2x 是极小值点.（2）因故得不等式,0)()(21≤+x f x f ：.0)(]2))[(1(]3))[((.0)())(1(212122121221212122213231≤++-++--++≤++++-+x x a x x x x a x x x x x x x x a x x a x x 即又由（I ）知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+.3),1(322121a x x a x x ，代入前面不等式，两边除以（1+a ），并化简得.02522≥+-a a.0)()(,2,.)(212:21成立不等式时当因此舍去或解不等式得≤+≥≤≥x f x f a a a 例12．（2003年江苏高考题）已知n a ,0>为正整数. （Ⅰ）设1)(,)(--='-=n n a x n y a x y 证明；（Ⅱ）设).()1()1(,,)()(1n f n n f a n a x x x f n n n n n '+>+'≥--=+证明对任意证明：（Ⅰ）因为nk knnC a x 0)(=∑=-k kn x a --)(，所以1)(--=-='∑k kn nk kn xa kC y nk n 0=∑=.)()(1111------=-n k k n k n a x n x a C （Ⅱ）对函数nn n a x x x f )()(--=求导数:nn n n n n n n n n n n n n a n n a n n a n x a x x x f a x x f a x a n n n n f a x n nx x f )()1()1(,,.)()(,.0)(,0].)([)(,)()(1111-->-+-+≥--=≥∴>'>≥--='--='----时当因此的增函数是关于时当时当所以∴))()(1(])1()1)[(1()1(1n n n n n a n n n a n n n n f --+>-+-++=+'+ ).()1())()(1(1n f n a n n n n n n n '+=--+>- 即对任意).()1()1(,1n f n n f a n n n '+>+'≥+四、二轮复习建议（正文用宋体五号字）1．进一步加强对基本概念、基础知识、基本方法的理解和训练（在函数性质和函数与其他知识的小综合上要多加训练，这是关键）．2．在二轮复习过程中，做两件事情：一是分专题讲解“函数、导数与不等式”（重点）、“函数与数列”，二是在整个复习过程中，不断渗透函数的思想方法和数形结合的思想方法． 一些备选例题：1．（2000年春季）已知函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d 的图象如图所示，则（ A ）A 、b ∈(-∞，0)B 、 b ∈(0,1)C 、 b ∈(1,2)D 、 b ∈(2,+∞) 分析：显然，（想方程）方程f (x )=0的根为0、1、2，所以，可以设f (x )=ax (x -1)(x -2)，与f (x )=ax 3+bx 2+cx +d 比较可得：b =-3a ．（想不等式）又x >2时，有f （x ）>0，于是有a >0，故b <0.2．（2000年上海）已知函数f (x )=xax x ++22,x ∈[)+∞,1.（1）当a =21时，求函数f (x )的最小值； （2）若对任意的x ∈[)+∞,1,f (x )>0恒成立，试求a 的取值范围．分析：本题考查求函数的最值的方法，以及等价变换和函数思想的运用．当a =21时，f (x )=221++xx ≥222212+=+⋅x x ，当且仅当22,21==x x x 即时等号成立，而[)∞+∉122，也就是说这个最小值是取不到的． 解：(1)当a =21时，f (x )=221++xx ，函数f (x )在区间[)+∞,1上为增函数（证明略），所以当x =1时，取到最小值f (1)=3.5.(2)解法一：f (x )>0恒成立，就是x 2+2x +a >0恒成立，而函数g (x )=x 2+2x +a 在[)+∞,1上增函数，所以当x =1时，g (x )取到最小值3+a ，故3+a >0，得：a >-3．解法二：f (x )>0恒成立，就是x 2+2x +a >0恒成立，即a >-x 2-2x 恒成立，这只要a 大于函数-x 2-2x 的最大值即可．而函数-x 2-2x 在[)+∞,1上为减函数，当x =1时，函数-x 2-2x 取到最大值-3，所以a >-3．说明：函数、方程不等式之间有着密切的联系，在解题时要重视这种联系，要善于从函数的高度理解方程和不等式的问题，也要善于利用方程和不等式的知识解决函数的问题．3．某工厂有一个容量为300吨的水塔，每天从早上6时起到晚上10时止供应该厂的生产和生活用水，已知该厂生活用水为每小时10吨，工业用水量W （吨）与时间t （小时，且规定早上6时t ＝0）的函数关系为W ＝100t ．水塔的进水量分为10级，第一级每小时进水10吨，以后每提高一级，每小时进水量就增加10吨．若某天水塔原有水100吨，在开始供水的同时打开进水管，问进水量选择为第几级时，既能保证该厂的用水（水塔中水不空）又不会使水溢出?分析：本题主要考查由实际问题建立函数关系式、并利用函数关系解决实际问题.解本题时, 在建立函数关系式后,根据题意应有0＜y ≤300对t 恒成立（注意区分不等式恒成立和解不等式的关系）． 解：设进水量选第x 级，则t 小时后水塔中水的剩余量为y ＝100＋10xt －10t －100t ，且0≤t ≤16．根据题意0＜y ≤300，∴0＜100＋10xt －10t －100t ≤300．0 1 2 xy由左边得x ＞1＋10（t t11-）＝1＋10〔－2)211(-t ＋41〕， 当t ＝4时，1＋10〔－2)211(-t ＋41〕有最大值3．5．∴x ＞3．5．由右边得x ≤t t 1020+＋1，当t ＝16时，tt 1020+＋1有最小值4．75，∴x ≤4．75． 综合上述，进水量应选为第4级．说明：a 为实数，函数f (x )定义域为D ，若a >f (x )对x D ∈恒成立，则a >f (x )的最大值；若a <f (x )对x D ∈恒成立，则a <f (x )的最小值．4．设()x f 是定义在[-1，1]上的偶函数，()x g 与()x f 的图象关于直线01=-x 对称．且当[]3,2∈x 时，()()()()为实数a x x a x g 32422---⋅=（1）求函数()x f 的表达式；（2）在(]6,2∈a 或()+∞,6的情况下，分别讨论函数()x f 的最大值，并指出a 为何值时，()x f 的图像的最高点恰好落在直线12=y 上．分析：（1）注意到()x g 是定义在区间[]3,2上的函数，因此，根据对称性，我们只能求出()x f 在区间[]0,1-上的解析式，()x f 在区间[]1,0上的解析式，则可以根据函数的奇偶性去求．简答：()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-≤≤-+-=1024012433x ax x x ax x x f（2）因为()x f 为偶函数，所以，()x f （11≤≤-x ）的最大值，必等于()x f 在区间[]1,0上的最大值．故只需考虑10≤≤x 的情形，此时，()ax x x f 243+-=．对于这个三次函数，要求其最大值，比较容易想到的方法是：考虑其单调性．因此，可以求函数()x f 的导数．简答：如果()+∞∈,6a 可解得：8=a ； 如果(]6,2∈a ，可解得：61833>=a ，与(]6,2∈a 矛盾．故当8=a 时，函数()x f 的图像的最高点恰好落在直线12=y 上．说明：（1）函数的单调性为研究最值提供了可能；（2）奇偶性可以使得我们在研究函数性质时，将问题简化到定义域的对称区间上． 5．已知函数3211()(1)32f x x b x cx =+-+ (b 、c 为常数),(Ⅰ) 若()f x 在x =1和x =3处取得极值，试求b 、c 的值；(Ⅱ)若()f x 在12(,),(,)x x x ∈-∞+∞上单调递增且在12(,)x x x ∈上单调递减,又满足211x x ->，求证：22(2)b b c >+；(Ⅲ) 在（Ⅱ）的条件下，若1t x <，试比较2t bt c ++与1x 的大小，并加以证明． 解： (Ⅰ)'2()(1)f x x b x c =+-+，由题意得:1和3是方程2(1)0x b x c +-+=的两根，113,1 3.b c -=+⎧∴⎨=⨯⎩解得3,3.b c =-⎧⎨=⎩ (Ⅱ)由题得:当12(,),(,)x x x ∈-∞+∞时，'()0f x >；12(,)x x x ∈时, '()0f x <．12,x x ∴是方程2(1)0x b x c +-+=的两根，则12121,,x x b x x c +=-=222121212212122212(2)24[1()]2[1()]4()41() 1.b bc b b cx x x x x x x x x x x x ∴-+=--=-+--+-=+--=--211x x ->,2221()10,2(2)x x b b c ∴-->∴>+.(Ⅲ) 在(Ⅱ)的条件下,由上一问知212(1)()(),x b x c x x x x +-+=-- 即212()(),x bx c x x x x x ++=--+所以2112112()()()(1),t bt c x t x t x t x t x t x ++-=--+-=-+-2121111,10,0,0,x x t t x t x t x >+>+∴+-<<<∴-<又 2121()(1)0,.t x t x t bt c x ∴-+->++>即。
高考数学难点突破_难点33__函数的连续及其应用
高考数学难点突破_难点33__函数的连续及其应用函数的连续及其应用1.函数的连续性函数的连续性是指在其定义域上，函数在任意一点的左右极限存在且相等，即函数在这一点处没有跳跃或间断现象。
具体来说，函数f(x)在x=a处连续，是指当x无限接近于a时，f(x)无限接近于f(a)。
要判断函数的连续性，可以通过求函数的极限来进行判断。
设函数f(x)定义域为D，x=a是D的一个聚点，则函数f(x)在x=a处连续的充要条件是：lim┬(x→a)f(x)=f(a)在求函数的极限时，可以运用极限的性质，如四则运算、复合函数的极限、三角函数的极限等。
2.应用题在高考中，经常会出现与函数的连续性相关的应用题，下面我们通过例题来具体分析：例1：设函数f(x)在(-∞,+∞)上连续，且f(1)=2，f(2)=4，f(3)=5，则方程f(x)=3的根的个数为（）。
解析：根据题目中给出的条件，我们知道函数f(x)在x=1、x=2和x=3处的函数值，而函数在这些点上连续。
由于函数在这些点的函数值没有间断现象，所以可以用插值法求解方程f(x)=3的根。
由于f(1)=2，f(2)=4，f(3)=5，我们可以直观地发现，函数在x=2和x=3之间有一个根，所以方程f(x)=3的根的个数为1例2：已知函数f(x)在[-1,1]上连续，且f(x)满足f(x^2)=f(x)，则f(0)的值为（）。
解析：根据题目中给出的条件，我们可以看出函数f(x)存在关于x的对称性，即函数关于x轴对称。
所以，我们只需要找到函数f(x)在[0,1]上的值即可。
由于函数在[-1,1]上连续，所以可以得到f(1)=f((-1)^2)=f(-1)，即f(1)=f(-1)。
由对称性可得f(0)=f(1)=f(-1)。
所以f(0)的值为f(1)=f(-1)。
因此，f(0)的值在题目中是无法确定的。
通过以上两个例题的分析，我们可以看出，对于函数的连续性应用题，需要根据题目中给出的条件来进行具体分析。
高中数学专题学习：函数的综合应用
第6讲 函数的综合应用一、知识梳理二、方法归纳1. 函数综合应用的重点函数的综合应用重点解决好四个问题： ①准确深刻地理解函数的有关概念； ②揭示函数与其他数学知识的内在联系； ③把握数形结合的思想和方法；④认识函数思想的实质，强化应用意识．准确、深刻理解函数的有关概念 概念是数学的基础，函数概念是数学中最主要的概念之一，函数概念贯穿在中学代数的始终．数、式、方程、不等式、初等函数等都是以函数为中心的代数． 揭示函数与其他数学知识的内在联系函数是研究变量及相互联系的数学概念，是变量数学的基础，利用函数观点可以从较高的角度处理数、式、方程、不等式、直线与圆的方程等内容．所谓函数观点，实质是将问题放到动态背景上去加以考虑．在利用函数和方程的思想进行思维中，动与静、变量与常量生动的辩证统一，揭示了函数思维实际上是辩证思维的一种特殊表现形式． 把握数形结合的思想和方法函数图象的几何特征与函数性质的数量特征紧密结合，有效地揭示了各类函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等基本属性，体现了数形结合的思想与方法．因此，既要从定形、定性、定理、定位等方面精确地观察图形、绘制简图，又要熟练地掌握函数图象的常规变换，体现了“数”变换与“形”变换的辩证统一．认识函数思想的实质，强化应用意识函数思想的实质就是应用联系与变化的观点提出数学对象，抽象数量特征，建立函数模型，求得问题的解决．函数思想方法的应用不但重要，而且广泛，必须强化函数建模思想的应用，学会运用函数建模的思想方法解决实际问题． 2.函数的应用（1）函数图象、性质与最值的综合应用； （2）函数与方程、不等式的综合应用； （3）函数模型的综合实际应用． 三、典型例题精讲【例1】已知定义在R 上的奇函数)(x f 和偶函数)(x g 满足2)()(+-=+-xx a a x g x f ，)1,0(≠>a a ，若a g =)2(，则=)2(f （ ） A ． 2 B ．415 C ．417 D ．2a又例：设函数)(x f 和)(x g 分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（ ）A ．)(x f +|)(x g |是偶函数B ．)(x f -|)(x g |是奇函数C ．|)(x f | +)(x g 是偶函数D ．|)(x f |- )(x g 是奇函数【例2】已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<-≥=2,)1(2,2)(3x x x x x f ，若关于x 的方程k x f =)(有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是________.又例：已知函数⎩⎨⎧≤+>=0,10,2)(x x x x x f ，若0)1()(=+f a f ，则实数a 的值等于（ ）A ．－3B ．－1C ．1D ．3再例:设函数⎩⎨⎧>≤-=0,0,)(2x x x x x f ， 若4)(=αf ，则实数=α（ ）A ．－4或－2B ．－4或2C ．－2或4D ．－2或2【例3】函数x y 416-=的值域是（ ）A ．[0,)+∞B ．[0,4]C ．[0,4)D ．(0,4)又例：设函数)(x f ＝⎩⎨⎧-≤-，＞，，，1log 11 221x x x x 则满足)(x f ≤2的x 的取值范围是（ ）A ． [－1，2]B ． [0，2]C ． [1，＋∞）D ． [0，＋∞） 再例:若)12(log 1)(21+=x x f ，则)(x f 定义域为（ ）A ．)0,21(-B ．]0,21(-C ．),21(+∞- D ．),0(+∞ 【例4】函数613122+-+-=x )a (x )a ()x (f ，（1）若)(x f 的定义域为R ，求实数a 的取值范围． （2）若)(x f 的定义域为[－2，1]，求实数a 的值．又例：设函数|1||1|2)(--+=x x x f ，求使22)(≥x f 成立的x 的取值范围．再例：（2010天津理科16）设函数2()1f x x =-，对任意2,3x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，24()(1)4()x f m f x f x f m m ⎛⎫-≤-+ ⎪⎝⎭恒成立，则实数m 的取值范围是 . 【例5】已知()()1,011log ≠>-+=a a xxx f a且． （1）求()x f 的定义域； （2）证明()x f 为奇函数；（3）求使()x f ＞0成立的x 的取值范围．又例：已知函数()x f ＝12log -x a, ,0(>a 且）1≠a ,（1）求函数()x f 的定义域； （2）求使()0>x f 的x 的取值范围．【例6】设函数)(x f 在),(+∞-∞上满足)2()2(x f x f +=-，)7()7(x f x f +=-，且在闭区间[0，7]上，只有0)3()1(==f f ．（Ⅰ）试判断函数)(x f y =的奇偶性；（Ⅱ）试求方程0)(=x f 在闭区间[－2005，2005]上的根的个数，并证明你的结论．又例：偶函数)(x f y =的定义域为R ，且对于任意R x ∈，都有)4()(x f x f -=，又当]2,0[∈x 时，1)(2+-=x x f ，则当[]2012,2010∈x 时，)(x f ＝ ．【例7】如图所示，有一块半径为R 的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形ABCD 的形状，它的下底AB 是⊙O 的直径，上底CD 的端点在圆周上，写出这个梯形周长y 和腰长x 间的函数式，并求出它的定义域．又例：用长为m 的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架（如图），若矩形底边长为2x ，求此框架的面积y 与x 的函数式，并写出它的定义域．四、课后训练1．函数的定义域是 （ ）A ．B ．C ．D ．2．设奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x--<的解集为（ ）A ．(10)(1)-+∞，， B ．(1)(01)-∞-，，C ．(1)(1)-∞-+∞，，D ．(10)(01)-，，3．设(),(),()f x g x h x 是R 上的任意实值函数，如下定义两个函数()()f g x 和()()f g x •：对任意x ∈R ,()()(())f g x f g x =；()()()()f g x f x g x •=．则下列等式恒成立的是（ ）A. (())()(()())()f g h x f h g h x •=••B ．(())()(()())()f g h x f h g h x •=•C ．(())()(()())()f g h x f h g h x =D ．(())()(()())()f g h x f h g h x ••=•••4．已知a x bx x f ++=21)(，（b a ,是常数，ab ≠2），且k xf x f =)1()(．（1）求k ； （2）若2))1((kf f =．求b a ,．5．已知)(x f 是定义在[－1，1]上的奇函数，且)1(f ＝1,若当a ，b ∈[－1,1], 且a ＋b ≠0时，有ba b f a f ++)()(＞0.(1) 判断函数)(x f 在[－1，1]上是增函数，还是减函数，并证明你的结论； (2) 解不等式：)11()21(-<+x f x f ．6．已知函数)(x f ＝xx-+11log 2． （1）求证：)1()()(212121x x x x f x f x f ++=+；（2）若)1(abb a f ++＝1，21)(=-b f ，求)(a f 的值．7．已知二次函数bx ax x f +=2)(b a 、(为常数，且)0≠a 满足条件：)5(+-x f ＝)3(-x f ，且方程)(x f ＝x 有等根．(1)求)(x f 的解析式；(2) 函数)(x f 在[](),1,x t t t R ∈+∈的最大值为()u t ，求()u t 解析式.8．一家报刊摊点从报社进报的价格是每份0.12元，卖出的价格是每份0.20元，卖不掉的报纸还可以以每份0.04元的价格退回报社，在一个月（以30天计算）里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天能卖出250份．但每天从报社买进的份数必须相同，他应该每天从报社买进多少份，才能使每月所获得的利润最大？并计算他一个月最多赚得多少元.。
高中数学人教版《函数的连续性》教案2023版
高中数学人教版《函数的连续性》教案2023版第一节：引言函数的连续性是高中数学中的重要概念之一，它在解决实际问题、分析函数性质以及计算积分等方面起到了重要作用。
通过本教案，我们将全面介绍函数的连续性的概念、性质和计算方法，帮助学生建立正确的观念，培养逻辑思维和数学分析能力，并且通过例题演练加深他们对该知识点的理解。
第二节：函数的连续性概念1. 连续性的定义：介绍什么是函数的连续性，以及连续函数和间断函数的区别。
2. 连续性的三个条件：详解连续函数的三个条件：函数在定义域内有定义、极限存在和函数值等于极限值。
3. 连续性与可导性的关系：介绍可导函数与连续函数之间的关系，以及可导函数在一点的连续性。
第三节：函数的连续性性质1. 连续函数运算性质：介绍连续函数加减乘除的性质，以及连续函数的复合函数是否连续的判定。
2. 闭区间上连续函数性质：讲解闭区间上连续函数的最大值和最小值存在性质，以及零点定理的应用。
3. 介值定理：详细解释介值定理的概念和证明方法，以及介值定理在实际问题中的应用。
第四节：函数连续性的计算方法1. 分段函数的连续性：介绍分段函数在分段点是否连续的判定方法，以及常见的分段函数例题。
2. 反函数的连续性：讲解反函数连续性的判定条件和例题展示。
3. 参数方程的连续性：详解参数方程连续性的考察方法，以及参数方程在连续性问题中的应用。
第五节：例题演练通过一些经典的例题演练，帮助学生巩固所学知识，提高解题能力。
第六节：拓展应用通过一些实际问题的拓展应用，引导学生将所学的函数连续性理论应用到实际问题中，培养解决问题的能力和实际思维能力。
第七节：总结与作业布置对本节课所学内容进行总结，并布置相应的作业，巩固学生对函数连续性的理解。
本教案旨在通过全面系统地介绍高中数学中函数的连续性概念、性质和计算方法，帮助学生深入理解该知识点，并能够运用到实际问题中。
在教学过程中，教师应该注重理论与实践相结合，多设立例题和练习题，培养学生分析和解决问题的能力。
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高中数学复习专题讲座函数的连续及其应用高考要求函数的连续性是新增加的内容之一 它把高中的极限知识与大学知识紧密联在一起 在高考中，必将这一块内容溶入到函数内容中去，因而一定成为高考的又一个热点 本节内容重点阐述这一块知识的知识结构体系重难点归纳1 深刻理解函数f (x )在x 0处连续的概念等式lim 0x x →f (x )=f (x 0)的涵义是(1)f (x 0)在x =x 0处有定义，即f (x 0)存在；(2)lim 0x x →f (x )存在，这里隐含着f (x )在点x =x 0附近有定义；(3)f (x )在点x 0处的极限值等于这一点的函数值，即lim 0x x →f (x )=f (x 0) 函数f (x )在x 0处连续，反映在图像上是f (x )的图像在点x =x 0处是不间断的2 函数f (x )在点x 0不连续，就是f (x )的图像在点x =x 0处是间断的其情形(1)lim 0x x →f (x )存在；f (x 0)存在，但lim 0x x →f (x )≠f (x 0);(2)lim 0x x →f (x )存在，但f (x 0)不存在 (3) lim 0x x →f (x )不存在3 由连续函数的定义，可以得到计算函数极限的一种方法 如果函数f (x )在其定义区间内是连续的，点x 0是定义区间内的一点，那么求x →x 0时函数f (x )的极限，只要求出f (x )在点x 0处的函数值f (x 0)就可以了，即lim 0x x →f (x )=f (x 0)典型题例示范讲解例1已知函数f (x )=242+-x x , (1)求f (x )的定义域，并作出函数的图像；(2)求f (x )的不连续点x 0;(3)对f (x )补充定义，使其是R 上的连续函数命题意图 函数的连续性，尤其是在某定点处的连续性在函数图像上有最直观的反映 因而画函数图像去直观反映题目中的连续性问题也就成为一种最重要的方法 知识依托 本题是分式函数，所以解答本题的闪光点是能准确画出它的图像错解分析 第(3)问是本题的难点，考生通过自己对所学连续函数定义的了解 应明确知道第(3)问是求的分数函数解析式技巧与方法 对分式化简变形，注意等价性，观察图像进行解答解 (1)当x +2≠0时，有x ≠－2因此，函数的定义域是(－∞,－2)∪(－2,+∞)当x ≠－2时，f (x )=242+-x x =x －2, 其图像如上图(2)由定义域知，函数f (x )的不连续点是x 0=－2(3)因为当x ≠－2时，f (x )=x －2,所以)2(lim )(lim 22-=-→-→x x f x x =－4因此，将f (x )的表达式改写为f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧-=--≠+-2)( 4)2( 242x x x x则函数f (x )在R 上是连续函数例2求证 方程x =a sin x +b (a ＞0,b ＞0)至少有一个正根，且它不大于a +b命题意图 要判定方程f (x )=0是否有实根 即判定对应的连续函数y =f (x )的图像是否与x 轴有交点，因此根据连续函数的性质，只要找到图像上的两点，满足一点在x 轴上方，另一点在x 轴下方即可 本题主要考查这种解题方法知识依托 解答本题的闪光点要找到合适的两点，使函数值其一为负，另一为正 错解分析 因为本题为超越方程，因而考生最易想到画图像观察，而忽视连续性的性质在解这类题目中的简便作用证明 设f (x )=a sin x +b －x ,则f (0)=b ＞0,f (a +b )=a ·sin(a +b )+b －(a +b )=a ［sin(a +b )－1］≤0,又f (x )在(0,a +b ］内是连续函数，所以存在一个x 0∈(0,a +b ］，使f (x 0)=0,即x 0是方程f (x )=0的根，也就是方程x =a ·sin x +b 的根因此，方程x =a sin x +b 至少存在一个正根，且它不大于a +b例3已知函数f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤-+-<)51( )1(log )11( )1()1( 32x x x x x x(1)讨论f (x )在点x =－1,0,1处的连续性；(2)求f (x )的连续区间解 (1)lim 1--→x f (x )=3, lim 1+-→x f (x )=－1,所以lim 1-→x f (x )不存在， 所以f (x )在x =－1处不连续，但lim 1-→x f (x )=f (－1)=－1, lim 1--→x f (x )≠f (－1), 所以f (x )在x =－1处右连续，左不连续lim 1-→x f (x )=3=f (1), lim 1+→x f (x )不存在，所以lim 1→x f (x )不存在， 所以f (x )在x =1不连续，但左连续，右不连续又lim 0→x f (x )=f (0)=0,所以f (x )在x =0处连续(2)f (x )中，区间(－∞,－1),［－1,1］,(1,5］上的三个函数都是初等函数，因此f (x )除不连续点x =±1外，再也无不连续点，所以f (x )的连续区间是(－∞,－1),［－1,1］和(1,5]学生巩固练习1 若f (x )=11113-+-+x x 在点x =0处连续，则f (0)等于( )A 23B 32C 1D 02 设f (x )=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<=<<21 11 2110 x x x x 则f (x )的连续区间为( ) A (0，2) B (0，1) C (0，1)∪(1，2) D (1，2)3 xx x x arctan 4)2ln(lim 21--→ =_________4 若f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧≥+<--0 0 11x bx a x x x 处处连续，则a 的值为_________ 5 已知函数f (x )=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠+-)0( 1)0( 121211x x x x (1)f (x )在x =0处是否连续？说明理由；(2)讨论f (x )在闭区间［－1,0］和［0,1］上的连续性6 已知f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧≥+<--)0()0(11x bx a x x x (1)求f (－x );(2)求常数a 的值，使f (x )在区间(－∞,+∞)内处处连续7 求证任何一个实系数一元三次方程a 0x 3+a 1x 2+a 2x +a 3=0(a 0,a 1,a 2,a 3∈R ,a 0≠0)至少有一个实数根8 求函数f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧>-≤)1( )21(log )1( 2x x x x 的不连续点和连续区间参考答案1 解析 ]11][11)1()[11(]11)1()[11)(11()(3332332-+++++++++++-+++=x x x x x x x x x f2311111)0(1111)1(323=+++=++++++=f x x x 答案 A2 解析 11lim )(lim 11==++→→x x x f 21)1(1)(lim ,1lim )(lim 111=≠===→→→--f x f x x f x x x即f (x )在x =1点不连续，显知f (x )在(0,1)和(1,2)连续答案 C 3 解析 利用函数的连续性，即)()(lim 00x f x f x x =→,π=--=--∴→11arctan 4)12sin(11arctan 4)2sin(lim 221x x x答案 π1 21,0)(lim )(lim 21111lim 11lim )(lim :.400000=∴=+==-+=--=++---→→→→→a bx a x f x x x x f x x x x x 解析 答案 21 5 解 f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧=≠+-)0( 1)0(12111x x x (1) lim 10-→x f (x )=－1, lim 0+→x f (x )=1,所以lim 0→x f (x )不存在， 故f (x )在x =0处不连续(2)f (x )在(－∞,+∞)上除x =0外，再无间断点，由(1)知f (x )在x =0处右连续，所以f (x )在［－1，0］上是不连续函数，在［0,1］上是连续函数6 解 (1)f (－x )=⎪⎩⎪⎨⎧≥-<-+)0( )0( 11x bx a x x x (2)要使f (x )在(－∞,+∞)内处处连续，只要f (x )在x =0连续， lim 0-→x f (x )= lim 0-→x x x --11=21111lim )11(lim 00=-+=-+--→→xx x x x x lim 0+→x f (x )=lim 0+→x (a +bx )=a , 因为要f (x )在x =0处连续，只要lim 0+→x f (x )= lim 0+→x f (x )= lim 0+→x f (x )=f (0),所以a =21 7 证明 设f (x )=a 0x 3+a 1x 2+a 2x +a 3,函数f (x )在(－∞,+∞)连续， 且x →+∞时，f (x )→+∞;x →－∞时，f (x )→－∞,所以必存在a∈(－∞,+∞),b∈(－∞,+∞),使f(a)·f(b)＜0,所以f(x)的图像至少在(a,b)上穿过x轴一次，即f(x)=0至少有一实根8 解不连续点是x=1,连续区间是(－∞,1),(1,+∞)课前后备注。