高考数学二轮复习专题五解析几何第3讲圆锥曲线的综合问题课时规范练文

第3讲 圆锥曲线的综合问题

一、选择题

1．已知F 1，F 2是椭圆x24

＋y 2

＝1的左、右焦点，点P 在椭圆上运动，则PF1→·PF2→的最大

值是( )

A ．－2

B ．1

C ．2

D ．4

解析：设P (x ，y )，依题意得点F 1(－3，0)，F 2(3，0)，PF1→·PF2→

＝(－3－x )(3－x )＋y 2

＝x 2

＋y 2

－3＝34x 2－2，因为－2≤x ≤2，所以－2≤34

x 2

－2≤1，因此PF1→·PF2→的最大

值是1.

答案：B

2．(2017·沈阳二模)若点P 为抛物线y ＝2x 2

上的动点，F 为抛物线的焦点，则|PF |的最

小值为( )

A ．2 B.1

2 C.14

D.

18

解析：根据题意，点P 在抛物线y ＝2x 2

上，设P 到准线的距离为d ，则有|PF |＝d ，抛物线的方程为y ＝2x 2

，即x 2

＝12y ，其准线方程为y ＝－18

，所以当点P 在抛物线的顶点时，d 有

最小值18，即|PF |min ＝18

.

答案：D

3．(2017·北京西城区调研)过抛物线y 2

＝43x 的焦点的直线l 与双曲线C ：x22

－y 2

＝1的两个交点分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，若x 1·x 2＞0，则k 的取值范围是( )(导学号

55410132)

A.⎝ ⎛⎭

⎪⎫－12，12

B.⎝

⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎭

⎪⎫

1

2

，＋∞

C.⎝

⎛⎭

⎪⎫

－

22，22

D.⎝ ⎛

⎭⎪⎫－∞，－

22∪⎝ ⎛⎭

⎪⎫22，＋∞

解析：易知双曲线两渐近线y ＝±

22x ，当k ＞22或k ＜－2

2

时，l 与双曲线的右支有两个交点，满足x 1x 2＞0.

答案：D

4．(2017·全国卷Ⅰ改编)椭圆C ：x23＋

y2

m

＝1的焦点在x 轴上，点A ，B 是长轴的两端点，若曲线C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则实数m 的取值范围是( )

A ．(3，＋∞)

B ．[1，3)

C ．(0，3)

D ．(0，1]

解析：依题意，当0＜m ＜3时，焦距在x 轴上，要在曲线C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，

则a

b

≥tan 60°，即

3

m

≥3.解得0＜m ≤1.

答案：D

5．在直线y ＝－2上任取一点Q ，过Q 作抛物线x 2

＝4y 的切线，切点分别为A ，B ，则直

线AB 恒过的点的坐标为( )

A ．(0，1)

B ．(0，2)

C ．(2，0)

D ．(1，0)

解析：设Q (t ，－2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，抛物线方程变为y ＝14

x 2

，则y ′＝12

x ，则

在点A 处的切线方程为y －y 1＝12x 1(x －x 1)，化简得y ＝－12

x 1x －y 1，

同理，在点B 处的切线方程为

y ＝－1

2

x 2x －y 2，

又点Q (t ，－2)的坐标适合这两个方程，

代入得－2＝－12x 1t －y 1，－2＝－12

x 2t －y 2，

这说明A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)都满足方程

－2＝－12

xt －y ，

则直线AB 的方程为y －2＝－12

tx ，直线AB 恒过点(0，2)．

答案：B

二、填空题