4 因式分解

第四章因式分解

【知识归纳】

一、因式分解的有关概念

1．因式

几个整式相乘，每个整式叫做它们的积的_________________.例如(a－3)(a＋1)＝a2－2a－3，a－3和a＋1都是a2－2a－3的因式．

2．公因式

多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的________________.

3．因式分解

把一个多项式化成几个整式的________________的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式．

二、多项式分解的几种常用方法

1、提公因式法

2、公式法

3、分组分解法

4、十字相乘法

5、换元法

6、添项、拆项、配方法

7、待定系数法

【考点突击】

考点一分解因式

【方法技巧】

把一个多项式分解因式，一般可按下列步骤进行：

(1)“提”，先看多项式的各项是否有公因式，若有，必须先提出来；

(2)“套”，若多项式各项没有公因式(或已提取公因式)则可以尝试运用公式来分解；

(3)“查”，分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止．

一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)

二、运用公式法.

在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：

(1) (a+b)(a-b) = a2-b2 ---------a2-b2=(a+b)(a-b)；

(2) (a±b)2 = a2±2ab+b2——— a2±2ab+b2=(a±b)2；

(3) (a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3------ a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；

(4) (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 ------a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．

下面再补充两个常用的公式：

(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；

(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；

例1、已知a b c ，，是ABC ∆的三边，且222

a b c ab bc ca ++=++，则ABC ∆的形状是（ ）

A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形 解：2

2

2

2

2

2

222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++⇒++=++

222()()()0a b b c c a a b c ⇒-+-+-=⇒==

三、分组分解法.

（一）分组后能直接提公因式

例1、分解因式：bn bm an am +++ 分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。

解：原式=)()(bn bm an am +++

=)()(n m b n m a +++ 每组之间还有公因式！

=))((b a n m ++

例2、分解因式：bx by ay ax -+-5102

解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组；

第三、四项为一组。 第二、三项为一组。

解：原式=)5()102(bx by ay ax -+- 原式=)510()2(by ay bx ax +-+- =)5()5(2y x b y x a --- =)2(5)2(b a y b a x --- =)2)(5(b a y x -- =)5)(2(y x b a --

【变式演练】

分解因式1、bc ac ab a -+-2

2、1+--y x xy

（二）分组后能直接运用公式

例3、分解因式：ay ax y x ++-2

2

分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。

解：原式=)()(2

2

ay ax y x ++- =)())((y x a y x y x ++-+ =))((a y x y x +-+

例4、分解因式：2

222c b ab a -+- 解：原式=2

2

2

)2(c b ab a -+-

=22)(c b a --

=))((c b a c b a +---

【变式演练】

1、分解因式3、y y x x 3922--- 4、yz z y x 2222---

2、综合练习：

（1）3223y xy y x x --+ （2）b a ax bx bx ax -+-+-2

2

（3）181696222-+-++a a y xy x （4）a b b ab a 491262

2

-++- （5）922

3

4

-+-a a a （6）y b x b y a x a 222244+-- （7）222y yz xz xy x ++-- （8）12222

2

++-+-ab b b a a （9）)1)(1()2(+---m m y y （10）)2())((a b b c a c a -+-+ （11）abc b a c c a b c b a 2)()()(222++++++（12）abc c b a 33

3

3

-++

四、十字相乘法.

（一）二次项系数为1的二次三项式

直接利用公式——))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++进行分解。 特点：（1）二次项系数是1；

（2）常数项是两个数的乘积；

（3）一次项系数是常数项的两因数的和。

例.已知0＜a ≤5，且a 为整数，若2

23x x a ++能用十字相乘法分解因式，求符合条件的a .

解析：凡是能十字相乘的二次三项 式ax 2+bx+c ，都要求24b ac ∆=- >0而且是一个完全平方数。

于是98a ∆=-为完全平方数，1a =

例5、分解因式：652

++x x

分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。

由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5。 1 2

解：652

++x x =32)32(2

⨯+++x x 1 3

=)3)(2(++x x 1×2+1×3=5

用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。

例6、分解因式：672

+-x x

解：原式=)6)(1()]6()1[(2

--+-+-+x x 1 -1

=)6)(1(--x x 1 -6

（-1）+（-6）= -7