微积分习题一答案详解

B. D.
2
y y
x2 1 x2 1
y x2 1 y x2 1
C.
解: 可以从 y
x y2 1 , x 1( x 0) ,得出
可以得出 y x 2 1 .可以得出答案为B.
2.填空题.
(1) 设集合 A {1,2,3,4}, B {1,3,5},,则 A B =
(2)
f ( x ) 和 g( x ) 不表示同一个函数的是( B )
A. f ( x ) x 与 g( x )
1 x C. f ( x ) 1 x 与
x
2
x0 x0
1 x g( x ) D. f ( x ) x x 与 (1 x )
3
2
g( x )
3
x

x x0 B中 f ( x ) 与 g( x ) 不相同,所以选B. x x 0
x20 x 2 (3) 1 x 0 x 1 x [ 2,0) (0,1) lg(1 x) 0 x 0
(4)
1 x 1 x 0, 0 1 x 1 1 x x 1
f ( x) lg x 2 , g ( x) 2 lg x
0 x 4 得 x (0,2) (2,4) x2
(4) 解
ax x0
(

a 0 ， 0 ，x0 为常数）
0 原式
ax x0
x0 ax x 0 a 0
x0 x0 x a a
y 10
x 1
2
x R
(3)
y 2 e x x ln(2 y) 交换 x 和 y 得反函数:
y ln(2 x)
x 1 y 1 y x x 1 y 1
x (,2)
(4)
交换 x 和 y 得反函数:
x 1 y x 1
x 1
11.下列函数能否构成复合函数？若能构成复合函数， y f [u( x)] 则写出 , 并求其定义域。 (1)
(2) (4)
y (1 ln x)
3
ye
e x 2
解
(1) y 3 x 1 是由 y u , u 3x 1 两个简 单函数复合而成的; u 为中间变量.
y (1 ln x)3是由 (2)
两个简单函数复合而成的;
y u 3 , u 1 ln x
u 为中间变量. 2 y cos2 (2 x 1)是由 y u , u cos w , w 2x 1 (3) 三个简单函数复合而成的; w , u 为中间变量.
y 2e
x
(2) (4)
y2 3
y 1 lg( x 2)
x 1 y x 1
交换 x 和 y 得反函数:
(1)
y 3x 2 x
x2 y 3
x R
(2) y 1 lg( x 2) x 10 y 1 2 交换 x 和 y 得反函数:
，试问这对生产者是否有利？
解:保本点为 R(q) C (q) 即 0.3q 0.15q 105
q 700 得 0.12q 110 0.15q 105 q 167 换为另一种方式有利.
y x 3
y 2 x 4 ( x 2 1)
(2) (4) (6)
2 x 2x y 2 y x sin x
y x( x 1)( x 1)
y x cos x
解：讨论函数的奇偶性必须先判断函数的定义域是否对 称，如果不对称，一定不是奇函数或者偶函数。 如果对称的话，我们继续判断它的奇偶性。 (1).
(,1]
(4) 若 f ( x ) 3 x 1 ,则 f (1 x )
4 3x
.
(5) f ( x ) 为定义在R上的偶函数,且在 (0,) 内为减函数, 则 f (1.5), f ( 2 ), f ( ), 从小到大用不等号连结为 2 f ( ) f (1.5) f ( 2 ) 2 . 3.求下列不等式。
习题一A组 1. 单项选择题. (1) 函数 f ( x ) arcsin(x 1) 的定义域是( A ) A. [0,2] B. [-5,5] C. [-1,1] 答案选A.
x B. f ( x ) x 与 g ( x ) 0
2
D. [0,+ ]
1 x 1 1 得 0 x 2
f ( x) x 2 (3) 设函数
g( x ) 3 x ,则 f [ g( x )] ( ) ,
B. D.
A. C.
3 3x x
x
x
2
x
3
2x
2x
f [ g( x )] ( 3 x )2 得答案为D. 代入 g( x ) 3 得
(4) 函数
A.
y
x 2 1( x 0) 的反函数是( )
x0
f ( x) x 3 ， f ( x) x 3 f ( x) ,定义域对称。设
所以为奇函数。
2 x 2 x （2） x 0 ,定义域对称。设 f ( x) 2 2 x 2 x f ( x) f ( x) 所以为偶函数。 2
（3）
，
xR
，定义域对称。 f ( x) 2 x 4 ( x 2 1)
定义域为 x (1,1) (3)
3 3 能, 把 u x 代入y u 得y x
定义域为 x 0
(4)
空集.
u 1 x 2代入后函数定义域为 不能.因为把
12.下列函数可以看成是哪些函数复合而成的.
(1) (3)
y 3x 1 2 y cos (2 x 1)
收益函数和利润函数: R(q) pq
L(q) pq (b aq) ( p a)q b
15.设某厂生产某种商品的总成本函数为 C (q) 0.15q 105
，其中 q 表示产量，若以单价为 p 0.3 元出售，试求保本点； 如果以另一种方式生产这种商品，其总成本函数为C(q) 0.12q 110
x0 x0 x( , ) a a
4. 求下列函数的定义域.
(1) (3)
y 9 x
2
(2)
y
1 1 x2
1 y 2 x lg(1 x )
1 x (4) y 1 x
9 x 2 0 , 3 x 3 解: (1)
2 (2) 1 x 0 , 1 x 1
{1,2,3,4,5}
A B
{1,3}
.
x2 1 (2) 设集合 D1 为函数 y 的定义域 , D2 为函数 x 1 y x 1 的定义域,则集合 D 与 D 的关系为 D D . 2 2 1 1
(3) 设 A { x x 2 4 x 3 0} , B { x x 2 0} , 则 A B =
5.在下列各题中， f (x) 和 g (x) 是否表示同一函数？为什么？ (1) (3) (2) f ( x) sin x , g ( x) 1 cos2 x
函数两要素:定义域和对应法则,两者完全相同才是同一函 数. (1)不是同一函数,因为定义域不同, f (x) 的定义域为 解: x 0 , g (x) 的定义域为 x 0 . (2) 不是同一函数,
x
(3)
1 x2 f ( x) x 1
| x | 1 1 | x | 2
x (2,2)
y
1 -2 -1 0 -1 1 2
x
8. 某商店销售一种商品，当销售量
x 不超过30件时，单价
为a元；若超过30件时, 其超过部分按原价的90%计算 。试给出销售价 y 与销售量 解:
a 2x
x
a
x
14.某玩具厂生产玩具的固定本为b元，每生产一个玩具， 总成本增加a元。 试求总成本函数和平均成 本函数；若
每个玩具售价为 p 元，试求收益函数，利润函数。
解: 设生产的玩具数量为 q ,则成本函数和平均成本函数 分被别为:
C (q) b aq
b aq b C (q) a q q
(3)
y log a x
解:
(1)在定义域上单调递增. (2)在定义域上单调递减. (3) 0 a 1 时在定义域上单调递减, a 1 时单调 递增. (4) 在 (,0) 上单调递增,在[0,+ )单调递减.
10.求下列函数的反函数并指出其定义域。
(1) (3) 解:
y 3x 2
(1)
x2 9
0 ( x 2) 2 4
(2)
| x 4 | 7
(3)
(4)
| ax x0 |
解:
(1)
x 9 3 x 3
2
(2)
| x 4 | 7 7 x 4 7 3 x 11
(3)
( x 2) 2 4 2 x 2 2 2 x2 ( x 2) 0
函数为奇函数。
7.确定下列函数的定义域并作出函数图形。 (1)
解:
y
1 x0 f ( x) 0 x 0 1 x 0
xR
1
0
x
-1
(2)
2 x 0 x 2 f ( x) x 1 2 x 4
x [0,4)
y
3 2 1 0 -1 1 2 3 4
(4)
ye
e x 2
是由
ye
u
,
u ev
,
, v x2
三个简单函数复合而成的;
u
v 为中间变量.
13.一块正方形纸板的边长为 a ，将其四角各截去一个大
小相同的边长为 x 的小正方形，再将四边折起做成一个 无盖方盒，试将此无盖方盒的容积 V 表示为所截小正方形 边长的函数。 解:
V ( a 2 x) 2 x
f ( x) 2( x) 4 [( x) 2 1] 2 x 4 ( x 2 1) f ( x) 为偶函数。
（4） 定义域为 x R ， f ( x) x sin x 则 f ( x) x sin( x) x sin x ( x sin x) f ( x) 为奇函数。 （5） 定义域为 x R ，
g ( x) 1 cos2 x sin x
x f ( x) 1 , g ( x) x
两个函数的函数关系不同.
(3).不是同一函数,定义域不同, 这两个函数 中 f (x) 的定义域为 x R , g (x) 的定义域为 x 0 .
6.下列函数中哪些是偶函数，哪些是奇函数，哪些是 非奇非偶函数。 (1) (3) (5)
f ( x) x cos x
，则
f ( x) ( x) cos( x) x cos x f ( x) 为奇函数。
（6） 定义域为 x R ， f ( x) x( x 1)( x 1) ，则
f ( x) x( x 1)( x 1) x( x 1)( x 1) f ( x)
x
之间的关系.
ax 0 x 30 y x 30 30 a 0.9a( x 30)
ax 0 x 30 y 0.9ax 3a x 30
9.判断下列函数的单调增减性。
(1) y 2 x 1
1 x (2) y ( ) 2
(4)
y 1 4x 2
(3)
y u , u 3x 1
(2)
3
y lg u , u 1 x 2
y u , u x
(1) 能,
3
(4)
y u , u 1 x 2
解:
y u , 把u 3x 1代入得 y 3x 1
定义域为 x [ 1 ,) (2)
把u 1 x 2代入y lg u得y lg(1 x 2 ) 能,