最新中考数学几何综合题专题复习汇总

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专练6 几何模型——十字架结构模型

【典例】在Rt △ACB 中，AC=4，BC=3，点D 为AC 上一点，连接BD ，E 为AB 上一点，CE ⊥BD ，点AD=CD 时，求CE 的长．

【思路分析】CE 与AC 、BC 没有直接关系，可考虑通过相似求线段CE 长，又CE ⊥BD ，可考虑通过矩形内的十字架结构，被成矩形ACBH ，延长CE 交AH 于点G ，由“X ”字型相似，可得

AG EG

BC CE

=

，故需求AG 、EG ，由矩形内十字架结构可得△BCD ∽△CAG ，求出AG 、EG 长即可解决． 【解析】过A 、B 两点作BC 、AC 平行线，相交于点H ，延长CE 交AH 于点E ，由∠CBD+∠BDC=90°，∠ACG+∠BDC=90°，可得∠CBD=∠ACG ，所以△BCD ∽△CAG ，

CD CB AB AG AC CG ==，即2354AG CG ==

，所以AG=83，CG=20

3

，又△AEG ∽BEC ，B

B

AG EG BC CE =

，即820

333CE

CE

-=，解得CE=60

17． 【启示】一般情况下，当矩形、正方形、直角三角形等图形内出现“垂直”情况时，可考虑十字架结构模型，通过相似（或全等）求出线段的长． 【针对训练】

1．如图，将边长为4的正方形纸片ABCD 折叠，使得点A 落在CD 的中点E 处，折痕为FG ，点F 在AD 边上，则折痕FG 的长为（ ）

A ．5

B ．

C

． D

．2．如图，已知直线1

22

y x =-+与x 轴、y 轴分别交于B 、A 两点，将△AOB 沿着AB 翻折，

使点O 落在点D 上，当反比例函数k

y x

=经过点D 时，则k 的值为( ). A ．4 B ．

121

25

C ．5

D ． 12825

3．在矩形ABCD 中，

1，BC=2，过D 点作DE ⊥AC 交BC 于F 点，则CF

BC

的值为（ ） A ．

12 B ． 2

3

C

．12 D ．

32-

4．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，BA ＝BC ，点D 为BC 边上的中点，BE ⊥AD 于

点E ，延长BE 交AC 于点F ，则AF ：FC 的值为 .

5．如图，把边长为AB ＝6，BC ＝8的矩形对折，使点B 和D 重合，则折痕MN 的长为 . 6．如图，把边长为AB

＝BC ＝4且∠B ＝45°的平行四边形ABCD 对折，使点B 和点D 重合，则折痕MN 的长为

B'

F

E

B

A

E

F

A B

C

D

7．在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°，点D 是AC 上一点，连接BD ，过点A 作AE ⊥BD 于E ，交BC 于F ．

（1）如图1，若AB=4，CD=1，求AE 的长；

（2）如图2，点G 时AE 上一点，连接CG ，若BE=AE+AG ，求证：CG=

AE ；

8．探究证明：（1）某数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明： 如图1，矩形ABCD 中，EF ⊥GH,EF 分别交AB ，CD 于点E ，F ，GH 分别交AD ，BC 于点G ，H ，求证：

EF AD

GH AB

=

； 结论应用：如图2，在满足（1）的条件下，又AM ⊥BN ，点M ，N 分别在边BC ，CD 上，若

1115

EF GH =，则BN

AM 的值为 . 联系拓展：如图3，四边形ABCD 中，∠ABC ＝90°，AB ＝AD ＝10，BC ＝CD ＝5，AM ⊥DN ，点M ，N 分别在边BC ，AB 上，求

DN

AM

的值