高中物理第3章5洛伦兹力的应用教案教科版选修31

高中物理第3章5洛伦兹力的应用教案教科版选修31

5 洛伦兹力的应用

[学习目标] 1.知道带电粒子在磁场中的运动规律，理解应用磁场可以控制带电粒子的运动．(重点、难点) 2.知道质谱仪的构造，会应用带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的规律分析相关问题．(难点) 3.知道回旋加速器的构造和加速原理，理解粒子的回旋周期与加速电场的变化周期的关系．(重点)

一、利用磁场控制带电粒子运动 1．实例

如图所示为一具有圆形边界、半径为r 的匀强磁场，磁感应强度大小为B ，一个初速度大小为v 0的带电粒子(质量为m ，电荷量为q )沿该磁场的直径方向从P 点射入，在洛伦兹力作用下从Q 点离开磁场．

(1)可以证明，该粒子离开磁场时速度方向的反向延长线必过圆心．

(2)设粒子离开磁场时的速度方向与进入磁场时相比偏转了θ角，则由图中几何关系可以看出tan θ2＝r R ＝qBr

mv 0

．

可见，对于一定的带电粒子(m ，q 一定)，可以通过调节B 和v 0的大小来控制粒子的偏转角度θ.

2．特点

利用磁场控制带电粒子的运动，只能改变粒子的运动方向而不能改变粒子的速度大小． 二、质谱仪

1．质谱仪的工作原理示意图(如图所示)

2．对质谱仪工作原理的理解

(1)带电粒子进入加速电场(狭缝S 1与S 2之间)，满足动能定理：qU ＝12

mv 2

．

(2)带电粒子进入速度选择器(P 1和P 2两平行金属板之间)，满足qE ＝qvB 1，v ＝E B 1

，带电粒子做匀速直线运动．

(3)带电粒子进入偏转磁场(磁感应强度为B 2的匀强磁场区域)，偏转半径R ＝mv qB 2

. (4)带电粒子打到照相底片，可得比荷q m ＝

E

B 1B 2R

．

说明：①速度选择器适用于正、负电荷．

②速度选择器中的E 、B 1的方向具有确定的关系，仅改变其中一个方向，就不能对速度做出选择．

三、回旋加速器 1．原理图(如图所示)

2．回旋加速器的核心部分是D 形盒．

3．粒子每经过一次加速，其轨道半径就增大，粒子做圆周运动的周期不变．

4．由qvB ＝mv 2R 和E k ＝12mv 2得E k ＝q 2B 2R 2

2m ，即粒子在回旋加速器中获得的最大动能与q 、m 、

B 、R 有关，与加速电压无关．

1．正误判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)带电粒子在磁场中运动的偏转角等于运动轨迹圆弧所对应的圆心角的2倍．( ) (2)带电粒子在磁场中偏转时，速度的方向改变而速度的大小不变．

( )

(3)速度选择器既可以选择粒子的速度，也可以选择粒子的电性． ( ) (4)应用质谱仪可以测定带电粒子的比荷． ( ) (5)回旋加速器两狭缝可以接直流电源． ( )

[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)×

2．(多选)如图为一“速度选择器”装置的示意图．a 、b 为水平放置的平行金属板，一束具有各种不同速率的电子沿水平方向经小孔O 进入a 、b 两板之间．为了选取具有某种特定速率的电子，可在a 、b 间加上电压，并沿垂直于纸面的方向加一匀强磁场，使所选电子仍能够沿水平直线OO ′运动，由O ′射出，不计重力作用．可能达到上述目的的办法是 ( )

A ．使a 板电势高于b 板，磁场方向垂直纸面向里

B ．使a 板电势低于b 板，磁场方向垂直纸面向里

C ．使a 板电势高于b 板，磁场方向垂直纸面向外

D ．使a 板电势低于b 板，磁场方向垂直纸面向外

AD [要使电子沿直线OO ′运动，则电子在竖直方向所受电场力和洛伦兹力平衡，若a 板电势高于b 板，则电子所受电场力方向竖直向上，其所受洛伦兹力方向必向下，由左手定则可判定磁场方向垂直纸面向里．故A 项正确．同理可判断D 项正确．]

3．回旋加速器是加速带电粒子的装置，其核心部分是分别与高频交流电极相连接的两个

D 形金属盒，两盒间的狭缝中形成的周期性变化的电场，使粒子在通过狭缝时都能得到加速，

两D 形金属盒处于垂直于盒底的匀强磁场中，如图所示，要增大带电粒子射出时的动能，则下列说法中正确的是( )

A ．增大匀强电场间的加速电压

B ．减小磁场的磁感应强度

C ．减小周期性变化的电场的频率

D ．增大D 形金属盒的半径

D [粒子最后射出时的旋转半径为D 形盒的最大半径R ，R ＝mv qB ，

E k ＝12mv 2＝q 2B 2R

2

2m

.可见，

要增大粒子射出时的动能，应增大磁感应强度B 和增大D 形盒的半径R ，故D 正确．]

利用磁场控制带电粒子的运动

电偏转和磁偏转的对比

匀强电场中偏转匀强磁场中偏转偏转条件

垂直电场线进入匀强电场(不

计重力)

垂直磁感线进入匀强磁场(不计重力) 受力情况

电场力F＝Eq

大小、方向都不变

洛伦兹力F洛＝qvB的大小不变，方向

随v的方向的改变而改变运动类型类平抛运动匀速圆周运动或其一部分

运动轨迹抛物线圆或圆的一部分

运动轨迹图

求解方法处

理

偏移y和偏转角φ要通过类

平抛运动的规律求解

偏转y和偏转角φ要结合圆的几何关

系通过对圆周运动的讨论求解动能变化动能增大动能不变

有一匀强电场，U为两极板间的电压，电子从极板左端的正中央以初速度v0射入，其方向平行于极板，并打在极板边缘的D点，如图甲所示．电子的电荷量用e表示，质量用m表示，重力不计．回答下面问题(用字母表示结果)．

(1)求电子打到D点的动能；

(2)电子的初速度v0必须大于何值，电子才能飞出极板；

(3)若极板间没有电场，只有垂直纸面的匀强磁场，磁感应强度大小为B，电子从极板左端的正中央以平行于极板的初速度v0射入，如图乙所示，则电子的初速度v0为何值时，电子才能飞出极板？

思路点拨：①电子在板间运动时只有电场力做功．

②电子要飞出极板，其偏转位移y 必须满足y

2

.

③在极板间加上磁场时，电子可能从左侧也可能从右侧飞出极板． [解析] (1)设电子打到D 点时的动能为E k ，由动能定理可得E k －12mv 20＝U

2e

由①式解得E k ＝12

(Ue ＋mv 2

0)．

②

(2)电子在平行板电容器间做类平抛运动，设其在竖直方向的加速度为a ，在电场中的飞行时间为t ，则由电场力及牛顿第二定律、平抛运动的规律可得

eU

d ＝ma ③ d 2

＝12

at

2 ④ t ＝L v 0

⑤

由③④⑤式联立解得v 0＝

L d Ue m 所以电子要飞出电容器，必有v 0>

L d

Ue m

. (3)在只有磁场情况下电子要飞出两极板，有两种情况． Ⅰ.电子从左边出，做半圆周运动，其半径R 1＝d

4

⑥ 由洛伦兹力和向心力公式可得ev 1B ＝m v 21

R 1

⑦ 由⑦式解得v 1＝

eBd 4m

⑧

因此电子飞出极板的条件是v 1＜

eBd

4m

⑨ Ⅱ.电子从右边出，做部分圆周运动其半径R 22

＝L 2

＋?

????R 2－d 22

由⑩式解得R 2＝4L 2

＋d

2

4d

由洛伦兹力和向心力公式可得ev 2B ＝m v 22

R 2

由?式解得v 2＝（4L 2

＋d 2

）eB

4dm

?

电子飞出极板的条件是v 2＞（4L 2

＋d 2

）eB

4dm

.

[答案] (1)12(Ue ＋mv 2

0) (2)

L d Ue m (3)v 0＜eBd 4m 或v 0＞（4L 2＋d 2

）eB 4dm

(1)对于带电粒子在匀强电场中做类平抛运动问题，一般从分析沿电场方向的匀加速直线运动和垂直于电场方向的匀速直线运动来解决问题．

(2)对于带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动问题，一般要分析运动轨迹、找圆心、求半径，分析圆心角，列相关方程解决问题．

训练角度1 带电粒子在直线边界磁场中的运动

1．如图所示，在宽l 的范围内有方向如图的匀强电场，场强为E ，一带电粒子以速度v 垂直于电场方向、也垂直于场区边界射入电场，不计重力，射出场区时，粒子速度方向偏转了θ角，去掉电场，改换成方向垂直纸面向外的匀强磁场，此粒子若原样射入磁场，它从场区的另一侧射出时，也偏转了θ角，求此磁场的磁感应强度B 的大小．

[解析] 粒子在电场中做类平抛运动，则运行的时间t ＝l

v ；加速度a ＝qE m

，则 tan θ＝at v ＝

qEl

mv 2

粒子在磁场中做匀速圆周运动，有Bvq ＝m v 2

R

由图示几何关系，知sin θ＝l R

联立以上各式，得B ＝E cos θ

v

. [答案]

E cos θ

v

训练角度2 带电粒子在圆形有界磁场中的运动

2．一圆筒处于磁感应强度大小为B的匀强磁场中，磁场方向与筒的轴平行，筒的横截面如图所示．图中直径MN的两端分别开有小孔，筒绕其中心轴以角速度ω顺时针转动．在该截面内，一带电粒子从小孔

M射入筒内，射入时的运动方向与MN成30°角．当筒转过90°时，该粒子恰好从小孔N飞出圆筒．不计粒子的重力．若粒子在筒内未与筒壁发生碰撞，则带电粒子的比荷为( )

A．

ω

3B

B．

ω

2B

C．

ω

B

D．

2ω

B

A[定圆心、画轨迹，由几何关系可知，此段圆弧所对圆心角θ＝30°，所需时间t＝

1

12 T＝

πm

6qB

；由题意可知粒子由M飞至N′与圆筒旋转90°所用时间相等，即t＝

π

2

ω

＝

π

2ω

，联立以上两式得

q

m

＝

ω

3B

，A项正确．]

对质谱仪工作原理的理解

1

2．从S1与S2之间得以加速的粒子的电性是固定的，因此进入偏转磁场空间的粒子的电性也是固定的．

3．打在底片上同一位置的粒子，只能判断其

q

m

是相同的，不能确定其质量或电量一定相同．

【例2】如图所示为某种质谱仪的结构示意图．其中加速电场的电压为U，静电分析器中与圆心O1等距各点的电场强度大小相同，方向沿径向指向圆心O1；磁分析器中在以O2为圆

心、圆心角为90°的扇形区域内，分布着方向垂直于纸面的匀强磁场，其左边界与静电分析器的右边界平行．由离子源发出一质量为m 、电荷量为q 的正离子(初速度为零，重力不计)，经加速电场加速后，从M 点沿垂直于该点的场强方向进入静电分析器，在静电分析器中，离子沿半径为R 的四分之一圆弧轨迹做匀速圆周运动，并从N 点射出静电分析器．而后离子由P 点沿着既垂直于磁分析器的左边界又垂直于磁场的方向射入磁分析器中，最后离子沿垂直于磁分析器下边界的方向从Q 点射出，并进入收集器．测量出Q 点与圆心O 2的距离为d .

(1)试求静电分析器中离子运动轨迹处电场强度E 的大小； (2)试求磁分析器中磁场的磁感应强度B 的大小和方向． 思路点拨：解答本题时应注意以下两点：

①在静电分析器中，电场力提供离子做圆周运动的向心力． ②在磁分析器中，洛伦兹力提供离子做圆周运动的向心力．

[解析] 设离子进入静电分析器时的速度为v ，离子在加速电场中加速的过程中，由动能定理得：

qU ＝12

mv 2

① (1)离子在静电分析器中做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律有：qE ＝m v 2

R

② 联立①②两式，解得：E ＝2U

R

③

(2)离子在磁分析器中做匀速圆周运动，由牛顿第二定律有：qvB ＝m v 2

r

④

由题意可知，圆周运动的轨道半径为：r ＝d ⑤ 联立①④⑤式，解得：B ＝

1

d

2mU q

⑥

由左手定则判断，磁场方向垂直纸面向外． [答案] (1)2U R (2)

1

d 2mU

q

方向垂直纸面向外

质谱仪的原理中包括粒子的加速、受力的平衡(速度选择器)、牛顿第二定律和匀速圆周

运动等知识，分析粒子的运动过程，建立各运动阶段的模型、理清各运动阶段之间的联系，是解决此类问题的关键．

1922年英国物理学家和化学家阿斯顿因质谱仪的发明、同位素和质谱的研究荣获了诺贝尔化学奖．若速度相同的同一束粒子由左端射入质谱仪后的运动轨迹如图所示，则下列相关说法中正确的是 ( )

A ．该束带电粒子带负电

B ．速度选择器的P 1极板带负电

C ．在B 2磁场中运动半径越大的粒子，比荷q m

越小 D ．在B 2磁场中运动半径越大的粒子，质量越大

C [带电粒子在磁场中向下偏转，磁场的方向垂直纸面向外，根据左手定则知，该粒子带正电，故选项A 错误．在平行金属板间，根据左手定则知，带电粒子所受的洛伦兹力方向竖直向上，则电场力的方向竖直向下，知电场强度的方向竖直向下，所以速度选择器的P 1极

板带正电，故选项B 错误．进入B 2磁场中的粒子速度是一定的，根据qvB ＝mv 2r 得r ＝mv

qB

，知r

越大，比荷q

m

越小，而质量m 不一定大．故选项C 正确，选项D 错误．故选C.]

对回旋加速器工作原理的理解

如图所示，回旋加速器的核心部分是两个D 形金属盒，两盒之间留下一个窄缝，在中心附近放有粒子源，D 形盒在真空容器中，整个装置放在巨大的匀强磁场中，并把两个D 形盒分别接在高频电源的两极上，其工作原理：

(1)电场加速：qU ＝ΔE k ；

(2)磁场的约束偏转：qvB ＝m v 2r ，r ＝mv

qB

∝v ；

(3)加速条件：高频电源的周期与带电粒子在D 形盒中运动的周期相同，即T 电场＝T 回旋＝2πm

qB

.

【例3】 回旋加速器的两个D 形金属盒间有匀强电场，使粒子每次穿过狭缝时都得到加速，将两盒放在磁感应强度为B 的匀强磁场中，磁场方向垂直于盒底面，粒子源置于盒的圆心附近，若粒子源射出的粒子电荷量为q ，质量为m ，粒子最大的回旋半径为R max .求：

(1)粒子在盒内做何种运动；

(2)所加交变电流的频率及粒子角速度； (3)粒子离开加速器时的最大速度及最大动能．

[解析] (1)带电粒子在盒内做匀速圆周运动，每次加速之后半径变大．

(2)粒子在电场中运动时间极短，因此高频交变电流频率要等于粒子回旋频率，因为T ＝2πm qB ，所以回旋频率f ＝1T ＝qB 2πm ，角速度ω＝2πf ＝qB

m

. (3)由牛顿第二定律知mv 2

max

R max

＝qBv max

则R max ＝

mv max qB ，v max ＝qBR max

m

最大动能E k max ＝12mv 2max ＝q 2B 2R 2

max

2m .

[答案] (1)匀速圆周运动 (2)qB 2πm qB

m

(3)qBR max m q 2B 2R 2max 2m

回旋加速器中的五个基本问题

(1)同步问题

交变电压的频率与粒子在磁场中做匀速圆周运动的频率相等，交变电压的频率f ＝1T

＝

qB

2πm

(当粒子的比荷或磁感应强度改变时，同时也要调节交变电压的频率．) (2)带电粒子的最终能量

由r ＝mv qB

知，当带电粒子的运动半径最大时，其速度也最大，若D 形盒半径为R ，则带电

粒子的最终动能E km ＝q 2B 2R

2

2m

.可见，要提高加速粒子的最终能量，应尽可能地增大磁感应强度B

和D 形盒的半径R .

(3)粒子在磁场中转的圈数和被加速次数的计算

设粒子在磁场共转n 圈，则在电场中加速2n 次，则有2nqU ＝

E km ，n ＝E km

2qU ，加速次数N ＝

2n ＝

E km

qU

. (4)粒子在回旋加速器中运动的时间

在电场中运动的时间为t 1＝v m a ＝qBR

m qU md

＝BdR U ，在磁场中运动的时间为t 2＝nT ＝2n πm

qB

，总时

间为t ＝t 1＋t 2，因为t 1

t 2，一般认为在盒内的时间近似等于t 2.

(5)回旋轨道半径

r n ＝mv n qB ，nqU ＝12

mv 2n ，n 为加速次数．

(多选)如图所示，回旋加速器D 形盒的半径为R ，用来加速质量为m ，电量为q 的质子，质子每次经过电场区时，都恰好在电压为U 时被加速，且电场可视为匀强电场，使质子由静止加速到能量为E 后，由A 孔射出．下列说法正确的是( )

A ．D 形盒半径R 、磁感应强度

B 不变，若加速电压U 越高，质子的能量E 将越大 B ．磁感应强度B 不变，若加速电压U 不变，D 形盒半径R 越大，质子的能量E 将越大

C ．

D 形盒半径R 、磁感应强度B 不变，若加速电压U 越高，质子在加速器中的运动时间将越长

D ．D 形盒半径R 、磁感应强度B 不变，若加速电压U 越高，质子在加速器中的运动时间将越短

BD [由qvB ＝m v 2R 得，v ＝qRB m ，则最大动能E k ＝12mv 2＝q 2B 2R

2

2m

，知最大动能与加速器的半径、

磁感应强度以及电荷的电量和质量有关，与加速电压无关，故A 错误，B 正确；由动能定理得：

ΔE k ＝qU ，加速电压越大，每次获得的动能越大，而最终的最大动能与加速电压无关，是一定

的，故加速电压越大，加速次数越少，加速时间越短，故C 错误，D 正确；故选B D .]

课 堂 小 结

知 识 脉 络

2个应用——质谱仪和回旋加速器

1．处于匀强磁场中的一个带电粒子，仅在磁场力作用下做匀速圆周运动．将该粒子的运动等效为环形电流，那么此电流值( )

A ．与粒子电荷量成正比

B ．与粒子速率成正比

C ．与粒子质量成正比

D ．与磁感应强度成正比

D [带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期T ＝2πm

qB

，该粒子运动等效的环形电流

I ＝q T ＝q 2B 2πm ，由此可知，I ∝q 2

，选项A 错误；I 与速率无关，选项B 错误；I ∝1m

，即I 与m 成反比，选项C 错误；I ∝B ，选项D 正确．]

2．(多选)质谱仪的构造原理如图所示．从粒子源S 出来时的粒子速度很小，可以看作初速度为零，粒子经过电场加速后进入有界的垂直纸面向里的匀强磁场区域，并沿着半圆周运动而到达照相底片上的P 点，测得P 点到入口的距离为x ，则以下说法正确的是 ( )

A ．粒子一定带正电

B ．粒子一定带负电

C ．x 越大，则粒子的质量与电量之比一定越大

D ．x 越大，则粒子的质量与电量之比一定越小

AC [根据粒子的运动方向和洛伦兹力方向，根据左手定则，知粒子带正电．故A 正确，

B 错误；根据半径公式r ＝mv qB 知，x ＝2r ＝2mv qB ，又qU ＝12

mv 2

，联立解得x ＝

8mU

qB 2

，知x 越大，

质量与电量的比值越大．故C 正确，D 错误．]

3．(多选)1930年劳伦斯制成了世界上第一台回旋加速器，其原理如图所示，这台加速器由两个铜质D 形盒D 1、D 2构成，其间留有空隙．下列说法正确的是( )

A ．离子由加速器的中心附近进入加速器

B ．离子由加速器的边缘进入加速器

C ．离子从磁场中获得能量

D ．离子从电场中获得能量

AD [本题源于课本而又高于课本，既考查考生对回旋加速器的结构及工作原理的掌握情况，又能综合考查磁场和电场对带电粒子的作用规律．由R ＝mv

qB

知，随着被加速离子的速度增大，离子在磁场中做圆周运动的轨道半径逐渐增大，所以离子必须由加速器中心附近进入加速器，A 项正确，B 项错误；离子在电场中被加速，使动能增加；在磁场中洛伦兹力不做功，离子做匀速圆周运动，动能不改变．磁场的作用是改变离子的速度方向，C 项错误，D 项正确．]

4．(多选)如图所示，在平面直角坐标系中有一个垂直纸面向里的圆形匀强磁场，其边界过原点O 和y 轴上的点a (0，L )．一质量为m 、电荷量为e 的电子从a 点以初速度v 0平行于x 轴正方向射入磁场，并从x 轴上的b 点射出磁场，此时速度的方向与x 轴正方向的夹角为60°，下列说法正确的是( )

A ．电子在磁场中运动的时间为πL

v 0

B ．电子在磁场中运动的时间为2πL

3v 0

C ．磁场区域的圆心坐标为?

????

32

L ，L 2 D ．电子在磁场中做圆周运动的圆心坐标为(0，－2L )

BC [设电子的轨迹半径为R ，由几何知识，R sin 30°＝R －L ，得R ＝2L ，

电子在磁场中运动时间t ＝T 6，而T ＝2πR v 0得：t ＝2πL

3v 0

，A 错误，B 正确；设磁场区域的

圆心坐标为(x ，y )，其中x ＝12R cos 30°＝32L ，y ＝L 2，所以磁场圆心坐标为? ????

32L ，L 2，故C

正确；因为R ＝2L ，所以电子的圆周运动的圆心坐标为(0，－L )，故D 错误．]

5．如图所示，质量为m ，电荷量为q 的带电粒子，以初速度v 沿垂直磁场方向射入磁感应强度为B 的匀强磁场，在磁场中做匀速圆周运动．不计带电粒子所受重力．

(1)求粒子做匀速圆周运动的半径R 和周期T ；

(2)为使该粒子做匀速直线运动，还需要同时存在一个与磁场方向垂直的匀强电场，求电场强度E 的大小．

[解析] (1)粒子做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有F 洛＝qvB ＝m v 2

R

解得粒子做匀速圆周运动的半径R ＝mv

qB

粒子做匀速圆周运动的周期T ＝2πR v ＝2πm

qB

.

(2)粒子受电场力F ＝qE ， 洛伦兹力F 洛＝qvB ，

粒子做匀速直线运动，由二力平衡可知，qE ＝qvB . 解得电场强度的大小E ＝vB . [答案] (1)mv qB 2πm

qB

(2)vB