实变函数试题库及参考答案精修订

实变函数试题库及参考

答案

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实变函数试题库及参考答案（3） 本科

一、填空题

1．设,A B 为集合，则()\B A B A A B

2．设A 为无理数集，则A c （其中c 表示自然数集[]0,1的基数）

3．设n E ⊂，如果E 中没有不是内点的点，则称E 是

4．任意个闭集的交是

5．设()f x 是定义在可测集E 上的实函数，如果1a ∀∈

，()E x a f x b ⎡⎤≤<⎣⎦是可测，

（a b ≤）则称()f x 在E 上 6．可测函数列的上确界也是

7．设()()n f x f x ⇒，()()n g x g x ⇒..a e ，则()()n n f x g x ⇒

8．设()()n f x f x ⇒，那么由黎斯定理，(){}n f x 有子列()k

n f x ，使 ..a e 于E

二、选择题

1．下列集合关系成立的是（ ）

2．设n R E ⊂，则( )

3．设P 为康托集，则（ ）

A P 是可数集

B 0mP =

C P 是不可数集

D P 是开集

4．下列集合关系成立的是（ ）

A 若A

B ⊂则c c B A ⊂ B 若A B ⊂则c c A B ⊂

C 若A B ⊂则A B B =

D 若A B ⊂则A B B =

三、多项选择题（每题至少有两个以上的正确答案）

1．设()D x 是狄利克莱函数，即()[][]10,100,1x D x x ⎧⎪=⎨⎪⎩

为中有理数为中无理数，则（ ） A ()D x 几乎处处等于1 B ()D x 几乎处处等于0

C ()

D x 是非负可测函数 D ()D x 是L 可积函数

2．设n E ⊂，*0m E =，则（ ）

A E 是可测集

B E 的任何子集是可测集

C E 是可数集

D

E 不一定是可数集

3．设n E ⊂，()10E c x E x x E χ∈⎧=⎨

∈⎩，则（ ） A 当E 是可测集时，()E x χ是可测函数 B 当()E x χ是可测函数时，E 是可测集

C 当E 是不可测集时，()E x χ可以是可测函数

D 当()

E x χ是不是可测函数时，E 不一定是可测集

4．设()f x 是(),a b 上的连续函数，则（ ）

A ()f x 在(),a b 上有界

B ()f x 在(),a b 上可测

C ()f x 在(),a b 上L 可积

D ()f x 在(),a b 上不一定L 可积

四、判断题

1. 对等的集合不一定相等. （ ）

2. 称()(),f x g x 在E 上几乎处处相等是指使()()f x g x ≠的x 全体是零测集. （ ）

3. 可数个开集的交是开集 （ ）

4. 可测函数不一定是连续函数. （ ）

5. 对等的集合有相同的基数. （ ）

五、定义题

1. 简述证明集合对等的伯恩斯坦定理.

2. 简述1R 中开集的结构.

3. 可测集与闭集、F σ集有什么关系？

4.

5. 为什么说绝对连续函数几乎处处可微？

六、计算题

1. 设()3

cos 0,\2x x E f x x x E π⎧∈⎪=⎨⎡⎤∈⎪⎢⎥⎣⎦⎩，E 为0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦中有理数集，求()0,2f x dx π⎡⎤⎢⎥⎣⎦

⎰. 2. 设()()[]22

cos ,0,11n nx nx f x x n x =∈+，求()[]

0,1lim n n f x dx →∞⎰. 七、证明题

1．设()f x 是E 上的可测函数，则对任何常数0a >，有()[|()]a f x E

mE x f x a e e dx -≥≤⎰ 2．设()f x 是E 上的可积函数，{}n E 为E 的一列可测子集，mE <+∞，如果

lim n n mE mE →∞

= 则lim ()()n

E E n f x dx f x dx →∞=⎰⎰ 3．证明集合等式：()\(\)(\)A B C A C B C =

4．设n E R ⊂是零测集，则E 的任何子集F 是可测集，且0mF =

5. 证明：1R 上的实值连续函数()f x 必为1R 上的可测函数

本科实变函数试题库及参考答案（3）

一、填空题

1.=

2.=

3.开集

4.闭集

5.可测

6.可测函数

7.()()f x g x

8.()()k

n f x f x → 二、单选题

1.B

2.A

3.B

4.A

三、多选题

1.BCD

2.ABD

3.AB

4.BD

四、判断题

√√×√√

五、定义题

1.答：若A B B *⊂，又B A A *⊂，则A B

2.答: 设G 为1R 中开集，则G 可表示成1R 中至多可数个互不相交的开区间的并.

3.答：设E 是可测集，则0ε∀>，∃闭集F E ⊂，使()\m E F ε<或∃ F σ集F E ⊂，

使()\0m E F =.

4.答：因为绝对连续函数是有界变差，由若当分解定理，它可表示成两个单调增函数的差，而单调函数几乎处处有有限的导数，所以绝对连续函数几乎处处可微.