数值分析_第二章

E An n E An 1 1
8
n 1
n! E A 1
7
E A9 1 9! 4.41210 0.1601
由于误差在计算过程中放大很严重， 所以这是一种 数值不稳定的算法。
寻找一种数值稳定的相反的算法， 把乘法改为除法。用相向的递推关系



方程求根问题 简单迭代法 牛顿迭代法 非线性方程组的数值解法
课程安排
第八章 矩阵特征值问题的数值解法 （6 学时） 幂法 雅可比方法 QR方法
课程安排
第九章 常微分方程初值问题 （4学时）



欧拉方法 龙格-库塔方法 单步法和多步法
课程安排
上机实验
（16学时）
课程基本要求

5,6,7,8,9
|Δ |= 0 . 0 … 0 1 - 0 . 0 … 0 am+n+1 … n位 n位 ≤ 0 . 0 … 0 1 - 0 . 0 … 0 50... = 0.5x10-n n位 n位

四舍五入法的|Δ |≤0.5x10-n，在a的最末一 位上有半个单位误差
有效数字概念

对于 a=a0 a1 … am . am+1 … am+n(a0≠0) 的近似数， 若|Δ |≤0.5x10-n， 则称a为具有m+n+1位有效数字的有效数，其 中每一位数字都叫做a的有效数字。有效数 和可靠数的最末位数字称为可疑数字 有效数位的多少直接影响到近似值的绝对误 差与相对误差的大小
课程安排
第四章 函数数值 （8学时）

牛顿插值 拉格朗日插值 埃尔米特插值 样条插值
课程安排
第五章 函数逼近与拟合 最小二乘与线性拟合 曲线图拟合 正交多项式 最佳平方逼近 8学时
课程安排
第六章 数值积分与微分

（8学时）
插值型求积公式 数值微分
课程安排
第七章 非线性方程和方程组的数值方法 （8 学时）
m
: 例：π 的有限位数
取 x1 = 3，误差限不超过0.5;
取 x2 = 3.14,误差限不超过0.005 ; 取 x3 = 3.1416,误差限不超过0.00005 ;
例:计算 y = ln x。若 x 20，则取 x 的几位有效数字可保证 y 的相对误差 < 0.1% ? 解：设截取 n 位有效数字后得 x* x，则 x * y( x*) | er * ( x ) | | er*( y ) | | er * ( x ) | y( x*) ln x * 估计 x 和 y 的相对误差上限满足近似关系
4.7
取n=5，设计算每项数值的舍入误差为Δ ，
令4Δ ≤Є=0.0005 Δ ≤0.0001,取 Δ =0.00005=0.5*10-4
用四位小数计算得 S5=1+0.0313+0.0041+0.0010+0.0003=1.036 7 按Є= 0.5*10-3，将S5舍入为1.037
数值计算问题
数值计算问题的适定性

1. “良态”问题和“病态”问题

在适定的情况下，若对于原始数据很小的变化δ X， 对应的参数误差δ y也很小，则称该数学问题是良 态问题；若δ y很大，则称为病态问题 病态问题中解对于数据的变化率都很大，因此数 据微小变化必将导致参数模型精确解的很大变化 数学问题的性态完全取决于该数学问题本身的属 性，在采用数值方法求解之前就存在，与数值方 法无关
er *( x) ln x * er *( y)
5 10 n ln x* 0.1% a1
不知道怎么办啊？
n4
x 可能是20.也可能是 19，取最坏情况，即 a1 = 1。
截断误差
用数值法求解数学模型时，往往用 简单代替复杂,或者用有限过程代替无限 过程所引起的误差
1 1 1 例： 求y 5 5 ... 5 ...的值，总误差要求 1 2 n 为 0.001


数值计算问题的适定性

2. 稳定算法和不稳定算法

如果用数值方法计算时,初始误差对结果影 响小的算法称为稳定算法。否则称为不稳定 算法
例: 计算积分值
An x exp(x 1) dx, n 1,2,
n 0
1

1
0
x n exp( x 1) dx
n 1 1
1,2,3,4
|Δ | = 0 . 0 … 0 am+n+1 …≤ 0 . 0 … 0 499... < 0 . 0 … 0 5=0.5x10-n n位 n位 n位
四舍五入法

五入情况
当am+n+1 =5,6,7,8,9时，取 a= a0 a1 … am . am+1 … (am+n+1) ,那么
应用

GPS
应用

天气预报
应用

Google
例：蝴蝶效应
—— 纽约的一只蝴蝶翅膀一拍，风和日丽的北京 就刮起大风来了？！
NY
BJ
病态问题
/* ill-posed problem*/
例：线性方程组求解
{
3x y 7 2.999x y 1
x 6000 , y 17993
A2 E A2 1 2 A 1 E A 1
1 2 A 1 2 E A 1
E ( A2 ) 2 E ( A 1)
An E ( An ) 1 n An 1 E ( An 1 ) 1 n An 1 n E ( An 1 )

掌握数值方法的基本原理 构造算法的基本思想和技巧
明确如何在计算机上使用


•
提问：数值分析是做什么用的？
输入复杂问题或运算
x, a ,
x
l n x,
Ax b , ......

a
b
f ( x )dx,
d f ( x ), dx
数值 分析
近似解
计算机

前

言
数值分析的任务
A EA 1 03 19 0.0 5 0 0 0 0 0 19 2.3 8 0 9 5 2 3 A EA 1 0 4 18 0.0 5 0 0 0 0 0 18 1.2 5 3 1 3 2 8 A EA 1 0 7 16 4.0 9 5 2 0 5 3 16 0.0 5 5 7 1 9 0 A EA 1 09 14 1.7 0 6 3 3 5 5 14 0.0 6 2 7 3 2 2

1

1 e
经A1出发, 递推计算得到：
A 1 0.367879 A2 0.264242 A3 0.207274 A4 0.170904 A5 0.145480 A6 0.127120 A7 0.110160 A 8 0.118720
A9 0 .068480
a r x

表示单位长度中含有多少误差

由于x一般不知道,实际计算时用近似值p代替。
a r p
相对误差限
a r x

称为相对误差限
绝对误差是有量纲的量，相对误差没有量纲, 有时亦用百分比、千分比表示
四舍五入法

四舍情况，当am+n+1 =1,2,3,4时，取 a= a0 a1 … am . am+1 … am+n ，那么

设x是精确值，p是近似值，则定义两者 之差是绝对误差:
a x p
为近似数p的绝对误差,简称误差
绝对误差限

由于精确值一般是未知的,因而Δ 不能求出 来,但可以根据测量误差或计算情况估计它 的上限
| x - p |
称为绝对误差限。
A
a-ε
a
a+ε
相对误差

相对误差定义为绝对误差与精确值之比
解：取Rn =ε/2=0.0005, Є =ε/2 =0.0005 设计算公式为 y=1/x5
n
1 Sn 5 , 则 截 断 误 差 估 计 如 下 k 1 k 1 Rn 5 k n 1 k



n
dx 1 5 4 x 4n
1 0 1 2 3
令Rn ≤1/（4n4 ）≤0.0005 1/ 4 则n应满足 n (500 )
{
3 x y 7 3.001 x y 1
x 6000 ,
y 18007
则得不到解
{
3 x y 7 3 x y 1
误差的概念
误差的来源
研究 对象
数学模型的建立
模型 误差
现 实 世 界
测量
计算方法
方 法 误 差
数据
测量 误差
数值运算
舍 入
结果
误 差
绝对误差:
E A9 7.1026288 10
A9 0.0916123
15
计算方法与计算复杂性
1. 避免相近二数相减
例：a1 = 0.12345，a2 = 0.12346，各有5位有效数字。 而 a2 a1 = 0.00001，只剩下1位有效数字。 几种经验性避免方法：
x 0,1 x 9 exp( x 1) 0
?
分析： 从初始值起的舍入误差 A1的舍入误差是 进一步估计
E A1 4.412 10 7
E A1 4.412 10
7
1 10 6 ( A1 ) 2
1 10 6 ( A1 ) 2
n 1 x exp( x 1) n x exp( x 1) dx 0 0
An 1 n An1 ,
n 2,3,
0 A 1 x 1 exp(x 1) dx 0
1
1 d exp x 1
1 0
1 1 e
A EA 1 0 6 17 6.9 6 1 8 4 9 0 17 0.0 5 2 7 7 7 8 A EA 1 08 15 2.5 5 9 5 0 3 3 15 0.0 5 9 0 1 7 6
EA 1 010 A 13 1.2 1 8 8 1 1 1 13 0.0 6 6 9 4 7 7 EA 1 012 A 12 9.3 7 5 4 7 0 0 12 0.0 7 1 7 7 3 3 EA 1 014 A 10 7.1 0 2 6 2 8 8 10 0.0 8 3 8 7 7 1 EA 1 013 A 11 7.8 1 2 8 9 1 7 11 0.0 7 7 3 5 2 3
数值分析
主讲教师 李郴良教授 李姣芬副教授

视频
几点要求

保证课堂纪律 记好课堂笔记


按时上课，不迟到早退
及时完成课堂作业
课程安排
第二章 数值计算的基本概念 （2学时）

误差概念和分析 数值计算的算法问题 数值计算应注意的问题
课程安排
第三章 线性代数方程组的解法（12学时） 高斯消元法 矩阵分解 向量范数与矩阵范数 迭代法求解 方程组的病态问题与误差分析

数值分析是研究求解各类数学问题的数值方 法和有关理论的学科

数值分析的过程

构造算法、使用算法、分析算法
前



言
数值分析讲述的基本内容
如何把数学模型归结为数值问题
如何估计一个给定算法的精度
分析误差在计算过程中的积累和传播
如何构造精度更高的算法 如何使算法较少的占用存储量 如何分析算法的优缺点
An 1
1 An , n
n ,3,2
误差的传播情况成为：
E An E An 1 n
1.3.5
依次类推
E A1 1
n 1
E An n!
可见从 n 很大的 An 值开始，反过来算，误 差将不断减小。 n 1 1 1 1 x 1 n n An x exp x 1 dx x dx 0 0 n 1 0 n 1 1 lim An lim 0 n n n 1 A20 0, 1 E A20 0.047619047 20 1
关于有效数字的推论

推论1 对于给出的有效数，其绝对误差限不 大于其最末数字的半个单位
x 0.a1a2 an 10
1 mn x Байду номын сангаас x 10 2

m
关于有效数字的推论

推论2 对于给出的一个有效数，其相对误差 限可估计如下：
x 0.a1a2 an 10 5 n r ( x) 10 a1