高等代数作业 第二章行列式答案

高等代数第四次作业
第二章 行列式 §1—§4
一、填空题
1.填上适当的数字,使72__43__1为奇排列、 6,5
2.四阶行列式4
4⨯=ij
a D 中,含24a 且带负号的项为_____、 112433421224314313243241,,a a a a a a a a a a a a
3.设.21
22221
112
11
d a a a a a a a a a nn
n n n n =Λ
ΛΛΛΛ
ΛΛ
则._____1
2
21
22211
121=n n nn
n n
a a a a a a a a a Λ
Λ
ΛΛΛΛ
Λ
(1)
2(1)n n d -- 4.行列式1
1
1
11
1
11
---x 的展开式中, x 的系数就是_____、 2 二、判断题
1、 若行列式中有两行对应元素互为相反数,则行列式的值为0 ( )√
2、 设d =
nn
n n n n a a a a a a a a a ΛΛΛΛΛΛΛ212222111211
则1211122221
21
n n n nn n a a a a a a a a a L L L L L L L =d ( )×
3、 设d =
nn
n n n n a a a a a a a a a ΛΛΛΛ
ΛΛΛ21
22221
11211
则
d a a a a a a a a a n
nn n n n
-=11211
2122221ΛΛΛ
ΛΛΛ
ΛΛ( )×
4、 abcd z
z z d
y y c x b a =000000
( ) √ 5、
abcd d
c
x b y x a z y x
-=0
000
00 ( )× 6、
00
00000=y
x
h g
f e d c b a ( )√
7、 如果行列式D 的元素都就是整数,则D 的值也就是整数。

( )√ 8、 如果行列D 的元素都就是自然数,则D 的值也就是自然数。

( )×
9、
n n
a a a a a a ΛN 212
1
= ( )×
10、 0
1
000
200
010
Λ
ΛΛΛΛΛΛΛΛn
n -=n ！ ( )× 三、选择题
1.行列式01
11021
2=-k k 的充分必要条件就是 ( ) D
(A)2=k (B)2-=k (C)3=k (D)2-=k 或 3 2.方程09
3
142
112=x x 根的个数就是( )C (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 3.下列构成六阶行列式展开式的各项中,取“+”的有 ( )A
(A)665144322315a a a a a a (B)655344322611a a a a a a (C)346542165321a a a a a a (D)513312446526a a a a a a
4、 n 阶行列式的展开式中,取“–”号的项有( )项 A
(A)2!n (B)22n (C)2
n (D)2)
1(-n n
5.若(145)11243455(1)k l k l a a a a a τ-就是五阶行列式的一项,则l k ,的值及该项的符号为( )B (A)3,2==l k ,符号为正; (B)3,2==l k ,符号为负; (C)3,1k l ==,符号为正; (D)1,3k l ==,符号为负
6.如果0333231232221131211≠==M a a a a a a a a a D ,则33
323123222113
12111222222222a a a a a a a a a D = = ( )C
(A)2 M (B)－2 M (C)8 M (D)－8 M 7.如果1333231232221131211==a a a a a a a a a D ,33
3231312322212113
1211111232423242324a a a a a a a a a a a a D ---= ,则=1D ( )C
(A)8 (B)12- (C)24- (D)24 四、计算题 1. 计算
3
21
42143143
24321
解:3
2142143143243213
21421431432111110
=1
23012101
210111110
------=4
40004001
210111110
---=4
00004001
210111110
---==160
2、 计算
3
11
113111131
1113、 解:
31
11
13111
1311
113=3
111
1311113111116•=2
000020000201
1116•
=.48263=⨯
高等代数第五次作业
第二章 行列式 §5—§7
一、填空题
1、 设ij ij A M ,分别就是行列式D 中元素ij a 的余子式,代数余子式,则._____1,1,=+++i i i i A M 0
2、 1
22305403-- 中元素3的代数余子式就是 、6-
3、 设行列式4
3216
30211118751=
D ,设j j A M 44,分布就是元素j a 4的余子式与代数余子式,
则44434241A A A A +++ = ,44434241M M M M +++= 、0,66- 4、 若方程组⎪⎩
⎪
⎨⎧=+-=++=+02020z y kx z ky x z kx
仅有零解,则k 、 2≠
5、 含有n 个变量,n 个方程的齐次线性方程组,当系数行列式D 时仅有零解、 0≠ 二、判断题
1、 若n 级行列试D 中等于零的元素的个数大于2n n -,则D=0 ( )√
2、
222)(00000000a b b a a b b a a
b -= ( )√ 3、
222)(0000000
0b a a b b a a b b a -= ( )√
4、
0=d b a c d b c a b d c a b d a c ( )√ 5、
483111131111311
113= ( )√ 6、
)(000000hx gy a y
h f
d
x g e c b a -= ( )× 7、
010
73101
1
1
1
87654321
=--- ( )√
三、选择题
1、 行列式1
022113
21的代数余子式13A 的值就是( )D
(A)3 (B)1- (C)1 (D)2-
2.下列n (n >2)阶行列式的值必为零的就是 ( )D
(A)行列式主对角线上的元素全为零 (B)行列式主对角线上有一个元素为零 (C)行列式零元素的个数多于n 个 (D)行列式非零元素的个数小于n 个
3.若1
111
11111
111101)(-------=
x x f ,则)(x f 中x 的一次项系数就是( )D
(A)1 (B)1- (C)4 (D)4-
4.4阶行列式4
433221100000
000a b a b b a b a 的值等于( )D
(A)43214321b b b b a a a a - (B)))((43432121b b a a b b a a -- (C)43214321b b b b a a a a + (D)))((41413232b b a a b b a a -- 5.如果
12221
1211=a a a a ,则方程组 ⎩⎨⎧=+-=+-0
22221211212111b x a x a b x a x a 的解就是( )B
(A)222
1211a b a b x =,2211112b a b a x = (B)2221211a b a b x -=,2
211
112b a b a x = (C)22
21211a b a b x ----=
,2
211112b a b a x ----=
(D)22
21211a b a b x ----=
,2
211112b a b a x -----
=
6、 三阶行列式第3行的元素为4,3,2对应的余子式分别为2,3,4,那么该行列式的值等于( )B
(A)3 (B)7 (C)–3 (D)-7
7.如果方程组 ⎪⎩
⎪
⎨⎧=--=+=-+050403z y kx z y z ky x 有非零解,则 k =( )C
(A)0 (B)1 (C)－1 (D)3 四、计算题
1、 计算D=100110011
001a
a a
a
---
解:方法1:
1001100110
01a
a a a ---21r r ↔=
a
a a a 100
1
10001011---21
r ar +=
a
a
a a a 10
1
100100112--+-
32r r ↔=
a
a a a a 100
10110011
2
-+--232
(1)r a r ++=
a
a a a a a 1
0012001100112
3-++--
=
a
a a a 1
122
3-++=.13)1()2(2423++=+++a a a a a a
方法2:将行列式按第一行展开,有:
10011
011
01a a
a a
---=10110110
1010
1a a a a
a a
-----=1]0
1111
[2++--
-•
a a
a
a a a
=1])1([22++++a a a a a .1324++=a a
2、 计算1
2125431432321-=n n n D n Λ
M M M M Λ
Λ
Λ
解:1
2125431432321-n n n Λ
M M M M Λ
ΛΛ121)1(254)1(143)1(32)1(21
2
12121-++++=n n n n n n n n n n ΛM M M M Λ
ΛΛ1
211254
11
431321)1(21-+=n n n n Λ
M M
M M ΛΛ
Λ
1
110111
1110
321
)1(21Λ
M
M
M M Λ
ΛΛn n
n
n n --+=1
1
1111111
)
1(21
Λ
M M M
ΛΛ
n n n n n ---+=
)1()
1(00
00111
)
1(12
12
12
)1(+-=---+=--n n n n n n n n n Λ
M M M
Λ
Λ
3、 计算
642781169414
3
2
11111
解:
64
2781169414
3
2
11111)34)(24)(23)(14)(13)(12(------=12=
4、 计算=
n D 1
2111111
111n
a a a +++L L M M M L 解:=
n D 1
211
1
111
1
1
1n
a a a +++L
L M M M L
n
a a a Λ
M M M Λ
Λ
1
1
01101121
++=12111111+1
1
1
a a ++L
L
M M M
L
1211--+=n n n a a a D a Λ).11(1
21∑
=+=n
i i
n a a a a Λ 5、 解方程:
2
2x 913
2
5
1
3232x 213211--=0、
解:
2
2x 913
2
5
1
3232x 213211--=
2
233101
3
1000103211x x -----=22
33101
31000
1
03211)1(x x ----•
-
=2
2
33001
30000
1
0321
1)1(x x ----•
-=2
2
400
013
000010321
1)1(x x ---•
-=223(1)(4)x x ---
.2,1±±=∴x
五、证明题
1.证明:0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2
2
2
2
2
222
2
222
2222
=++++++++++++d d d d c c c c
b b b b a a a a 证明:
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()()
()
43433232
21
2
2
2
22
22
2
2
2
22222
2
2
22
2
2
2
2
2
1232123252122123212325212221
23
25
2122123212325
2122
123c c c c c c c c c c a a a a a a a a a a b
b b b b b b b b b
c c c c c c c c c c
d d d d d d d d d d -----++++++++++++++++++++++++++++ 4
0推论
2.设1
1
1
,12
,11,111211
ΛΛM M M Λ
n n n n n a a a a a a D ---=
,求证:n D D D D +++=Λ21,其中k D ()1,2,,k n =L 为将D 中
第k 列元素换成121,,,,1n x x x -L 后所得的新行列式。

证明:将D 增加一行与一列得到下列1+n 阶行列式,此行列式显然为0。

1112111,11,2
1,11111
1
1
1
1
n n n n n n a a a x a a a x ----L L M M M M L L
将此行列式按第一行展开,得()
1
1
1110n k k k A ++=-=∑,
显然()
()
()
()11
111,111,2,,n k
k n k k k k A D A D k n -+++=--=-=L ,
()
()()11
1,11n n A D +++-=,故1
n
k k D D ==∑。

3.设n a a a ,,,21Λ就是数域P 中互不相同的数,n b b b ,,,21Λ就是数域P 中任一组给定的数,用克拉默法则证明:有唯一的数域P 上的多项式
()112210--++++=n n x c x c x c c x f Λ 使()i i b a f = ()n i ,,2,1Λ=。

证明:由()i i b a f =得
⎪⎪
⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++=++++------n n n n n n
n n n n b
a c a c a c c
b a
c a c a c c b a c a c a c c 1122102
1
212222101111212110.............................................ΛΛΛ
这就是一个关于110,,,-n c c c Λ的线性方程组,且它的系数行列式为一个范德蒙行列式、由已知该行列式不为0,故线性方程组只有唯一解,即所求多项式就是唯一的、。