(文理通用)2019届高考数学大二轮复习 解析几何第2讲圆锥曲线的概念与性质、与弦有关的计算问题练习

第一部分 专题六 第二讲 圆锥曲线的概念与性质、与弦有关的计算问题A 组1．抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，O 为坐标原点，M 为抛物线上一点，且|MF |＝4|OF |，△MFO 的面积为43，则抛物线方程为( B )A ．y 2＝6x B ．y 2＝8x C ．y 2＝16xD ．y 2＝152x[解析] 依题意，设M (x ，y )，因为|OF |＝p2，所以|MF |＝2p ，即x ＋p2＝2p ，解得x ＝3p2，y ＝3p .又△MFO 的面积为43，所以12×p2×3p ＝43，解得p ＝4.所以抛物线方程为y 2＝8x .2．若双曲线x 2a －y 2b ＝1(a >0，b >0)和椭圆x 2m ＋y 2n＝1(m >n >0)有共同的焦点F 1、F 2，P 是两条曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|＝ ( D )A ．m 2－a 2B ．m －aC ．12(m －a ) D ．m －a[解析] 不妨设F 1、F 2分别为左、右焦点，P 在双曲线的右支上，由题意得|PF 1|＋|PF 2|＝2m ，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，∴|PF 1|＝m ＋a ，|PF 2|＝m －a ，故|PF 1|·|PF 2|＝m －a .3．(文)若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( D )A ．73B ．54C ．43D ．53[解析] 由题利用双曲线的渐近线经过点(3，－4)，得到关于a ，b 的关系式，然后求出双曲线的离心率即可．因为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，∴3b ＝4a ，∴9(c 2－a 2)＝16a 2，∴e ＝c a ＝53，故选D ．(理)已知双曲线x 24－y 2b2＝1(b >0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A 、B 、C 、D 四点，四边形的ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为( D )A ．x 24－3y 24＝1B ．x 24－4y 23＝1C ．x 24－y 24＝1 D ．x 24－y 212＝1 [解析] 根据圆和双曲线的对称性，可知四边形ABCD 为矩形．双曲线的渐近线方程为y ＝±b 2x ，圆的方程为x 2＋y 2＝4，不妨设交点A 在第一象限，由y ＝b2x ，x 2＋y 2＝4得x A ＝44＋b2，y A ＝2b4＋b 2，故四边形ABCD 的面积为4x A y A ＝32b 4＋b 2＝2b ，解得b 2＝12， 故所求的双曲线方程为x 24－y 212＝1，故选D ．4．(2018·重庆一模)已知圆(x －1)2＋y 2＝34的一条切线y ＝kx 与双曲线C ：x 2a 2－y2b2＝1(a >0，b >0)有两个交点，则双曲线C 的离心率的取值范围是( D )A ．(1，3)B ．(1,2)C ．(3，＋∞)D ．(2，＋∞) [解析] 由题意，圆心到直线的距离d ＝|k |12＋k2＝32，所以k ＝±3， 因为圆(x －1)2＋y 2＝34的一条切线y ＝kx 与双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)有两个交点， 所以b a >3，所以1＋b 2a2>4，所以e >2.5．(2018·济南一模)已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FP →＝4FQ →，则|QF |＝( B )A ．72 B ．3 C ．52D ．2[解析] 如图所示，因为FP →＝4FQ →，所以|PQ ||PF |＝34，过点Q 作QM ⊥l垂足为M ，则MQ ∥x 轴，所以|MQ |4＝|PQ ||PF |＝34，所以|MQ |＝3，由抛物线定义知|QF |＝|QM |＝3.6．(2018·泉州一模)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的准线l ，过M (1,0)且斜率为3的直线与l 相交于点A ，与点C 的一个交点为点B ，若AM →＝MB →，则p ＝2.[解析] 设直线AB ：y ＝3x －3，代入y 2＝2px 得： 3x 2＋(－6－2p )x ＋3＝0，又因为AM →＝MB →，即M 为A ，B 的中点，所以x B ＋(－p 2)＝2，即x B ＝2＋p2，得p 2＋4p －12＝0，解得p ＝2，p ＝－6(舍去)．7．已知双曲线x 2－y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则PA 1→·PF 2→的最小值为－2.[解析] 由已知得A 1(－1,0)，F 2(2,0)．设P (x ，y )(x ≥1)，则PA 1→·PF 2→＝(－1－x ，－y )·(2－x ，－y )＝4x 2－x －5.令f (x )＝4x 2－x －5，则f (x )在[1，＋∞)上单调递增，所以当x ＝1时，函数f (x )取最小值，即PA 1→·PF 2→取最小值，最小值为－2.8．已知椭圆C ：x 29＋y 24＝1，点M 与椭圆C 的焦点不重合．若M 关于椭圆C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在椭圆C 上，则|AN |＋|BN |＝12.[解析] 取MN 的中点G ，G 在椭圆C 上，因为点M 关于C 的焦点F 1，F 2的对称点分别为A ，B ，故有|GF 1|＝12|AN |，|GF 2|＝12|BN |，所以|AN |＋|BN |＝2(|GF |1＋|GF |2)＝4a ＝12.9．(2018·郴州三模)已知抛物线E ：y 2＝8x ，圆M ：(x －2)2＋y 2＝4，点N 为抛物线E 上的动点，O 为坐标原点，线段ON 的中点P 的轨迹为曲线C ．(1)求曲线C 的方程；(2)点Q (x 0，y 0)(x 0≥5)是曲线C 上的点，过点Q 作圆M 的两条切线，分别与x 轴交于A ，B 两点，求△QAB 面积的最小值．[解析] (1)设P (x ，y )，则点N (2x,2y )在抛物线E ：y 2＝8x 上，所以4y 2＝16x ， 所以曲线C 的方程为y 2＝4x . (2)设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)．令y ＝0，可得x ＝x 0－y 0k， 圆心(2,0)到切线的距离d ＝|2k ＋y 0－kx 0|12＋k2＝2， 整理可得(x 20－4x 0)k 2＋(4y 0－2x 0y 0)k ＋y 20－4＝0，设两条切线的斜率分别为k 1，k 2，则k 1＋k 2＝2x 0y 0－4y 0x 20－4x 0，k 1k 2＝y 20－4x 20－4x 0，所以△QAB 面积S ＝12|(x 0－y 0k 1)－(x 0－y 0k 2)|y 0＝2·x 20x 0－1＝2x 0－12＋2x 0－1＋1x 0－1＝2[(x 0－1)＋1x 0－1＋2]． 设t ＝x 0－1∈[4，＋∞)，则f (t )＝2(t ＋1t＋2)在[4，＋∞)上单调递增，所以f (t )≥252，即△QAB 面积的最小值为252.B 组1．若a >1，则双曲线x 2a2－y 2＝1的离心率的取值范围是( C )A ．(2，＋∞)B ．(2，2 )C ．(1，2)D ．(1,2)[解析] 由题意得双曲线的离心率e ＝a 2＋1a .∴e 2＝a 2＋1a 2＝1＋1a2.∵a >1，∴0<1a 2<1，∴1<1＋1a2<2，∴1<e < 2.故选C ．2．已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( A )A ．13B ．12C ．23D ．34[解析]解法一：设E(0，m)，则直线AE的方程为－xa＋ym＝1，由题意可知M(－c，m －mca)，(0，m2)和B(a,0)三点共线，则m－mca－m2－c＝m2－a，化简得a＝3c，则C的离心率e＝ca＝13.解法二：如图所示，由题意得A(－a,0)，B(a,0)，F(－c,0)．由PF⊥x轴得P(－c，b2a)．设E(0，m)，又PF∥OE，得|MF||OE|＝|AF||AO|，则|MF|＝m a－ca.①又由OE∥MF，得12|OE||MF|＝|BO||BF|，则|MF|＝m a＋c2a.②由①②得a－c＝12(a＋c)，即a＝3c，所以e＝ca＝13.故选A．3．(文)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝42，|DE|＝25，则C的焦点到准线的距离为( B )A．2 B．4C．6 D．8[解析]由题意，不妨设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，由|AB|＝42，|DE|＝25，可取A(4p，22)，D(－p2，5)，设O为坐标原点，由|OA|＝|OD|，得16p2＋8＝p24＋5，得p＝4.故选B．(理)已知椭圆C 1：x 2m 2＋y 2＝1(m >1)与双曲线C 2：x 2n2－y 2＝1(n >0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则( A )A ．m >n 且e 1e 2>1B ．m >n 且e 1e 2<1C ．m <n 且e 1e 2>1D ．m <n 且e 1e 2<1[解析] 由于m 2－1＝c 2，n 2＋1＝c 2，则m 2－n 2＝2，故m >n ，又(e 1e 2)2＝m 2－1m 2·n 2＋1n 2＝n 2＋1n 2＋2·n 2＋1n 2＝n 4＋2n 2＋1n 4＋2n 2＝1＋1n 4＋2n 2>1，所以e 1e 2>1.故选A ． 4．已知M (x 0，y 0)是曲线C ：x 22－y ＝0上的一点，F 是曲线C 的焦点，过M 作x 轴的垂线，垂足为点N ，若MF →·MN →<0，则x 0的取值范围是( A )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(－1,1)[解析] 由题意知曲线C 为抛物线，其方程为x 2＝2y ，所以F (0，12)．根据题意，可知N (x 0,0)，x 0≠0，MF →＝(－x 0，12－y 0)，MN →＝(0，－y 0)，所以MF →·MN →＝－y 0(12－y 0)<0，即0<y 0<12.因为点M 在抛物线上，所以有0<x 202<12.又x 0≠0，解得－1<x 0<0或0<x 0<1.故选A ．5．已知椭圆x 29＋y 25＝1的右焦点为F ，P 是椭圆上一点，点A (0,23)，当△APF 的周长最大时，△APF 的面积等于( B )A ．1134B ．2134C ．114D ．214[解析] 由椭圆x 29＋y 25＝1知a ＝3，b ＝5，c ＝a 2－b 2＝2，Rt △AOF 中，|OF |＝2，|OA |＝23，则|AF |＝4.设椭圆的左焦点为F 1，则△APF 的周长为|AF |＋|AP |＋|PF |＝|AF |＋|AP |＋2a －|PF 1|＝4＋6＋|PA |－|PF 1|≤10＋|AF 1|(当且仅当A ，P ，F 1三点共线，P 在线段AF 1的延长线上时取“＝”)．此时直线AF 1的方程为x －2＋y23＝1，与椭圆的方程为5x 2＋9y2－45＝0联立并整，得32y 2－203y －75＝0，解得y P ＝－538(正值舍去)，则△APF 的周长最大时，S △APF ＝12|F 1F |·|y A －y P |＝12×4×|23＋538|＝2134.故选B ．6．设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l与C 交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为 3.[解析] 设双曲线方程：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，由题意可知，将x ＝c 代入，解得：y ＝±b 2a，则|AB |＝2b2a，由|AB |＝2×2a ，则b 2＝2a 2，所以双曲线离心率e ＝ca＝1＋b 2a2＝ 3. 7．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1且与x 轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，直线AF 2与椭圆的另一个交点为点C ，若S △ABC ＝3S △BCF 2，则椭圆的离心率为55. [解析] 如图所示，因为S △ABC ＝3S △BCF 2，所以|AF 2|＝2|F 2C |.A (－c ，b 2a )，直线AF 2的方程为：y －0＝b 2a －0－c －c(x －c )，化为：y ＝－b 22ac (x －c )，代入椭圆方程x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)，可得：(4c 2＋b 2)x 2－2cb 2x ＋b 2c 2－4a 2c 2＝0，所以x C ·(－c )＝b 2c 2－4a 2c 24c 2＋b 2，解得x C ＝4a 2c －b 2c4c 2＋b2.因为AF 2→＝2F 2C →，所以c －(－c )＝2(4a 2c －b 2c4c 2＋b 2－c )，化为：a 2＝5c 2，解得e ＝55. 8．设F 1，F 2为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的焦点，过F 2的直线交椭圆于A ，B 两点，AF 1⊥AB 且AF 1＝AB ，则椭圆C 的离心率为6－ 3.[解析] 设|AF 1|＝t ，则|AB |＝t ，|F 1B |＝2t ，由椭圆定义有：|AF 1|＋|AF 2|＝|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，所以|AF 1|＋|AB |＋|F 1B |＝4a ，化简得(2＋2)t ＝4a ，t ＝(4－22)a ， 所以|AF 2|＝2a －t ＝(22－2)a ， 在Rt △AF 1F 2中，|F 1F 2|2＝(2c )2，所以[(4－22)a ]2＋[(22－2)a ]2＝(2c )2， 所以(c a)2＝9－62＝(6－3)2，所以e ＝6－ 3.9．(文)设F 1、F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A 、B 两点，|AF 1|＝3|F 1B |.(1)若|AB |＝4，△ABF 2的周长为16，求|AF 2|； (2)若cos ∠AF 2B ＝35，求椭圆E 的离心率．[解析] (1)由|AF 1|＝3|F 1B |及|AB |＝4得|AF 1|＝3，|F 1B |＝1， 又∵△ABF 2的周长为16，∴由椭圆定义可得4a ＝16，|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝8. ∴|AF 2|＝2a －|AF 1|＝8－3＝5.(2)设|F 1B |＝k ，则k >0且|AF 1|＝3k ，|AB |＝4k ， 由椭圆定义知：|AF 2|＝2a －3k ，|BF 2|＝2a －k ， 在△ABF 2中，由余弦定理得，|AB |2＝|AF 2|2＋|BF 2|2－2|AF 2||BF 2|cos ∠AF 2B ， 即(4k )2＝(2a －3k )2＋(2a －k )2－65(2a －3k )(2a －k )，∴(a ＋k )(a －3k )＝0，而a ＋k >0， ∴a ＝3k ，于是有|AF 2|＝3k ＝|AF 1|，|BF 2|＝5k ， ∴|BF 2|2＝|F 2A |2＋|AB |2∴F 2A ⊥AB ，F 2A ⊥AF 1， ∴△AF 1F 2是等腰直角三角形，从而c ＝22a ，所以椭圆离心率为e ＝c a ＝22. (理)设点F 1(－c,0)，F 2(c,0)分别是椭圆C ：x 2a2＋y 2＝1(a >1)的左、右焦点，P 为椭圆C上任意一点，且PF 1→·PF 2→的最小值为0.(1)求椭圆C 的方程；(2)如图，动直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 有且仅有一个公共点，作F 1M ⊥l ，F 2N ⊥l 分别交直线l 于M ，N 两点，求四边形F 1MNF 2面积S 的最大值．[解析] 本题主要考查平面向量数量积的坐标运算、椭圆的方程及几何性质、直线与椭圆的位置关系、基本不等式．(1)设P (x ，y )，则PF 1→＝(－c －x ，－y )，PF 2→＝(c －x ，－y )，∴PF 1→·PF 2→＝x 2＋y 2－c 2＝a 2－1a2x 2＋1－c 2，x ∈[－a ，a ]，由题意得，1－c 2＝0，c ＝1，则a 2＝2， ∴椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)将直线l 的方程l ：y ＝kx ＋m 代入椭圆C 的方程x 22＋y 2＝1中，得(2k 2＋1)x 2＋4kmx＋2m 2－2＝0，由直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点知Δ＝16k 2m 2－4(2k 2＋1)(2m 2－2)＝0，化简得：m 2＝2k 2＋1.设d 1＝|F 1M |＝|－k ＋m |k 2＋1，d 2＝|F 2N |＝|k ＋m |k 2＋1. ①当k ≠0时，设直线l 的倾斜角为θ，则|d 1－d 2|＝|MN |·|tan θ|， ∴|MN |＝1|k |·|d 1－d 2|，∴S ＝12·1|k |·|d 1－d 2|·(d 1＋d 2)＝2|m |k 2＋1＝4|m |m 2＋1＝4|m |＋1|m |，∵m 2＝2k 2＋1，∴当k ≠0时，|m |>1，|m |＋1|m |>2， 即S <2.②当k ＝0时，四边形F 1MNF 2是矩形，此时S ＝2. ∴四边形F 1MNF 2面积S 的最大值为2.。