抛物型方程的差分方法

exp( k )u ( x, t ) t
n x mh, t nk, um1 u (mh, (n 1)k )，于是 设 n n 1 um exp( k )um t
(2.23)
如果算子L不依赖于t，即 L L( x, Dx , Dx2 ) ，则
n n um1 exp( kL)um
u u u ( x, t ) (a( x, t ) ) b( x, t ) c( x, t )u t x x x
(2.1)
其中, ( x, t ), a( x, t ) 0, c( x, t ) 0, ( x, t ) , 为 xt平面上某 一区域。
由Taylor展开，有
h u n h 2 2u n h3 3u n u ( xm1 , t n ) u ( xm , t n ) ( ) m ( 2 ) m ( 3 ) m 1! x 2! x 3! x h u n h 2 2u n h 3 3u n u ( xm1 , t n ) u ( xm , t n ) ( ) m ( 2 ) m ( 3 ) m 1! x 2! x 3! x
t n nk T n 0,1,2, , N ; N k m 0,1,2,
xm mh
在 t 0上的结点称为边界结点，属于 内的结点 称为内部结点。
对于初边值问题，设 ( x, t ) | 0 x 1,0 t T ，则网格是
(2.20.1) (2.20.2) (2.20.3)
4 17 6 n 5 x 2 x 6 x um 4u n 4 17 6 n 4 5 h ( 4 ) m x 2 x x um x 6 7 8 n 4 1 6 x x x um 6 240
(2.21.1) (2.21.2) (2.21.3)
从以上这些偏导数的差分表达式，我们可以 得到偏导数的各种精度的近似表达式。 在 h( u ) 的前差表达式中取第一项，则有 x
n m
u n n n n h( ) m xum um1 um x
且
h(
u n 1 1 n n n n ) m (um1 um ) 2xum 3xum x 2 3
(2.19.1) (2.19.2) (2.19.3)
返回 返回 35 42
对于三阶、四阶偏导数的差分表达式为
3 3 4 7 5 n x x x um 2 4 3u n 3 3 4 7 5 n h 3 ( 3 ) m x x x um x 2 4 1 37 n ( x x ) 3 ( x x ) 5 ( x x ) 7 u m 2 120
(2.18.1) (2.18.2) (2.18.3)
返回
又由
2 h 2 Dx ln( I x )
2 2 x
h D ln( I x )
2 2 x
2
2
2
1 h D 2ar sinh( x ) 2
可得二阶偏导数的差分表达式
2 11 n x 3x 4x um 12 2 11 3 2 n 2 u n 3 h ( 2 ) m x x x u m x 12 n 2 1 4 1 6 x x x um 12 90
n n u n u ( xm1 , tn ) u ( xm1 , tn ) um1 um1 ( )m x 2h 2h
向后差商
(2.7)
中心差商
显然，用差商近似导数存在误差，令
n n u n um 1 um n Em ( ) m x h
(2.8)
则
截断误差, 阶为 O(h)
(2) 初边值问题(或称混合问题) 在区域上 ( x, t ) | 0 x 1,0 t T 求函数u( x, t ) ，使满足 边值条件
方程(2.1) u ( x ,0 ) ( x ) u (0, t ) (t ), u (1, t ) (t )
T u u
n m
1 2 x
n 1 m 2
,
n Tx um u n

1 2
m
1 2
n x 为 x 方向平均算子， xum 1 (u n 1 u n 1 )
2
m
2
m
2
x 方向的差分算子:
其中:
n n n xum um1 um
un
m
1 2
h u ( xm , tn ) 2
第2章抛物型方程的差分方法
2.1 差分格式建立的基础 2.2 显式差分格式 2.3 隐式差分格式 2.4 解三对角形方程的追赶法 2.5 差分格式的稳定性和收敛性 2.6 非线性抛物型方程的差分解法举例 2.7 二维抛物型方程的差分格式 2.8 交替方向的隐式差分格式( ADI 格式)
本章，我们研究线性抛物型方程的差分解法， 主要讨论差分方程的构造方法和有关的理论问题 以及研究方法等，重点在于一维线性抛物型方程 的差分方法，对于非线性以及多维抛物型方程的 差分解法也进行了研究。 众所周知，一维线性抛物型方程的一般形式为
u 2 L( x, t , Dx , Dx )u t
2 D Dx , Dx的线性算子， x x L 是关于
(2.22)
返回
。包括二个相 邻时间层的网格结点的差分方程可以从Talor 展开 式推出
k k 2 2 k 3 3 u ( x, t k ) (1 )u ( x, t ) 2 3 1! t 2! t 3! t
h 2u E ( 2 ) x ,tn 2 x
n m
xm x xm1
用向后差商近似导数的截断误差阶也为O(h) 而中心差商近似导数的截断误差阶为O(h 2 ) 关于导数的近似差商表达式，也可以通过线 性算子作为推导工具得到，定义：
Dx x
为 x 方向偏导数算子
n n n n Tx 为 x 方向位移算子，Txum um1 , Tx1um um1
则u 在( xm , tn )处对 x 的一阶偏导数有三个可能的近似:
n n u n u ( xm1 , t n ) u ( xm , tn ) um1 um ( )m x h h
向前差商
(2.5) (2.6)
n n u n u ( xm , t n ) u ( xm1 , t n ) um um1 ( )m x h h
因为 故
同理 因为
x Tx I ,
Tx x I
1 2 1 3 hDx ln( I x ) x x x 2 3
1 2 1 3 hDx ln( I x ) x x x 2 3
1 2 x 1 2
又由二阶导数的前差表达式(2.19.1)，得
因此
2u n n h ( 2 ) m 2x um x u n 1 n n n Em ( ) m (um1 um ) O(h) x h
2
即截断误差阶 O(h) 为。
现在研究构造微分方程(2.1)的差分方程的方 法，为此记微分方程(2.1)为
通常考虑的定解问题有： (1) 初值问题(或称Cauchy问题) 在区域 ( x, t ) | x ,0 t T 上求函 数，使满足 初值条件
方程(2.1) u ( x,0) ( x) ( x, t ) x
(2.2)
1
(2.16) 46 (2.17)
32
式(2.14)，(2.15)，(2.17)分别给出了偏导数算 子关于前差、后差、中心差的级数表达式
利用这些关系式就可给出偏导数的差分表达式
1 1 n x 2x 3x um 2 3 u 1 1 n h( ) n x 2 3 um m x x x 2 3 1 3 n 3 5 x x 6 ( x x ) 40 ( x x ) um
前差算子: x , 后差算子: x ,
(2.9) (2. 10) (2.11)
2
n n n xum um um1
n n n 中心差算子: x , xum um 1 um 1 2
建立差分算子和导数算子之间的关系，由 Talyor 展开，有
h u n h 2 2u n h3 3u n n n um1 um ( ) m ( 2 ) m ( 3 ) m 1! x 2! x 3! x
t n nk
xm mh
T n 0,1,2, , N ; N k m 0,1,2,, M ; Mh 1
在 t 0, x 0, x 1上的结点称为边界结点，属于 内的结点称为内部结点。 差分方程就是在网格点上求出微分方程解 的近似值的一种方法，因此又称为网格法。 构造逼近微分方程的差分方程的方法。 研究导数的差商近似表达式。为此对二元函 n u u ( x, t ) um u ( xm , t n )，且假定 u u ( x, t ) 具有我 数 定义 们需要的有界偏导数。
h n h2 2 I Dx Dx um 2! 1!
n exp( hDx )um
I为恒等算子
由 得
n n um 1 Tx um
Tx exp( hDx )
(2.12) (2.13)
hDx ln Tx1
或者 同理有
hDx ln Tx
Tx1 exp( hDx )
1 2
(x)为给定的初始函数。
( x, t )
0 x 1 (2.3) 0 t T (2.4)
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2.1 差分格式建立的基础 为了构造微分方程(2.1)的有限差分逼近，首 先将求解区域 用二组平行于 t 轴和 x轴的直线构 成的网格覆盖，网格边长在方向 t为 t k ，在 x 方向为x h (如图2.1所示)。h, k分别称为空间方向 和时间方向的步长，网格线的交点称为网格的结 点。对初值问题来说，网格是
(2.24)
35 38 2 1 D 将式(2.17)， x h ar sinh(2 x ) ,代入算子L中，即在L 中用中心差分算子 x 代替了微分算子Dx ，于是有
2 1 2 1 n n um1 exp( kL(mk , ar sinh( x ), ( ar sinh( x )) 2 ))um h 2 h 2
(2.25)
返回
目前通常用于解方程(2.1)的各种差分方程， 都是方程(2.25)的近似表达式。下面各节，我们将 以式(2.25)为基础，对简单的抛物型方程，推导一 些常用差分格式。
(2.14)
(2.15)
x T Tx
1
则
x exp( hDx ) exp( hDx ) 2 1 2 双曲正弦 x 2 sinh( hDx ) 2 1 1 3 32 hDx 2ar sinh( x ) x 2 x 4 x5 2 2 3! 2 5!