【】数学物理方法试卷(全答案).doc

嘉应学院物理系《数学物理方法》B课程考试题

一、简答题（共70 分）

1、试阐述解析延拓的含义。解析延拓的结果是否唯一（ 6 分）

解析延拓就是通过函数的替换来扩大解析函数的定义域。替换函数在原定义域上与替换前的

函数相等。

无论用何种方法进行解析延拓，所得到的替换函数都完全等同。

2、奇点分为几类如何判别（6分）

在挖去孤立奇点Zo 而形成的环域上的解析函数F（ z）的洛朗级数，或则没有负幂项，或则

只有有限个负幂项，或则有无限个负幂项，我们分别将Zo 称为函数F（ z）的可去奇点，极

点及本性奇点。

判别方法：洛朗级数展开法

A，先找出函数f(z) 的奇点；

B，把函数在的环域作洛朗展开

1）如果展开式中没有负幂项，则为可去奇点；

2）如果展开式中有无穷多负幂项，则为本性奇点；

3）如果展开式中只有有限项负幂项，则为极点，如果负幂项的最高项为，则为m阶奇点。

3、何谓定解问题的适定性（ 6 分）

1，定解问题有解；2，其解是唯一的；3，解是稳定的。满足以上三个条件，则称为定解问

题的适定性。

4、什么是解析函数其特征有哪些（ 6 分）

在某区域上处处可导的复变函数

称为该区域上的解析函数.

1）在区域内处处可导且有任意阶导数 .

u x, y C1

这两曲线族在区域上正交。

2）

C2

v x, y

3）u x, y 和 v x, y 都满足二维拉普拉斯方程。( 称为共轭调和函数 )

4）在边界上达最大值。

4、数学物理泛定方程一般分为哪几类波动方程属于其中的哪种类型（ 6 分）

数学物理泛定方程一般分为三种类型：双曲线方程、抛物线方程、椭圆型偏微分方程。波动方程属于其中的双曲线方程。

5、写出(x) 挑选性的表达式（6分）

f x x x0 dx f x0

f x x dx f 0

f (r ) ( r R0 ) dv f ( R0 )

6、写出复数1

i

3

的三角形式和指数形式（8 分）2

cos isin 1 i 3

2 2

三角形式： 2 sin2 cos2

1 i 3 cos i sin

2 3

3

1

指数形式：由三角形式得：

3

i

z e 3

7、求函数

z

2 在奇点的留数（ 8 分）

(z 1)( z

2)

解：

奇点：一阶奇点 z=1；二阶奇点： z=2 Re sf (1) lim (z 1)

z

1

1)( z 2) 2

z 1

( z

Re sf ( 2) lim

1 d

( z 2) 2

z 2)2

lim

1 1

z

2

1! dz

(z 1)( z z 2

( z

1) 2

8、求回路积分

cos 3 z

dz （ 8 分） z 1 z

解： f ( z) 有三阶奇点 z=0（在积分路径内）

Re sf ( 0) lim

1 d 2

3 cosz

lim

1 2! dz 2

z

z 3

cosz -

z 0

z 0

2

原积分 = 2 i Re sf (0) 2 i ( 1 )

i

2

x

2

1 9、计算实变函数定积分

x 4

dx

（8 分）

1

z 2 1

z 2 1

解： f ( z)

4

1

2

2

2 2 z i ) z

i )

z

z

(1 (1 (1 i) z

(1 i )

2

2

2

2

它具有 4 个单极点：只有 z=

2

(1 i) 和 z= 2 (1 i ) 在上半平面，其留数分别为：

2 2

Re sf

lim

z 2 1

1

2

2 2i

(

(1 i ))

z 0

2

(1 i ) z

2

(1 i) z

2

(1 i )

2

z

2

2

2

Re sf

lim

z 2

1

1

2

( 2 i ))

z 0

2

2 2

2

2i

(1

z (1 i ) z

(1 i ) z (1 i )

2

2 2

I 2 i (

2 1 2 1 ) 2

2i

2i

10、求幂级数 1

(z i ) k

的收敛半径（ 8 分）

k 1 k

a k

1

k 1 R lim

lim

k

lim

1 1

k

a k

k k

k

1

k 1

所以收敛圆为 z i 1

二、计算题（共 30 分）

1、试用分离变数法求解定解问题（ 14 分）

u tt

a 2u xx 0

0 x l ,t 0 u x x 0

u

x x l

u

t 0

x 1/ 2,

u

t t 0

令 u(x,t ) X (x)T (t ) ，并代入方程得

XT '' a 2 X ''T 0

T ''

X ''

X '

(0)T (t) 0

移项

a 2T

X

X ' (l)T (t) 0