平面向量典型例题

平面向量经典例题：

1.已知向量a＝(1,2)，b＝(2,0)，若向量λa＋b与向量c＝(1，－2)共线，则实数λ等于()

A．－2B．－1

3

C．－1 D．－2

3

[答案] C

[解析]λa＋b＝(λ，2λ)＋(2,0)＝(2＋λ，2λ)，∵λa＋b与c共线，∴－2(2＋λ)－2λ＝0，∴λ＝－1.

2.(文)已知向量a＝(3，1)，b＝(0,1)，c＝(k，3)，若a＋2b与c垂直，则k＝()

A．－1 B．－ 3

C．－3 D．1

[答案] C

[解析]a＋2b＝(3，1)＋(0,2)＝(3，3)，

∵a＋2b与c垂直，∴(a＋2b)·c＝3k＋33＝0，∴k＝－3.

(理)已知a＝(1,2)，b＝(3，－1)，且a＋b与a－λb互相垂直，则实数λ的值为()

A．－6

11B．－

11

6

C.6

11 D.

11

6

[答案] C

[解析]a＋b＝(4,1)，a－λb＝(1－3λ，2＋λ)，∵a＋b与a－λb垂直，

∴(a＋b)·(a－λb)＝4(1－3λ)＋1×(2＋λ)＝6－11λ＝0，∴λ＝6 11.

3.设非零向量a、b、c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则向量a、b间的夹角为()

A．150°B．120°

C．60°D．30°

[答案] B

[解析]如图，在▱ABCD中，

∵|a|＝|b|＝|c|，c＝a＋b，∴△ABD为正三角形，∴∠BAD＝60°，

∴〈a，b〉＝120°，故选B.

(理)向量a，b满足|a|＝1，|a－b|＝

3

2，a与b的夹角为60°，则|b|＝()

A.1

2 B.

1

3

C.1

4 D.

1

5

[答案] A

[解析]∵|a－b|＝

3

2，∴|a|

2＋|b|2－2a·b＝

3

4，∵|a|＝1，〈a，b〉＝60°，

设|b|＝x，则1＋x2－x＝3

4，∵x>0，∴x＝

1

2.

4.

若AB →·BC →＋AB →2＝0，则△ABC 必定是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰直角三角形

[答案] B

[解析] AB →·BC →＋AB →2＝AB →·(BC →＋AB →)＝AB →·AC →＝0，∴AB →⊥AC →， ∴AB ⊥AC ，∴△ABC 为直角三角形．

5. 若向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－2,4)，则用a ，b 表示c 为( ) A ．－a ＋3b B ．a －3b C ．3a －b D ．－3a ＋b

[答案] B

[解析] 设c ＝λa ＋μb ，则(－2,4)＝(λ＋μ，λ－μ)， ∴⎩⎨⎧ λ＋μ＝－2λ－μ＝4，∴⎩⎨⎧

λ＝1μ＝－3

，∴c ＝a －3b ，故选B. 在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ，若AC

→＝a ，BD →＝b ，则AF →

等于( )

A.14a ＋12b

B.23a ＋1

3b C.12a ＋14b D.13a ＋23

b [答案] B

[解析] ∵E 为OD 的中点，∴BE →＝3ED →， ∵DF ∥AB ，∴

|AB ||DF |＝|EB |

|DE |

，

∴|DF |＝13|AB |，∴|CF |＝23|AB |＝2

3|CD |，

∴AF →＝AC →＋CF →＝AC →＋23CD →

＝a ＋23(OD →－

OC →

)＝a ＋23(12b －12a )＝23a ＋13b .

6.

若△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，CA ＝6，则AB →·BC →的值为( ) A ．19 B ．14 C ．－18 D ．－19 [答案] D

[解析] 据已知得cos B ＝72＋52－622×7×5＝1935，故AB →·BC →＝|AB →|×|BC →|×(－cos B )＝7×5×()

－1935＝－19.

7.

若向量a ＝(x －1,2)，b ＝(4，y )相互垂直，则9x ＋3y 的最小值为( ) A ．12 B ．2 3 C ．3 2 D ．6 [答案] D

[解析] a ·b ＝4(x －1)＋2y ＝0，∴2x ＋y ＝2，∴9x ＋3y ＝32x ＋3y ≥232x ＋

y ＝6，等号在x ＝12，y ＝1时成立．

8.

若A ，B ，C 是直线l 上不同的三个点，若O 不在l 上，存在实数x 使得x 2OA →＋xOB →＋BC →

＝0，实数x 为( ) A ．－1 B ．0 C.

－1＋5

2

D.1＋5

2

[答案] A

[解析] x 2OA →＋xOB →＋OC →－OB →＝0，∴x 2OA →＋(x －1)OB →＋OC →

＝0，由向量共线的充要条件及A 、B 、C 共线知，1－x －x 2＝1，∴x ＝0或－1，当x ＝0时，BC →

＝0，与条件矛盾，∴x ＝－1. 9.

(文)已知P 是边长为2的正△ABC 边BC 上的动点，则AP →·(AB →＋AC →

)( ) A ．最大值为8 B ．最小值为2 C ．是定值6 D ．与P 的位置有关

[答案] C

[解析] 以BC 的中点O 为原点，直线BC 为x 轴建立如图坐标系，则B (－1,0)，C (1,0)，A (0，3)，AB →＋AC →＝(－1，－3)＋(1，－3)＝(0，－23)，

设P (x,0)，－1≤x ≤1，则AP →

＝(x ，－3)，

∴AP →·(AB →＋AC →)＝(x ，－3)·(0，－23)＝6，故选C.

(理)在△ABC 中，D 为BC 边中点，若∠A ＝120°，AB →·AC →＝－1，则|AD →

|的最小值是( )

A.12

B.32

C. 2

D.22

[答案] D

[解析] ∵∠A ＝120°，AB →·AC →＝－1，∴|AB →|·|AC →

|·cos120°＝－1， ∴|AB →|·|AC →|＝2，∴|AB →|2＋|AC →|2≥2|AB →|·|AC →|＝4，∵D 为BC 边的中点，

∴AD →＝12(AB →＋AC →)，∴|AD →|2＝14(|AB →|2＋|AC →|2＋2AB →·AC →)＝14(|AB →|2＋|AC →|2－2)≥14(4－2)＝12，

∴|AD →

|≥22

.

10. 如图，一直线EF 与平行四边形ABCD 的两边AB ，AD 分

别交于E 、F 两点，且交其对角线于K ，其中AE →＝13AB →，AF

→

＝12

AD →，AK →＝λAC →

，则λ的值为( )