牛顿莱布尼茨公式

§2 牛顿一莱布尼茨公式
从上节例题和习题看到，通过求积分和的极限来计算定积分 一般是很困难的．下面要介绍的牛顿一莱布尼茨公式不仅为 定积分计算提供了一个有效的方法，而且在理论上把定积分 与不定积分联系了起来．
定理9．1 若函数 f在区间[a,b]上连续,且存在原函数F,
即 Fx f x, x a,b ，则f在区间[a,b]上可积
3）
b dx a x2
1 x
b a
1 a
1. b
4）
0
sin xdx
cos
x
0
2
5 ) 先用不定积分法求出 f x x 4 x2 的任一原函数，
然后完成定积分计算：
x 4 x2dx 1 4 x2d 4 x2 1 4 x2 3 C
2
3
2 x
4 x2dx 1
且
b
a
f
xdx
F
b
F
a
(1)
这称为牛顿一莱布尼茨公式，它也常写成
b
a
f
xdx
Fx
b a
证 由定积分定义，任给 0，要证存在 0 ，当 T 时，有
n
f i xi Fa Fb
i 1
事实上，对于a, b 的任一分割 T a x0, x1, , xn b
在每个小区间 xi1 , xi 上对F(x)使用拉格朗日中值定理，
(这里所取的是等分分割，xi
1 n
,
i
i n
i
n
1
,
i n
,
i
1,2,
,n
)
所以
J
1 dx 0 1 x
ln1
x
1 0
ln 2
当然,也可把 J看作 f x 1 在[0,1] 上的定积分,同样有
x
2 dx 3 dx
J 1
x
2
x1
ln 2
0
3
4
x2
3
2 0
8 3
例2 利用定积分求极限：
lim 1 1 1 J
n n 1 n 2
2n
解: 把此极限式化为某个积分和的极限式， 并转化为计算定积分．为此作如下变形:
n 1 1
J lim
n i1 1 i n
n 不难看出,其中的和式是函数
f x
1 1 x
在区间[0,1]上的一个积分和
则分别存在 i xi1, xi , i 1,2, , n ，使得
n
F b F a F xi F xi1
i 1
n
n
F i xi f i xi
(2)
i 1
i 1
因为函数 f在区间[a,b]上连续，从而一致连续，所以对上述
0，存在 0，当 x , x a, b且 x x 时，有
例1 利用牛顿一莱布尼茨公式计算下列定积分：
1)
b
a
x
ndxn为正整数
3)
b a
dx x2
0
a
b
2) b e xdx a
4) 0 sin xdx
5)
2
x
4 x2dx
0
解: 1)
b xndx
a
x n1 n1
b a
1 n1
bn1 an1.Biblioteka 2)b e xdx
a
ex
b a
eb
ea.
注2 定理条件尚可适当减弱
例如：
1) 对F的要求可减弱为：在[a,b]区间上连续,在(a,b)区间内可导
且有Fx f x, x a,b ．这不影响定理的证明．
2) 对f的要求可减弱为：在[a,b]区间上可积(不一定连续)． 这时(2)式仍成立，且由f在[a,b]区间上可积, (2)式右边
当 T 0 时的极限就是ab f x dx ，而左边恒为一常数．
f x f x
ba
于是，当 xi T 时，任取i xi1, xi ，便有 i i
n
n
这就证得 f i xi Fa Fb f i f i xi
i 1
i 1
n
f i f i xi
i 1
b
a
n i1
xi
所以f在区间[a,b]上可积,且有公式(1)成立
注1 在应用牛顿一莱布尼茨公式时，F(x)可由积分法求得