概率论和数理统计第二章课后习题答案解析

概率论与数理统计课后习题答案

第二章

1. 一袋中有5只乒乓球，编号为 1 , 2, 3, 4, 5，在其中同时取 3只，以X 表示取出的3 只球中的

最 大号码，写出随机变量 X 的分布律. 【解】

X 3,4,5

P(X 3)

c ；

0.1

P(X

4) 3 c 3 c 2

0.3

P(X

5)

3

0.6

C 5

以X 表示取出 的次品个数，求： (1) X 的分 布律；

(2) X 的分 布函数并作图；

⑶

1

P{X

}, P{1 X 2

3 3 / P{1 X -}, P{1 X 2}

【解】

X 0,1,2.

c 3 13 22

P(X

0)

—3

C

15

35

12 P(X

1) 亠3

—

C

15

35

c 13

1

P(X

2)

3

C 15

35

(2)当 x <0 时，F (x ) =P (X w x ) =0

当 0 W x <1 时，F (x ) =P( X x ) =P (X =0)=

x 0

0 x 1 1 x 2

x 2

3.

射手向目标独立 地进行了 3次射击，每次击中率为，求

3次射击中击中目标的次数的分

布律及分布函 数，并求3次射击中至少击中 2次的概率. 【解】

设X 表示击中目标的次数•则X =0，1，2，3.

P(X 0) (0.2)3 0.008 P(X 1) C ；0.8(0.2)2 0.096 P(X 2) C 3(0.8)20.2 0.384

P(X 3) (0.8)3 0.512

0,

x 0

0.008, 0 x 1

F(x) 0.104,

1 x 2

0.488, 2x3 1, x 3

4. ( 1)设随机变量X 的分布律为

k

RX=k }=a —,

k!

其中k =0, 1, 2,…，入〉0为常数，试确定常数 a. (2)设随机变量X 的分布律为

P {X =k }=a/N , k =1, 2,…,N,

22 35

当1W x <2时 ,F ( x ) =P( X W x ) =F (X =0)+F (X =1)= 34 35

当x > 2时, 故X 的分布函 F (x ) =P (X W x ) =1 数

F(x)

0, 22 35 34 35 1,

P(X 2) P(X 2) P(X 3) 0.896

试确定常数a .

【解】(1)由分布律的性质知

k

1

P(X k) a

a®

k 0

k 0

k!

a e

(2)由分布律的性质知

即

a 1.

5. 甲、乙两人投篮，投中的概率分别为 ”今各投3次，

求：

(1) 两人投中次数相等的概率； (2)

甲比乙投中次数多的概率.

【解】分别令X 、Y 表示甲、乙投中次数，则 X 〜b(3,) ,Y 〜b (3,

(1)

P(X 3,Y 3)

(0.4)3(0.3)3

C 30.6(0.4) 2C 10.7(0.3)2 +

2 2 2 2

3 3

C 3(0.6) 0.4C 3(0.7) 0.3 (0.6) (0.7)

0.32076

⑵

6.

设某机场每天有 200架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为，

且设各飞机

降落是相互独立的•试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降 落而没有空闲

跑道的概率小于(每条跑道只能允许一架飞机降落 )？

【解】设X 为某一时刻需立即降落的飞机数，则

X ~b (200,，设机场需配备N 条跑道，则有

P(X N) 0.01

200

即

C ：00(0.02)k (0.98)20° k

0.01

k N 1

利用泊松近似

N

1 P(X

k 1

k )

k 1

N

np 200 0.02 4.

9

P(X 1)

P(X 0) (1 p)2

e 44k

P(X N)B

0.01

k N i

k!

查表得N A 9.故机场至少应配备 9条跑道.

7.

有 一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆车在一天的

某时段出事故的概率为

1,

在某天的该时段内有 1000辆汽车通过，问出 事故的次数不小于 2的概率是多少(利用泊

松定理)？

【解】设X 表示出事故的次数，则 X^b ( 1000，001)

8.

已知在五重贝努里试验中成功的次数 X 满足RX= 1}=

P {X =2}，求概率P {X=4}.

【解】设在每次试验中成功的概率为

p ,则

5 k k 5 k

P(X 3) C 5(0.3) (0.7)

0.16308

k 3

⑵ 令Y 表示7次独立试验中 A 发生的次数，则 Y 〜b( 7,)

7

P(Y 3)

C k (0.3)k (0.7)7 k 0.35293

k 3

C ：p m (1 p)4 m

m=0,1,2,3,4

5

4 【解】因为P(X 1)

5

，故P(X 1)

4 9

9 P(X 4) C 5(1)4| 3 3 A 发生不少于3次时, 进行了 5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率；

所以

9.设事件A 在每一次试验中发生的概率为，当

(1)

(2) 【解】 进行了 7次独立试验，试求指示灯发出信号的概率

. (1)设X 表示5次独立试验中 A 发生的次数，则 X ~6 ( 5,)

10

243 .

指示灯发出信号, 10.某公安局在长度为t 的时间间隔内收到的紧急呼救的次数

X 服从参数为(1/2 ) t 的泊松

分布，而与时间间隔起点无关(时间以小时计)

(1)求某一天中午12时至下午3时没收到呼救的概率；

2 )求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救的概率.

3

e 2

【解】(1 )P(X 0) 5

P(X 1) 1 P(X 0) 1 e"

11.设 P { k k

X =k }=C ；p k (1

P)2

k =0,1,2

P { Y =n}=

分别为随机变量X,

Y 的概率分布，如果已知 5

P {X A 1}=，试求 P [Y > 1}.