二次方程根的分布

5. 方程ax2+bx+c=0（a>0)两根都在区间（k1，k2）内
y
k1 x1
o
x2 k2 x
k1 x1 x2
☆若a<0呢？
a 0 f（k1）0 k2 f（k 2）0 0 b k1 2a k2
作业: 分别求出方程mx2+2(m-1)x+m+1=0 （m≠0）
3. 二次方程ax2+bx+c=0两根中仅有一根介于k1、k2之间
y y
k1
k2 x1
o
x2
x
x1 o
k1 x2 k1 x
有且仅有： k1〈x1或(x2)<k2 f（k1）f（k2）＜０
☆练一练
1.已知方程x +（m-2）x+2m-1=0 两根中仅有一实根 在（0，1），求m的取值范围。 2.已知方程x +（m-2）x+2m-1=0 较大根在（0，1）， 求m的取值范围。
y y
k
x1
o
x2
x
x1 o
k x2
x
a＞0 a＜ 0 x1<k<x2 f（k）＜ 0或 f（k）＞0
af（k）＜ 0
☆练一练
1.kx2+3kx+k-3=0的两根均为负，求k的取值范围。
2.如果二次方程mx2-（m+1）x+3=0的两根均大于-1， 求m 的取值范围。
3.如果f（x）=x2+2（m-1）x+2m+6的一个零点大于2， 另一个零点小于2,求m 的取值范围。
满足下列条件的m的范围：（只列式，不求解，但 要列出含 m 的表达式） （1） 两个正根； （2） 两个根都小于1； （3） 一个根大于1，一个根小于1； （4） 两个根有且仅有一个在区间（0 ，2）内； （5） 两个根中较大的一个在区间（0 ，2）内； （6） 两个根中一个在区间（1，2）内,另一个在 区间（3，4）内； （7） 若m<0,两个根中一个在区间（1，2）内,另 一个在区间（3，4）内； （8） 若m<0,两个根都在区间（1，4）内；
总结:一元二次方程ax2+bx+c=0(a ≠ 0)两根均为大于K
k x1 x2
(a≠0)
2.一元二次方程ax2+bx+c=0一根为正,另一根为负
y y
x1
o
x2
x
x1 o
x2
x
a＞0 a＜ 0 x1<0<x2 f（0）＜ 0或 f（0）＞0
af（0）＜ 0
推广:一元二次方程ax2+bx+c=0一根大于k,另一根小于k
注:只要满足上述两个条件,就能判断函 数在指定区间内存在零点。
二、新课
1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)两根均为正根 y
b 2 4ac 0 f （0） c 0 b 0 2a
x1>0,x2 >0

o x1
x2
x
☆类比:一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)两根均为负根呢?
补充内容：
一、复习
函数零点的定义： 对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数 y=f(x)的零点。
等价关系 方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)的图象与x轴有交点 函数y=f(x)有零点
定理：（零点存在判定）
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续
不断的一条曲线，并且有f(a)· f(b)<0，那么，函 数y=f(x)在区间(a,b) 内有零点，即存在c∈(a,b)， 使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根。
推广:一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)两根均为大于K
y
a>0
k x1 x2
b 2 4ac 0 （k）0 f b k 2a
o
k x1
x2 x
☆若a<0呢
?
b2 4ac 0 af（k）0 b k 2a
3.已知集合A={x|x2－7x+10≤0}, B={x|x2－(2-m)x+5-m≤0}, 且B A,求实数m的取值范围.
变3.已知方程x +（m-2）x+2m-1=0 有根在（0，1）， 求m的取值范围
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
三、巩固提高
已知A x x 2ax 1 0
2
B x x 2x 3 0
2




(1)若B A, 则a的范围? (2)若A B, 则a的范围?
☆若方程x2+（k+2）x-k=0 的两实根均在 区间（-1，1），求m的取值范围。
作业
1、方程5x2-ax-1=0(a∈R)的一个根在区间（-1，0） 上，另一个在区间（1，2）上 ，求a的取值范围。 2、已知函数f(x)=mx2+(m-3)x+1的图象的零点至少 有一个在原点的右侧，求实数m的取值范围。
2
2
3.已知方程x +（m-2）x+2m-1=0 较小根在（0，1）， 求m的取值范围。
2
4.一元二次方程ax2+bx+c=0两根分别在区间（k1，k2） y 以及（p1，p2）之间
k1
k2 p1 o x1
p2
x2
x
k1 x1 k2 p1 x2 p2
f (k1 ) f (k2 ) 0 f ( p1 ) f ( p2 ) 0