处理一元二次方程根的分布问题的一般方法
一元二次方程根的分布问题解法探究
元 二 次 方 程 根 的分布 问题 解 法探 究
● 廖海 平
研 究 方 程 根 所 处 的 范 围 对 其 系 数 产 生 的
数 ｍ 的取值 范 围 。
关 系 来 解 决 。
称 轴
－ ｚ 一
点 泪
的
１ ） 上 有 实 根 ， 求 实 数 忌 的 取 值 范 围 。
例１ 已 知 方 程 ２ 一 ｚ 一 是 在 区 间 （ 一 １ ，
ｌ 一 ＜ ｍ ＜ ｏ 。
ｆ
１
解 得ｏ ≤ 惫 ＜２ 。
综 上 所 述 ， 是 的 取 值 范 围 为 一 丢 ≤ 是 ＜ ２ 。
点 评： 本 题要结合对 应的 二次函数图 像
讨 论 方 程 在 指 定 区 间 只 有 一 个 和 有 两 个 根 这
解 得 一 ÷ ＜ ｍ ≤ １ 一 。
（ １ ） 若 方程 有两 个实 根 ， 其 中 一 根 在 区 间 （ 一１ ， ｏ ） 内， 另 一根 在 区间 （ １ ， ２ ） 内， 求 实 数 ｍ 的取 值范 围 ；
总之 ， 解决 二次 方程 根 的分 布 问题 ， 一 般
要借 助对 应 的二 次 函 数 的 图 像来 解 决 ， 所 以 要求 学生 熟悉 方程 与 函数间 的联 系 。 作 者 单位 ： 湖 南 省 耒 阳 市 第 一 中 学
．
÷ ， （） ＜， （ 一１ ） 。
对
（ ２ ） ＿ ６ ５ ＞ 。 ’ 三 ６ 。
Ｌ
则 一百 ５＜ ｍ ＜ 一 １
，
（ １ ） 方程在 区间 （ 一１ ， １ ） 上 有 两 个 实 根
所 以 ｍ 的 取 值 范 围
括 鹕 Ｄ （ … １ ｑ ≥ Ｏ， ｆ △≥ Ｏ－ ｆ （一 ）
微专题11 二次函数根的分布问题(解析版)
微专题11二次函数根的分布问题【方法技巧与总结】1、实系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的实根符号与系数之间的关系（1）方程有两个不等正根12,x x ⇔212124000b ac b x x a c x x a ⎧⎪∆=->⎪⎪+=->⎨⎪⎪=>⎪⎩（2）方程有两个不等负根12,x x ⇔212124000b ac b x x a c x x a ⎧⎪∆=->⎪⎪+=-<⎨⎪⎪=>⎪⎩（3）方程有一正根和一负根，设两根为12,x x ⇔120cx x a=<2、一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的分布问题一般情况下需要从以下4个方面考虑：（1）开口方向；（2）判别式；（3）对称轴2bx a=-与区间端点的关系；（4）区间端点函数值的正负．设12,x x 为实系数方程20(0)ax bx c a ++=>的两根，则一元二次20(0)ax bx c a ++=>的根的分布与其限定条件如表所示．根的分布图像限定条件12m x x <<02()0b m a f m ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⎪>⎩12x m x <<()0f m <12x x m<<02()0b m a f m ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⎪>⎩在区间(,)m n 内没有实根∆<12120x x m x x m∆==≤=≥或02()0b m a f m ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⎪≥⎩02()0b n a f n ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⎪≥⎩()0()0f m f n ≤⎧⎨≤⎩在区间(,)m n 内有且只有一个实根()0()0f m f n >⎧⎨<⎩()0()0f mf n<⎧⎨>⎩在区间(,)m n内有两个不等实根2()0()0bm naf mf n∆>⎧⎪⎪<-<⎪⎨⎪>⎪>⎪⎩【题型归纳目录】题型一：正负根问题题型二：根在区间的分布问题题型三：整数根问题题型四：范围问题【典型例题】题型一：正负根问题例1．（2022·河南·郑州市回民高级中学高一阶段练习）已知m为实数，命题甲：关于x的不等式240mx mx+-<的解集为R；命题乙：关于x的方程22200x mx m-++=有两个不相等的负实数根．若甲、乙至少有一个为真命题，求实数m的取值范围为_______．【答案】(20,0]-【解析】由命题甲：关于x的不等式240mx mx+-<的解集为R，当0m=时，不等式40-<恒成立；当0m≠时，则满足2160mm m<⎧⎨∆=+<⎩，解得160m-<<，综上可得160m-<≤．由命题乙：关于x的方程22200x mx m-++=有两个不相等的负实数根，则满足2121244(20)020200m m x x m x x m ⎧∆=-+>⎪+=<⎨⎪=+>⎩，整理得2200020m m m m ⎧-->⎪<⎨⎪>-⎩，所以45020m m m m <->⎧⎪<⎨⎪>-⎩或，解得204m -<<-．所以甲、乙至少有一个为真命题时，有160m -<≤或204m -<<-，可得200m -<≤，即实数m 的取值范围为(20,0]-．故答案为：(20,0]-．例2．（2022·全国·高一单元测试）关于x 的方程2210ax x ++=的实数根中有且只有一个负实数根的充要条件为____________.【答案】0a ≤或1a =【解析】若方程2210ax x ++=有且仅有一个负实数根，则当0a =时，12x =-，符合题意.当0a ≠时，方程2210ax x ++=有实数根，则440a ∆=-≥，解得1a ≤，当1a =时，方程有且仅有一个负实数根1x =-，当1a <且0a ≠时，若方程有且仅有一个负实数根，则10a<，即0a <.所以当0a ≤或1a =时，关于x 的方程2210ax x ++=的实数根中有且仅有一个负实数根.综上，“关于x 的方程2210ax x ++=的实数根中有且仅有一个负实数根”的充要条件为“0a ≤或1a =”.故答案为：0a ≤或1a =.例3．（2022·甘肃·兰化一中高一阶段练习）若一元二次方程2330kx kx k ++-=的两根都是负数，求k 的取值范围为___________.【答案】125k ≤-或3k >【解析】首先0k ≠，设方程2330kx kx k ++-=的两根为12,x x ，则12121200,00x x x x x x +<⎧<<⇔⎨>⎩，所以2Δ94(3)03030k k k kkk k⎧⎪=--≥⎪⎪-<⎨⎪-⎪>⎪⎩，又0k ≠，解得125k ≤-或3k >．故答案为：125k ≤-或3k >．例4．（2022·全国·高一专题练习）已知关于x 的二次方程2(21)210m x mx m +-+-=有一正数根和一负数根，则实数m 的取值范围是_____．【答案】112m -<<【解析】由题意知，二次方程有一正根和一负根，得2101021m m m +≠⎧⎪-⎨<⎪+⎩，解得112m -<<.故答案为：112m -<<例5．（2022·河南·高一阶段练习）（1）若不等式210ax bx +-<的解集是113x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭∣，求,a b 的值；（2）若31b a =--，且关于x 的方程210+-=ax bx 有两个不同的负根，求a 的取值范围.【解析】（1）由题意可得1-和13是方程210+-=ax bx 的两个实根，则11,31113b a a ⎧-+=-⎪⎪⎨-⎪-⨯=⎪⎩解得3,2a b ==.（2）因为31b a =--，所以()23110ax a x -+-=，由题可知Δ0>，则1a <-或19a >-，由题意，方程有两个负根，即310,10,a a a +⎧<⎪⎪⎨-⎪>⎪⎩解得103-<<a .综上，实数a 的取值范围是109aa ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭∣.例6．（2022·辽宁·沈阳市第八十三中学高一阶段练习）已知1x ､2x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根．(1)若1x ､2x 均为正根，求实数k 的取值范围；(2)是否存在实数k ，使得()()12123222x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不能存在，请说明理由．【解析】（1）由题意，一元二次方程有两个正根1x ､2x 故20,(4)16(+1)0k k k k ≠∆=-≥，即0k ≤，且121210104x x k x x k +=>⎧⎪+⎨=>⎪⎩，解得：1k <-．（2）由题意，当0∆≥，即0k ≤时，有121211,4k x x x x k++==()()2221212121212129(1)93222+252()92442k k x x x x x x x x x x x x k k ++--=-=+-=-=-=-解得：95k =，与0k ≤矛盾.故不存在实数k ，使得()()12123222x x x x --=-成立题型二：根在区间的分布问题例7．（2022·全国·高一专题练习）已知一元二次方程x 2＋ax ＋1＝0的一个根在(0，1)内，另一个根在(1，2)内，则实数a 的取值范围为________．【答案】5(,2)2--【解析】设f (x )＝x 2＋ax ＋1，由题意知(0)10(1)20(2)520f f a f a =>⎧⎪=+<⎨⎪=+>⎩，解得－52<a <－2.故答案为：5(,2)2--.例8．（2022·全国·高一课时练习）已知关于x 的方程220x x a -+=．(1)当a 为何值时，方程的一个根大于1，另一个根小于1？(2)当a 为何值时，方程的一个根大于1-且小于1，另一个根大于2且小于3？(3)当a 为何值时，方程的两个根都大于0？【解析】（1）二次函数22y x x a =-+的图象是开口向上的抛物线，故方程220x x a -+=的一个根大于1，另一个根小于1，则2120a -+<，解得1a <，所以a 的取值范围是{}1a a <．（2）方程220x x a -+=的一个根大于1-且小于1，另一个根大于2且小于3，作满足题意的二次函数22y x x a =-+的大致图象，由图知，120120440960a a a a ++>⎧⎪-+<⎪⎨-+<⎪⎪-+>⎩，解得30a -<<．所以a 的取值范围是{}30a a -<<．（3）方程220x x a -+=的两个根都大于0，则Δ4400a a =-≥⎧⎨>⎩，解得01a <≤，所以a 的取值范围是{}01a a <≤．例9．（2022·全国·高一专题练习）已知关于x 的一元二次方程2220x ax a -++=，当a 为何值时，该方程：有不同的两根且两根在(1,3)内．【解析】令2()22f x x ax a =-++，因为方程2220x ax a -++=有不同的两根且两根在(1,3)内，所以213Δ44(2)0(1)30(3)1150a a a f a f a <<⎧⎪=-+>⎪⎨=->⎪⎪=->⎩，解得1125<<a ，故答案为：112,5⎛⎫⎪⎝⎭例10．（2022·江苏·高一专题练习）已知二次函数()2221R y x tx t t =-+-∈.(1)若该二次函数有两个互为相反数的零点，解不等式22210x tx t -+-≥；(2)若关于x 的方程22210x tx t -+-=的两个实根均大于2-且小于4，求实数t 的取值范围．【解析】（1）设二次函数()2221y x tx t t =-+-∈R 的两个零点分别为1x ，2x ，由已知得120x x +=，而122x x t +=，所以20t =，故0=t ，不等式22210x tx t -+-≥即210x -≥，解得1≥x 或1x ≤-，故不等式的解集为{1x x ≥或}1≤-x .（2）因为方程22210x tx t -+-=的两个实根均大于2-且小于4，所以()()()()222222Δ2t 4t 102t 422t 2t 1042t 4t 10⎧=---≥⎪⎪-<<⎨⎪--⨯-+->⎪-⨯+->⎩，即2240244308150t t t t t ≥⎧⎪-<<⎪⎨++>⎪⎪-+>⎩，解得：13t -<<，即实数t 的取值范围为{}13t t -<<.例11．（2022·全国·高一单元测试）求实数m 的范围，使关于x 的方程()221 260.x m x m +-++=(1)有两个实根，且一个比2大，一个比2小；(2)有两个实根 αβ，，且满足014αβ<<<<；(3)至少有一个正根.【答案】(1)1m <-(2)7554m -<<-(3)1m ≤-【分析】设()()22126y f x x m x m ==+-++，一元二次方程根的分布主要从对称轴、判别式、端点值、开口方向这几个方面来确定.（1）设()()22126y f x x m x m ==+-++．依题意有()20f <，即()441260m m +-++<，得1m <-．（2）设()()22126y f x x m x m ==+-++．依题意有()()()02601450410140f m f m f m ⎧=+>⎪=+<⎨⎪=+>⎩，解得7554m -<<-．（3）设()()22126y f x x m x m ==+-++．方程至少有一个正根，则有三种可能：①有两个正根，此时可得()()Δ0002102f m ⎧⎪≥⎪⎪>⎨⎪-⎪>⎪-⎩，即153.311m m m m m ≤-≥⎧⎪>-∴-<≤-⎨⎪<⎩或．②有一个正根，一个负根，此时可得()00f <，得3m <-．③有一个正根，另一根为0，此时可得()6203210m m m +=⎧∴=-⎨-<⎩，．综上所述，得1m ≤-．例12．（2022·上海市七宝中学高一阶段练习）方程()2271320x a x a a -++--=的一个根在区间()0,1上，另一个根在区间()1,2上，则实数a 的取值范围为___________.【答案】()()2,13,4--【解析】令()()227132f x x a x a a =-++--，因为程()2271320x a x a a -++--=的一个根在区间()0,1上，另一个根在区间()1,2上，所以()()()001020f f f ⎧>⎪<⎨⎪>⎩，即()22220713202821320a a a a a a a a ⎧-->⎪--+--<⎨⎪-++-->⎩，解得21a -<<-或34a <<，所以实数a 的取值范围为()()2,13,4--.故答案为：()()2,13,4--.例13．（2022·全国·高一专题练习）关于x 的方程()2140x a x --+=在区间[]1,3内有两个不等实根，则实数a 的取值范围是_____．【答案】16(5,]3【解析】关于x 的方程()2140x a x --+=在区间[]1,3内有两个不等实根，令()()214f x x a x =--+，则有()()()2Δ1160113216031630a a f a f a ⎧=-->⎪-⎪<<⎪⎨⎪=-≥⎪=-≥⎪⎩，解得1653a <≤，所以实数a 的取值范围是16(5,]3.故答案为：16(5,]3例14．（2022·全国·高一单元测试）方程()2250x a x a --+-=的两根都大于2，则实数 a 的取值范围是_____．【答案】54a -<≤-【解析】由题意，方程()2250x a x a +=－－－的两根都大于 2，令()()225f x x a x a =+－－－，可得()020222f a⎧⎪≥⎪>⎨⎪-⎪>⎩，即2165024a a a ⎧≥⎪+>⎨⎪->⎩，解得54a <≤－－．故答案为：54a -<≤-.例15．（2022·全国·高一专题练习）已知关于x 的方程220ax x ++=的两个实根一个小于0，另一个大于1，则实数a 的取值范围是_____．【答案】()3,0-【解析】显然0a ≠，关于x 的方程220ax x ++=对应的二次函数()22f x ax x =++当0a >时，二次函数()22f x ax x =++的图象开口向上，因为220ax x ++=的两个实根一个小于0，另一个大于1等价于二次函()22f x ax x =++的图象与x 轴的两个零点一个小于0，另一个大于1，所以()()0010f f ⎧<⎪⎨<⎪⎩，即2030a <⎧⎨+<⎩，解得a ∈∅；②当0a <时，二次函数()22f x ax x =++的图象开口向下，因为220ax x ++=的两个实根一个小于0，另一个大于1等价于二次函()22f x ax x =++的图象与x 轴的两个零点一个小于0，另一个大于1，所以()()0010f f ⎧>⎪⎨>⎪⎩，即2030a >⎧⎨+>⎩，解得30a -<<．；综上所述，实数a 的范围是()3,0-．故答案为：()3,0-．例16．（2022·全国·高一专题练习）已知方程()()22110x a x a a -+++=的两根分别在区间()0,1，()1,3之内，则实数a 的取值范围为______．【答案】()0,1.【解析】方程()()()()2211010x a x a a x a x a ⎡⎤+++=⇒--+=⎣⎦－∴方程两根为12,1x a x a ==+，若要满足题意，则01113a a <<⎧⎨<+<⎩，解得01a <<，故答案为：()0,1.例17．（2022·上海·高一专题练习）方程2240x ax -+=的两根均大于1，则实数a 的取值范围是_______【答案】5[2,)2【解析】2240x ax -+=的两个根都大于121520Δ4160a a a >⎧⎪∴->⎨⎪=-≥⎩，解得522a ≤<可求得实数a 的取值范围为5[2,2故答案为：5[2,)2例18．（2022·湖北·华中师大一附中高一开学考试）关于x 的方程()2290ax a x a +++=有两个不相等的实数根12,x x ，且121x x <<，那么a 的取值范围是（）A ．2275a -<<B ．25a >C ．27a <-D ．2011a -<<【答案】D【解析】当0a =时，()2290ax a x a +++=即为20x =，不符合题意；故0a ≠，()2290ax a x a +++=即为22190x x a ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，令2219y x x a ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，由于关于x 的方程()2290ax a x a +++=有两个不相等的实数根12,x x ，且121x x <<，则()229y ax a x a =+++与x 轴有两个交点，且分布在1的两侧，故1x =时，0y <，即211190a ⎛⎫++⨯+< ⎪⎝⎭，解得211a<-，故2011a -<<，故选：D例19．（2022·全国·高一课时练习）关于x 的方程()22210x m x m +-+-=恰有一根在区间()0,1内，则实数m 的取值范围是（）A ．13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．12,23⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭D．{12,623⎛⎤⋃- ⎥⎝⎦【答案】D【解析】方程2(2)210x m x m +-+-=对应的二次函数设为：()2(2)21f x x m x m =+-+-因为方程2(2)210x m x m +-+-=恰有一根属于(0,1)，则需要满足：①()()010f f ⋅<，()()21320m m --<，解得：1223m <<；②函数()f x 刚好经过点()0,0或者()1,0，另一个零点属于(0,1)，把点()0,0代入()2(2)21f x x m x m =+-+-，解得：12m =，此时方程为2302x x -=，两根为0，32，而()30,12∉，不合题意，舍去把点()1,0代入()2(2)21f x x m x m =+-+-，解得：23m =，此时方程为23410x x -+=，两根为1，13，而()10,13∈，故符合题意；③函数与x 轴只有一个交点，横坐标属于(0,1)，()2(2)4210m m ∆=---=，解得6m =±当6m =+2(2)210x m x m +-+-=的根为2-若6m =-2(2)210x m x m +-+-=2，符合题意综上：实数m的取值范围为{12,623⎛⎤⋃- ⎥⎝⎦故选：D题型三：整数根问题例20．（2022·上海市实验学校高一开学考试）已知12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根.(1)是否存在实数k ，使得()()12123222x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由；(2)求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值.【解析】（1）假设存在实数k ，使得()()12123222x x x x --=-成立，一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根，()2400Δ(4)441160k k k k k k ≠⎧∴⇒<⎨=--⋅+=-⎩，(不要忽略判别式的要求)，由韦达定理得1212114x x k x x k +=⎧⎪+⎨=⎪⎩，()()()()2221212121212129322252942k x x x x x x x x x x x x k +∴--=+-=+-=-=-，95k ⇒=但0k <，∴不存在实数k ，使得()()12123222x x x x --=-成立.（2）()22212121221121244224411x x x x x x k x x x x x x k k +++-==-=-=-++，∴要使其值是整数，只需要1k +能被4整除，故1124k +=±±±，，，即021335k =---，，，，，，0k <，235k ∴=---，，.例21．（2022·上海·高三专题练习）已知,a Z ∈关于x 的一元二次不等式260x x a -+≤的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a 的值之和是（）A ．13B ．18C ．21D ．26【答案】C【解析】设2()6f x x x a =-+，其图象为开口向上，对称轴为3x =的抛物线，根据题意可得，3640a ∆=->，解得9a <，因为()0f x ≤解集中有且仅有3个整数，结合二次函数的对称性可得(2)0(1)0f f ≤⎧⎨>⎩，即4120160a a -+≤⎧⎨-+>⎩，解得58a <≤，又,a Z ∈所以a =6，7，8，所以符合题意的a 的值之和6+7+8=21.故选：C例22．（多选题）（2022·全国·高一课时练习）已知a ∈Z ，关于x 的一元二次不等式x 2－6x ＋a ≤0的解集中有且仅有3个整数，则a 的值可以是（）A ．5B ．6C ．7D ．9【答案】BC【解析】设()26f x x x a =-+，函数图象开口向上，且对称轴为3x =，因此关于x 的一元二次不等式x 2－6x ＋a ≤0的解集中有且仅有3个整数时，需满足()()2010f f ⎧≤⎪⎨>⎪⎩，即2226201610a a ⎧-⨯+≤⎨-⨯+>⎩，解得58a <≤，又因为a ∈Z ，所以6a =或7或8，故选：BC.例23．（2022·全国·高一专题练习）若方程()22460x kx x --+=有两个不相等的实根，则k 可取的最大整数值是______.【答案】1【解析】方程化为()221860k x x --+=，由()Δ6424210k =-->，12k ≠解得116k <，所以k 最大整数值是1.故答案为：1.题型四：范围问题例24．（2022·上海·高一专题练习）已知t 是实数，若a ，b 是关于x 的一元二次方程2210x x t -+-=的两个非负实根，则()()2211a b --的最小值是___________.【答案】3-【解析】a ，b 是关于x 的一元二次方程2210x x t -+-=的两个非负实根，∴可得2a b +=，10ab t =-≥，1t ∴≥，又()4410t ∆=--≥，可得2t ≤，12t ∴≤≤，又()()()()()()222222211121a b ab a b ab a b ab --=-++=-+++()()()()2221114211a b t t ∴--=--+-+，24t =-，又12t ≤≤，2340t ∴-≤-≤，故答案为：3-．例25．（2022·吉林省实验中学高一阶段练习）设方程240x mx m -+=的两实根分别为12,x x .(1)当1m =时，求1211+x x 的值；(2)若120,0x x >>，求实数m 的取值范围及124x x +的最小值.【解析】（1）当1m =时，方程为2410x x -+=，2(4)4120∆=--=>，所以12124,1x x x x +=⋅=，122112114x x x x x x ∴+⋅+==.（2）因为240x mx m -+=两根120,0x x >>，所以21212Δ1640400m m x x m x x m ⎧=-≥⎪+=>⎨⎪⋅=>⎩，解得14m ≥.因为12124x x x x +=，120,0x x >>，所以12114x x +=，所以211212121241111194(4)()(5)54444x x x x x x x x x x ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭，当且仅当21124x x x x =，即1233,48x x ==时等号成立，此时91324m =>符合题意，124x x ∴+的最小值为94.例26．（2022·北京海淀·高一期末）已知函数()22f x x bx c =++（b ，c 为实数），()()1012f f -=.若方程()0f x =有两个正实数根1x ，2x ，则1211+x x 的最小值是（）A ．4B ．2C ．1D ．12【答案】B【解析】因为函数()22f x x bx c =++（b ，c 为实数），()()1012f f -=，所以1012200288b c b c +=++-，解得4b =-，所以()224f x x x c -+=，因为方程()0f x =有两个正实数根1x ，2x ，所以()Δ168000c f c =-≥⎧⎨=>⎩，解得02c <≤，所以121212112422x x c x x x x c =++==≥，当c =2时，等号成立，所以其最小值是2，故选：B例27．（2022·江苏·高一）已知关于x 的方程230x kx k -++=有两个正根，那么两个根的倒数和最小值是（）A ．-2B ．23C ．89D ．1【答案】B【解析】由题意可得∆2()4(3)0k k =--+ ，解得6k 或2k ≤-，设两个为1x ，2x ，由两根为正根可得12120·30x x k x x k +=>⎧⎨=+>⎩，解得0k >，综上知，6k .故两个根的倒数和为12121211x x x x x x ++=1331k k k==++，6k ，∴1106k < ，3102k < ，故33112k <+，∴12331k+，故两个根的倒数和的最小值是23.故选：B例28．（2022·上海·华师大二附中高一期中）已知实数a b <，关于x 的不等式()210x a b x ab -+++<的解集为()12,x x ，则实数a 、b 、1x 、2x 从小到大的排列是()A ．12a x x b <<<B ．12x a b x <<<C ．12a x b x <<<D ．12x a x b<<<【答案】A【解析】由题可得：12x x a b +=+，121x x ab =+.由a b <，12x x <，设1x a m =+，则2x b m =-.所以212()()()1a m b m ab m b a m ab x x =+-=+--=+，所以2()1m b a m --=，21m m b a+=-.又a b <，所以0b a ->，所以0m >.故1x a >，2x b <.又12x x <，故12a x x b <<<.故选：A.例29．（2022·福建厦门·高一期末）已知函数()()11f x x x a =-⋅--，a R ∈．(1)若0a =，解不等式()1f x <；(2)若函数()f x 恰有三个零点1x ，2x ，3x ，求123111x x x ++的取值范围．【解析】(1)当0a =时，原不等式可化为()120x x -⋅-<…①．（ⅰ）当0x ≥时，①式化为220x x --<，解得12x -<<，所以02x ≤<；（ⅱ）当0x <时，①式化为220x x -+>，解得x ∈R ，所以0x <．综上，原不等式的解集为(),2-∞．(2)依题意，()()()2211,11,x a x a x af x x a x a x a ⎧-++--<⎪=⎨-++-≥⎪⎩．因为()10f a =-<，且二次函数()211y x a x a =-++-开口向上，所以当x a ≥时，函数()f x 有且仅有一个零点．所以x a <时，函数()f x 恰有两个零点．所以()()()21,21410,10.a a a a f a +⎧<⎪⎪⎪=+-+>⎨⎪=-<⎪⎪⎩解得3a >．不妨设123x x x <<，所以1x ，2x 是方程()2110x a x a -++--=的两相异实根，则12121,1x x a x x a +=+⎧⎨=+⎩，所以121212111x x x x x x ++==．因为3x 是方程()2110x a x a -++-=的根，且312a x +>，由求根公式得3x =因为函数()g a ()3,+∞上单调递增，所以()332x g >=31012x <<-．所以123111x x x ++．所以a 的取值范围是21,22⎛- ⎝⎭．【过关测试】一、单选题1．（2022·江苏·高一专题练习）已知p ：a m <（其中R a ∈，m ∈Z ），q ：关于x 的一元二次方程2210ax x ++=有一正一负两个根.若p 是q 的充分不必要条件，则m 的最大值为（）A ．1B ．0C ．1-D ．2【答案】C【解析】因为2210ax x ++=有一正一负两个根，所以224010a a ⎧∆=->⎪⎨<⎪⎩，解得0a <.因为p 是q 的充分不必要条件，所以0m <，且m ∈Z ，则m 的最大值为1-.故选：C2．（2022·江苏·高一专题练习）已知方程2(2)50x m x m +-+-=有两个不相等的实数根，且两个实数根都大于2，则实数m 的取值范围是（）A ．(5,4)(4,)--+∞B ．(5,)-+∞C ．(5,4)--D ．(4,2)(4,)--+∞【答案】C【解析】令()2(2)5mf x m x x =+-+-由题可知：()()()()2Δ02450442222242250520m m m m m m m m m m f >⎧⎧--⨯->><-⎧⎪⎪-⎪⎪>⇒<-⇒<-⎨⎨⎨⎪⎪⎪+-⨯+->>-⎩>⎩⎪⎩或则54m -<<-，即(5,4)m ∈--故选：C3．（2021·北京·北师大实验中学高一期中）设方程2610x x -+=的两个不等实根分别为12,x x ，则12||x x -=（）A ．3B ．6C．D．【答案】D【解析】2610x x -+=，364320∆=-=>，故121261x x x x +=⎧⎨=⎩，12||x x -===.故选：D.4．（2021·江苏·高一课时练习）设a 为实数，若方程220x ax a -+=在区间(1,1)-上有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是（）.A ．(,0)(1,)-∞⋃+∞B ．(1,0)-C ．1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．1,0(1,)3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】令2()2g x x ax a =-+，由方程220x ax a -+=在区间(1,1)-上有两个不相等的实数解可得244011(1)0(1)0a a a g g ⎧∆=->⎪-<<⎪⎨->⎪⎪>⎩，即011131a a a a <⎧⎪-<<⎪⎪⎨>-⎪⎪<⎪⎩或111131a a a a >⎧⎪-<<⎪⎪⎨>-⎪⎪<⎪⎩，解得103-<<a ，故选：C5．（2022·全国·高一课时练习）一元二次方程()22100ax x a ++=≠有一个正实数根和一个负实数根的一个充分不必要条件是()A ．0a <B ．0a >C ．1a <-D ．2a <【答案】C【解析】由题意，不妨设2()21f x ax x =++，因为(0)10=>f ，且()22100ax x a ++=≠有一个正实数根和一个负实数根，所以2()21f x ax x =++的图像开口向下，即0a <，故对于选项ABCD ，只有C 选项：1a <-是0a <的充分不必要条件.故选：C.6．（2021·四川·树德中学高一阶段练习）设集合{}2320A x x x =-+<，集合{}2210B x ax x =--=，若A B ⋂≠∅，则实数a 的取值范围是（）A ．34,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．5,34⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．(1,)+∞【答案】B【解析】由题意，{}2320{|12}A x x x x x =-+<=<<若AB ⋂≠∅，即方程2210ax x --=存在根在区间(1,2)（1）若102102a x x =∴--=∴=-，不成立；（2）若0a ≠，由于0x =不为方程的根，故0x ≠，则222221211210(1)1x ax x a x x x x+--=⇔==+=+-由于21115(1,2)(,1)(1)1(,3)24x x x ∈∴∈∴+-∈综上，实数a 的取值范围是5,34⎛⎫⎪⎝⎭故选：B7．（2022·全国·高一课时练习）要使关于x 的方程()22120x a x a +-+-=的一根比1大且另一根比1小，则实数a 的取值范围是（）A ．{}12a a -<<B ．{}21a a -<<C ．{}2a a <-D ．{}1a a >【答案】B【解析】由题意可得()2211220a a a a +-+-=+-<，解得21a -<<.故选：B.8．（2021·甘肃·天水市第一中学高一阶段练习）已知一元二次方程2(1)10()x m x m Z +++=∈有两个实数根1x ，2x ，且12013x x <<<<，则m 的值为（）A ．4-B ．5-C ．6-D ．7-【答案】A【解析】因为元二次方程2(1)10()x m x m Z +++=∈有两个实数根1x ，2x ，且12013x x <<<<，令2()(1)1f x x m x =+++，则由题意可得(0)0(1)0(3)0f f f >⎧⎪<⎨⎪>⎩，即10,30,1330,m m >⎧⎪+<⎨⎪+>⎩解得1333m -<<-，又m Z ∈，可得4m =-.故选：A 二、多选题9．（2022·江苏南通·高一开学考试）已知不等式20(0)x ax b a ++>>的解集是{}|x x d ≠，则下列四个结论中正确的是（）.A ．24a b=B ．若不等式2+x ax b c +<的解集为(3,1)-，则7a b c ++=C ．若不等式20x ax b +-<的解集为12(,)x x ，则120x x >D ．若不等式2x ax b c ++<的解集为12(,)x x ，且12||4x x -=，则4c =【答案】ABD【解析】由题意，不等式20(0)x ax b a ++>>的解集是{}|x x d ≠，所以240a b ∆=-=，24a b ∴=，所以A 正确；对于B ：2+x ax b c +<变形为2+0x ax b c +-<，其解集为(3,1)-，所以231 314 a b c a b -+=-⎧⎪-⨯=-⎨⎪=⎩，得214a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，故7a b c ++=成立，所以B 正确；对于C ：若不等式20x ax b +-<的解集为12(,)x x ，由韦达定理知：21204a x xb =-=-<，所以C 错误；对于D ：若不等式2x ax bc ++<的解集为12(,)x x ，即20x ax b c ++-<的解集为12(,)x x ，由韦达定理知：21212,4a x x a x x b c c +=-=-=，则12||4x x -==，解得4c =，所以D 正确.故选：D.10．（2021·江苏·海安高级中学高一阶段练习）一元二次方程240x x m -+=有正数根的充分不必要条件是（）A ．4m =B ．5m =C ．1m =D ．12=-m 【答案】ACD【解析】设()24f x x x m =-+，则二次函数()f x 的图象的对称轴为2x =．当4m =时，方程即()224420x x x -+=-=，求得2x =，满足方程有正根，但由方程240x x m -+=有正数根，可得()240f m =-≤，即4m ≤，故4m =是方程240x x m -+=有正数根的充分不必要条件，故A 满足条件；当5m =时，方程即()224521x x x -+=-=-，求得x ∈∅，不满足方程有正实数根，故5m =不是方程240x x m -+=有正数根的充分条件，故排除B ．当1m =时，方程即()224123x x x -+=-=，求得2=±x 但由方程240x x m -+=有正数根，可得()240f m =-≤，即4m ≤，故1m =方程240x x m -+=有正数根的充分不必要条件，故C 满足条件；当12=-m 时，方程即24120x x --=，求得2x =-，或6x =，满足方程有正根，但由方程240x x m -+=有正数根，可得()240f m =-≤，即4m ≤，故12=-m 方程240x x m -+=有正数根的充分不必要条件，故D 满足条件，故选：ACD ．11．（2022·湖南湖南·高一期末）若方程220x x λ++=在区间()1,0-上有实数根，则实数λ的取值可以是（）A ．3-B ．18C ．14D ．1【答案】BC【解析】由题意22x x λ=--在(1,0)-上有解．∵(1,0)x ∈-，∴222(1)1(0,1)x x x λ=--=-++∈，故选：BC ．12．（2021·全国·高一专题练习）已知关于x 的方程()230x m x m +-+=，则下列结论中正确的是（）A ．方程()230x m x m +-+=有一个正根一个负根的充要条件是{}0m m m ∈<B ．方程()230x m x m +-+=有两个正实数根的充要条件是{}01m m m ∈<≤C ．方程()230x m x m +-+=无实数根的充要条件是{}1m m m ∈>D ．当m =3时，方程()230x m x m +-+=的两个实数根之和为0【答案】AB【解析】对A ，当0x =时，函数2(3)y x m x m =+-+的值为m ，由二次函数的图象知，方程有一正一负根的充要条件是{}|0m m m ∈<，故A 正确；对B ，若方程()230x m x m +-+=有两个正实数根1x ，2x ，即()2121234030,0,m m x x m x x m ⎧∆=--≥⎪+=->⎨⎪=>⎩解得：01m <≤，故B 正确；对C ，方程()230x m x m +-+=无实数根，即()2340m m ∆=--<，解得：19m <<，方程()230x m x m +-+=无实数根的充要条件是{}19m m m ∈<<，故C 错误；对D ，当3m =时，方程为230x +=，无实数根，故D 错误.故答案为：AB.13．（2021·江苏·高一专题练习）已知一元二次方程()()21102x m x m Z +++=∈有两个实数根12,x x ，且12013x x <<<<，则m 的值为（）A ．-2B ．-3C ．-4D ．-5【答案】BC 【解析】设()()2112f x x m x =+++，由12013x x <<<<，可得()()()()10200110110230193102f f m f m ⎧>⎪⎧>⎪⎪⎪<⇒+++<⎨⎨⎪⎪>⎩⎪+++>⎪⎩，解得：25562m -<<-，又因为m Z ∈，得3m =-或4m =-，故选：BC.三、填空题14．（2022·安徽省蚌埠第三中学高一开学考试）关于x 的方程210x ax ++=的一根大于1，一根小于1，则a 的取值范围是：__________________．【答案】a <-2【解析】∵关于x 的方程210x ax ++=的一根大于1，另一根小于1，令2()1=++f x x ax ，则(1)20f a =+<，求得2a <-，故答案为：2a <-15．（2021·北京师大附中高一期中）若关于x 的一元二次方程2240x ax -+=有两个实根，且一个实根小于1，另一个实根大于2，则实数a 的取值范围是________．【答案】（52，＋∞）【解析】设2()24f x x ax =-+，由题意2Δ4160(1)1240(2)4440a f a f a ⎧=->⎪=-+<⎨⎪=-+<⎩，解得52a >，故答案为：5(,)2+∞．16．（2021·上海·复旦附中高一期中）若关于x 的方程220x kx -+=的一根大于－1，另一根小于－1，则实数k 的取值范围为______．【答案】(),3-∞-【解析】由题意，关于x 的方程220x kx -+=的一根大于-1，另一根小于-1，设()22f x x kx =-+，根据二次函数的性质，可得()130f k -=+<，解得3k <-，所以实数k 的取值范围为(),3-∞-.故答案为：(),3-∞-.17．（2020·上海·高一专题练习）已知集合()(){}2|320,A x x x x x R =-+-≤∈，{}2|120,B x x ax x R =--≤∈，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是______________．【答案】[]1,1-【解析】由()()2320x x x -+-≤，得23020x x x ⎧-≥⎪⎨+-≤⎪⎩或23020x x x ⎧-≤⎪⎨+-≥⎪⎩，解得13x ≤≤，所以集合{|31A x x =-≤≤-或}13x ≤≤，因为A B ⊆，令()212f x x ax =--，则()()3030f f ⎧-≤⎪⎨≤⎪⎩，即9312093120a a +-≤⎧⎨--≤⎩，解得11a -≤≤，所以实数a 的取值范围是[]1,1-故答案为：[]1,1-四、解答题18．（2022·全国·高一期中）命题:p 关于x 的方程20x x m ++=有两个相异负根；命题():0,q x ∃∈+∞，2390x mx -+<．(1)若命题q 为假命题，求实数m 的取值范围；(2)若这两个命题有且仅有一个为真命题，求实数m 的取值范围．【解析】（1）若命题q 为假命题，则对()0,x ∀∈+∞，2390x mx -+≥为真命题；239mx x ∴≤+，即93m x x ≤+；96x x +≥（当且仅当9x x =，即3x =时取等号），36m ∴≤，解得：2m ≤，∴实数m 的取值范围为(],2-∞.（2）由（1）知：若命题q为真命题，则2m >；若命题p 为真命题，则Δ1400m m =->⎧⎨>⎩，解得：104m <<；若p 真q 假，则104m <<；若p 假q 真，则2m >；综上所述：实数m 的取值范围为()10,2,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.19．（2022·湖南·高一课时练习）若一元二次方程2570x x a --=的一个根在区间()1,0-内，另一个根在区间()1,2内，求实数a 的取值范围．【解析】令2()57f x x x a =--，则根据题意得(1)057012(0)000(1)0202(2)0201406f a a f a a f a a f a a ->⇒+->⇒<⎧⎪<⇒-⇒⎪⎨<⇒--⇒-⎪⎪>⇒-->⇒<⎩，∴06a <<.故实数a 的取值范围(0,6).20．（2021·辽宁·昌图县第一高级中学高一期中）1.已知()()2213f x x a x =+-+．(1)如果方程()0f x =在()0,3有两个根，求实数a 的取值范围；(2)如果[]1,2x ∃∈，()0f x >成立，求实数a 的取值范围．【解析】(1)()()2213f x x a x =+-+的对称轴为1x a=-要想方程()0f x =在()0,3有两个根，需要满足()()()100001330f a f a f ⎧-<⎪>⎪⎨<-<⎪⎪>⎩解得：(1,1a ∈--(2)[]1,2x ∃∈，()22130x a x +-+>成立，即3122x a x ⎛⎫->-+ ⎪⎝⎭在[]1,2x ∈上有解，只需1a -大于()322x g x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的最小值，其中()322x g x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭为对勾函数，在x ⎡∈⎣上单调递增，在)x ∈上单调递减，又()131222g ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭，()2372244g ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭，所以最小值为()12g =-故12a ->-，解得：1a >-，实数a 的取值范围为()1,-+∞21．（2021·上海市七宝中学高一阶段练习）设二次函数()2f x ax bx c =++，其中R a b c ∈、、.(1)若()21,94b a c a =+=+，且关于x 的不等式()28200-+<x x f x 的解集为R ，求a 的取值范围；(2)若Z a b c ∈、、，且()()01f f 、均为奇数，求证：方程()0f x =无整数根；(3)若21,21,a b k c k ==-=，当方程()0f x =有两个大于1的不等根时求k 的取值范围.【解析】（1）∵()22820440x x x -+=-+>∴()()221940f x ax a x a =++++<在R 上恒成立∵0a ≠，则()()20Δ414940a a a a <⎧⎪⎨=+-+<⎪⎩，解得12a <-综上所述：a 的取值范围为1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.（2）∵()()0,1f c f a b c ==++，则c 为奇数，a b +为偶数当Z x ∈时，则有：1.若a b 、均为偶数时，则2ax bx +为偶数∴()20f x ax bx c =++≠，即方程()0f x =无整数根2.若a b 、均为奇数时，则有①若x 为偶数时，则2ax bx +为偶数∴()20f x ax bx c =++≠，即方程()0f x =无整数根②若x 为奇数时，则()2ax bx x ax b +=+为偶数∴()20f x ax bx c =++≠，即方程()0f x =无整数根综上所述：方程()0f x =无整数根（3）()()2221f x x k x k =+-+由题意可得()()222Δ21402112120k k k f k k ⎧=-->⎪-⎪->⎨⎪=+>⎪⎩，解得2k <-则k 的取值范围为(),2∞--.。
一元二次方程根的分布情况归纳总结
一元二次方程根的分布情况归纳总结一元二次方程ax+bx+c=0的根的分布情况可以通过二次函数f(x)=ax^2+bx+c的图象与x轴的交点的横坐标来确定。
设方程的不等两根为x1和x2，且x1<x2.下面分别讨论根的分布情况。
表一：两根与0的大小比较即根的正负情况(a>0)分布情况两个负根即x1<x2<0 两个正根即0<x1<x2 一正根一负根即一个根小于0，一个大于0大致图象结论Δ>0，b0，b>0 f(x)>0 x1和x2都是正数f(0)>0 x1<0<x2表二：两根与k的大小比较(a>0)分布情况两根都小于k即x1x2>k 一个根小于k，一个大于k即x1<k<x2大致图象结论Δ>0，b0 x1<k<x2Δ>0，b>k f(k)>0 x1>x2>kf(k)>0 x1<k<x2表三：根在区间上的分布(a>0)分布情况两根都在(m,n)内一根在(m,n)内，另一根在(p,q)内两根有且仅有一根在(m,n)内，m<n<p<q（图象有两种情况，只画了一种）大致图象结论Δ>0，f(m)>0，f(n)>0 m<n<x1<x2<p<qΔ>0，f(m)>0，f(n)0 x1<m<n<x2<p<qΔ>0，f(m)0，f(p)>0，f(q)<0 m<n<x1<p<q<x2 或x1<m<n<q<p<x2函数与方程思想：1) 方程f(x)=0有根⇔y=f(x)与x轴有交点x⇔函数y=f(x)有零点x2) 若y=f(x)与y=g(x)有交点(x,y)⇔f(x)=g(x)有解x根的分布练题例1、已知二次方程(2m+1)x^2-2mx+(m-1)=0有一正根和一负根，求实数m的取值范围。
一元二次方程复杂问题中的五种常用技法
一元二次方程复杂问题中的五种常用技法作者：张志明 中学高级教师一、定义法利用一元二次方程及其根的定义求某些项的系数的值或在化简求值过程中实施整体代入.若当我们遇到形如02=++c bm am 和02=++c bn an （其中a ≠0,m ≠n ）这样具有相似结构的两个方程时，我们可以将其中的m ，n 认为是同一个一元二次方程的两个根从而构造出方程02=++c bx ax （a ≠0）.例1（河北省）已知x = 1是一元二次方程02=++n mx x 的一个根，则 222n mn m ++的值为 ．思路与方法：将x = 1代入到方程中求出m+n 的值，进而求出222n mn m ++的值. 解：∵x = 1是一元二次方程02=++n mx x 的一个根，∴012=++n m ，∴m+n ＝－1. ∴222n mn m ++＝1)1()(22=-=+n m .点评：将x = 1代入到方程中求出m+n 的值，其意义在于对所求代数式经过灵活变形后实施整体代入.二、判别式法判别式是专门用来判断一元二次方程的根的情况，所以判别式法毫无疑问会成为解决方程根的分布问题的重要方法.值得指出的是，应用判别式不但可以判断一个一元二次方程有没有实数根，而且还可以进一步判断其根是有理数还是无理数，甚至判断某些方程的根是不是整数. 在⊿＞0的情况下，⊿是完全平方式平方数⇔方程有两个有理数根，⊿不是完全平方式平方数⇔方程有形如b a ±一对无理数根.例2（安徽芜湖）关于x 的方程（a －5）x 2－4x －1=0有实数根，则a 满足（ ）A ．a ≥1B ．a ＞1C ．a ＞1且a ≠ 5D ．a ≠5思路与方法：本题需分类讨论，当a －5=0时是一元一次方程，当a －5≠0时是一元二次方程.解：当a －5=0时，即a ＝5时方程有实数根；当a －5≠0时，⊿≥0时，方程有实数根．因为⊿＝ 20416)1()5(4)4(2-+=-⨯---a a ＝4a －4≥0，所以a ≥ 1.所以a ≥ 1时，关于x 的方程（a －5）x 2－4x －1=0有实数根.故选A.点评：虽然判别式是专门用来判断一元二次方程的根的情况.但本题中的方程，当a －5=0时是一元一次方程，也有实数根.若只按一元二次方程来解，也能得出a ≥ 1，但解法是错误的.三、根与系数的关系法一元二次方程根与系数的关系的表达式，是关于两根和与两根积的轮换对称式，所以当题目中出现形如a+b=m ，ab=n 或由这两种形式的等式变形得到其他式子时，可用根与系数的关系法来解决. 利用根与系数的关系法可根据a+b=m ，ab=n 构造方程02=+-n mx x ；也可由两根之和与积的符号来判断两根的符号.例3（成都）设1x ，2x 是一元二次方程2320x x --=的两个实数根，则2211223x x x x ++的值为_______．思路与方法：分别求出21x x +和21x x 的值，然后将2211223x x x x ++适当变形，即可求出该代数式的值.解：∵1x ，2x 是一元二次方程2320x x --=的两个实数根，∴321=+x x ，221-=x x .又因为2211223x x x x ++＝21221)(x x x x ++，∴2211223x x x x ++＝9－2＝7.点评：解决此类题目的关键是将所求代数式变形为a+b=m ，ab=n 的形式.四、直接求根法：有些方程式比较简单，结构也不太复杂，或者方程中根的形式突出，此时可直接用含有参数的代数式来表示出要求的根，再就其表达式的情况进行研究根的分布情况.这种方法简洁直观，思路明确，没有过多的理论和限制，很适用于求简单系数、特别是整数系数的一元二次方程根的分布问题.例4已知关于x 的方程032)1280()8)(4(2=+----x m x m m 的解都是整数，求整数m 的值.思路与方法：对方程的形式进行分类，然后分别讨论出m 的值.解：（1）当m ＝4时，原方程为－32x+32＝0，此时有整数根x ＝1.（2）当m=8时，原方程为16x+32＝0，此时有整数根x ＝－2.（3）当m ≠4且m ≠8时，原方程可化为[（4－m ）x －8][（8－m ）x-4]=0.解得 .84,4821mx m x -=-= 因为m ，1x ，2x 都为整数，所以有4－m=±1，±2，－4，－8，且8－m=±1，±2，－4. 解得：m=6或m ＝12.综上所述，当m 的值为4，6，8，12时，原方程的解都是整数.点评：解决此题的关键就是对方程的形式进行分类.对于任何方程的最高次项含有常数变量的情况下，我们要百倍重视.将原方程自然的认为就是一个一元二次方程是解答本题的一个心理障碍.五、求根公式法：求根公式不但是一元二次方程求根最直接、最便利的方法之一，而且，利用形如求根公式的代数式我们还可以构造出一元二次方程来.当问题中含有形如aac b b 242-±-的代数式时，可由此联想到一元二次方程的求根公式.因而，可据此逆向构造方程02=++c bx ax .例5（绵阳）若0是关于x 的方程0823)2(22=-+++-m m x x m 的解，求实数m 的值，并讨论此方程解的情况.思路与方法：将x ＝0代入原方程后，得出关于m 的一个一元二次方程，然后利用求根公式求出m 的值，然后进行讨论此方程解的情况.解：由题意可知：082030)2(22=-++⨯+⋅-m m m ，∴0822=-+m m .利用求根公式解得：.4,221-==m m当m ＝2时，原方程为3x ＝0，此时方程只有一个解，解为0.当m ＝－4时，原方程为.0362=+-x x 解得.21,021==x x 此时原方程有两个解，解分别为0，.21点评：本题既要确定待定系数，又要讨论解得情况，因此需要具备分类讨论的思维能力.解答此题时，要注意各系数的值和符号，千万不要将m ＝2舍去.。
浅谈一元二次方程根的分布处理方法
一元二次方程根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容。
这部分知识在初中代数中就有所涉及，是利用二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）解决的。
进入高中之后，我们学习了方程的根与函数零点的关系，处理上述问题，又有了第二种处理方法。
但是我在教学过程中发现，往往有些学生将两种不同的处理方法搞混淆了，导致重复运算，甚至导致错误。
下面我分两种情况简单地介绍一元二次方程实根分布问题的充要条件及其运用。
一． 利用方程思想解决根只是对方程而言的，利用方程思想来解决问题，首先要找到明确的方程作为载体，如果没有方程，可构造方程。
利用方程思想解题，首先，考虑根是否存在，即根的判别式。
在根存在的情况下，其次，考虑两根之和与两根之积，即韦达定理。
在根存在的情况下，设一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）的两个实根为1x ，2x ，且21x x ≤，按照跟的分布情况，将其分为两类：0—分布和k —分布1：0—分布一元二次方程根的0—分布，指的是方程的根相对于零的位置关系。
包括：方程有一正根，一负根，有两正根，有两负根三种。
通常有以下几种常见情况：（1）01>x ，02>x ⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=>-=+≥-=∆000421212a c x x a b x x ac b（2）01<x ，02<x ⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=<-=+≥-=∆000421212a c x x a b x x ac b（3）210x x <<⇔0<ac（4） ○101=x ，02>x ⇔0=c 且0<ab； ○201<x ，02=x ⇔0=c 且0>ab。
例题例1若一元二次方程0)1(2)1(2=-++-m x m x m 有两个正根，求m 的取值范围例2 k 在何范围内取值，一元二次方程0332=-++k kx kx 有一个正根和一个负根？ 2：k —分布一元二次方程根的k —分布是指1x ，2x 相对于k 的位置关系k —分布是转化为0—分布进行处理的通常有以下几种常见情况：（1）21x x k ≤<⇔()()()()212124000b ac x k x k x k x k ⎧∆=-≥⎪-+->⎨⎪-->⎩（2）k x x <≤21⇔()()()()212124000b ac x k x k x k x k ⎧∆=-≥⎪-+-<⎨⎪-->⎩。
一元二次方程根的分布
【定理 4】 有且仅有 k1<x1(或 x2)<k2(在(k1，k2)内有且仅有 一个根)⇔f(k1)·f(k2)<0.
【定理 5】 k1<x1≤x2<k2(两个根都在(k1，k2)内)⇔ ffkΔa（ （>1＝<0kk－，b122） ）2－ba>><400ka， ，2c≥0，或Δaffk（ （<1＝<0kk－，b122） ）2－ba<<<400ka， ，2c.≥0，⇔aakΔff1≥（ （<－0kk，122） ）ba<>>k002， ，.
f（－2）＝0， 上恰有一个零点，需满足①f(－2)·f(2)＜0 或②－2＜41m＜0 或 ③0f（＜24）1m＜＝20.，解①得－18＜m＜0 或 0＜m＜38；②无解；解③得 m＝38.综上可知－18<m≤38，故选 D.
例3 关于x的一元二次方程(m-1)x2+2(m+1)x-m=0 根据下列条件求实数m的取值范围
【定理 1】 x1>0，x2>0
Δ＝b2－4ac≥0， (两个正根)⇔x1＋x2＝－ba>0， x1x2＝ca>0.
Δ＝b2－4ac≥0， Δ＝b2－4ac≥0，
推论：x1>0，x2>0⇔af（>00，）＝c>0， 或fa（<00，）＝c<0，
b<0
b>0.
上述推论结合二次函数图象不难得到．
【定理 2】 x1<0，x2<0
(m-1)f(2)<0 即m(m-1)<0
解得0<m<1
所以m的取值范围是0<m<1
（2）两根都在区间[-1,3）内
高一数学 一元二次方程根的分布教案
城东蜊市阳光实验学校师范大学附属中学高一数学教案：一元二次方程根的分布教材：一元二次方程根的分布目的：介绍符号“f(x)〞，并要求学生理解一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根的分布与系数a,b,c 之间的关系，并能处理有关问题。
过程： 一、为了本课教学内容的需要与方便，先介绍函数符号“f(x)〞。
如：二次函数记作f(x)=ax2+bx+c(a 0)x=1时的函数值记作f(1)即f(1)=a+b+c二、例一关于x 的方程(k 2)x2(3k+6)x+6k=0有两个负根，求k 的取值范围。
解：()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-<-+≥⋅--+=∆02602630624632k k k k k k k ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><<<-≤≤-⇒2022652k k k k 或052<≤-⇒k 此题主要依靠∆及韦达定理求解，但此法有时不大奏效。
例二实数a 在什么范围内取值时，关于x 的方程3x25x+a=0的一根大于2而小于0，另一根大于1而小于3。
()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+⨯-⨯=<+-=<=>+-⨯--⨯=-03533)3(053)1(0)0(02523)2(22a f a f a f a f 解：⇒12<a<0此题利用函数图象及函数值来“控制〞一元二次方程根的分布。
例三关于x 的方程x22tx+t21=0的两个实根介于2和4之间，务实数t 的取值。
解：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<=-<->=--=∆>+-=>++=-42204)1(440158)4(034)2(2222t a b t t t t f t t f 31<<-⇒t此题既利用了函数值，还利用了∆及顶点坐标来解题。
三、作业题〔补充〕*1.关于x 的方程x2+ax+a 1=0，有异号的两个实根，求a 的取值范围。
(a<1) *2.假设方程x2+2(a+3)x+(2a 3)=0的两个实根中一根大于3,另一根小于3，务实数a 的取值范围。
《一元二次方程的实根分布问题》
一元二次方程的实根分布问题引言一元二次方程是高中数学中重要的内容之一，也是解决实际问题中常见的一种数学模型。
解一元二次方程可以得到方程的实根，实根的个数和分布与方程的系数有密切关系。
本文将探讨一元二次方程的实根分布问题，并给出相应的和解题方法。
一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式为：ax2+bx+c=0，其中a、b和c分别为方程的系数，且a eq0。
实根、虚根和重根一个一元二次方程可能有三种情况：实根、虚根和重根。
- 当判别式D=b2−4ac大于 0 时，方程有两个不相等的实根； - 当判别式小于 0 时，方程没有实根，但有两个虚根； - 当判别式等于 0 时，方程有两个相等的实根（重根）。
实根分布问题实根分布问题即研究实根的个数和分布。
首先，我们考虑a>0的情况。
1. 当a>0时对于一元二次方程ax2+bx+c=0，当a>0时，判别式D=b2−4ac的符号关系决定了实根的个数和分布。
a) 当D>0时当判别式D=b2−4ac>0时，方程有两个不相等的实根。
实根的分布取决于方程的系数a、b和c。
根据配方法，我们可以将一元二次方程写成完全平方形式(x−p)2=q，其中p和q可以通过系数a、b和c表示出来。
b) 当D<0时当判别式D=b2−4ac<0时，方程没有实根，但有两个虚根。
c) 当D=0时当判别式D=b2−4ac=0时，方程有两个相等的实根（重根）。
2. 当a<0时对于一元二次方程ax2+bx+c=0，当a<0时，判别式D=b2−4ac的符号关系同样决定了实根的个数和分布。
a) 当D>0时当判别式D=b2−4ac>0时，方程有两个不相等的实根。
b) 当D<0时当判别式D=b2−4ac<0时，方程没有实根，但有两个虚根。
c) 当D=0时当判别式D=b2−4ac=0时，方程有两个相等的实根（重根）。
根据以上讨论，我们可以出一元二次方程的实根分布问题的： 1. 当判别式D= b2−4ac>0时，方程有两个不相等的实根； 2. 当判别式D=b2−4ac<0时，方程没有实根，但有两个虚根； 3. 当判别式D=b2−4ac=0时，方程有两个相等的实根（重根）。
一元二次方程根的分布典型例题
一元二次方程根的分布典型例题（原创版）目录一、一元二次方程根的分布概念二、一元二次方程根的分布与二次函数图象的关系三、一元二次方程根的分布的求解方法四、典型例题解析五、总结正文一、一元二次方程根的分布概念一元二次方程根的分布是指一元二次方程的实根在数轴上的位置分布。
一元二次方程的根与二次函数图象与 x 轴的交点横坐标相对应，因此，研究一元二次方程根的分布问题，可以借助二次函数图象，利用数形结合的方法来探究。
二、一元二次方程根的分布与二次函数图象的关系一元二次方程的根的分布情况与二次函数图象的开口方向、顶点位置以及与 x 轴的交点个数有关。
根据二次函数图象的特点，可以将一元二次方程根的分布分为以下三种情况：1.当二次函数图象开口向上时，一元二次方程有两个实根，且两根分别位于顶点两侧；2.当二次函数图象开口向下时，一元二次方程没有实根；3.当二次函数图象与 x 轴相切时，一元二次方程有一个实根。
三、一元二次方程根的分布的求解方法求解一元二次方程根的分布，需要先确定二次函数图象的顶点位置和开口方向。
具体步骤如下：1.根据一元二次方程的系数，确定二次函数的关系式；2.求解二次函数的顶点横坐标；3.根据顶点位置和开口方向，判断一元二次方程的根的分布情况。
四、典型例题解析例题：已知一元二次方程 x^2 - 3x - 10 = 0，求其根的分布。
解：首先，根据方程的系数，得到二次函数的关系式为 y = x^2 - 3x - 10。
然后，通过配方法或公式法求解得到顶点横坐标为 x = -b / 2a = 3 / 2。
由于二次函数图象开口向上，且与 x 轴有两个交点，因此，一元二次方程 x^2 - 3x - 10 = 0 有两个实根，且两根分别位于顶点两侧。
五、总结一元二次方程根的分布是初中数学一元二次函数的基础内容。
通过研究一元二次方程根的分布问题，我们可以借助二次函数图象，利用数形结合的方法来更好地理解和掌握一元二次方程的性质。
一元二次方程根的分布问题教案
一元二次方程根的分布问题一．一元二次方程根的基本分布——零分布所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系。
比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧。
设一元二次方程02=++cbxax（0≠a）的两个实根为1x，2x，且21xx≤。
【定理1】：01>x，02>x⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<>=>≥-=∆)0(42bcfaacb或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><=<≥-=∆)0(42bcfaacb上述推论结合二次函数图象不难得到。
【定理2】：01<x，02<x⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>>=>≥-=∆)0(42bcfaacb或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<=<≥-=∆)0(42bcfaacb由二次函数图象易知它的正确性。
【定理3】210xx<<⇔0<ac【定理4】○101=x，02>x⇔0=c且0<ab；○201<x，02=x⇔0=c且0>ab。
二．一元二次方程的非零分布——k分布设一元二次方程02=++cbxax（0≠a）的两实根为1x，2x，且21xx≤。
k为常数。
则一元二次方程根的k 分布（即1x ，2x 相对于k 的位置）有以下若干定理。
【定理1】21x x k ≤<⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->≥-=∆k ab k af ac b 20)(042【定理2】k x x <≤21⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<->≥-=∆k ab k af ac b20)(042。
【定理3】21x k x <<⇔0)(<k af 。
【定理4】有且仅有11x k <（或2x ）2k <⇔0)()(21<k f k f【定理5】221211p x p k x k <<≤<<⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧><<>>0)(0)(0)(0)(02121p f p f k f k f a 或⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<>><<0)(0)(0)(0)(02121p f p f k f k f a此定理可直接由定理4推出，请读者自证。
3.1.2一元二次方程根的分布
2
x2
12
练习： 1、若方x程 2 (k3)xk 0 的两根都小 1， 于求k的取 x1 x2 0
-1
值范围？
2、若7方 x2程 k13xk2k20的两 根分0 别 ， 1和 在 1， 2内， k的 求取值范
1 0
2 13
练习：
1.已知关于x的方程 a 2 2 x a 1 x a 1 0
解少解题 有：分 一若析 个m：在=原函0，点数则的f(xf右()x=侧)m=x-，23+就x(m+是1-3,表)显x+明然1关的满于图足x象的要与方求x程轴. m的x交2+点(m至-
3)x+1若=0m至≠少0，有有一两个种正根情，况可：借助根与系数的关系来解。
( 1 ) 原 点 的 两 侧 各 有 一 个 ， 则 x 1 x 2 m 1 0 得 m 0
-
b 2a
>k
f(k)<0.
△=b2-4ac≥0
f(k)>0.
m< -
b 2a
<n
ห้องสมุดไป่ตู้
7.方程 f(x)=0 的两实根都在区间(m, n)内
△=b2-4ac≥0 f(m)>0
f(n)>0.
3
注 ：涉及方程 f(x)=ax2+bx+c=0(a≠0)的实根 分布问题, 一般从四个方面考虑:
① f(x) 图象的开口方向; ②方程 f(x)=0的判别式; ③ f(x) 图象的对称轴与区间的关系; ④区间端点处函数值的符号.
1
x 1 x 2 2
反例x1： 3,x2
1 2
7
例题：已x知 2(方 k3程 )xk0 求满足下列 k的 条范 件围 的？
处理一元二次方程实根分布情况下求参问题的4个方法
处理一元二次方程实根分布情况下求参问题的4个方法一元二次方程是形如ax²+bx+c=0的方程，其中a、b、c是已知常数，而x是未知数。
求解一元二次方程的根是数学中常见的问题，但是有时候方程的根的分布情况会对求参问题提出了一定的要求。
本文将介绍求解一元二次方程实根分布情况下的四种方法。
方法一：直接求解法直接求解法是最常见也是最简单的一种方法。
根据一元二次方程的求根公式x=(-b±√(b²-4ac))/2a，我们可以根据方程的系数a、b、c来求出方程的根。
此方法适用于一元二次方程只有一个根或两个重根的情况。
方法二：判别式法判别式法是针对不同根的情况进行求解的一种方法。
方程的判别式D=b²-4ac可以提供方程的根的情况。
1.当D>0时，方程有两个不相等的实根。
2.当D=0时，方程有两个相等的实根，即重根。
3.当D<0时，方程没有实根，而有两个虚根。
方法三：解曲线与直线的交点法解曲线与直线的交点法是一种几何方法。
根据一元二次方程的几何意义，我们可以绘制出方程的二次曲线和与其相交的直线。
通过观察交点的数量和位置，我们可以得到方程实根的情况。
当曲线和直线相交于两点时，方程有两个不相等的实根；当曲线和直线相切于一点时，方程有一个实根；当曲线和直线没有交点时，方程没有实根。
方法四：代数方法代数方法是一种基于代数运算的求解方法。
通过对方程进行变形、化简、整理等代数运算，我们可以得到方程的根的一些特征。
例如，通过配方法将一元二次方程转化为一个完全平方后，我们可以得到它的根（不一定是实根）；通过因式分解将一元二次方程分解为两个一次因式的乘积后，我们可以得到方程的根的数量和特征。
这四种方法可以根据实际情况的不同进行选择和组合使用。
其中，直接求解法适用于一元二次方程只有一个根或两个重根的情况；判别式法适用于判定方程的根的情况；解曲线与直线的交点法适用于通过图像观察根的情况；代数方法适用于通过代数运算得到根的特征的情况。
一元二次方程根的分布问题
一元二次方程根的分布问题一元二次方程的两根就是相应二次函数的图象与x 轴的交点的横坐标，因此在讨论方程的根的分布时，一定要分析方程对应的函数图象与坐标轴的交点情况，列出等价的不等式（组）求解。
在列不等式组时，一般情况下需要从三个方面考虑：①判别式；②区间端点函数值的正负；③对称轴与区间端点的关系，有时也可以利用韦达定理。
1. 判别式我们知道，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），用配方法可以将其变形为2224()24b b acx a a-+=． ① 因为a ≠0，所以，4a 2＞0．于是（1）当b 2－4ac ＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根x 1，2（2）当b 2－4ac ＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根 x 1＝x 2＝－2b a； （3）当b 2－4ac ＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边2()2b x a+一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根．由此可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的情况可以由b 2－4ac 来判定，我们把b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示．2.韦达定理如果ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝b a -，x 1·x 2＝c a．这一关系也被称为韦达定理．3. 一元二次方程02=++c bx ax 根的分布情况设方程()200ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为c bx ax x f ++=2)(，方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面表（每种情况对应的均是充要条件）表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）分布情况两个负根即两根都小于0 ()120,0x x << 两个正根即两根都大于0()120,0x x >>一正根一负根即一个根小于0，一个大于0()120x x <<大致图象（>a ）得出的结论()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩ ()00200b a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩ ()00<f大致图象（<a ）得出的结论()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪<⎪⎩ ()00200b a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪<⎪⎩ ()00>f综合结论（不讨论a）()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⋅>⎪⎩ ()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⋅>⎪⎩ ()00<⋅f a分布情况两根都小于k 即 k x k x <<21, 两根都大于k 即 k x k x >>21, 一个根小于k ，一个大于k 即21x k x <<大致图象（>a ）得出的结论()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩ ()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩ ()0<k f大致图象（<a ）得出的结论()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪<⎪⎩ ()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪<⎪⎩ ()0>k f综合结论（不讨论a）()020b k a a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⋅>⎪⎩ ()020b k a a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⋅>⎪⎩ ()0<⋅k f akkk分布情况两根都在()nm,内两根有且仅有一根在()nm,内（图象有两种情况，只画了一种）一根在()nm,内，另一根在()q p,内，qpnm<<<大致图象（0 > a）得出的结论()()2f mf nbm na∆>⎧⎪>⎪⎪>⎨⎪⎪<-<⎪⎩()()0<⋅nfmf()()()()f mf nf pf q⎧>⎪<⎪⎨<⎪⎪>⎩或()()()()f m f nf p f q<⎧⎪⎨<⎪⎩大致图象（0 < a）得出的结论()()2f mf nbm na∆>⎧⎪<⎪⎪<⎨⎪⎪<-<⎪⎩()()0<⋅nfmf()()()()f mf nf pf q⎧<⎪>⎪⎨>⎪⎪<⎩或()()()()f m f nf p f q<⎧⎪⎨<⎪⎩综合结论（不讨论a ）——————()()0<⋅nfmf()()()()⎪⎩⎪⎨⎧<<qfpfnfmf根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()n m ,外，即在区间两侧12,x m x n <>，（图形分别如下）需满足的条件是（1）0a >时，()()00f m f n <⎧⎪⎨<⎪⎩； （2）0a <时，()()0f m f n >⎧⎪⎨>⎪⎩4.例题例 1．已知2(3)0x m x m +-+=，分别求方程的根满足下列条件下的m 的取值范围：（1）两个正根； （2）两个负根； （3）两根都小于1； （4）两根都大于1； （5）一根大于1，一根小于1；（6）两根都在区间（0,2）内； （7）两根有且仅有一个在区间（0,2）内；解：（1）由1212000,0200b x x a x x c a ⎧⎪∆>∆>⎧⎪⎪⎪->+>⎨⎨⎪⎪>⎩⎪>⎪⎩即，得01m <≤。
一元二次方程根的分布
第九讲 一元二次方程根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容。
这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用。
知识点：1.为了本课教学内容的需要与方便，先介绍函数符号"f(x)".例如二次函数记作f(x)= ax 2+bx+c (a ≠0)， x=1时的函数值记作f(1)， 即f(1)=a+b+c. 2.韦达定理： 1212,b c x x x x a a+=-= 3.一元二次方程根的分布函数与方程思想：若y =()f x 与x 轴有交点0x ⇔f (0x )=0下面我们将主要结合二次函数图象的性质，系统地介绍一元二次方程实根的分布（1）开口方向； （2）对称轴位置； （3）判别式； （4）端点函数值符号。
例题：例1.若一元二次方程0)1(2)1(2=-++-m x m x m 有两个正根，求m 的取值范围。
例2.若一元二次方程0332=-++k kx kx 的两根都是负数，求k 的取值范围。
变式：k 在何范围内取值，一元二次方程0332=-++k kx kx 有一个正根和一个负根？例3．已知方程02112=-+-m x x 的两实根都大于1，求m 的取值范围。
变式（1）方程()f x =2ax bx c ++=0(a >0)的两个根都大于1的充要条件是 ( )A 、△≥0且f (1)>0B 、f (1)>0且－ab >2C 、△≥0且－a b >2，ca>1D 、△≥0且f (1)>0，－ab>2变式（2）若一元二次方程03)1(2=++-x m mx 的两个实根都大于-1，求m 的取值范围。
变式（3）若一元二次方程03)1(2=++-x m mx 的两实根都小于2，求m 的取值范围。
例4.已知方程032222=-++m mx x 有一根大于2，另一根比2小，求m 的取值范围。
一元二次方程根的分布问题
一元二次方程根的分布问题是指对于形如ax^2 + bx + c = 0的一元二次方程，我们想要了解它的根在实数范围内的分布情况。
首先，我们可以通过判别式Δ= b^2 - 4ac来确定方程的根的性质。
当Δ > 0时，方程有两个不相等的实根；当Δ = 0时，方程有两个相等的实根；当Δ < 0时，方程没有实根，而是有两个共轭复根。
对于有两个不相等实根的情况（Δ> 0），它们的分布取决于b和c的值。
如果b和c的值都比较小，那么根可能会比较接近原点附近；如果b和c的值较大，那么根可能会分布得更远离原点。
根的具体位置还受到系数a的正负影响，但这只会对根的开口方向造成影响，并不影响根的分布在x轴上的位置。
对于有两个相等实根的情况（Δ= 0），这两个根将落在同一个位置，通常是在x轴上的某个点。
这种情况下，根的分布比较集中，且与b和c的值关系不大。
对于没有实根而有共轭复根的情况（Δ< 0），根的分布是虚数，不在实数范围内。
综上所述，一元二次方程根的分布与判别式Δ、系数b和c的值相关。
我们可以通过分析Δ的正负以及b和c的大小，来初步了解方程根在实数范围内的分布情况。
一元二次方程根的分布情况归纳(完整版)
二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳1、一元二次方程02=++c bx ax 根的分布情况设方程()200ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=，方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）分布情况两个负根即两根都小于0()120,0x x <<两个正根即两根都大于0()120,0x x >>一正根一负根即一个根小于0，一个大于0()120x x <<大致图象（>a ）得出的结论()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩()00200b a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩()00<f 大致图象（<a ）得出的结论()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪<⎪⎩()00200b a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪<⎪⎩()00>f 综合结论（不讨论a）()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⋅>⎪⎩()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⋅>⎪⎩()00<⋅f a分布情况两根都小于k 即k x k x <<21,两根都大于k 即k x k x >>21,一个根小于k ，一个大于k 即21x k x <<大致图象（>a ）得出的结论()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩()0<k f 大致图象（<a ）得出的结论()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪<⎪⎩()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪<⎪⎩()0>k f 综合结论（不讨论a）()020b k a a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⋅>⎪⎩()020b k a a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⋅>⎪⎩()0<⋅k f a kkk分布情况两根都在()n m ,内两根有且仅有一根在()n m ,内（图象有两种情况，只画了一种）一根在()n m ,内，另一根在()q p ,内，qp n m <<<大致图象（>a ）得出的结论()()0002f m f n b m na ∆>⎧⎪>⎪⎪>⎨⎪⎪<-<⎪⎩()()0<⋅n f m f ()()()()0000f m f n f p f q ⎧>⎪<⎪⎨<⎪⎪>⎩或()()()()00f m f n f p f q <⎧⎪⎨<⎪⎩大致图象（<a ）得出的结论()()0002f m f n b m na ∆>⎧⎪<⎪⎪<⎨⎪⎪<-<⎪⎩()()0<⋅n f m f ()()()()0000fm f n f p f q ⎧<⎪>⎪⎨>⎪⎪<⎩或()()()()00f m f n f p f q <⎧⎪⎨<⎪⎩综合结论（不讨论a）——————()()0<⋅n f m f ()()()()⎪⎩⎪⎨⎧<<00q f p f n f m f 根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()n m ,外，即在区间两侧12,x m x n <>，（图形分别如下）需满足的条件是（1）0a >时，()()0f m f n <⎧⎪⎨<⎪⎩；（2）0a <时，()()0f m f n >⎧⎪⎨>⎪⎩对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明：（1）两根有且仅有一根在()n m ,内有以下特殊情况：若()0f m =或()0f n =，则此时()()0f m f n < 不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m 或n ，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间()n m ,内，从而可以求出参数的值。
求解一元二次方程根的分布问题的途径
丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳一元二次方程根的分布问题，通常会给出一元二次方程根的分布区间，要求方程中参数的取值范围.解答此类问题，常需利用一元二次方程根的判别式、韦达定理以及一元二次函数的图象、性质.下面重点谈一谈一元二次方程根的分布问题的解法.一、采用直接法一元二次方程的根能够直接用配方法或因式分解法求出来，可采用直接法，将一元二次方程的根直接求出来，然后根据方程的根所在的区间建立不等式，解不等式即可确定参数的取值范围.例1.要使关于x的方程x2-2mx+m2-1=0的两个实根介于-1和4之间，求实数m的取值范围.分析：方程x2-2mx+m2-1=0的两个实根很容易用配方法或因式分解法求出来，可采用直接法求解.解：x2-2mx+m2-1=()x-m-1()x-m+1=0，解得x1=m-1，x2=m+1，由题意得-1＜m-1＜m+1＜4，解得0＜m＜3.有时可运用求根公式求得方程的根，但要注意对判别式的符号进行讨论.二、利用函数法一元二次方程与一元二次函数之间的联系紧密，若一元二次函数为f（x）=ax2+bx+c（a≠0），当函数f（x）=0时，它就会变成一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0).而解方程实质上是求对应函数的零点，即函数图象与x轴交点的横坐标，所以在解答一元二次方程根的分布问题时，可构造一元二次函数，借助图象来讨论函数零点的位置或取值，以明确方程根的分布情况.例2.关于x的方程2kx2-2x-3k-2=0的两实根一个大于1，一个小于1，求实数k的取值范围.解：设f（x）=2kx2-2x-3k-2，画出如图1、2所示的函数图象，图1图2根据题意可得{k>0,f()1<0,或{k<0,f()1>0,即{k>0,-k-4<0,或{k<0,-k-4>0,解得k＞0或k＜-4.根据所给的一元二次方程构造一元二次函数，便可将问题转化为函数问题，采用函数法来求解.对一元二次函数的开口方向和两根的取值范围进行讨论，便能快速建立关于k的不等式，求得问题的答案.三、分离参数对于一些含参一元二次方程，可将参数分离，运用分离参数法来求参数的取值范围.利用分离参数法求解一元二次方程根的分布问题，需在分离参数后，构造函数模型，将问题转化为求函数的值域或函数图象的交点问题.例3.若方程x2+ax-2=0在区间[]1,5上有解，则实数a的取值范围为（）.A.（-235，+∞）B.（1，+∞）C.éëùû-235，1 D.（-∞，-235）解：因为x∈[]1,5，所以方程x2+ax-2=0可以变形为a=2x-x，令f(x)=2x-x，g(x)=a，故原方程在区间[]1,5上有解⇔f(x)与g(x)的图象在区间x∈[]1,5上有交点，由图3知f(x)=2x-x在[]1,5上单调递减，其值域为éëùû-235，1，所以实数a的取值范围是éëùû-235,1，本题应选C项.将方程x2+ax-2=0变形为a=2x-x，就能将参数分离，再构造函数f(x)、g(x)，便将问题转化为f(x)与g(x)的图象在区间x∈[]1,5上有交点的问题.总之，对于简单的一元二次方程根的分布的问题，可采用直接法求解；对于较为复杂的问题，就需灵活运用函数法和分离参数法求解.而每种方法的适用情况均不相同，同学们需根据解题需求选择合适的方法来求解，这样才能有效提升解题的效率.（作者单位：江苏省盐城市龙冈中学）赵爱华图3探索探索与与研研究究50。
多种方法解答一元二次方程根的分布问题
多种方法解答一元二次方程根的分布问题
赵彦伍
【期刊名称】《数理天地（初中版）》
【年(卷),期】2024()11
【摘要】一元二次方程根的分布问题是初中数学代数类问题中较难的一种题型.很多学生在遇到这类题目时常常没有思路,其主要原因就是没有理解方程根的本质和这类题目的解题方法.本文将结合几道典型例题来谈解答一元二次方程根的分布问题的多种方法,以供读者参考.
【总页数】2页(P18-19)
【作者】赵彦伍
【作者单位】山东省莒县峤山镇中心初级中学
【正文语种】中文
【中图分类】G63
【相关文献】
1.两招妙解一元二次方程根的分布问题
2.四种方法直击一元二次方程根的分布问题
3.追根化困惑,问底见本质r——用"缩分"法解一元二次方程根的分布问题
4.含参数一元二次方程根的分布问题的思考
5.一元二次方程根的分布问题
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
一元二次方程根的分布解析
一元二次方程根的分布解析一、单选题1．已知方程()2250x m x m +-+-=的两根都大于2，则实数m 的取值范围是（）A ．{54m m -<≤-或}4m ≥B ．{}54m m -<≤-C ．{}54m m -<<-D ．{54m m -<<-或}4m >2．已知关于x 的方程()230x m x m +-+=，下列结论错误的是（）A ．方程()230x m x m +-+=无实数根的必要条件是{}1m m m ∈>B ．方程()230x m x m +-+=有一正一负根的充要条件是{}0m m m ∈<C ．方程()230x m x m +-+=有两正实数根的充要条件是{}01m m m ∈<≤D ．方程()230x m x m +-+=有实数根的充要条件是{1m m m ∈<或}9m >二、多选题3．已知关于x 的不等式()()1320a x x -+->的解集是()12,x x ，其中12x x <，则下列结论中正确的是（）A ．1220x x ++=B ．1231x x -<<<C ．124x x ->D ．1230x x +<4．已知关于x 的方程230+++=x ax a ，则（）.A ．当2a =时，方程有两个不相等的实数根B ．方程无实数根的一个充分条件是24a -<<C ．方程有两个不相等的负根的充要条件是6a >D ．方程有一个正根和一个负根的充要条件是4a <-对于C 选项：方程有两个不相等的负根的充要条件是()21212Δ41300,30a a x x a x x a ⎧=-⨯⨯+>⎪+=-<⎨⎪⋅=+>⎩解得：6a >，故C 选项正确;对于D 选项：方程有一个正根和一个负根的充要条件是()212Δ4130,30a a x x a ⎧=-⨯⨯+>⎨⋅=+<⎩解得：3a <-，故D 选项错误;故选：BC.三、填空题5．已知方程221)42(0x m x m -+-=+的两根一个比2大另一个比2小，则实数m 的范围是．【答案】3m <-【分析】根据给定条件，利用一元二次方程实根分布规律列式求解即得.【详解】令2()21)42(f x x m x m -++=-，显然二次函数()f x 的图象开口向上，而()0f x =的两根一个比2大另一个比2小，则(2)0f <，即222102()42m m -++-<，解得3m <-，所以实数m 的范围是3m <-.故答案为：3m <-6．“一元二次方程()()10x a x a ---=有一个正实数根和一个负实数根”的一个充分条件但不是必要条件的是；7．已知关于x 的方程2210x x m -+-=的两个实数根同号，则实数m 的取值范围为．【答案】(]1,2【分析】运用12Δ00x x ≥⎧⎨>⎩解题即可.【详解】根据题意得到12Δ00x x ≥⎧⎨>⎩，即44(1)010m m --≥⎧⎨->⎩，解得12m <≤.故答案为：(]1,2.8．关于x 的不等式()2231x ax +<的整数解恰有3个，则实数a 的取值范围是．四、解答题9．已知方程()22210x k x k +-+=，且方程有两个大于1的实数根.(1)求实数k 的取值范围；(2)若存在实数k ，使()2150x k x ++≥，求实数x 的取值集合.10．已知关于x 的方程()221260x m x m +-++=至少有一个正根，求实数m 的取值范围．【答案】1m ≤-．【分析】根据一元二次方程根的分布，结合分类讨论即可求解.【详解】设()()22126f x x m x m =+-++，方程至少有一个正根，则有三种可能：11．关于x 的方程2(3)0x m x m +-+=满足下列条件，求m 的取值范围．(1)有两个正根；(2)一个根大于1，一个根小于1；(3)一个根在(2,0)-内，另一个根在(0,4)内；(4)一个根小于2，一个根大于4；12．关于x 的方程()230x m x m +-+=满足下列条件，求m 的取值范围.(1)有两个正根；(2)一个根在()2,0-内，另一个根在()0,4内；13．关于x 的方程()230x m x m +-+=满足下列条件，求m 的取值范围.(1)有两个正根；(2)一个根大于1，一个根小于1；(3)一个根在()2,0-内，另一个根在()0,4内；14．已知方程2244120x mx m +--=．(1)若关于m 的方程总有实数解，求x 的取值范围；(2)求证：无论m 取何实数，关于x 的方程2244120x mx m +--=必有互异实数根．15．已知函数()2f x x x a =+-，a ∈R .(1)若关于x 的方程()0f x =有两个实数根1x ，2x ，且120x x <<，求实数a 的取值范围；(2)若不等式()2f x ax >+对(]0,1a ∀∈恒成立，求实数x 的取值范围.16．回答下面两题：(1)已知函数2()1f x x mx =+-，若对于任意[,1]x m m ∈+，都有()0f x <成立，求实数m 的取值范围；(2)解关于x 的不等式210,R ax x a ++>∈．17．已知二次函数()()()2225,0f x x k x k f x =+++>的解集为()()1212,,,x x x x ∞∞-⋃+≠.(1)若1k =-，求221212x x x x +的值；(2)若120,0x x <<，求实数k 的取值范围.18．已知函数()222,y x a x a a =-++∈R(1)解关于x 的不等式0y <；(2)若方程()2221x a x a x -++=+有两个正实数根12,x x ，求21x x x x +的最小值.19．已知12,x x 是一元二次方程()()22414110k x k x +-++=的两个不相等的实数根．(1)若两根同号，求实数k 的取值范围；(2)求使得124x x x x ++的值为整数的整数k 的值．20．已知函数()222,Ry ax a x a =-++∈(1)求不等式0y ≥的解集；(2)若存在0m >使关于x 的方程()21221ax a x m m-++=++有4个不同的实根，求实数a 的取值范围。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
数形结合处理二次方程根的分布问题的一般方法设f(x)=a x 2+bx+c(a ≠0),则f(x)=0即一元二次方程的实根分布问题，可依照三个二次间的关系按下述步骤解决：⑴画出符合题设要求（即f(x)=0的实根分布情形）的所有不同类型的抛物线；⑵分析概括上述抛物线的图形特征并将它转化为相应的不等式组（分别从开口方向， 与x 轴的交点，对称轴，端点与特殊点位置等角度综合考虑）； ⑶简化上述不等式组并求解，以得到原问题的解答。
附:有关二次方程a x 2+bx+c=0(a ≠0)实根分布问题的数与形对应结论（设f(x)=a x 2+bx+c)设方程()200ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=，方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）分布情况两个负根即两根都小于0()120,0x x << 两个正根即两根都大于0()120,0x x >>一正根一负根即一个根小于0，一个大于0()120x x <<大致图象a>0a<0得出的结论()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⋅>⎪⎩ ()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⋅>⎪⎩ ()00<⋅f a表二：（两根与k 的大小比较）分布情况两根都小于k 即 k x k x <<21,两根都大于k 即 k x k x >>21,一个根小于k ，一个大于k 即21x k x <<大致图象（0>a ）得出的结论()020bk a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩ ()020bk a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩ ()0<k f大致图象（0<a ）得出的结论()020bk a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪<⎪⎩ ()020bk a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪<⎪⎩ ()0>k f综合结论（不讨论a ）()020b k a a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⋅>⎪⎩ ()020b k a a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⋅>⎪⎩ ()0<⋅k f akkk表三：（根在区间上的分布）分布情况两根都在()nm,内仅一根在()nm,内(另一根不为m,n）两根分别()nm,与()qp,内，两根分别在区间()nm,外大致图象（0 > a）得出的结论()()2f mf nbm na∆>⎧⎪>⎪⎪>⎨⎪⎪<-<⎪⎩()()0<⋅nfmf()()()()f mf nf pf q⎧>⎪<⎪⎨<⎪⎪>⎩()()f mf n<⎧⎪⎨<⎪⎩大致图象（0 < a）得出的结论()()2f mf nbm na∆>⎧⎪<⎪⎪<⎨⎪⎪<-<⎪⎩()()0<⋅nfmf()()()()f mf nf pf q⎧<⎪>⎪⎨>⎪⎪<⎩()()f mf n>⎧⎪⎨>⎪⎩综合结论（不讨论a ）()()>0<-<2f m f nbm na⎧⎪>⎪⎨⎪⎪⎩()()0<⋅nfmf()()()()⎪⎩⎪⎨⎧<<qfpfnfmf()()>0f m f n对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明： （1）两根有且仅有一根在()n m ,内有以下特殊情况：1︒ 若()0f m =或()0f n =，则此时()()0f m f n < 不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m 或n ，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间()n m ,内，从而可以求出参数的值。
如方程()2220mx m x -++=在区间()1,3上有一根，因为()10f =，所以()()()22212mx m x x mx -++=--，另一根为2m，由213m<<得223m <<即为所求；2︒ 方程有且只有一解，且这个解在区间()n m ,内，即0∆=，此时由0∆=可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。
如方程24260x mx m -++=有且一根在区间()3,0-内，求m 的取值范围。
分析：①由()()300f f -< 即()()141530m m ++<得出15314m -<<-；②由0∆=即()2164260m m -+=得出1m =-或32m =，当1m =-时，根()23,0x =-∈-，即1m =-满足题意；当32m =时，根()33,0x =∉-，故32m =不满足题意；综上分析，得出15314m -<<-或1m =-例1、已知二次方程()()221210m x mx m +-+-=有一正根和一负根，求m 的取值范围。
解：由 ()()2100m f +< 即 ()()2110m m +-<，从而得112m -<<即为所求的范围。
例2已知实数a 、b 、c 满足22211a b ca b c a b c ⎧>>⎪++=⎨⎪++=⎩，求a b+的取值范围.解：由已知得1a b c +=-且222222()()(1)(1)22a b a b c c ab c c +-+---===-.所以,a b 是一元二次方程22(1)()0x c x c c --+-=的两根. 由a b c >>知 问题可转化为方程22(1)()0x c x c c --+-=的二根都大于c . 令()f x =22(1)()x c x c c --+-，则有：m2212()0(1)4()0c c f c c c c -⎧>⎪⎪>⎨⎪∆=--->⎪⎩即 22123203210c c c c c c ->⎧⎪->⎨⎪--<⎩，求得103c -<<，因此4(1,)3a b +∈.例3已知点(0,4)A 、(4,0)B .若抛物线21y x m x m =-++与线段AB (不包括端点A 及B )有两个不同的交点，则m 的取值范围是 (1997上海数学竞赛) 解： 显然直线AB 的方程为1(04)44xy x +=<<即4y x =-将它代入抛物线方程并整理得2(1)(3)0x m x m +-+-=. 设2()(1)(3)f x x m x m =+-+-问题转化函数()y f x =的图象和x 轴在0到4之间有两个不同的交点 即方程2(1)(3)0x m x m +-+-=在(0,4)上有两个不相等的实根. 所以2(1)4(3)0(0)30(4)164(1)3010 4.2m m f m f m m m ⎧∆=--->⎪=->⎪⎪⎨=--+->⎪-⎪<<⎪⎩解得m 的取值范围是1733m <<.根的分布练习题题1：已知二次函数()()()222433y m x m x m =+-+++与x 轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数m 的取值范围。
题2：已知方程()2210x m x m -++=有两个不等正实根，求实数m 的取值范围。
题3：已知二次方程()22340mx m x +-+=只有一个正根且这个根小于1，求实数m 的取值范围。
题4：已知关于x 的二次方程x 2+2mx +2m +1=0(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m 的范围 (2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m 的范围附练习题答案： 题1：122m -<<:；题2：0322m <<-或322m >+；题3：13m <-；题4解 (1)条件说明抛物线f (x )=x 2+2mx +2m +1与x 轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内画出示意图，得⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧->-<∈-<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+=<+=>=-<+=65,21,21056)2(,024)1(,02)1(,012)0(m m R m m m fm f f m f∴2165-<<-m(2)据抛物线与x 轴交点落在区间(0，1)内，列不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-<≥∆>>10,0,0)1(,0)0(m f f ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<--≤+≥->->⇒.01,2121,21,21m m m m m 或(这里0<－m <1是因为对称轴x =－m 应在区间(0，1)内通过) 解之得1-<<1-22m 。
21-1oyx1oyx。