概率论与数理统计实验_传染病传播问题
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传染病传播问题
传染病是人类共同的敌人. 小到流感、病毒性肝炎,大到霍乱、天花、艾滋病、非典型性肺炎等,危害着人们的健康,扰乱了人们正常的工作和生活,同时也侵蚀着人类大量的财富. 因此建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程,预报传染病高峰的到来,及时控制传染病的传播是非常重要的事情,一直是各国政府和科学家关注的课题. 以下探讨几类传染病数学模型,对传染病相关的问题做出相应的回答.
注:(1)这里不从医学的角度分析各种传染病的传播,而只是按照一般的传播机理建立几种数学模型;
(2)讨论问题的前提是假定在疾病的传播期内,所考察地区的总人数不变(总人数为N ).
解:假设 (1) t 时刻健康者和病人在总人数中所占的比例分别为).(),(t i t s 另外,
0)0(i i =;
(2) 每个病人每天有效接触的平均人数为常数λ. λ称日接触率,即当病人与健康者有效接触时,使健康者感染变成病人.
根据假设,有
)0(1)()()()()
(i i t i t s t i t Ns dt
t di N ==+=λ 故可得
⎪⎩⎪
⎨⎧=-=0
)0()](1)[()
(i i t i t i dt t di λ (1)
得到
t
e i t i λ-⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+=
1111
)(0 (2)
这个模型可以用于传染病的前期(对于传染较快的病),早期预报传染病高峰的到来. 1))(t i ~t 曲线表示传染病的传染曲线;dt
di
~t 曲线表示传染病的上升率与时间的关系,医学上称为传染病曲线.
20406080100t
0.2
0.40.60.81i
20406080100
t
0.01
0.020.030.040.050.06di €€€€€€€
dt
2) 求)(t i 的一阶导数:
这里已经把0i
λ代入到)(t i 的表达式. 再输入
回到)(t i 的表达式(2), 再求)(t i 的二阶导数, 令022=dt i d ,求出dt di
函数的极大值点,
}}]
001Log[{},{{λ
λai ai t t +--→
∞-→ ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=-11ln 011i t λ (3)
再代入)(t i 的表达式,得2
1
即已求出 2
1*
=i 时,dt di 达到最大值. 即传染病的上升率达到最大,这个时刻是
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=-11ln 01
1i t λ. 说明:病人在这个时刻增加得最快,预示着传染病高潮的到来,是医疗卫生部门特别关
注的时刻.
3)从(3)式可知1t 与λ成反比. 日接触率标志着该地区的卫生水平,λ越小,卫生水平越高. 而λ越小,1t 越大,传染病爆发的时刻就会越迟. 所以改善保健设施,采取有效的隔离措施,降低日接触率,可以推迟传染病高峰的到来.
4)由(2)式可知,当∞→t 时,1)(→t i . 这就意味着所有的人都将被传染,处于生病状态. 这是不符合实际情况的. 事实上,传染病人经治疗后,或者痊愈,因而具有免疫力;或者死亡;所以最终病人的比例数)(t i 应该趋于零,即当∞→t 时,0)(→t i . 由此可见,需要重新修改模型假设,再建立数学模型.
感染--治愈 假设:
(1) 与感染模型相同; (2) 与感染模型相同;
(3) 病人可以治愈. 病人每天被治愈的人数占病人总数的比例μ,称为日治愈率. 病人治愈后仍可成为被感染的健康者,所以
μ
1
是这种传染病的平均传染期. 由假设(3)可知
1
)()()()()()
(=+-=t i t s t i t i t s dt
t di μλ0)0(i i = 故可得 ⎪⎩⎪
⎨⎧=--=0)0()()](1)[()
(i i t i t i t i dt t di μλ (4)
变换得 ⎪⎩⎪
⎨⎧=-+-=0
2)0()()()()
(i i t i t i dt t di μλλ (5)
此方程为贝努利方程,
{{i [t]-> 0
)()(0
)(ai e e e ai e t t t t λμλμλμ
λμλ-+--}} 得到
()t
e i t i μλμλλμλλ--⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--+-=01)(1 当μλ≠ 当μλ=时,上式不是方程的解,应从原方程出发求解. ()⎪⎩⎪
⎨⎧=-=0
20)()(i i t i dt
t di
λ (6) 可以利用分离变量法求解.
{{i[t]->
010
ai t ai λ+}}
即 0
1
)(1i t t i +=λ为当μλ=时的解. 所以方程组的解为: ()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛+≠⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-=----时当时;当μλλμλμλλμλλμλ1
01
011i t e i t i t (7)
分析:
定义: μ
λ
σ= (8) 从λ和
μ
1
的定义可知,σ是一个传染期内每个病人有效接触的平均人数,称为接触数. 1)作出()t t i ~曲线图,分析病人数的变化规律. 首先求出()t i 的极限,讨论极端情况. 因为
()⎪
⎩⎪⎨⎧≤>⎪⎭⎫
⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+∞
→1
0111lim 1σσσμλλ,当;,当t i t (9) 这里有两条()t t i ~曲线, 都是1>σ的情形. 上面一条是0i λ=,
μ=时的图形; 下面一条是0
i λ=, μ=时的图形. 从图可见, 虽然0i 不同, 但()t i 在t 趋于无穷时有相同的极限σ
1
1-.