第八章 相量法总结

第八章 相量法

由于工业中电力系统的电压电流均采用正弦形式，且在电子线路中，往往各点电位与各处电流均为同频率的正弦量，同时非正弦形式的周期函数均可通过傅立叶变换分解为频率成整数倍的正弦函数的无穷级数，……因此，正弦交流电路的特殊分析方法具有十分重要的意义。

而相量法正是正弦交流电路主要分析方法，其意义与拉氏变换有类似之处。意于用相量代换电路中的电量，将电路方程的性质从微分方程变为代数方程，从而简便地求取以正弦函数作为输入函数的微分方程的特解。

◆ 重点：

1． 正弦量的三要素及其表示方法 2． 基尔霍夫定律的向量形式 3． 电路元件的VCR 的相量表示

8.1 有关的数学知识复习

8.1.1 与电路分析相关的正弦函数的有关知识

一、正弦函数的表示形式（以电流为例）

i (

t (rad )

1．代数形式：

)cos()(φ+ω=t I t i m

2．正弦函数的三要素

◆

变化的幅度——幅值（最大值）、有效值

幅值（最大值）——m I ，工程中所指的耐压值指最大值。

有效值——均方根值⎰

=

T dt i T I 02

1，与正弦量的相位及频率无关。工程中所指的

正弦电压电流大小均指有效值。

幅值（最大值）、有效值的关系（学生自行推导）

I I m 2= ◆ 变化的快慢——周期、频率、角频率

周期T ——最小正周期T ：)()(t T f t f += 频率f ——周期函数每秒变化的次数

角频率ω——相角（φ+ωt ）随时间变化的速度

ω=φ+ωdt t d )

(

周期T 、频率f 、角频率ω之间的关系：

f T 1=

，T f π

=π=ω22

变化的计时起点——相位、初始相位、初始相角

正弦量的相位：φ+ωt 正弦量的初始相位：φ

相位超前（滞后）：)sin(a m t A a φ+ω=，)sin(b m t B b φ+ω=，b a φ>φ，即相位差

b a φ-φ=φ∆时，称正弦量a 超前于b ，正弦

量b 就滞后于a ，；

同相：同频率的正弦量相位差为零时，称“同相”；

反相：同频率的正弦量相位差为180度时，称“反相”；

8.1.2 复数的有关知识

一、复数的表示形式 1．代数形式：

jb a +=A

2．三角形式：

ϕ+ϕ=sin cos A A A j 。其中A

为复数A 的模（幅值），它恒大于零。

两种形式之间的变换：ϕ=cos A a ，ϕ=sin A b ，即

2

2b a +=A ，

a b tg =

ϕ

3．指数形式

利用欧拉公式：ϕ+ϕ=ϕ

sin cos j e

j ，可以直接将复数的三角形式转化为指数形式：

ϕ=j e A A

4．极坐标形式

当然也就可以很容易写为极坐标形式：ϕ∠=A A

二、复数的运算 1．加、减法

设21ja a +=A ，

2

1jb b +=B ，则

)()()()(22112121a b j a b ja a jb b ±+±=+±+=±=A B C

直接用相量图的平行四边形法则或三角形法则求解复数的加减法：

A A

A

2．乘、除法

设21ja a +=A ，21jb b +=B ，则

)()(12212211b a b a j b a b a ++-==AB C ，

222121122

2212

211211 b b b a b a j b b b a b a jb a jb a +-+++=++==

B A C

由此可见，当使用复数的代数形式时，进行复数的乘除法运算比较复杂。

如果设a ϕ∠=A A ，b ϕ∠=B B ，则

)(b a b a ϕ+ϕ∠=ϕ∠⨯ϕ∠=B A B A AB ，)

(b a b a ϕ-ϕ∠=ϕ∠÷ϕ∠=B A B A B A

由此可见，当使用复数的极坐标形式时，进行复数的乘除法运算比较简单，只需将复数的模相乘（除），复数的幅角相加（减）就可以了。

+j

图10-4 复数的乘法示意

+

j

图10-5 复数的除法示意

j 图10-6 旋转因子示意图

旋转因子——j 与j -

对于任意相量ϕ∠=||A A ，o

90||+ϕ∠=A A j ，也就是说，旋转因子j （j -）与任意

相量的乘积的结果，即为该相量逆（顺）时针旋转90度。

8.2相量法的基本思想

注意“向量”与“相量”的不同，前者用来表征具有大小及方向的物理量，比如例速度等等，后者往往用于表征一定振幅及相位的正弦量。

如果一个模与相角一定的相量，可以唯一地与一个频率确定，幅值等于相量的模，而相

位等于相量的相角的正弦量，简单说，就是可以用一个向量来唯一地代换一个正弦量，那么就可以用相量的计算代换正弦量的计算，从而大大简化计算过程。

以下将以电压为例。

8.2.1 正弦电量的相量表示

1．正弦量与相量 以电压为例，

])Re[(])Re[(]

Re[)cos()()(t j m t j j m t j m m e U e e U e U t U t u ωωϕϕ+ωϕ∠===ϕ+ω=

其中指数函数t

j e

ω实际上是以ω为角频率旋转的旋转相量，由此可见，在角频率ω一定

的情况下，正弦量)(t u 与相量m U

之间可以建立起一一对应的关系，其中ϕ∠=m m U U 。

注意：这里的相量与正弦量不能划等号，只不过用相量与正弦量表示同一个物理量而已，这样的概念与后面将要讲到的拉氏变换的意义相同。

2．旋转相量与正弦量的图示

+

3．幅值相量与有效值相量

由于前面讲到过有效值与幅值之间的关系，因此正弦量的相量表示既可以用幅值相量，

也可以用有效值相量，只不过要注意它们之间的转换，而且在分析中最好用同一种相量形式（建议使用有效值相量）。

ϕ∠=ϕ∠=U U U m m 2 ϕ∠=U U

4．相量图

图10-8 有效值相量的相量图