人教版高中数学必修5-3.4《基本不等式》第二课时参考教案

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§3.4

2a b + 第2课时

授课类型:新授课

【教学目标】

12

a b +≤

;会应用此不等式求某些函数的最值;能够解决一些简单的实际问题

22a b +≤

,并会用此定理求某些函数的最大、最小值。

3.情态与价值:引发学生学习和使用数学知识的兴趣,发展创新精神,培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。

【教学重点】

2a b +≤

的应用 【教学难点】

2a b +≤

求最大值、最小值。 【教学过程】

1.课题导入

1.重要不等式:

如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a

2.基本不等式:如果a,b 是正数,那么

).""(2号时取当且仅当==≥+b a ab b a

我们称b a b a ,2

为+的算术平均数,称b a ab ,为的几何平均数 ab b

a a

b b a ≥+≥+2222和成立的条件是不同的:前者只要求a,b 都是实数,

而后者要求a,b 都是正数。

2.讲授新课

例1(1)用篱笆围成一个面积为100m 2的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时,所用篱笆最短。最短的篱笆是多少?

(2)段长为36 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时,菜园的面积最大,最大面积是多少?

解:(1)设矩形菜园的长为x m ,宽为y m ,则xy=100,篱笆的长为2(x+y )

m 。由2

x y +≥

可得x y +≥ 2()40x y +≥。等号当且仅当x=y 时成立,此时x=y=10. 因此,这个矩形的长、宽都为10m 时,所用的篱笆最短,最短的篱笆是40m.

(2)解法一:设矩形菜园的宽为x m ,则长为(36-2x )m ,其中0<x <21,其面积S =x (36-2x )=21·2x (36-2x )≤212

2236236()28x x +-=当且仅当2x =36-2x ,即x =9时菜园面积最大,即菜园长9m ,宽为9 m 时菜园面积最大为81 m 2

解法二:设矩形菜园的长为x m.,宽为y m ,则2(x+y)=36, x+y=18,矩形菜园

的面积为xy m 218922

x y +==,可得 81xy ≤ 当且仅当x=y,即x=y=9时,等号成立。

因此,这个矩形的长、宽都为9m 时,菜园的面积最大,最大面积是81m 2 归纳:1.两个正数的和为定值时,它们的积有最大值,即若a ,b ∈R +,且a

+b =M ,M 为定值,则ab ≤4

2

M ,等号当且仅当a =b 时成立. 2.两个正数的积为定值时,它们的和有最小值,即若a ,b ∈R +,且

ab =P ,P 为定值,则a +b ≥2P ,等号当且仅当a =b 时成立.

例2 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池,其容积为4800m 3,深为3m ,如果池底每1m 2的造价为150元,池壁每1m 2的造价为120元,问怎样设计水池能使总造价最低,最低总造价是多少元?

分析:此题首先需要由实际问题向数学问题转化,即建立函数关系式,然后求函数的最值,其中用到了均值不等式定理。

解:设水池底面一边的长度为x m ,水池的总造价为l 元,根据题意,得

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