Lecture2-2水下航行器建模.ppt [兼容模式]

′=x x1 & 沿 x1方向 φ
25
& φ 0 0 T & + RT (φ ) RT (θ ) 0 = J (η )η &2 υ2 = 0 + Rx (φ ) θ x y k ,o 2 0 & 0 ψ
α
ψ
φ
θ ψ
γ
θ
β
φ
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绕Z轴
ψ
θ
绕节线N转
ϕ
绕Z‘轴转
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点乘和叉乘（Dot product and Cross product)
r b
θ
r a
The result is a scalar.
The result is a vector.
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线速度和角速度
N Φ T
设刚体在某一瞬间绕过定点O的某轴作定点 转动。P为刚体上任意一点，它在某时刻后， 转动角度 Φ 到达Q点。
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The kinematic equation运动 学方程
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动力学 Dynamics
Center of mass 质心
ω
Vc
牛顿定理
Origin of body frame 雷体系的原点 质心在地 面系中的 位置矢量 雷体系中 的受力
受到的 所有外 力（地 面系）
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动力学 Dynamics
三个欧拉角可唯一确定 随体参考系相对固定参 考系的位置。
n
静态定义
是 x-轴与交点线的夹 角， ¨ β 是 z-轴与Z-轴的夹角， ¨ γ 是交点线与X-轴的夹 角
红色坐标系 随刚体旋转
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¨α
三个欧拉角
n
把一个参考坐标系 移到给定的坐标系 中，需要做三个步 骤的旋转，欧拉角 就描述了这三个需 要旋转的角度。
y′′ = z ′
y
x′′ x′ x y′′ = λ y′ = λ λ y 2 2 1 z ′′ z′ z
矩阵相乘，顺序不可对易！
z ′′ = − y′
x′′ = x′
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欧拉角
n
欧拉角由莱昂哈德·欧拉(Leonhard Euler )在1776年提出，用来描述刚体 在三维欧几里得空间的方位。 蓝色坐标系 静止不动
z′ = z
z
y′ = − x
y
x′ = y
绕Z轴逆时针转90度
x
（x′, x） cos （x′, y） cos （x′, z） x′ 0 1 0 x cos x y′ = −1 0 0 y = cos y ′, x） cos ′, y） cos ′, z） （ y （ y （ y （z′, x） cos （z′, y） cos （z′, z） z′ 0 0 1 z cos z
鱼雷系统建模
Basic Models for Torpedo Dynamics
1
引言
静态建模 运动体平衡状态
运动学
Biblioteka Baidu
运动体建模 动态建模
Kinematics
Which treats only geometrical aspects of motion.
动力学
Kinetics
Which is the analysis of the forces causing the motion.
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Define
as the angular velocity vector in inertial frame. They are vectors.
r r r & +φ & & +θ ω =ψ
绕Z-轴转yaw角
B
绕Y-轴转pitch角
绕X-轴转roll角
I
xyz
x1 y1 z1
z1 = z
x2 y2 z2
y2 = y1
x3 y3 z3 : x0 y0 z0 ′ y1 ′z1 ′ x1
x3 = x2
x3 y3 z3 : x0 y0 z0
I
T Rz (ψ )
′ y2 ′ z2 ′ x2
RT y (θ )
xyz
T Rx (φ )
B
′ z3 = z2
′ = y1 ′ y2
& ψ
沿 z3 方向
& θ
沿
′方向 y2
x′
记：
e
a θ xp c b x′p
λij ≡ cos( xi′, x j )
方向余弦
x
f
xi′轴与x j 轴的夹角
变换矩阵
x′p = x p cos （x′, x） + y p cos( x′, y )
y′p = x p cos( y′, x) + y p cos( y′, y )
（x′, x） cos （x′, y） x′p cos xp y′ = y （y′, x） cos （y′, y） p p cos
10
变换矩阵的几何意义
HWK2.3：绕X轴逆时针转90度，写出变换矩阵。
11
变换矩阵的几何意义
z′ = z
z
x′ x y′ = λ y 1 z′ z
y′ = − x
x
x′ = y
绕Z轴逆时针转90度 绕x’轴逆时针转90度
x′′ x′ y′′ = λ y′ 2 ′′ z z′
P Q r′
r
→ r dr = r ′ − r = (nd Φ ) × NQ
当转动角度 无穷小时。
O
r dΦ ω=n dt
dr v= =ω×r dt
a×b=?
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国际通用坐标下的水下航行器 动力学模型
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六自由度模型（6 degrees of freedom）
DOF 1 2 3 4 5 6 X-方向的平动 Y-方向的平动 Z-方向的平动 绕X-轴的转动 绕Y-轴的转动 绕Z-轴的转动 力和力矩 X Y Z K M N 线速度和角 速度 u v w p q r 位置和欧拉 角
&1 + BI Rυ &2 × BI R ( B rc ) + BI Rυ2 × ( BI Rυ2 × BI R( B rc )) = BI Rυ 2 × BI Rυ1 + BI Rυ
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动力学 Dynamics
雷体系 中的受 力
30
HWK2.4:将下面的公式写成方程 组的形式
已知:
B
rc = [ xG
The body’s inertia tensor referred to an arbitrary body-fixed coordinate system with origin O in the body-fixed frame is defined as the equation.
随动坐标系与平移 坐标系的相对位置 固定坐标系 基点
ψ θ φ
六个参数
平移坐标系 随动坐标系
7
坐标变换
x′p = x p cos θ + y p sin θ
y
y′
yp d y′p θ O
P : ( x p , y p ), ( x′p , y′p )
y′p = − x p sin θ + y p cos θ
Y
yG
Z]
zG ]
T
T
τ1 = [ X
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动力学 Dynamics
Center of mass 质心
ω
Vc V0
刚体绕O点转动的力矩moment
L0 = ∑ f i × ( pi − p0 )
i =1
n
刚体绕O点转动的角动量angular momentum Origin of body frame 雷体系的原点 转动 惯量
2
分两部分内容
一般的水下航行器模型（国际通用坐标系） n 鱼雷模型（严卫生《鱼雷航行力学》）
n
y y′ x o y0 z′ o x0 z0
图1-1 地面坐标系
x′
z
图1-2 雷体坐标系与平移坐标系
3
引子： 质点动力学和刚体动力学
4
质点动力学
z
r = xr i + y r j + z r k
r : ( xr , y r , z r )
1 2 1 1 2 2 2 T = mv = m(ωl ) = ml ω 2 2 2
It is a measure of rotational inertia.
I = ∫ ρ (r )r 2 dV
V
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惯性张量 Inertia Tesnsor
n
In three dimensions, if the axis of rotation is not given, we need to be able to generalize the scalar moment of inertia to a quantity that allows us to compute a moment of inertia about arbitrary axes. This quantity is known as the moment of inertia tensor and can be represented as a symmetric positive semi-definite matrix
& ×r k0 = I cω + mP o c
惯性系中 的角动量 方程
k0 = BI R( I bυ2 + mυ1 × rcb )
用雷体系中 的参量写角 动量方程
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转动惯量Moment of Inertia
n
转动惯量是转动刚体惯性的度量。
小球的动能为：
Seen as an analogue of mass for rotational motion
8
HWK2.1:
2.1: 推导从
(xp , yp )
到
( x 'p , y 'p )
的坐标转换矩阵 λ 。
xp x′p y = λ y′ p p
2.2
利用方向余弦写出坐标系 ( x, y, z ) 和
( x′, y′, z ′) 的变换矩阵
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变换矩阵的几何意义
I B I B & −P & = IR & B & P c 0 B ( rc ) + B R ( rc ) = ω × B R ( rc )
& = I Rυ P 0 B 1
I B I B & −P & = IR & B & P c B ( rc ) + B R ( rc ) = ω × B R ( rc ) 0
& =P & + ω × I R( B r ) = I Rυ + ω × I R( B r ) P c 0 B c B 1 B c
d & &υ + I Rυ & ( B r ) + I R( B r &1 + ω & × BI R ( B rc ) + ω × ( BI R &c )) Pc = BI R 1 B c B dt &1 + BI Rυ &2 × BI R ( B rc ) + ω × (ω × BI R( B rc )) = ω × BI Rυ1 + BI Rυ
Kinetics
5
刚体动力学
任意刚体的 平面运动 （在L0平 面内的运动）
刚体的平面运动简化为平面图形S在 其自身平面内的运动。
刚体的平面运动可分解为随基点的平 移和绕基点的转动。
动参考系 A称为基点 定参考系
6
刚体一般运动的运动方程
刚体的运动=基点的平移+绕基点的转动
基点在固定坐标系中的位置
( x, y , z )
质点r的位置：
x = xr (t ) y = yr (t ) z = z r (t )
Kinematics
y
x
质点r的速度：
dr &r i + y &r j + z &r k =x v= dt & r (t ) vx = x & r (t ) vy = y &r (t ) vz = z
dv F = ma = m dt
Tait-Bryan angles. ZYX convention
普遍应用于 卫星等飞行 器中
21
雷体系到地面系的坐标转换
绕Z-轴转yaw角 绕Y-轴转pitch角 绕X-轴转roll角
o b
重要性质
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雷体系到地面系的坐标转换
HWK2.4：推导
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线速度的坐标转换 角速度的坐标转换
They are vectors.
x
y z φ
θ ψ
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右手规则
两个坐标系
o − X 0Y0 Z 0
n
地面系（
o − XYZ
）
o − X 0Y0 Z 0
n
雷体系（
¨ 纵轴 ¨ 横轴 ¨ 立轴
）
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Yaw is defined as rotation around the Z axis of the fixed frame; pitch is defined as rotation around the Y axis resulting after the yaw movement; and roll is defined as rotation around the X axis resulting after both yaw and pich movemnts