导数解曲线公切线问题(可编辑修改word版)

导数解公切线专题

1．(2009 年江西文12)若存在过点(1, 0) 的直线与曲线y =x3和y =ax2 +15

x - 9 都相切，4

则a 等于

A．-1或- 25

B．-1或

21

C．-

7

或-

25

D．-

7

或7

64 4 4 64 4

2.（2016 年全国 II 理 16）若直线y =kx +b 是曲线y = ln x + 2 的切线，也是曲线y = ln(x +1) 的切线，则b =．

3.求曲线y=x3+x2－2x 在点A(1,0)处的切线方程.

变式：求曲线y=x3+x2－2x 过点A(1,0)的切线方程.

y

考点： 导数的几何意义.

3.求曲线 y =x 3+x 2－2x 在点 A (1,0)处的切线方程.

解：∵y ′=3x 2+2x －2,

∴切线斜率 k = y ′|x =1=3. ∴切线方程为 y =3(x －1)， 即 3x －y －3=0.

变式：求曲线 y =x 3+x 2－2x 过点 A (1,0)的切线方程.

解 设切点 P （x 0, x 3+x 2－2x ）， 0 0 0

∵y ′=3x 2+2x －2，

O · A x

1．(2009 年江西文 12)若存在过点(1, 0) 的直线与曲线 y = x 3 和 y = ax 2

+

15

x - 9 都相切， 4

则a 等于

A ． -1或-

25

B ． -1或 21

C ． - 7 或- 25

D ． - 7 或7 64 4 4 64 4

1.设过(1, 0) 的直线与 y = x 3 相切于点(x , x 3 ) ，所以切线方程为 y - x 3 = 3x 2 (x - x )

即 y = 3x 2 x - 2x 3 ，又(1, 0) 在切线上，则 x = 0 或 x = - 3

，

0 0 0 0

2

当 x = 0 时，由 y = 0 与 y = ax 2 + 15 x - 9 相切可得 a = - 25

，

0 4 64

当 x = - 3 时，由 y = 27 x - 27 与 y = ax 2 + 15

x - 9 相切可得 a = -1 ，所以选 A .

0 2 4 4 4

2.（ 2016 年全国 II 理 16） 若直线 y = kx + b 是曲线 y = ln x + 2 的切线， 也是曲线

y = ln(x +1) 的切线，则b =

．

【答案】1- ln 2

∴切线斜率k=3x02+2x0－2.

∴切线方程为

y－（x03+x02－2x0）=(3x02+2x0－2)(x－x0) .

∵点A 在切线上，

∴0－（x03+x02－2x0）=(3x02+2x0－2)(1－

x0)．即x03－x02－x0+1=0．

故(x0－1)2 ( x0+1）

=0．解得x0=－1 或x0= 1 ．

∴当x0=－1 时，切线方程为x+y－1=0；

当x0=1 时，切线方程为３x－y－３=0．

综上，曲线过点A（1，0）的切线方程为

3x－y－3=0，或x+y－1=0.