驻波解析

x k
2
点O 到点B 之间的波节
x 0 ,,,3 ,2 ,5 , 3 ,7 ,4 ,9 ,5
22 2 2 2
波腹的坐标
sin 2π x 1 2π x(2k1)π x (2k 1)
2
4
x ,3 ,5 ,7 ,9 ,1 ,1,3 1 ,5 1,7 19
4444444 4 4 4
例题* 两人各执长为l 的绳的一端，以相同的角 频率和振幅在绳上激起振动，右端的人的振动比
右侧：/4 x 3/4
2Acos2π x 0
2Acos2π x 0
在波节两侧，质点的振动相位相反，振动 的速度方向相反； ——在波节处产生的相位跃变
在相临两波节之间，质点的振动相位相同， 振动的速度方向相同。
演示程序 ：驻波的相位
选择题. 某时刻驻波波形曲线如图所示，则a，b两 点处振动的相位差是
反射波的表达式
y反Aco2sπT t(x2 l)π
l=5
tx
y反Aco2sπ[T()2π 1]
tx
y反Aco2sπT ( )
(2) 驻波的表达式为
yy入y反A co 2 πT s t( x)A co 2 πT s t( x)
2Asin2πxsin2πt
T
(3) 驻波波节
sin 2π x 0
2π x kπ
dE k2dV A 22co 2(2 s πx)si2 nt dE p2dV A 22si2n 2 πxco 2st
(1) cos t = ±1 各质点的位移达到最大,dEk为零，
势能dEp不为零。波节处势能最大；在波腹处势 能最小。势能集中在波节附近。
波腹处势能始终为0
(2) cos t = 0 各质点都回到平衡位置，此时所有
质点的势能dEp都为零；而动能dEk达到最大，而 且动能集中在波腹附近。
波节处动能始终为0
当波节点间质点振幅最大时： y
A
B
势能曲线 X
驻波的能量在相邻的波腹和波节间往复变化， 在相邻的波节间发生动能和势能间的转换，动能 主要集中在波腹，势能主要集中在波节。.
驻波中能量没有向前传播 驻波是媒质的一种特殊运动状态，它是稳定态
X
解 (1) 入射波在B点的振动方程为
y入BAco2sπT (t l)
• O
入射波 x•P
B 反射波 l
X
反射波在B点的振动方程
y反 BAco2sπT t(l)π
任取一点P，其坐标为x，P点的振动比B点
的振动相位落后 反射波的表达式
2π (l x)
y反 A co 2π sT t( l)π2π(l x)
在波腹位置，质点的振幅最大 在波节位置，质点始终静止（振幅为零）
xk, k0,1,2,3,...
2
x(2k1) , k0, 1 , 2, 3,... 4
相邻波腹（节）间距 2 相邻波腹和波节间距 4
演示程序：驻波的波腹和波节
二、驻波的相位 y2Aco2sπxcost
在波节x = /4两侧 左侧：/4 x /4
反射波和入射波叠加形成驻波 反射点的振动是入射波和反射波在该点引
起振动的叠加
演示程序：驻波
概念检测 图中画出一向右传播的简谐波
在t 时刻的波形图，BC为波密介质 的反射面，波由P 点反射，则反射 波在t 时刻的波形图为
B
当波从波疏介质垂直入射到波密介质界面上反 射时，有半波损失，观察反射波波形
16.5 驻波
16.5.1 驻波的形成 16.5.2 驻波的特征 16.5.3 半波损失 16.5.4 弦线上的驻波与简正模式
当海浪从悬崖或码头反射的时候，能看到它与 入射波叠加后形成一个固定的浪头，这就是驻波
16.5.1 驻波的形成
驻波的形成
沿x 轴正、反两方向传播的两列简谐波，如果它 们的振动频率和振幅都相同，初相差恒定，就会叠加 形成驻波
y2Acos(t[ux)2]
绳的中心为坐标原点，在左端 x l
y1 =Acos t
2
y1Acos(t[2 ul)1]Acost
演示程序：驻波的能量
16.5.3 半波损失
媒质的特性阻抗 Z = u
波密媒质： Z 值较大 波疏媒质： Z 值较小
波疏
u1
波密媒质：反射点出现波节
12
u2
2
1u12u2
即在反射点反射波的相位有 突变
——半波损失
波密
波疏媒质： 反射点出现波腹
u1
u2 1 2
1u12u2
即在反射点入射波和反射波同相
左端的人的振动相位超前，试以绳的中心为坐标
原点描写合成驻波。由于绳很长，可不考虑反射。 绳上的波速设为u 。
解 设左端的振动为y1 =Acos t，则右端的振动 为 y2=Acos ( t + ）。
设右行波的波动表达式(以绳的中心为坐标原点)
y1Acos(t[ux)1]
设左行波的波动表达式(以绳的中心为坐标原点)
例题 有一平面简谐波
tx
y入Aco2sπT( )
向右传播，在距坐标原点O 为l=5 的B 点被垂直界
面反射，设反射有半波损失，反射波的振幅近似等
于入射波振幅。试求：(1) 反射波的表达式；(2) 驻波
的表达式；(3) 在原点O 到反射点B 之间各个波节和
波腹的坐标。
• O
入射波 x•P
B 反射波 l
A
B
弦线一端A系在一固定的音叉上，另一端B跨过定滑 轮吊一重物，使弦线中有一定张力，B是支点，使弦 线在B处不能振射形成向左传播的反射波
驻波方程
y1Acost(2πx)
y2Acost(2πx)
yy1y2
A co ts 2 (πx)A co ts 2 ( πx)
2Aco2sπxcost
y2Aco2sπxcost
O
演示程序：驻波
16.5.2 驻波的特征
y2Aco2sπxcost
一、驻波的振幅
cos 2π x 1
2π x kπ
xk, k0,1,2,3,...波腹
2
cos2π x 0
x(2k1 ) , 4
2π x (2k 1) π
2
k0, 1 , 2, 3,..波.节
√A. π B. π/ 2 C. 0 D. 无法确定
y
b
o
a
x
三、驻波的能量
体积元dV 的振动动能和弹性势能
dEk
1(dm)v2 2
1(dV)(y)2
2
t
dEp
1EdV(y)21dVu2(y)2
2 x 2
x
y2Aco2sπxcost
dE k2dV A 22co 2(2 s πx)si2 nt
dEp 12EdV(yx)22dVA22si2n2 πxco2st